【市级联考】广东省潮州市2019届高三上学期期末教学质量检测数学(理)试题

绝密★启用前 【市级联考】广东省潮州市2019届高三上学期期末教学质量检测数学（理)试题 试卷副标题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷（选择题) 请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题 1．设集合 ， ，则 A ． B ． C ．R D ． 2．复数z 满足 为虚数单位 ，则 A ． B ． C ． D ． 3．若A 、B 、C 、D 、E 五位同学站成一排照相，则A 、B 两位同学至少有一人站在两端的概率是 A ． B ． C ． D ． 4．下列函数在区间 上是增函数的是 A ． B ． C ． D ． 5．已知随机变量 ～ ，若 ，则 A ． B ． C ． D ． 6．等比数列 中，若 ，且 成等差数列，则其前5项和为（ ） A ．30 B ．32 C ．62 D ．64 7．已知命题是P ：“ ”是“ ”的充要条件，q ： ，使得 ；则
A ． ￢ ￢ 为真命题
B ． 为假命题
…………装…………○…………订…※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答…………装…………○…………订…8．已知函数 的图象经过点 ，则 A ．2019 B ． C ．2 D ．1 9．已知函数 ，则 A ．0 B ．7 C ． D ．4 10．平面直角坐标系xOy 中，点 在单位圆O 上，设 ，若
，且
，则 的值为
A ．
B ．
C ．
D ．
11．某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为2，则图中x 的值为
A ．1
B ．
C ．
D ．
12．已知双曲线C ：
的左、右焦点分别为 、 ，且
双曲线C 与圆 在第一象限相交于点A ，且 ，则双曲线C 的离心率是
A ．
B ．
C ．
D ．
…………○………名：___
_
_____
__班级：_____…
…
……
○
…
…
…
第II 卷（非选择题) 请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题 13．已知实数x 、y 满足约束条件 ，则 的最小值为______． 14．已知向量 、 ，满足 ， ，且 ，则 在 上的投影为______． 15．过点 且与曲线
在点 处的切线垂直的直线的方程为______． 16．设数列 的前n 项乘积为 ，对任意正整数n 都有 ，则 ______． 三、解答题 17．如图，在四棱锥 中， ， . （1）证明：平面 平面 ； （2）若 ，求二面角 的余弦值. 18．已知点()1F ，圆(222:16F x y +=，点M 是圆上一动点， 1MF 的垂直平分线与2MF 交于点N . （1）求点N 的轨迹方程； （2）设点N 的轨迹为曲线E ，过点()0,1P 且斜率不为0的直线l 与E 交于,A B 两点，点B 关于y 轴的对称点为B '，证明直线AB '过定点，并求PAB ∆'面积的最大值. 19．已知函数 ． 求 的解集； 若 的最小值为T ，正数a ，b 满足 ，求证： ．
参考答案
1．D
【解析】
【分析】
求解不等式化简集合A、B，然后直接利用交集运算得答案．
【详解】
，
，
．
故选：D．
【点睛】
本题考查了交集及其运算，考查了不等式的解法，是基础题．
2．C
【解析】
【分析】
把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【详解】
由，得，
．
故选：C．
【点睛】
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
3．C
【解析】
【分析】
五名同学站成一排照相，共有种排法、B两位同学至少有一人站在两端的排法有：种，由此能求出A、B两位同学至少有一人站在两端的概率．【详解】
五名同学站成一排照相，共有种排法．
A、B两位同学至少有一人站在两端的排法有：
种，
、B两位同学至少有一人站在两端的概率为．
故选：C．
【点睛】
该题考查的是有关概率的求解问题，涉及到的知识点有有条件的排列问题以及古典概型概率公式，属于简单题目.
4．A
【解析】
【分析】
根据题意，依次分析选项中函数在上的单调性，综合即可得答案．
【详解】
根据题意，依次分析选项，
对于A，，其导数，当时，有恒成立，则函数在上为增函数，符合题意；
对于B，，其导数为，在上，，则函数在上为减函数，不符合题意；
对于C，，其导数为，当时，有恒成立，则函数在上为减函数，不符合题意；
对于D，，为二次函数，在上为减函数，不符合题意；
故选：A．
【点睛】
本题考查函数的单调性的判断，注意函数的导数与函数单调性的关系，属于基础题．5．B
【解析】
【分析】
由已知结合正态分布曲线的对称性即可求解．
【详解】
～，且，
，且，
．
故选：B．
【点睛】
本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量和的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．
6．C
【解析】
【分析】
设等比数列{a n}的公比为q，a4＝8a1，可得a1q3＝8a1，解可得q．又a1，a2+1，a3成等差数列，可得2（a2+1）＝a1+a3，解可得a1，由等比数列前n项和公式计算可得答案．
【详解】
根据题意，设等比数列{a n}的公比为q，
∵a4＝8a1，∴a1q3＝8a1，a1≠0，解得q＝2．
又a1，a2+1，a3成等差数列，
∴2（a2+1）＝a1+a3，
∴2（2a1+1）＝a1（1+22），
解得a1＝2；
则其前5项和S562；
故选：C．
【点睛】
本题考查等比数列的通项公式与求和公式，掌握等比数列的通项公式和前n项和公式即可．7．C
【解析】
【分析】
由指数函数的单调性可得：函数在R上为增函数，所以“”是“”的充要条件，由不等式有解问题，存在时，，即命题q是真命题，得结果.【详解】
因为函数在R上为增函数，所以“”是“”的充要条件，即命题P是真
命题，
因为存在时，，即命题q是真命题，
即为真命题，
故选：C．
【点睛】
本题考查了指数函数的单调性及不等式有解问题，属简单题目.
8．B
【解析】
【分析】
由函数的图象经过点，可得，进而可得答案．【详解】
因为函数过点，
所以，
解得：
，
所以，
故选：B．
【点睛】
本题考查的知识点是分段函数的应用，方程思想，函数求值，难度不大，属于基础题．9．B
【解析】
【分析】
推导出，且，由此能求出
的值．
【详解】
函数，
，且．
故．
故选：B．
【点睛】
本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10．C
【解析】
【分析】
利用两角和差的余弦公式以及三角函数的定义进行求解即可．
【详解】
，
，
，，
则
，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查两角和差的三角公式的应用，结合三角函数的定义是解决本题的关键．11．A
【解析】
【分析】
由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，利用体积转化求解即可．【详解】
三视图对应的几何体的直观图如图：
几何体的体积为：，
解得．
故选：A．
【点睛】
本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键．
12．A
【解析】
【分析】
运用双曲线的定义和条件，求得，，由直径所对的圆周角为直角，运用勾股定理和离心率公式，计算可得所求值．
【详解】
双曲线C与圆在第一象限相交于点A，
可得，
由，
可得，，
由，可得，
即为，
即有，
即有．
故选：A．
【点睛】
本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用直径所对的圆周角为直角，以及双曲线的定义，考查化简运算能力，属于中档题．
13．
【解析】
【分析】
作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，即可得到结论．【详解】
作出不等式组对应的平面区域如图：由解得：
由得，
平移直线，
由图象可知当直线经过点时，
直线的截距最小，
此时z最小，
此时，
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．14．
【解析】
【分析】
根据得，在上的投影为．
【详解】
，，，，
在上的投影为，
故答案为：．
【点睛】
本题平面向量数量积的性质及其运算，属基础题．
15．
【解析】
【分析】
求导函数，确定切线的斜率，可得所求直线的斜率，再利用点斜式可得直线方程．
【详解】
，
，
当时，，即曲线在点处的切线斜率为，
与曲线在点处的切线垂直的直线的斜率为2，
直线过点，
所求直线方程为，即．
故答案为：．
【点睛】
本题考查导数的几何意义，考查直线方程，解题的关键是理解导数的几何意义．
16．
【解析】
【分析】
对任意正整数n都有，时，，化为：时，，可得：利用等差数列的通项公式即可得出．
【详解】
对任意正整数n都有，
时，，化为：．
时，，可得：．．
可得：．
．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17．(1)证明见解析；(2).
【解析】
【分析】
(Ⅰ)先证明CD⊥BC．CD⊥CE，得到CD⊥平面BCE．再证明平面BCE⊥平面CDE；（Ⅱ）建立空间直角坐标系，采用向量法求解二面角的余弦值.
【详解】
(Ⅰ)证明：因为,，所以.
因为,所以,
所以,
因为,所以平面.
又平面,所以平面平面.
(Ⅱ)以为原点,建立空间直角坐标系如图所示,
则,
所以,
设平面的法向量为,则,即,
令 , 解得 ,即 ,
显然平面 的一个法向量为 , 所以
,所以二面角 的余弦值为
.
【点睛】
本题考查了面面垂直的判定和求二面角的余弦值，考查了空间想象能力以及计算能力；求二面角的空间向量坐标法的一般步骤：建立空间直角坐标系，确定点及向量的坐标，分别求出两个平面的法向量，通过两个法向量的夹角得出二面角的大小.
18．(1) 2214
2x y +=.(2) 2
. 【解析】【试题分析】（1）由于24MN NF +=，所以N 的轨迹为椭圆，利用椭圆的概念可求得椭圆方程.（2）当直线l 的斜率存在时，设出直线方程和点,,A B B '的坐标，联立直线方程和椭圆方程，写出韦达定理，求得直线AB '的方程，求得其纵截距为2，即过()0,2.验证当斜率不存在是也过()0,2.求出三角形面积的表达式并利用基本不等式求得最大值. 【试题解析】
解：（1）由已知得： 1NF NM =，所以1224NF NF MN NF +
=+= 又12F F =所以点N 的轨迹是以12,F F 为焦点，长轴长等于4的椭圆，
所以点N 轨迹方程是22
142
x y +=. （2）当k 存在时，设直线():10AB y kx k =+≠， ()()1122,,,A x y B x y ，则()22,B x y '-， 联立直线AB 与椭圆得2224{
1
x y y kx +==+，
得()
22
12420k x kx ++-=，
∴()2122
122
8140
4{ 122
12k k
x x k x x k ∆=+>-+=
+-=
+，
∴1212
AB y y k x x '-=
+，所以直线()12
1112:y y AB y y x x x x --=-+'，
所以令0x =，得1221
12
x y x y y x x +=
+，
()()
122112
12
12
11212x kx x kx kx x x x x x +++=
=
+=++，
所以直线AB '过定点()0,2Q ，（当k 不存在时仍适合） 所以PAB ∆'的面积12221
212PQB PQA k S S S x x k ∆∆'=-=
+=+
2122k k
=≤+，当且仅
当2
k =±
时，等号成立. 所以PAB ∆'
面积的最大值是
2
. 【点睛】本小题主要考查动点轨迹方程的求法，考查直线和圆锥曲线的位置关系，考查与圆锥曲线有关的三角形面积的最值.
由于给定点()
1F
，而圆心恰好是
)
，由此考
虑动点是否满足椭圆或者双曲线的的定义，结合垂直平分线的性质可知动点的轨迹为椭圆. 19．（1）
；（2）见解析. 【解析】
试题分析：（1）将函数 写成分段函数形式，画出函数图象，利用数形结合思想可得 的解集；（2）由（1）中的图象可得 的最小值为 ，利用均值不等式可知
，进而可得结果.
试题解析：
（1）
由图像可知：的解集为.
（2）图像可知的最小值为1，
由均值不等式可知，
当且仅当时，“”成立，即.。