上海市杨浦区2021届新高考数学模拟试题(1)含解析

上海市杨浦区2021届新高考数学模拟试题（1）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．定义,,a a b a b b a b
≥⎧⊗=⎨<⎩，已知函数21()2sin f x x =-，2
1
()2cos g x x =-，则函数()()()F x f x g x =⊗的最小值为（ ） A ．
2
3
B ．1
C ．
43
D ．2
【答案】A 【解析】 【分析】
根据分段函数的定义得()()F x f x ≥，()()F x g x ≥，则2()()()F x f x g x ≥+,再根据基本不等式构造出相应的所需的形式，可求得函数的最小值. 【详解】
依题意得()()F x f x ≥，()()F x g x ≥，则2()()()F x f x g x ≥+,
222222
11111
()()()[(2sin )(2cos )]2sin 2cos 32sin 2cos f x g x x x x x x x
+=
+=+-+-----
222212cos 2sin 14
(2)(232sin 2cos 33
x x x x --=++≥+=--(当且仅当222cos 2sin x x --22
2sin 2cos x x -=-，即22
1sin cos 2x x ==时“=”成立.此时,2()()3f x g x ==，42()3F x ∴≥，()F x ∴的最小值为
2
3
， 故选：A. 【点睛】
本题考查求分段函数的最值，关键在于根据分段函数的定义得出2()()()F x f x g x ≥+，再由基本不等式求得最值，属于中档题.
2．抛掷一枚质地均匀的硬币，每次正反面出现的概率相同，连续抛掷5次，至少连续出现3次正面朝上的概率是（ ） A ．
14
B ．
13
C ．
532
D ．
316
【答案】A 【解析】 【分析】
首先求出样本空间样本点为5232=个，再利用分类计数原理求出三个正面向上为连续的3个“1”的样本点
个数，再求出重复数量，可得事件的样本点数，根据古典概型的概率计算公式即可求解. 【详解】
样本空间样本点为5232
=个，
具体分析如下：
记正面向上为1，反面向上为0，三个正面向上为连续的3个“1”，
有以下3种位置1__ __，__1__，__ __1．
剩下2个空位可是0或1，这三种排列的所有可能分别都是224
⨯=，
但合并计算时会有重复，重复数量为224
+=，
事件的样本点数为：444228
++--=个．
故不同的样本点数为8个，81 324
=.
故选：A
【点睛】
本题考查了分类计数原理与分步计数原理，古典概型的概率计算公式，属于基础题
3．本次模拟考试结束后，班级要排一张语文、数学、英语、物理、化学、生物六科试卷讲评顺序表，若化学排在生物前面，数学与物理不相邻且都不排在最后，则不同的排表方法共有（）
A．72种B．144种C．288种D．360种
【答案】B
【解析】
【分析】
利用分步计数原理结合排列求解即可
【详解】
第一步排语文，英语，化学，生物4种，且化学排在生物前面，有2
412
A=种排法；第二步将数学和物理
插入前4科除最后位置外的4个空挡中的2个，有2
412
A=种排法，所以不同的排表方法共有1212144
⨯=种.
选B.
【点睛】
本题考查排列的应用，不相邻采用插空法求解，准确分步是关键，是基础题
4．若θ是第二象限角且sinθ =12
13
，则tan()
4
π
θ+=
A．
17
7
-B．
7
17
-C．
17
7
D．
7
17
【答案】B 【解析】
由θ是第二象限角且sinθ =12
13
知：2
5 cos1sin
13
θθ
=--=-
，
5
t n
1
a
2
θ-
=．
所以
tan tan457
tan()
41tan tan4517
πθ
θ
θ
+︒
+==-
-︒
．
5．一袋中装有5个红球和3个黑球（除颜色外无区别），任取3球，记其中黑球数为X，则()
E X为（）A．
9
8
B．
7
8
C．
1
2
D．
62
56
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意可知，随机变量X的可能取值有0、1、2、3，计算出随机变量X在不同取值下的概率，进而可求得随机变量X的数学期望值.
【详解】
由题意可知，随机变量X的可能取值有0、1、2、3，
则()
3
5
3
8
10
56
C
P X
C
===，()
21
53
3
8
30
1
56
C C
P X
C
===，()
12
53
3
8
15
2
56
C C
P X
C
===，()
3
3
3
8
1
3
56
C
P X
C
===. 因此，随机变量X的数学期望为()
10301519
0123
565656568
E X=⨯+⨯+⨯+⨯=.
故选：A.
【点睛】
本题考查随机变量数学期望的计算，考查计算能力，属于基础题.
6．如图所示的程序框图，当其运行结果为31时，则图中判断框①处应填入的是（）
A．3?
i≤B．4?
i≤C．5?
i≤D．6?
i≤
【答案】C
【解析】
【分析】
根据程序框图的运行，循环算出当31
S=时，结束运行，总结分析即可得出答案.
【详解】
由题可知，程序框图的运行结果为31，
当1
S=时，9
i=；
当1910
S=+=时，8
i=；
当19818S =++=时，7i =； 当198725S =+++=时，6i =； 当1987631S =++++=时，5i =. 此时输出31S =. 故选：C. 【点睛】
本题考查根据程序框图的循环结构，已知输出结果求条件框，属于基础题.
7．已知定义在R 上的函数()f x ，若函数()2y f x =+为偶函数，且()f x 对任意1x ，[
)22,x ∈+∞
()12x x ≠，都有
()()2121
0f x f x x x -<-，若()()31f a f a ≤+，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．13,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
B ．[]
2,1--
C ．1,2
⎛⎤-∞- ⎥⎝
⎦
D ．3,4⎛⎫+∞
⎪⎝⎭
【答案】A 【解析】 【分析】
根据题意，分析可得函数()f x 的图象关于2x =对称且在[)2,+∞上为减函数，则不等式()()31f a f a ≤+等价于231a a -≥-，解得a 的取值范围，即可得答案. 【详解】
解:因为函数()2y f x =+为偶函数， 所以函数()f x 的图象关于2x =对称，
因为()f x 对任意1x ，[
)22,x ∈+∞ ()12x x ≠，都有()()2121
0f x f x x x -<-，
所以函数()f x 在[)2,+∞上为减函数，
则()()()()312312231f a f a f a f a a a ≤+⇔-≤+-⇔-≥-， 解得：13
24
a -
≤≤. 即实数a 的取值范围是13,24⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
.
故选：A. 【点睛】
本题考查函数的对称性与单调性的综合应用，涉及不等式的解法，属于综合题. 8．设全集为R ，集合{}02A x x =<<，{}
1B x x =≥，则()A B =R I ð
A ．{}
01x x <≤ B ．{}
01x x <<
C ．{}
12x x ≤<
D ．{}
02x x <<
【答案】B 【解析】
分析：由题意首先求得R C B ，然后进行交集运算即可求得最终结果. 详解：由题意可得：{}|1R C B x x =<， 结合交集的定义可得：(){}01R A C B x ⋂=<<. 本题选择B 选项.
点睛：本题主要考查交集的运算法则，补集的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 9．一个几何体的三视图如图所示，正视图、侧视图和俯视图都是由一个边长为a 的正方形及正方形内一段圆弧组成，则这个几何体的表面积是（ ）
A ．234a π⎛⎫- ⎪⎝
⎭
B ．262a π⎛
⎫- ⎪⎝⎭
C ．264a π⎛
⎫- ⎪⎝⎭
D ．2
364a π⎛
⎫-
⎪⎝
⎭
【答案】C 【解析】 【分析】
画出直观图，由球的表面积公式求解即可 【详解】
这个几何体的直观图如图所示，它是由一个正方体中挖掉
1
8
个球而形成的，所以它的表面积为22
22
213346484a S a a a a πππ⎛⎫⎛⎫=+-+⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭.
故选：C
【点睛】
本题考查三视图以及几何体的表面积的计算，考查空间想象能力和运算求解能力.
10．已知F 是双曲线22:4||C kx y k +=（k 为常数）的一个焦点，则点F 到双曲线C 的一条渐近线的距离为（ ） A ．2k B ．4k C ．4 D ．2
【答案】D 【解析】 【分析】
分析可得k 0<,再去绝对值化简成标准形式,进而根据双曲线的性质求解即可. 【详解】
当0k ≥时,等式2
2
4||kx y k +=不是双曲线的方程；当k 0<时,2
2
4||4kx y k k +==-,可化为
22
144
y x k -=-,可得虚半轴长2b =,所以点F 到双曲线C 的一条渐近线的距离为2. 故选：D 【点睛】
本题考查双曲线的方程与点到直线的距离.属于基础题.
11．如图是二次函数2()f x x bx a =-+的部分图象，则函数()ln ()g x a x f x '=+的零点所在的区间是（ ）
A ．11,42⎛⎫
⎪⎝⎭
B ．1,12⎛⎫
⎪⎝⎭
C ．(1,2)
D ．(2,3)
【答案】B 【解析】 【分析】
根据二次函数图象的对称轴得出b 范围，y 轴截距，求出a 的范围，判断()g x 在区间端点函数值正负，即可求出结论. 【详解】
∵2()f x x bx a =-+，结合函数的图象可知， 二次函数的对称轴为2
b
x =
，0(0)1<=<f a ，
1122
<=<b
x ，∵()2'=-f x x b ， 所以()ln ()ln 2'=+=+-g x a x f x a x x b 在(0,)+∞上单调递增. 又因为11ln 10,(1)ln12022⎛⎫
=+-<=+->
⎪
⎝⎭
g a b g a b ， 所以函数()g x 的零点所在的区间是1,12⎛⎫
⎪⎝⎭
.
故选:B. 【点睛】
本题考查二次函数的图象及函数的零点，属于基础题.
12．已知曲线11(0x y a a -=+>且1)a ≠过定点(),k b ，若m n b +=且0,0m n >>，则41
m n
+的最小值为（ ）. A ．
92
B ．9
C ．5
D ．
52
【答案】A 【解析】 【分析】
根据指数型函数所过的定点，确定1,2k b ==，再根据条件2m n +=，利用基本不等式求41
m n
+的最小值. 【详解】
Q 定点为(1,2),
1,2k b ∴==，
2m n ∴+=
41141()()2m n m n m n +=++∴
149(5+)22
m n n m =+… 当且仅当4m n
n m =时等号成立，
即42
,33m n =
=时取得最小值92
. 故选：A 【点睛】
本题考查指数型函数的性质，以及基本不等式求最值，意在考查转化与变形，基本计算能力，属于基础题型.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知()f x 为偶函数，当0x <时，()x f x e x -=-，则(ln 2)f =__________． 【答案】2ln2+ 【解析】 【分析】
由偶函数的性质直接求解即可 【详解】
()()()ln2ln2ln2ln22ln2f f e =-=--=+.
故答案为2ln2+ 【点睛】
本题考查函数的奇偶性，对数函数的运算，考查运算求解能力
14．已知a ，b ，c 分别为ABC V 内角A ，B ，C 的对边，a =sin A =
，b ，则ABC V 的面积为__________.
【解析】 【分析】
根据题意，利用余弦定理求得2c =，再运用三角形的面积公式即可求得结果. 【详解】
解：由于a =
sin 3
A =
，b =，
∵a b <，∴A B <，cos 3
A =
，
222
2b c a bc
+-=
，解得2c =，
∴ABC V 的面积122S =
⨯=
. 【点睛】
本题考查余弦定理的应用和三角形的面积公式，考查计算能力.
15．已知数列{}n a 的前n 项和为n S 且满足2n n S a +=-，则数列{}n a 的通项n a =_______．
【答案】1
12n -⎛⎫- ⎪
⎝⎭
【解析】 【分析】
先求得1n =时11a =-；再由2n n S a +=-可得2n ≥时112n n S a --+=-,两式作差可得120n n a a --=,进而求解. 【详解】
当1n =时,11122S a a +==-,解得11a =-；
由2n n S a +=-,可知当2n ≥时,112n n S a --+=-,两式相减,得120n n a a --=,即11
(2)2
n n a a n -=≥, 所以数列{}n a 是首项为1-,公比为
1
2
的等比数列, 所以1
12n n a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭
,
故答案为:1
12n -⎛⎫- ⎪⎝⎭
【点睛】
本题考查由n S 与n a 的关系求通项公式,考查等比数列的通项公式的应用.
16．两光滑的曲线相切，那么它们在公共点处的切线方向相同．如图所示，一列圆()2
22:n n n C x y a r +-= (a n >0，r n >0，n=1，2…)逐个外切，且均与曲线y=x 2相切，若r 1=1，则a 1=___，r n =______
【答案】5
4
n 【解析】 【分析】
第一空：将圆()112
2:1C x y a +-=与2
y x =联立，利用0∆=计算即可；
第二空：找到两外切的圆的圆心与半径的关系11n n n n a a r r --=++，再将()2
22:n n n C x y a r +-=与2
y x
=联立，得到2
1
4
n n a r =+，与11n n n n a a r r --=++结合可得n r 为等差数列，进而可得n r . 【详解】
当r 1=1时，圆()112
2:1C x y a +-=，
与2
y x =联立消去y 得()22
112110y a y a --+-=，
则()()
2
2
1121410a a ∆=---=，解得154
a =
； 由图可知当2n ≥时，11n n n n a a r r --=++①， 将()2
22:n n n C x y a r +-=与2
y x =联立消去y 得
()222210n n n y a y a r --+-=，
则()(
)2
2
2
2140n n n
a a r ∆=---=，
整理得2
14n n a r =+
，代入①得22
111144
n n n n r r r r --+=+++， 整理得11n n r r --=， 则()11n r r n n =+-=. 故答案为：5
4
；n . 【点睛】
本题是抛物线与圆的关系背景下的数列题，关键是找到圆心和半径的关系，建立递推式，由递推式求通项公式，综合性较强，是一道难度较大的题目.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．如图，四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是矩形，3
AB AD =
，PAD △为正三角形，且平面PAD ⊥平面ABCD ，E 、F 分别为PC 、PB 的中点.
（1）证明：平面ADEF ⊥平面PBC ； （2）求二面角B DE C --的余弦值. 【答案】（1）见解析；（22
【解析】 【分析】
（1）取AD 中点O ，BC 中点H ，连接PO ，OH ，PH .设EF 交PH 于G ，则G 为PH 的中点，连接OG .
通过证明,OG PH OG EF ⊥⊥，证得OG ⊥平面PBC ，由此证得平面ADEF ⊥平面PBC .
（2）建立空间直角坐标系，利用平面DEC 和平面BDE 的法向量，计算出二面角B DE C --的余弦值.
【详解】
（1）取AD 中点O ，BC 中点H ，连接PO ，OH ，PH .
设EF 交PH 于G ，则G 为PH 的中点，连接OG .
设2AD =，则3AB =，3PO =，∴OG PH ⊥. 由已知AD PO ⊥，AD OH ⊥，∴AD ⊥平面POH ，∴AD OG ⊥
. ∵11////22
EF BC AD ，∴EF OG ⊥， ∵EF PH G ⋂=，∴OG ⊥平面PBC ，
∵OG ⊂平面ADEF ，∴平面ADEF ⊥平面PBC .
（2）由（1）及已知可得PO ⊥平面ABCD ，建立如图所示的空间坐标系O xyz -，设2AD =，则()0,0,3P ，()3,1,0C
，()0,1,0D ，()3,1,0B -，313,,2E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，313,,2DE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ，()3,0,0DC =u u u r ，()
3,2,0BD =-u u u r ， 设平面DEC 的法向量为(),,m x y z =u r ，∴3031302x x y z ⎧=⎪⎨-+=⎪，令3y =得()
0,3,1m =u r . 设平面BDE 的法向量为()000,,n x y z =r ，∴0000031302320x y z x y ⎧-+=⎪⎨⎪-+=⎩，令02x =得()
2,3,1n =-r ，
∴2cos ,4222
m n ==⨯u r r ，∴二面角B DE C --的余弦值为24.
【点睛】
本小题主要考查面面垂直的证明，考查二面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题. 18．已知0,a b a c d >≥≥≥，且．
（1）请给出,,,a b c d 的一组值，使得2()a b c d ++≥成立；
（2）证明不等式a b c d ++≥恒成立．
【答案】（1）2,1,1,1a b c d ====-（答案不唯一）（2）证明见解析
【解析】
【分析】
（1）找到一组符合条件的值即可；
（2）由a c d ≥≥可得()()0a c a d --≥,整理可得2()a cd c d a ++≥,两边同除a 可得cd a c d a ++≥,再由ab cd ≥可得cd b a ≥
,两边同时加a 可得cd a b a a
+≥+,即可得证. 【详解】 解析:（1）2,1
,1,1a b c d ====-（答案不唯一） （2）证明:由题意可知,0a ≠,因为a c d ≥≥,所以()()0a c a d --≥.
所以2()0a c d a cd -++≥,即2
()a cd c d a ++≥. 因为0a b >≥,所以cd a c d a
+
+≥, 因为ab cd ≥,所以cd b a
≥, 所以cd a b a c d a +++≥≥. 【点睛】
考查不等式的证明,考查不等式的性质的应用.
19．某大型公司为了切实保障员工的健康安全，贯彻好卫生防疫工作的相关要求，决定在全公司范围内举行一次NCP 普查，为此需要抽验1000人的血样进行化验，由于人数较多，检疫部门制定了下列两种可供选择的方案.方案①：将每个人的血分别化验，这时需要验1000次.方案②：按k 个人一组进行随机分组，把从每组k 个人抽来的血混合在一起进行检验，如果每个人的血均为阴性，则验出的结果呈阴性，这k 个人的血只需检验一次（这时认为每个人的血化验．．．．．．．．．．．1
k 次．
）；否则，若呈阳性，则需对这k 个人的血样再分别进行一次化验，这样，该组k 个人的血总共需要化验1k +次.假设此次普查中每个人的血样化验呈阳性的概率为p ，且这些人之间的试验反应相互独立.
（1）设方案②中，某组k 个人的每个人的血化验次数为X ，求X 的分布列；
（2）设0.1p =，试比较方案②中，分别取2，3，4时，各需化验的平均总次数；并指出在这三种分组情况下，相比方案①，化验次数最多可以平均减少多少次？（最后结果四舍五入保留整数）
【答案】（1）分布列见解析；（2）406.
【分析】
（1）计算k 个人的血混合后呈阴性反应的概率为k q ，呈阳性反应的概率为1k q -，得到分布列. （2）计算1()1k E X q k
=
-+，代入数据计算比较大小得到答案. 【详解】
（1）设每个人的血呈阴性反应的概率为q ，则1q p =-.
所以k 个人的血混合后呈阴性反应的概率为k q ，呈阳性反应的概率为1k q -. 依题意可知1X =，11+，所以X 的分布列为：
（2）方案②中.
结合（1）知每个人的平均化验次数为：()111()111k k k E X q q q k k k ⎛⎫=⋅++⋅-=-+ ⎪⎝⎭
2k =时，21()0.910.692
E X =
-+=，此时1000人需要化验的总次数为690次， 3k =时，31()0.910.60433
E X =-+≈，此时1000人需要化验的总次数为604次， 4k =时，41()0.910.59394E X =-+=，此时1000人需要化验的次数总为594次， 即2k =时化验次数最多，3k =时次数居中，4k =时化验次数最少，而采用方案①则需化验1000次， 故在这三种分组情况下，相比方案①，
当4k =时化验次数最多可以平均减少1000594406-=次.
【点睛】
本题考查了分布列，数学期望，意在考查学生的计算能力和应用能力.
20．已知矩阵122M a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
的一个特征值为3，求另一个特征值及其对应的一个特征向量. 【答案】另一个特征值为1，对应的一个特征向量11α⎡⎤=⎢
⎥-⎣⎦
【解析】
【分析】
根据特征多项式的一个零点为3，可得1a =，再回代到方程()0f λ=即可解出另一个特征值为21λ=-，最后利用求特征向量的一般步骤，可求出其对应的一个特征向量.
矩阵M 的特征多项式为：
()()()1
2142f a a λλλλλ--==-----，
13λ=Q 是方程()0f λ=的一个根，
()()31340a ∴---=，解得1a =，即1221M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
∴方程()0f λ=即()()1140λλ---=，2230λλ--=，
可得另一个特征值为：21λ=-，
设21λ=-对应的一个特征向量为：x y α⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
则由2M λαα=，得220220
x y x y --=⎧⎨--=⎩得x y =-， 令1x =，则1y =-，
所以矩阵M 另一个特征值为1-，
对应的一个特征向量11α⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦
【点睛】
本题考查了矩阵的特征值以及特征向量，需掌握特征多项式的计算形式，属于基础题.
21．直线l 与抛物线2:2C y px =(0)p >相交于P ，Q 两点，且OP OQ ⊥，若P ，Q 到x 轴距离的乘
积为16．
（1）求C 的方程；
（2）设点F 为抛物线C 的焦点，当PFQ ∆面积最小时，求直线l 的方程．
【答案】（1）2
4y x =；（2）4x =
【解析】
【分析】
（1）设出两点的坐标，由距离之积为16，可得1216y y =-.利用向量的数量积坐标运算，将OP OQ ⊥转化为12120OP OQ x x y y ⋅=+=u u u r u u u r .再利用两点均在抛物线上，即可求得p 的值，从而求出抛物线的方程； （2）设出直线l 的方程，代入抛物线方程，由韦达定理发现直线l 恒过定点()4,0M ，将PFQ ∆面积用参数t 表示，求出其最值，并得出此时的直线方程.
解：（1）由题设()11,P x y ，()22,Q x y
因为P ，Q 到x 轴的距离的积为16，所以1216y y =-，
又因为OP OQ ⊥，12120OP OQ x x y y ∴⋅=+=u u u r u u u r
，
221212225616224y y x x p p p ∴==⋅=，2p ∴= 所以抛物线C 的方程为2
4y x =．
（2）因为直线l 与抛物线两个公共点，所以l 的斜率不为0，
所以设:PQ l x ty m =+ 联立24x ty m y x
=+⎧⎨=⎩，得2440y ty m --=， 即124y y t +=，12164y y m =-=-，
4m ∴=
即直线l 恒过定点()4,0M ，
所以21213||166422
PFQ S FM y y t ∆=-=+， 当0t =时，PFQ ∆面积取得最小值12，此时4x =.
【点睛】
本题考查了抛物线的标准方程的求法，直线与抛物线相交的问题，其中垂直条件的转化，直线过定点均为该题的关键，属于综合性较强的题.
22．如图，在直棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为菱形，2AB BD ==，12BB =，BD 与AC 相交于点E ，1A D 与1AD 相交于点O .
（1）求证：AC ⊥平面11BB D D ；
（2）求直线OB 与平面OB D 所成的角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析（2）
217
【解析】
【分析】 （1）要证明AC ⊥平面11BB D D ，只需证明AC BD ⊥，1AC DD ⊥即可： （2）取11B D 中点F ，连EF ，以E 为原点，, , EA EB EF u u u r u u u r u u u r 分别为, , x y z 轴建立空间直角坐标系，分
别求出OB uuu r 与平面11OB D 的法向量n r ，再利用cos ,||||
O n OB n B O n B ⋅<>=⨯u r u u u u r r r u r u u u r 计算即可. 【详解】
（1）∵底面ABCD 为菱形，
AC BD ∴⊥
∵直棱柱11111ABCD A B C D DD -∴⊥，
平面ABCD . ∵AC ⊂平面ABCD .
1AC DD ∴⊥
11,,AC BD AC DD BD DD D ⊥⊥⋂=Q .
AC ∴⊥平面11BB D D ；
（2）如图，取11B D 中点F ，连EF ，以E 为原点，, , EA EB EF u u u r u u u r u u u r
分别为, , x y z 轴建立如图所示空间直角坐标系：
3,1AE BE ==Q ，
点1131(0,1,0),(0,1,2),(0,1,2),(3,0,0),,12B B D A O ⎫--⎪⎝⎭， 设平面OB D 的法向量为(,,)n x y z =r ，
1113(0,2,0),,12D B OB ⎛⎫== ⎪⎝
⎭u u u u r u u u u r ，
有111203022D B n y OB n x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-++=⎪⎩
u u u u v v u u u v v ，令2x =
，0,y z ==
得n =r
又3,1,||222OB n OB n OB ⎛⎫=--⋅=-== ⎪⎝⎭
u u u r r u u u r u u u r ， 设直线OB 与平面11OB D 所成的角为θ，
所以sin |cos ,||7n OB θ=<>==r u u u r 故直线OB 与平面11OB D
所成的角的正弦值为
7
. 【点睛】
本题考查线面垂直的证明以及向量法求线面角的正弦值，考查学生的运算求解能力，本题解题关键是正确写出点的坐标. 23．设椭圆C ：()22
2210x y a b a b
+=>>的右焦点为F ，右顶点为A ，已知椭圆离心率为12，过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为3.
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）设过点A 的直线l 与椭圆C 交于点B （B 不在x 轴上），垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H ，若BF HF ⊥，且MOA MAO ∠≤∠，求直线l 斜率的取值范围.
【答案】（Ⅰ）22143x y +=
（Ⅱ）,⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎦⎣⎭
【解析】
【分析】 （Ⅰ）由题意可得2
23b a
=，c e a =，222a b c =+，解得即可求出椭圆的C 的方程； （Ⅱ）由已知设直线l 的方程为y=k (x-2) ，(k≠0)， 联立直线方程和椭圆方程，化为关于x 的一元二次方程，利用根与系数的关系求得B 的坐标，再写出MH 所在直线方程，求出H 的坐标，由BF ⊥HF,解得 H y .由方程组消去y ，解得M x ，由MOA MAO ∠≤∠,得到1M x ≥,转化为关于k 的不等式，求得k 的范围.
（Ⅰ）因为过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的线段长为3， 所以2
23b a
=， 因为椭圆离心率e 为
12，所以12c a =， 又222a b c =+，
解得2a =，1c =
，b =
所以椭圆C 的方程为22
143
x y +=； （Ⅱ）设直线l 的斜率为()0k k ≠，则()2y k x =-，设(),B B B x y ，
由()22214
3y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩得()2222431616120k x k x k +-+-=， 解得2x =，或228643k x k -=+，由题意得228643
B k x k -=+， 从而21243
B k y k -=+， 由（Ⅰ）知，()1,0F ，设()0,H H y ，
所以()1,H FH y =-u u u r ，2229412,4343k k BF k k ⎛⎫-= ⎪++⎝⎭
u u u r ， 因为BF HF ⊥，所以0BF HF ⋅=u u u r u u u r ， 所以222124904343H ky k k k -+=++，解得2
94 12H k y k
-=， 所以直线MH 的方程为2
19412k y x k k
-=-+， 设(),M M M x y ，由()2219412y k x k y x k k ⎧=-⎪⎨-=-+⎪⎩
消去y ，解得()22209121M k x k +=+， 在MAO ∆中，MOA MAO MA MO ∠≤∠⇔<，
即()2
2222M M M M x y x y -+≤+， 所以1M x ≥，即()
222091121k k +≥+，
解得4k ≤-，或4
k ≥.
所以直线l 的斜率的取值范围为,⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎦⎣⎭
. 【点睛】
本题考查在直线与椭圆的位置关系中由已知条件求直线的斜率取值范围问题，还考查了由离心率求椭圆的标准方程，属于难题.。