四川省成都市金牛区外国语学校2023年数学高一上期末统考模拟试题含解析

一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．设集合 A x | 3 2x 1 3 ， B x | x 2k 1, k Z ，则 A B （）
A x | 1 x 2
B.x | 1 x 2
C.1,1
D. 1, 0,1
的取值范围是________.
16．函数
f
x 为奇函数，且对任意互不相等的 x1 ， x2 0, ，都有
f
x1 f x2
x1 x2
0 成立，且
f
2 0，则
f x 0 的解集为______
三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．某次数学考试后，抽取了 20 名同学的成绩作为样本绘制了频率分布直方图如下：
综上可知， xf (x) 0 的解集为 (, 3) (3, ) ，
故选:D 【点睛】本题考查了函数的奇偶性和单调性的交汇，求得函数在各个区间上的符号是关键，考查了推理能力，属于中
档题. 3、A
【解析】根据 a2 b 4 0 ，变形为 b a2 4 ，再利用不等式的基本性质得到 a b a2 a 4 ，进而得到
四川省成都市金牛区外国语学校 2023 年数学高一上期末统考模拟试题
.考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。 2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的 位置上。 3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
【解析】由题可分析得到
tan
+
4
tan
4
,由差角公式,将值代入求解即可
【详解】由题,
tan +
4
tan
4
tan
tan
4
1
tan
tan
4
21 54 1 2 1
54
3 22
,
故选：B
【点睛】本题考查正切的差角公式的应用,考查已知三角函数值求三角函数值问题
9、A
【解析】将直线方程化为斜截式，由此求得正确答案.
【解析】利用奇偶性定义可知
f
x 为偶函数，排除
B, C
；由
f
2
0 排除
D
，从而得到结果.
【详解】 f x xsinx xsin x f x
f x 为偶函数，图象关于 y 轴对称，排除 B,C
又
f
2
2
sin 2
2
0 ，排除 D
故选： A
【点睛】本题考查函数图象的识别，对于此类问题通常采用排除法来进行排除，考虑的因素通常为：奇偶性、特殊值
【详解】 sin150 cos150 sin(450 300 ) cos(450 300 ) ，
sin15 cos15 sin 450 cos 300 cos 450 sin 300 (cos 450 cos 300 sin 450 sin 300 ) ，
sin150 cos150 2 3 2 1 2 3 2 1 2 ，故本题选 C. 2 2 222 2 22 2
【点睛】本题考查了两角差的正弦公式、余弦公式、以及特殊角的三角函数值.其时本题还可以这样解：
sin150 cos150 (sin150 cos150 )2 sin2 150 2sin150 cos150 cos2 150 ，
sin150 cos150 1 sin 300 2 . 2
f
(x)
的最大值和最小值；
（2）设函数 g x
f
x
4m
m
R
0
2
为偶函数，求
的值，并求函数
g
(x)
的单调增区间
21．已知向量 a =（3，4）， b =（1，2）， c =（－2，－2）
（1）求| a |，| b |的值； （2）若 a =m b +n c ，求实数 m，n 的值； （3）若（ a + b ）∥（－ b + k c ），求实数 k 的值
B.若 m / / ， m / / ，则 / / .
C.若 m ， / / ，则 m / / .
D.若 m ， m / / ，则 / / .
8．已知 tan( ) 2 ， tan( ) 1 ，则 tan( ) 的值等于（）
5
44
4
13 A.
18
3
B.
22
C. 13 22
3
D.
故②不是同一函数；
对于③，
f
(x)
x0
与
g(x)
1 x0
定义域均为
xR x 0
，函数表达式可化简为 y 1，
故③两函数为同一函数；
对于④，根据函数的概念， f (x) x2 2x 1与 f (t) t2 2t 1 ，
定义域、对应关系、值域均相同，故④为同一函数， 故选：B 【点睛】本题考查了函数的三要素，函数相同只需函数的三要素：定义域、值域、对应关系相同，属于基础题. 6、A
2．已知 y f (x) 是定义在 R 上的奇函数，且在 (0, ) 上单调递增，若 f log2 8 0, ，则 xf (x) 0 的解集为（）
A. (3, 0) (3, )
B. (3,0) (0,3)
C. (, 3) (0,3)
D. (, 3) (3, )
3．已知 a 0,b 0 且 a2 b 4 0 ，则 2a 3b （ ） ab
故选：C 2、D
【解析】由 f log2 8 0, 可得 f 3 0 ，由单调性即可判定 y f (x) 在 0,3 和 3, 上的符号，再由奇偶性判 定在 , 3 和 3,0 上的符号，即可求解. 【详解】∵ f log2 8 0, 即 f 3 0 ， ∵ y f (x) 在 (0, ) 上单调递增，∴当 x 0,3 时， f (x) 0，此时 xf (x) 0 ， 当 x 3, 时， f (x) 0 ，此时 xf (x) 0 ， 又∵ y f (x) 是定义在 R 上的奇函数，∴ y f (x) 在 (, 0) 上单调递增，且 f 3 0 ， 当 x , 3时， f (x) 0，此时 xf (x) 0 ， 当 x 3,0 时， f (x) 0 ，此时 xf (x) 0 ，
13．袋子中有大小和质地完全相同的 4 个球，其中 2 个红球，2 个白球，不放回地从中依次随机摸出 2 球，则 2 球颜色 相同的概率等于________
2x 1, x 1
14．已知函数 f (x)
，则满足 f (x 2) f (2x) 的实数 x 的取值范围是__
1, x 1
15．设函数 f (x) x2 ax a 3 ， g(x) x a 若不．存．在．x0 R ，使得 f x0 0与 g x0 0 同时成立，则实数 a
a
a
b
a2
a a
4
，然后由
2a a
3b b
3
a
a
b
，利用基本不等式求解.
【详解】因为 a2 b 4 0 ，
所以 b a2 4 ，
所以 a b a2 a 4 ，
所以
a
a
b
a2
a a
4
，
所以
a
a
b
a2
a a
4
，
2a 3b
a
a
1
1
14
所以
ab
3
a
b
3
a2
a
4
3
a
4 a
1
3
2
a 4 1 5 ，
a
当且仅当 a 2, b 8 时取等号，
故选：A.
【点睛】思路点睛：本题思路是利用分离常数法转化为 2a 3b 3 a ，再由 b a2 4 ，利用不等式的性质构造
ab
ab
a
a
b
a2
a a
4
，再利用基本不等式求解.
4、C
【解析】因为150 450 300 ，所以可以运用两角差的正弦公式、余弦公式，求出 sin150 cos150 的值.
（1）求频率分布直方图中 a 的值；
（2）求 20 位同学成绩的平均分；
（3）估计样本数据的第一四分位数和第 80 百分位数（保留三位有效数字）
18．对于函数
f
x
a
2 2x
1
a
R
（1）判断 f x 的单调性，并用定义法证明；
（2）是否存在实数 a 使函数 f x 为奇函数？若存在，求出 a 的值；若不存在，说明理由
A. a 4
B. a 4
C. a 4
D. a 4
二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。
11．若
，且 α 为第一象限角，则
___________.
12． tan(2x ) 3
3 的解．集．为_____________________________________
19．已知圆 C 经过点 A(2, 1) ， B(0, 3) 和直线 x y 1相切. （1）求圆 C 的方程； （2）若直线 l 经过点 B(2, 0) ，并且被圆 C 截得的弦长为 2，求直线 l 的方程.
20．设函数 f (x) sin 2x 3 cos 2x 1
（1）设
x
2
,二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。 11、
【解析】先求得
，进而可得结果.
【详解】因为
和单调性，属于常考题型.
7、C
【解析】由 m / / 或 m 判断 A ；由 / / ，或、 相交判断 B ；根据线面平行与面面平行的定义判断 C ；由
/ / 或、 相交，判断 D .
【详解】若 m / / ， / / ，则 m / / 或 m ， A 不正确； 若 m / / ， m / / ，则 / / ，或、 相交， B 不正确； 若 m ， / / ，可得 m、 没有公共点，即 m / / ， C 正确；
5、B
【解析】利用函数的三要素：定义域、值域、对应关系相同即可求解.
【详解】对于①， f (x) 2x3 与 g(x) x 2x ，定义域均为 x x 0 ，
但对应 f (x) 2x3 x 2x ,两函数的对应关系不同，故①不是同一函数；
对于②， f (x) 2log2 x 的定义域为 x x 0 ， g(x) x2 的定义域为 R ，
若 m ， m / / ，则 / / 或、 相交， D 不正确,故选 C.
【点睛】本题主要考查空间平行关系的性质与判断，属于基础题.空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判 断，常采用画图（尤其是画长方体）、现实实物判断法（如墙角、桌面等）、排除筛选法等；另外，若原命题不太容易 判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆否命题真假，原命题与逆否命题等价. 8、B
【详解】 2x 3y 6 0 y 2 x 2 ，所以 k 2 ,b 2.
3
3
故选：A
10、A
【解析】根据二次函数的单调区间及增减性，可得到 (a 1) 3 ，求解即可.
【详解】函数 f (x) x2 2(a 1)x 3 ，开口向下，对称轴为 x (a 1)
函数 f (x) 在区间 (,3]上是增函数， 所以 (a 1) 3 ，解得 a 4 ， 所以实数 a 的取值范围是 a 4 .
③
f
(x)
x0
与 g(x)
1 x0
④
f
(x)
x2
2x 1与
f
(t)
t2
2t
1
A.②④
B.③④
C.②③
D.①④
6．函数 f x xsin x, x, 的大致图象是（ ）
A.
B.
C.
D.
7．设 ， 表示两个不同平面， m 表示一条直线，下列命题正确的是（ ）
A.若 m / / ， / / ，则 m / / .
参考答案
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1、C 【解析】利用集合的交集运算求解.
【详解】因为集合 A x | 3 2x 1 3 x | 1 x 2 ， B x | x 2k 1, k Z ， 所以 A B 1,1 ，
A.有最小值 14 5
B.有最大值 14 5
C.有最小值 17 6
D.有最大值 17 6
4． sin150 cos150 的值等于
A. 6 2
B. 6 2
C. 2 2
D. 2 2
5．下列各组函数是同一函数的是（）
① f (x) 2x3 与 g(x) x 2x ② f (x) 2log2 x 与 g(x) x2
18
9．直线 2x 3y 6 0 的斜率为 k ，在 y 轴上的截距为 b，则有（ ）
A. k 2，b 2 3
C. k 3，b 2 2
B. k 2，b 2 3
D. k 3，b 2 2
10．已知函数 f (x) x2 2(a 1)x 3 在区间 (, 3]上是增函数，则 a 的取值范围是（）