福建省霞浦第一中学2018-2019学年高二上学期第二次月考数学(文)试题

霞浦一中2018-2019学年第一学期高二第二次月考数学（文科）试题
（考试时间：120分钟； 满分：150分）
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．等比数列}{n a 中===642,8,2a a a 则( )
A. 14
B. 31
C. 32
D. 63
2．已知锐角ABC ∆的面积为3,4AC BC ==，则角C 的大小为 ( ) A.75° B.60° B.45° D.30° 3．等差数列}{n a 中，79416,2a a a +==,则12a ,15S 的值分别是( ) A.12 ，120 B.14，120 C. 12，150 D.14，150
4．若22
135x y k k
+=--表示焦点在轴上的双曲线，则k 的取值范围是 ( ) A.5>k B.3<k C.3<k 或5>k D.53<<k
5．设集合{}
0322<--=x x x M ，{}
10<<=x x P ，那么“M x ∈”是“P x ∈”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.即不充分也不必要条件
6．椭圆
134222=+n y x 和双曲线1162
22=-y n
x 有相同的焦点，则实数的值为( ) A ．3± B ．5± C ．9 D ．25 7．下列说法错误．．
的是( ) A.命题“若2320x x -+=，则1=x ”的逆否命题为：“若1x ≠,则2
320x x -+≠”
B.命题“若2
320x x -+=，则1=x ”的否命题为真命题
C.若p q ∧为假命题，则、均为假命题
D.命题：x R ∃∈，使得210x x ++<, 则p ⌝：x R ∀∈， 均有2
10x x ++≥
8．已知方程0,,0(022>≠≠=++=+c b a ab c by ax ab by ax 其中和，它们所表示的曲线可能是( )
A. B. C. D.
9．已知不等式250ax x b -+>的解集为{|32}x x -<<,则不等式250bx x a -+>的解集为( ) A. {|32}x x -<< B. {|32}x x x <->或 C. 11{|}32x x -
<< D. 11{|}32
x x x <->或 10．在△ABC 中，c b a 、、分别为角A B C 、、所对的边，若c b a ,,成等比，且a c 2=，则B cos 等于( ) A ．
4
1 B ．
4
3 C ．
4
2 D ．
3
2 11．21,B B 是椭圆短轴的两个端点，过左焦点1F 作轴的垂线交椭圆与点，O 是坐标原点，若1OF 、21B F 、
21B B 成等比数列，则
2
1OB PF 的值是 ( )
A.2
B.
32 C.23 D.
22
12.如图所示，等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD 且AB=2AD ，设∠DAB=θ，θ∈，以A ，B 为焦点，且过点D 的双曲线的离心率为e 1；以C ，D 为焦点，且过点B 的椭圆的离心率为e 2，则 ( ) A.当θ增大时，e 1增大，e 1·e 2为定值 B.当θ增大时，e 1减小，e 1·e 2为定值
C.当θ增大时，e 1增大，e 1·e 2增大
D.当θ增大时，e 1减小，e 1·e 2减小
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卷的横线上)
13．函数x
x y 9
+
=(0>x )的最小值是 . 14．抛物线2
4y x =的焦点坐标是 .
15．一船以每小时15km 的速度向东航行,船在A 处看到一个灯塔B 在北偏东60，行驶4h 后，船到达C 处，看到这个灯塔在北偏东15，这时船与灯塔的距离为 km ．
16．设数列{}n a 的前项和为n S （N n +∈）， 关于数列{}n a 有下列三个命题： ①若1
(N )n n a a n ++=∈，则{}n a 既是等差数列又是等比数列；
②若()n
n S 11--=，则{}n a 是等比数列；
③若0>n a ，且满足0)(3)3(222
=+--+-n n S n n S n n ， 则{}n a 是等差数列。

这些命题中，真命题的序号是
三、解答题：(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程) 17．(本小题满分10分)已知数列{}n a 是一个等差数列，且25a =，51a =-. （1）求{}n a 的通项n a ;
（2）求{}n a 前n 项和n S 的最大值．
18．(本小题满分12分)如图，在四边形ABCD 中，已知AD CD ，AD=10，AB=14，BDA ，
BCD
求BC 的长.
19．（本小题满分12分）已知点A )0,3(-和B )0,3(，动点C 到A 、B 两点的距离之差的绝对值是2
（1）求动点C 的轨迹；
（2）动点C 的轨迹与直线2-=x y 交于D 、E 两点，求线段DE 的长。

20．(本小题满分12分) 已知命题p:()()04222,2
<--+-∈∀x a x a R x 不等式恒成立；
命题q:关于x 的方程()01222
2
=-++-a x a x 有两正根；
若p ⌝为真，q p ∨为真，求的取值范围.
21．(本小题满分12分)某小型餐馆一天中要购买B A ,两种蔬菜，B A ,蔬菜每公斤的单价分别为2元和3 元。

根据需要， 蔬菜至少要买6公斤，蔬菜至少要买4公斤，而且一天中购买这两种蔬菜的总费用不能超过60元。

（1）写出一天中蔬菜购买的公斤数和蔬菜购买的公斤数之间的满足的不等式组；并在给定的坐标系中画出不等式组表示的平面区域（用阴影表示），
（2）如果这两种蔬菜加工后全部卖出，B A ,两种蔬菜加工后每公斤的利润分别为2元和1元，餐馆如何采购这两种蔬菜使得利润最大，利润最大为多少元？
A B C
D
22．（本小题满分12分）已知过点A(－4,0)的动直线l 与抛物线G ：x 2
＝2py (p>0)相交于B 、C 两点．当直线l 的斜率是12时，AC →＝4AB →.
（1）求抛物线G 的方程；
（2）随着直线l 的斜率变化时，设线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为b ，求b 的取值范围．
2018-2019数学第二次月考文科参考答案
一、选择题： CBBAB ACDDB DB
12.【解析】选B.由题可知：双曲线离心率e 1=，椭圆离心率e 2=. 设|AD|=|BC|=t ，则|AB|=2t ，|CD|=2t-2tcos θ，|BD|=t ， e 1=，e 2=，当θ∈时，θ增大，cos θ减小，导致e 1减小， e 1·e 2=·=1.
二、填空题：13.6 14.1
(0,)16
15.②③ 三、解答题：
17（1）设{}n a 的公差为d ，由已知条件，115
41
a d a d +=⎧⎨
+=-⎩，
解出17a =，2d =- 所以1(1)29n a a n d n =+-=-+． （2）21(1)
82
n n n S na d n n -=+
=-+2(4)16n =--+．所以4n =时，n S 取到最大值16． 18.解：在△ABD 中，设BD=x
则BDA AD BD AD BD BA ∠⋅⋅-+=cos 2222 即
60cos 1021014222⋅⋅-+=x x
整理得：096102
=--x x 解之：161=x 62-=x （舍去）
由正弦定理：
BCD BD CDB BC ∠=∠sin sin ∴2830sin 135
sin 16=⋅=
BC 19.解：(1) 因为A 、B 是定点且AB CB CA <=-2 所以 动点C 的轨迹是以A 、B 为焦点的双曲线
2,112,32==⇒==b a a c ，焦点在轴上 因此点C 的轨迹方程是12
2
2
=-y x （2）联立直线与双曲线的方程⎪⎩
⎪⎨⎧=--=12222y x x y 消去y ，得0642
=-+x x
设D （x 1，y 1）、E （x 2,y 2）,则6,42121-=-=+x x x x
所以，54)6(4)4(1122=-⨯--⋅+=DE ，线段DE 的长是54 20.解：p 真：22a -<≤ Q 真：5
114
a a -
≤<->或 ∵p ⌝为真，q p ∨为真，∴p 假q 真 ∴a 的取值范围是2a >
21.（本小题满分12分）
解：（1）依题意，蔬菜购买的公斤数和蔬菜购买 的公斤数之间的满足的不等式组如下：
⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≥≤+46
6032y x y x 画出的平面区域如右图.
(2) 设餐馆加工这两种蔬菜利润为，则目标函数为y x z +=2
z x y +-=2
表示过可行域内点斜率为2-的一组平行线在轴上的截距. 联立⎩⎨
⎧==+4
6032y y x 解得⎩⎨⎧==424
y x 即)4,24(B
当直线过点)4,24(B 时，在轴上的截距最大，即524242max =+⨯=z 答：餐馆应购买蔬菜24公斤，蔬菜公斤，加工后利润最大为52元. 22. 解：(1)直线l 的方程为x ＝2y －4.
由⎩⎪⎨⎪
⎧
x 2
＝2py x ＝2y －4
，得2y 2
－(8＋p)y ＋8＝0，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧
y 1y 2＝4 ①y 1＋y 2＝8＋p
2 ②，又∵AC →＝4AB →
，∴y 2＝4y 1，③
由①，②，③及p>0得：y 1＝1，y 2＝4，p ＝2，则抛物线G 的方程为x 2
＝4y. (2)设l ：y ＝k(x ＋4)，BC 的中点坐标为(x 0，y 0)，
由⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2
＝4y y ＝
＋得x 2
－4kx －16k ＝0，④
∴x 0＝x C ＋x B 2
＝2k ，y 0＝k(x 0＋4)＝2k 2＋4k.
∴线段BC 的中垂线方程为:y －2k 2
－4k ＝－1k
(x －2k)，
∴线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为b ＝2k 2
＋4k ＋2＝2(k ＋1)2
， 对于方程④，由Δ＝16k 2
＋64k>0得：k>0或k<－4. ∴b∈(2，＋∞)．。