超实用高考数学专题复习(北师大版)：第三章三角函数解三角形 第八节解三角形的实际应用

(2)设∠CAD＝θ，在△ACD 中，由正弦定理得，sin∠ACADC＝sin∠CDCAD，即sAinCπ6＝
4 sin
θ，①
在△ABC 中，∠BAC＝π2－θ，∠BCA＝π－34π－(π2－θ)＝θ－π4，
由正弦定理得sin∠ACABC＝sin∠ABBCA，
即siAnC34π＝sin（θ1－π4），②
养成良好的答题习惯，是决定高考数学成败的决定性因素之一。做题前， 要认真阅读题目要求、题干和选项，并对答案内容作出合理预测;答题时，切忌 跟着感觉走，最好按照题目序号来做，不会的或存在疑问的，要做好标记，要 善于发现，找到题目的题眼所在，规范答题，书写工整;答题完毕时，要认真检 查，查漏补缺，纠正错误。总之，在最后的复习阶段，学生们不要加大练习量 。在这个时候，学生要尽快找到适合自己的答题方式，最重要的是以平常心去 面对考试。数学最后的复习要树立信心，考试的时候遇到难题要想“别人也难 ”，遇到容易的则要想“细心审题”。越到最后，考生越要回归基础，单词最 好再梳理一遍，这样有利于提高阅读理解的效率。另附高考复习方法和考前30 天冲刺复习方法。
在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东 45°方向，相距 12 n mile 的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时 10 n mile 的速度沿南偏东 75°方 向前进，若红方侦察艇以每小时 14 n mile 的速度沿北偏东 45°＋α 方向拦截蓝方 的小艇．若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角 α 的正弦值．
[答案] A
挖掘 2 不同竖直平面内的高度/互动探究 [例 2] 如图，为测量山高 MN，选择 A 和另一座山的山顶 C 为测量观测点．从 A 点测得 M 点的仰角∠MAN＝60°，C 点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从 C 点测得∠MCA＝60°，已知山高 BC＝100 m，求山高 MN.
a∶b∶c＝( 2－1)∶ 5∶( 2＋1)，又 a＋b＋c＝2 2＋ 5，
所以 a＝ 2－1，b＝ 5，c＝ 2＋1，
则 ac＝2－1＝1，c2＋a2－b2＝6－5＝1，
故 S＝
14c2a2－c2＋a22－b22＝12
1－14＝ 43，故选 A.
[答案] A
挖掘 2 多边形问题/互动探究 [例 2] 如图，在平面四边形 ABCD 中，∠ABC＝34π，AB⊥AD，AB＝1.
(2)《数书九章》中对已知三角形三边长求三角形的面积的求法填补了我国传统数
学的一个空白，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代已具有很高
的数学水平，其求法是“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小
斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段
文字写成公式，即 S＝
3π
4
sin ①②两式相除，得
4 π
＝
sin θ 1
，
sin6 sin（θ－π4）
即 4( 22sin θ－ 22cos θ)＝ 2sin θ，整理得 sin θ＝2cos θ.
正北或正南方向线与目标 方向线所成的锐角，通常表 达为北(南)偏东(西)××度
①北偏东 m°
②南偏西 n°
坡角 坡度
坡面与水平面的夹角 设坡角为 α，坡度为 i，则 i＝hl ＝tan α
坡面的垂直高度 h 和水平宽 度 l 的比
[四基自测]
1．(基础点：求高度)在 200 m 高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是
考点二 测量高度
挖掘 1 同一竖直平面内的高度/自主练透
[例 1] 如图，为测一树的高度，在地面上选取 A，B 两点，在 A，B 两点分别测
得树顶的仰角为 30°，45°，且 A，B 两点之间的距离为 10 m，则树的高度 h 为( )
A．(5＋5 3)m
B．(30＋15 3)m
C．(15＋30 3)m
(2)设经过 x 小时，甲、乙两物体的距离为 d. 由余弦定理得 cos 60°＝（42x×）42＋x×（（101－0－2x2）x）2－d2＝12，
∴d2＝28x2－80x＋100，0＜x≤5.
∵函数 y＝28x2－80x＋100 的图像的对称轴 x＝170∈(0，5]，∴x＝170时，d 最小．
第三章 三角函数、解三角形
第八节 解三角形的实际应用
距离高考还有一段时间，不少有经验的老师都会提醒考生，愈是临近高考
，能否咬紧牙关、学会自我调节，态度是否主动积极，安排是否科学合理，能 不能保持良好的心态、以饱满的情绪迎接挑战，其效果往往大不一样。以下是 本人从事10多年教学经验总结出的超实用新高考数学专题复习讲义希望可以帮 助大家提高答题的正确率，希望对你有所帮助，有志者事竟成！
14c2a2－c2＋a22－b22.现有周长为 2 2＋ 5的△ABC 满
足 sin A∶sin B∶sin C＝( 2－1)∶ 5∶( 2＋1)，试用以上给出的公式求得△ABC
的面积为( )3ຫໍສະໝຸດ A. 4B．3 2
5 C. 4
D．
5 2
[解析] 因为 sin A∶sin B∶sin C＝( 2－1)∶ 5∶( 2＋1)，所以由正弦定理得
解析：如图，设红方侦察艇经过 x 小时后在 C 处追上蓝方的小艇，则 AC＝14x， BC＝10x，∠ABC＝120°. 根据余弦定理得(14x)2＝122＋(10x)2－240xcos 120°， 解得 x＝2. 故 AC＝28，BC＝20. 根据正弦定理得sinBC α＝sinA1C20°， 解得 sin α＝20sin28120°＝5143. 所以红方侦察艇所需的时间为 2 小时，角 α 的正弦值为5143.
[解析] 依题意知，在△ACD 中，∠A＝30°，由正弦定理得 AC＝CDsinsin304°5°＝2 2. 在△BCE 中，∠CBE＝45°， 由正弦定理得 BC＝CsEinsin456°0°＝3 2.连接 AB(图略)， 在△ABC 中，由余弦定理得 AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC cos ∠ACB＝10， ∴AB＝ 10. [答案] 10
(1)若 AC＝ 5，求△ABC 的面积； (2)若∠ADC＝π6，CD＝4，求 sin∠CAD.
[解析] (1)在△ABC 中，由余弦定理得，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC，
即 5＝1＋BC2＋ 2BC，解得 BC＝ 2，
所以△ABC 的面积 S△ABC＝12AB×BC×sin∠ABC＝12×1× 2× 22＝12.
A．6 平方米 C．12 平方米
B．9 平方米 D．15 平方米
[解析] 如图，由题意可得∠AOB＝23π，OA＝4， 在 Rt△AOD 中，可得∠AOD＝π3，∠DAO＝π6， OD＝12AO＝12×4＝2，所以可得矢＝4－2＝2，由 AD＝AO·sin π3＝4× 23＝2 3，可得弦＝2AD＝2×2 3＝4 3. 所以，弧田面积＝12(弦×矢＋矢 2)＝12×(4 3×2＋22)＝4 3＋2≈9 平方米，故选 B. [答案] B
∴dmin＝10
7
21 .
[破题技法] 测量角度问题的基本思路 测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图 形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结 果转化为实际问题的解． 提醒：方向角是相对于某点而言的，因此在确定方向角时，必须先弄清楚是哪一 个点的方向角．
[解析] 在△ABC 中，AC＝100 2，在△MAC 中， siMn 6A0°＝sinAC45°， 解得 MA＝100 3，在△MNA 中， 10M0N3＝sin 60°＝ 23，故 MN＝150，即山高 MN 为 150 m.
[破题技法] 求解高度问题的三个关注点 (1)在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角(在铅垂面上所成的角)、方向(位) 角(在水平面上所成的角)是关键． (2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两 个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错． (3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题．
实际问题中的常用术语 术语名称
[基础梳理] 术语意义
仰角与俯 角
在目标视线与水平视线所成的角中，目 标视线在水平视线上方的叫作仰角，目 标视线在水平视线下方的叫作俯角
图形表示
方位角
从某点的指北方向线起按顺时针方向 到目标方向线之间的水平夹角叫作方 位角．方位角 α 的范围是 0°≤α<360°
方向角
[解析] (1)如图，设经过 x 小时，物体甲在物体乙的正东方向，则甲与 A 的距离 为 10－2x，乙与 A 的距离为 4x，AD＝ 22(10－2x)． ∴cos 15°＝ 2（45x－x）＝cos(45°－30°)， ∴x＝2＋5 3＝5(2－ 3)． ∴经过 5(2－ 3)小时，物体甲在物体乙的正东方向．
考点一 测量距离与角度
挖掘 1 测量距离/ 自主练透
[例 1] (1)(河两岸可视两点)如图，设 A，B 两点在河的两岸，要测量两点之间的
距离，测量者在 A 的同侧，在所在的河岸边选定一点 C，测出 AC 的距离是 m 米，
∠BAC＝α，∠ACB＝β，则 A，B 两点间的距离为( )
A.mssininβα米
[破题技法] 测量距离问题的解法 选择合适的辅助测量点，构造三角形，将实际问题转化为求某个三角形的边长问 题，再利用正、余弦定理求解． 提醒：解三角形时，为避免误差的积累，应尽可能用已知的数据(原始数据)，少用 间接求出的量．
挖掘 2 测量角度或航向/ 互动探究 [例 2] 已知海岛 B 在海岛 A 北偏东 45°方向上，A，B 相距 10 海里，物体甲从海 岛 B 以 2 海里/小时的速度沿直线 AB 向海岛 A 移动，同时物体乙从海岛 A 沿着海 岛 A 北偏西 15°方向以 4 海里/小时的速度移动． (1)问经过多长时间，物体甲在物体乙的正东方向； (2)求甲从海岛 B 到达海岛 A 的过程中，甲、乙两物体的最短距离．
B.sin（msαin＋αβ）米
C.sin（msαin＋ββ）米
D．mssiinn（ α＋α＋sinββ）米
[解析] 在△ABC 中，由正弦定理得siAnCB＝siAnBC，故 AB＝AsCisninBC＝sin（msαin＋ββ）. [答案] C
(2)(河对岸或不可视两点)如图，为了测量河对岸 A、B 两点之间的距离，观察者找 到一个点 C，从点 C 可以观察到点 A、B；找到一个点 D，从点 D 可以观察到点 A、 C；找到一个点 E，从点 E 可以观察到点 B、C.并测量得到一些数据：CD＝2，CE ＝2 3，∠D＝45°，∠ACD＝105°，∠ACB＝48.19°，∠BCE＝75°，∠E＝60°， 则 A、B 两点之间的距离为________．(其中 cos 48.19°取近似值23)
D．(15＋3 3)m
[解析] 在△PAB 中，由正弦定理，得sin（451°0－30°）＝sinPB30°，因为 sin(45°－
30°)＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°＝
6－ 4
2，所以 PB＝5(
6＋
2)(m)，所以该
树的高度 h＝PBsin 45°＝(5＋5 3)(m)．
30°，60°，如图所示，则塔高 CB 为( )
400 A. 3 m
400 B. 3 3 m
200 C. 3 3 m
D．2030 m
答案：A
2．(基础点：方向角)两座灯塔 A 和 B 与海岸观察站 C 的距离相等，灯塔 A 在观 察站北偏东 40°，灯塔 B 在观察站南偏东 60°，则灯塔 A 在灯塔 B 的北偏西________， 西偏北________． 答案：10° 80°
考点三 解三角形在平面几何中的应用 挖掘 1 与三角形有关的传统文化/自主练透 [例 1] (1)《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出 计算弧田面积所用的经验方式为：弧田面积＝12(弦×矢＋矢 2)，弧田(如图)由圆弧 和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到 弦的距离之差，现有圆心角为23π，半径等于 4 米的弧田，按照上述经验公式计算 所得弧田面积约是( )