极坐标方程大题练习题

极坐标方程大题练习题
一、基本概念与性质
1. 将直角坐标系下的点 (3, 4) 转换为极坐标系下的坐标。

2. 已知极坐标方程ρ = 4sinθ，求对应的直角坐标方程。

3. 判断下列极坐标方程是否表示圆：
(1) ρ = 6cosθ
(2) ρ = 3 + 2sinθ
4. 已知极坐标方程ρ = 2cosθ，求极点与极轴之间的夹角。

二、极坐标方程的求解
5. 求极坐标方程ρ = 4cosθ 与ρ = 2sinθ 的交点坐标。

6. 已知极坐标方程ρ = 3sinθ，求当θ =π/3 时的点坐标。

7. 解极坐标方程ρ = 5 3cosθ，求出所有可能的ρ 值。

8. 已知极坐标方程ρ = 4 2sinθ，求该曲线与极轴的交点坐标。

三、极坐标方程的应用
9. 在极坐标系中，求直线ρcosθ = 3 与圆ρ = 4sinθ 的交
点坐标。

10. 已知点 A 在极坐标方程ρ = 6sinθ 上，点 B 在极坐标方
程ρ = 4cosθ 上，求线段 AB 的长度。

11. 在极坐标系中，求曲线ρ = 2 + 3sinθ 与极轴围成的面积。

12. 已知极坐标方程ρ = 5cosθ，求该曲线所围成的图形的面积。

四、综合题
13. 在极坐标系中，求曲线ρ = 4sinθ 与直线θ = π/4 所
围成的图形的面积。

14. 已知极坐标方程ρ = 2cosθ，求该曲线关于极轴的对称曲
线方程。

15. 在极坐标系中，求曲线ρ = 3 + 2sinθ 与极轴之间的夹角。

16. 已知极坐标方程ρ = 4cosθ，求该曲线关于原点的对称曲
线方程。

17. 在极坐标系中，求曲线ρ = 6sinθ 与直线ρcosθ = 3
的交点坐标，并判断这些交点是否在第一象限。

18. 已知极坐标方程ρ = 5 4sinθ，求该曲线与极轴的交点坐标，并计算这些交点与极点之间的距离。

五、极坐标方程的变换与简化
19. 将极坐标方程ρ = 8cosθ 转换为直角坐标系下的方程，并
简化。

20. 已知极坐标方程ρ = 4θ，求其在直角坐标系下的表达式。

21. 将极坐标方程ρ^2 = 6ρsinθ 转换为直角坐标系下的方程，并简化。

22. 已知极坐标方程ρ = 3 2θ，求其在直角坐标系下的表达式。

六、极坐标方程的几何应用
23. 在极坐标系中，求圆ρ = 6sinθ 的直径。

24. 已知极坐标方程ρ = 4cosθ，求该曲线的焦距。

25. 在极坐标系中，求曲线ρ = 2 + 4cosθ 的中心坐标。

26. 已知极坐标方程ρ = 5 3sinθ，求该曲线的顶点坐标。

七、极坐标方程的参数方程表示
27. 将极坐标方程ρ = 4sinθ 转换为参数方程。

28. 已知极坐标方程ρ = 3cosθ，求其参数方程表示。

29. 将极坐标方程ρ = 2θ 转换为参数方程。

30. 已知极坐标方程ρ = 5 4cosθ，求其参数方程表示。

八、极坐标方程的积分应用
31. 计算极坐标方程ρ = 4cosθ 在第一象限围成的图形的面积。

32. 在极坐标系中，求曲线ρ = 2 + sinθ 与极轴围成的图形
的面积。

33. 计算极坐标方程ρ = 6sinθ 在第二象限围成的图形的面积。

34. 在极坐标系中，求曲线ρ = 4 2cosθ 与极轴围成的图形
的面积。

九、极坐标方程的极限与连续性
35. 求极坐标方程ρ = 3θ 在θ → 0 时的极限。

36. 讨论极坐标方程ρ = sinθ 在θ = π 时的连续性。

37. 求极坐标方程ρ = 4 e^θ 在θ → ∞ 时的极限。

38. 讨论极坐标方程ρ = 1/θ 在θ → 0 时的连续性。

十、极坐标方程的微分与导数
39. 求极坐标方程ρ = 5cosθ 的导数ρ'。

40. 已知极坐标方程ρ = 2θ，求其在θ = π/4 时的导数值。

41. 求极坐标方程ρ = 3 + sinθ 的导数ρ'。

42. 已知极坐标方程ρ = 4 2cosθ，求其在θ = π/3 时的
导数值。

答案
一、基本概念与性质
1. (5, π/4) 或 (5, 3π/4)
2. x^2 + y^2 = 4y
3. (1) 是 (2) 不是
4. π/4
二、极坐标方程的求解
5. (2, π/3) 和(2, 5π/3)
6. (3√3/2, π/3)
7. ρ = 2, 4
8. (2, 0)
三、极坐标方程的应用
9. (3, π/4) 和(3, 3π/4)
10. AB 的长度为√10
11. 9π
12. 25π/2
四、综合题
13. 8
14. ρ = 2cos(θ + π/2) 或ρ = 2sinθ
15. π/4
16. ρ = 4cos(θ) 或ρ = 4cosθ
17. (5, π/6) 和(5, 5π/6)，均在第一象限
18. (4, 0) 和 (0, 0)，距离分别为 4 和 0
五、极坐标方程的变换与简化
19. x^2 + y^2 = 8x 或 (x 4)^2 + y^2 = 16
20. y = 4tanθ, x = 4tanθsecθ
21. x^2 + y^2 6y = 0 或 x^2 + (y 3)^2 = 9
22. y = 3 2tanθ, x = 3secθ 2secθtanθ
六、极坐标方程的几何应用
23. 4√3
24. 4
25. (2, 0)
26. (5, π/2)
七、极坐标方程的参数方程表示
27. x = 4sin(t), y = 4cos(t)
28. x = 3cos(t), y = 3sin(t)
29. x = 2tcos(t), y = 2tsin(t)
30. x = (5 4cos(t))cos(t), y = (5 4cos(t))sin(t)
八、极坐标方程的积分应用
31. 8
32. 9 4√3
33. 18
34. 8
九、极坐标方程的极限与连续性
35. 0
36. 不连续
37. 0
38. 不连续
十、极坐标方程的微分与导数
39. ρ' = 5sinθ
40. 2
41. ρ' = cosθ
42. √3。