群论的分支规则

群论的分支规则
群论是数学的一个分支，主要研究的是抽象代数结构——群。

群论的分支规则是指在研究群的过程中，如何将一个大的群分解为更小、更简单的子群。

这些子群之间有一定的关系，可以帮助我们更好地理解和研究整个群的性质。

群论的分支规则主要包括以下几点：
1. 正规子群：设G是一个群，H是G的一个子群，如果H满足条件(a) H本身是一个群；(b) H中任意两个元素的乘积仍在H中；
(c) G中任意一个元素与H中任意一个元素的乘积仍在G中。

那么H 就是G的一个正规子群。

正规子群具有传递性，即如果H和K都是G 的正规子群，且H包含于K，那么K也包含于H。

2. 商群：设G是一个群，H是G的一个正规子群，那么由G中所有与H无关的元素组成的集合（记作G/H）以及G/H上定义的运算（即将G中的元素g和H中的元素h映射到G/H中的(gH)），就构成了一个群，称为G关于H的商群。

商群可以看作是将G分解为不相交的正规子群H的并集。

3. 循环子群：设G是一个有限群，H是G的一个子群，如果存在一个元素g∈G，使得对于任意的h∈H，都有gh=hg。

那么称H为G 的一个循环子群。

循环子群具有封闭性，即如果H是G的一个循环子群，那么H的任何非空子集也是循环子群。

4. 交换子群：设G是一个群，H是G的一个子群，如果H中任
意两个元素的乘积都在H中，那么我们称H为G的一个交换子群。

交换子群具有传递性，即如果H和K都是G的交换子群，且H包含于K，那么K也包含于H。

5. 幂零子群：设G是一个有限群，H是G的一个子群，如果存在一个正整数n，使得hn=e（其中e是G的单位元）对于任意的h∈H都成立，那么我们称H为G的一个幂零子群。

幂零子群具有传递性，即如果H和K都是G的幂零子群，且H包含于K，那么K也包含于H。

通过以上分支规则，我们可以将一个复杂的群分解为更小、更简单的子群，从而更好地理解和研究整个群的性质。