【精品】课时教学计划表 泸州职业技术学院

课时教学计划表授课日期：教案编号第二章01
第二章导数与微分
1。

引入
提问（1）怎样求变速运动的瞬时速度呢？(2）怎样求平面曲线在一点的切线斜率呢?
(1)设物体作变速直线运动，它的运动方程（即路程s 与时间t 的函数关系)是
()s f t =
从而可以求得物体在时段t ∆内的平均速度
()()00.f t t f t s v t t
+∆-∆==∆∆ 很明显，当t ∆无限变小时,平均速度v 无限接近于物体在0t 时刻的瞬时速度v 因此,平均速度的极限值就是物体在0t 时刻的瞬时速度v ,即可定义
()()000
00lim lim
lim .t t t f t t f t s
v v t t
→→→+∆-∆===∆∆ (2）如图2—1所示，设曲线C 所对应的函数为
()y f x =，M ，N 点的坐标分别为M （()00,x f x ）),
N （()00,x x f x x +∆+∆）,则
()()00,,MR x RN f x x f x y =∆=+∆-=∆
割线MN 的斜率是()()00tan ,f x x f x y x x
ϕ+∆-∆=
=∆∆
其中ϕ是割线MN 的倾斜角．
当0x ∆→时，点N 沿着曲线无限趋近于点M ,而割线MN 就无限趋近于它的
极限位置MT 。

因此，切线的倾斜角α是割线倾斜角ϕ的极限，切线的斜率tan α是割 线斜率的极限，即
()()000
00tan lim tan lim
lim .x x x f x x f x y
x x
αϕ∆→∆→∆→+∆-∆===∆∆
tan y
x
ϕ∆=
∆
以上两例，虽然实际意义不同，但从数学结构上看，都可归结为计算函数增量与自变量增量之比的极限问题，也就是下面我们要研究的导数问
2．导数定义（板书）()()()
00'00
lim
.h f x h f x f x h
→+-=
讨论:该极限一定存在吗?
结论:存在称函数()y f x =在点0x 处具有导数，称可导;不存在导数就不存在，称不可导．
注:（1）如果极限为无穷大，这时函数()y f x =在点0x 不可导，但为了方便，也称函数
()y f x =在点0x 的导数是无穷大．
（2)上述导数的定义式还有以下几种常用的形式：
①令x ∆=h ，则有()()()
00'
00
lim
.h f x h f x f
x h
→+-=
②令0x x x +∆=，则当0x ∆→时,有0x x →，于是有
()()()
0'00
lim
.x x f x f x f x x x →-=-
例3求函数()2
f x x =在点3x =的导数．
分析:根据导数的定义先计算
()()()()22
233336.y f x f x x x ∆=+∆-=+∆-=∆+∆
再计算()2
66.x x y x x x
∆+∆∆==+∆∆∆ 最后由导数定义得：()()()2
2
00'
000000lim lim lim 22.x x x x x x y f x x x x x x
∆→∆→∆→+∆-∆===+∆=∆∆
思考:：函数()2
f x x =在点0x x =处的导数怎样求?
例4设()2
1f x x x =++，求:()()()'
''2,1,f
f f x -．
分析：先求出()'
f
x ，再把x=2,x=-1带入()'f x 即得()'2f ，()'1f -
3。

导函数定义
如果函数()y f x =在区间I 内的每一点x 都有导数，则称函数()y f x =
在区间I 内可导．这时，对于区间I 内每一点x ,都有一个导数值()'f x 与它对应．因 此()'f x 是x 的函数，称为函数()y f x =的导函数，记作
()()'
'
,,,df x dy f x y dx dx
或 即()()()'
0lim lim .x x f x x f x y
f
x x x
∆
→∆→+∆-∆==∆∆ 由于函数()y f x =在点0x 的导数,就是导函数()'
f x 在点0x x =的函数值，
即
()()
''0.x x f x f x ==
因此，求函数()f x 在点0x 的导数,可以先求它的导函数()'
f x ，再将0x x =代入
()'f x 中，求得函数()f x 在点0x 的导数()'0f x ．
注：通常情况下，导函数也简称为导数． 例5 求函数)()(为常数C C x f =的导数． 提示：该题的导数就是导函数 解:0lim )()(lim )(00
=-=-+=→→h
C
C h x f h x f x f h h 即0)'(=C
所以,常数的导数等于零．
小结:用定义求导数,可分为以下三个步骤：
(1)求增量给自变量x 以增量x ∆，求出对应的函数增量
()();y f x x f x ∆=+∆-
（2）算比值计算出两个增量的比值
()();f x x f x y x x
+∆-∆=∆∆ （3）取极限对上式两端取极限()()()'
0lim lim x x f x x f x y
f
x x x
∆
→∆→+∆-∆==∆∆
例6求函数x
y a =(a 〉0,a ≠0）的导数． 解(1）求增量：()
1.x x x x x y a a a a +∆∆∆=-=-
(2)算比值:1.x x x x
x y a a a a x x x
+∆∆∆--==∆∆∆ (3)取极限：令1x
a t ∆-=,则()log 1a x t ∆=+，且当0x ∆→时0t →．
由此得
()()00011
lim lim lim 1log 1log 1x x t t a a a t x t t t
∆∆→→→-==∆++()1011lim ln .log log 1t a t a a e
t →==+= 即()'
ln .x x
a
a
a =
特别地，当a =e 时，lne=1，则()'
x x
e
e
=
上式表明，以e 为底的指数函数的导数就是它自己，这是以e 为底的指数函数的一 个重要特性．
要求同学课后论证：()log a x '=
1
ln x a
()
'
sin cos x x =()'
cos sin x x =-（参考书上例7，例8）
4．导数的几何意义
结合图2-1,函数)(x f y =在点0x 处的导数)(0'
x f 是曲线)(x f y =的点
))(,(00x f x M 处的切线的斜率．
由点斜式得曲线)(x f y =上点))(,(00x f x M 处切线方程：
'000()()()y f x f x x x -=-
法线方程为)()
(1
)(00'
0x x x f x f y --
=-．(()'0f x ≠o ) 例9
求曲线2
y x =在点(1,1)处的切线方程和法线方程． 分析:关键是求出曲线2
y x =在点（1，1）处的切线
的斜率,而法线与切线垂直即知法线斜率与切线斜率互为负倒数关系，从而求出法线斜率，再用点斜式分别得切线方程和法线方程． 解因为()'
'
22y x
x ==,所以曲线2
y x
=在点(1,1）处的切线的斜率为
'
11
1
22,x x k y x
=====
所以，所求切线方程为()121y x -=- 即210.x y --=
所求法线的斜率为2111,2
k k =-
=- 于是所求法线方程为()1
11,2
y x -=-
-即230.x y +-= 5．函数的可导性与连续性的关系
提问：函数0||==x x y 在处连续与可导吗？（画图分析,连续则不可导) 定理如果函数)(x f y =在点0x 处可导,则函数)(x f y =在点0x 处连续． 证：因)(x f y =在点0x 处可导,所以()'
00
lim x y f
x x
∆
→∆=∆ 由于0x ∆≠y
y x x
∆∆=
⋅∆∆ 所以'00000
lim lim lim lim ()00x x x x y y
y x x f x x x ∆→∆→∆→∆→∆∆∆=⋅∆=⋅∆=⋅=∆∆．
于是函数()y f x =在点0x 处连续．
6、小结本次课内容:
本次课主要讲解了: （1)导数的概念 (2）导数几何意义:k=()'
f
x
（3)可导与连续的关系:可导⇒连续
课时教学计划表授课日期:教案编号：第二章02
第二章导数与微分
引入:大家知道，用导数的定义求导数是比较困难的，我们能否寻求更简便的求导数的方
法呢?在本次学习中将学习函数的和、差、积、商的求导法则及复合函数的求导法则
1。

函数和、差、积、商的求导法则
由导数定义，可以推导出函数和、差、积、商的求导法则假设()()(),,u x v x w x 的导数均存在,则
法则一
()()[]()()x v x u x v x u '±'='
± 法则二()()[]()()()()x v x u x v x u x v x u '+'='
⋅ ()[]()x u c x cu '='()w uv w v u vw u uvw '+'+'='
法则三
这里仅证法则
二 ()u u x =,()
v v x =证设自变量增量x ,则函数
及()()y u x v x =的对应增量分别为
()(),u u x x u x ∆=+∆-(1）
()(),v v x x v x ∆=+∆-(2)
()()()()y u x x v x x u x v x ∆=+∆+∆-（3)
由（1）、(2）式得()()u x x u x u +∆=+∆,()()v x x v x v +∆=+∆，将它们代人（3）式，
得()().y uv x u x v u v ∆=∆+⋅∆+∆∆
于是
()().y u v u
v x u x v x x x x
∆∆∆∆=⋅+⋅+∆∆∆∆∆ 因为u=()u x ，()v v x =)在点x 处可导，即()()''00lim
,lim ,x x u v
u x v x x x
∆→∆→∆∆==∆∆
且由于在点x 可导的函数()v x 在该点必须连续,即0
lim 0x v ∆→∆=。

所以
()()()()()()()x v x v x u x v x u x v x u 2'-'='⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
()()()()()()()()()()()00'''''lim
lim 0.
x x y u
v u v x u x v x v x x u x v x u x v x u x u x v x u x v x ∆→∆→∆∆∆∆⎡⎤=++∆⎢⎥∆∆∆∆⎣
⎦=++⋅=+
即函数()()()f x u x v x =在点x 处可导，且()()()()()'''f x u x v x u x v x =+ 简记为()'''uv u v u v =+
由此得函数积的求导法则：两个可导函数乘积的导数等于第一个因子的导数乘 第二个因子再加上第一个因子乘第二个因子的导数．
特别地，当v =C （C 为常数）时，由于常数的导数为0,则得()'
'
Cu Cu =
积的求导法则可以推广到有限多个函数之积的情形．如，()'
'''uvw u vw u v w u vw =++ 例1设()3sin x f x x x e =+-,求()'f x 及()'0f ．
分析:该函数可看成三个函数u=3x v=sin x w=x
e 和差,且该三个函数都可导,可以用
法则一求导。

解()()
'
'
32sin 3cos .x x f
x x x e x x e =+-=+-
()'0030cos00.f e =⨯+-=
例2求3
cos y x x =的导数.
分析:该函数可看成由两个函数u=3
x ,v=cos x 的乘积，且两个函数都可导，于是可用法则二求导。

解根据积的求导法则，得
()()()'
'
'
'33323cos cos cos 3cos sin .y x x x x x x x x x x ==+=-
例3。

求ln sin y x x x =的导数解 解：由乘法法则得：
()()
''
'
'
ln sin ln sin ln sin 1
ln sin sin ln cos ln sin sin ln cos .
y x x x x x x x x x x x x x x x x
x
x x x x x x =++=++=++
例4求曲线22
23
x x y x
-+=在点（1，2）的切线方程。

分析：该题的关键是求出该曲线当x=1时的斜率，即先求该函数当x=1时的导数。

先化简，再由法则一求导。

解在求一个函数的导数时，应先化简再求导，可以简化求导过程。

因为22
22323
1x x y x x x -+==-+ 所以'
'22323232626(1)0()()y x x x x x x
=-+=--+-=-，'14x y ==-
于是,曲线在点（1,2)处的切线方程为)1(42--=-x y ，即064=-+y x
思考：该题还有其它方法妈?也可将该函数可看成u=2
23x x -+与v=2
x 的商，再,由
法则三求导。

最后由点斜式求出切线方程。

但该方法较难，一般不用该方法。

例5 注：能用法则一,二求导的尽量不用法则三 例6 求函数cot y x =的导数．
分析:该题若用定义求导数难度比较大，若把它变形cos cot sin x
y x x
==
然后用法则三求其导数比较简单 即()'
2
cot csc x x =-
课后论证：正切函数的导数的公式：()'
2
tan sec .x x =
正割函数的导数公式：()'
sec sec tan x x x = 余割函数的导数公式：()'
csc csc cot x x x =-
2.复合函数的求导法则
定理如果函数()u x ϕ=在点x 处可导，而函数()y f u =在对应点()u x ϕ=处 可导，则复合函数()y f x ϕ=⎡⎤⎣⎦在点x 处可导，且其导数为
()()()()''''
.dy f u x f x x dx
ϕϕϕ==⎡⎤⎣⎦ 证略
由此得复合函数求导法则：两个可导函数的复合函数的导数等于函数对中间变 量的导数乘上中间变量对自变量的导数．
复合函数的求导法则也称为链式法则，它可以推广到多个变量的情形．例如， 如果()()(),,y f u u v x ϕψ===,且它们都可导，则
()()()'''''''x u v x y y u v f u v x ϕψ=⋅⋅=⋅⋅
例6求函数lnsin y x =的导数．
分析：lnsin y x =可以看作由ln ,sin y u u x ==复合而成，又
()()'''
'1ln ,sin cos .u x y u u x x u
====　于是，利用复合函数的求导法则即可求导
解：()()'
'
'
11cos cos cot .sin x u x y y u x x x u x
=⋅=
⋅=⋅= 例7求函数3
2
cos 1x y x
=+的导数． 分析：32cos 1x y x =+可看作由3
2
cos ,1x y u u x ==+复合而成,因为
()()()
'
223
324
222223123sin ,.111x x x x dy du x x x u du dx x x x +-⋅⎛⎫+=-=== ⎪+⎝⎭++ 所以利用可以求复合函数的求导法则即可求导出其导数。

解
例8
求函数()
3cos x y e =的导
数．
分析:(
)3
cos x y e
=可看作由3
,cos ,x
y u u v v e
===复合而成，于是用复合函数的求导法
则即可求其导数 解：
()23sin x dy dy du dv
u v e dx du dv dx
=⋅⋅=⋅-⋅ ()()23
3cos sin sin 2.cos 2
x x x x x x e e e e e e =-⋅⋅=-
从以上几例可以看出，应用复合函数求导法求导时,关键是将函数分解为可以 求导的若干个简单函数的复合．在熟练了以后，中间变量可以不写出来，从外到内 逐层求导,一直求到对自变量的导数为止． 例9求函数()9
26y x =+的导数．
解()()()()()'
98'99
'
269262692621826.y x x x x x ⎡⎤=+=+⋅+=+⋅=+⎣⎦
()()242432222233sin sin 111dy dy du x x x x x u dx du dx x x x ⎛⎫
++=⋅=-⋅=⋅- ⎪+⎝⎭++
例10求函数(
)
3
2
sin y x x =-的导数．
解()()()()2
'
2
''222
3sin sin 3sin 12sin sin y x x x x x x x x ⎡⎤=-⋅-=--⎣⎦
()()()()2
2
223sin 12sin cos 3sin 1sin 2.x x x x x x x =--=--
例11
求函数y =
解因为()221
ln 2
y a x ==
- 所以()()'
'
'
22222222
111ln .22x y a x a x a x
a x ⎡⎤=-=⋅⋅-=-⎢⎥--⎣⎦ 补证幂函数的导数公式：()()'
1
0x x x ααα-=>．
证因为ln ln x x x e
e α
α
α==．
所以()()()'
'
'
ln ln 11
ln .x x
x
e e x x
x x
α
ααα
αααα-===⋅⋅
= 3、小结本次课内容：
（1）函数和、差、积、商的求导法则
法则一
()()[]()()x v x u x v x u '±'='
± 法则二
()()[]()()()()x v x u x v x u x v x u '+'='⋅ ()[]()x u c x cu '='()w uv w v u vw u uvw '+'+'='
法则三
（2）复合函数的求导法则
()()()()''''.dy
f u x f x x dx
ϕϕϕ==⎡⎤⎣⎦
()()()()()()()x v x v x u x v x u x v x u 2'-'='
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
课时教学计划表授课日期：教案编号:第二章03
第二章导数与微分
引入：前面从定义出发可以求出基本函数的导数,再用函数和、差、积、商的求
导法则和复合函数的求导法则可以求出简单的初等函数的的导数,推导出一些基本的求导数公式，例如0)'(=C ,()
'
ln .x x a
a a =()'
ln .x x a a a =……等.然而有些特殊形式
的函数的导数以上的方法就不能求出其导数了.例如由方程0e e =-+x y xy 确定的隐函数y =f （x ）的导数.下面介绍隐函数.显函数及隐函数的求导方法。

1、显函数定义:前边我们研究函数都是假设它可以表示为y =f (x ）的形式，能表达成这
种形式的函数我们称之为显函数.例如31,6,tan 2x
y x y e y x =-=+= 提问：不是所有的函数都可以表示为显函数？
例如：方程5
20x y ++=可化为显函数y =
方程sin 0x y xy +-=就无法将y 表示成x 的显函数．
时变量之间的函数关系不能表示为()y f x =的形式，而是由某个方程确定。

2、隐函数的定义：我们把由方程(),F x y =0所确定的函数叫作隐函数．
思考：有时可以将隐函数化为显函数的形式，但通常将隐函数化为显函数是比较
困难的，甚至无法将隐函数化为显函数．怎样求隐函数的导数呢？
在实际问题中，有时需要计算隐函数的导数．因此，我们希望有一种方法，无
论隐函数能否化为显函数的形式,都能直接由方程求出它所确定的隐函数的导数来．
3隐函数的求导法则
下面以例子说明求导法则
例1求由方程3330x y ++=所确定的隐函数的导数'
x y ．
解在方程中，将y 看作x 的函数,则3
y 是x 的复合函数.因此,利用复合函数
的求导法则，方程两端同时对x 求导数，得()()()'
'
'
33
30x x
x
x y ++=，
22'
330.x x y y +⋅=
从上式中解出'x
y ，得()
2
'20x
x y y y
=-≠
注意上述结果中的y 仍然是由方程戈33
30x y ++=所确定的隐函数．习惯上．
对隐函数求导,结果允许用带有y 的式子表示．
例1表明，求隐函数的导数时，只需在方程(),0F x y =中，将y 看作x 的函数,y 的表达式看作x 的复合函数,利用复合函数的求导法则，方程两端同时对x 求导,得 到一个关于x ，y ，'
x y ，的方程,从中解出'
x y ，即得所求隐函数的导数． 例2求方程0e e =-+x y xy 确定的隐函数y =f （x ）的导数。

解等式两端对x 求导数，得,
0e e =-'++'x y y x y y ，
即有
0e e =-'+'+'x y y x y y ，）
解得y
x
x y
y e e +-='.
.
例3求由方程x y
xy e
+=所确定的隐函数的导数'
x y ．
解方程两端对x 求导数，得
()''1x y y xy e y ++=+
解得'
.x y x y
y e y xy
y e x xy x
++--==--
例4求椭圆221169x y +=在点( 解由导数的几何意义知,所求切线斜率为
'
2x k y ==。

椭圆方程两边对x 求导，得
'2
089
x y y +⋅=
解出'
y ,得'916x
y y
=-
将x
=2,y =,
得'24
x k y
===-
于是所求切线方程为()24
y x -
=--，
40y +-=
例5求幂指函数x
y x =（x >0)的导数． 解两边取对数，得
ln ln y x x =
两边对x 求导，得
'
1ln 1x y x y
⋅=+ .
整理，得()()'
ln 1ln 1x
x y y x x
x =+=+。

上题中，先取对数，再利用隐函数的求导法求导，这种方法叫作对数求导法． 一般地，幂指函数()
()
v x y u x =可以用对数求导法求导，也可以将幂指函数写成
()()
ln v x u x y e
=，再用复合函数求导法求导．
例6求sin x
y x =(x 〉0）的导数．
解(
)()()'
'
'
'
sin sin ln sin ln sin ln x x x x x
y x
e e
x x ===.
()()''sin ln sin sin sin ln sin ln cos ln .x x x x e x x x x x x x x ⎛
⎫⎡⎤=⋅+⋅=+ ⎪⎣⎦⎝
⎭ 对数求导法，对由多个因子通过乘、除、乘方或开方所构成的比较复杂的函数的求导也是很方便的． 例7求函数
)1
y x =
>-的导数．
解两边取对数，得
()()()()1
ln ln 1ln 2ln 3ln 4.2y x x x x =
+++-+-+⎡⎤⎣
⎦ 两边对x 求导数，得 '111111,21234y y x x x x ⎛⎫⋅=+-- ⎪++++⎝⎭
即
'11111212341111.
1234y y x x x x x x x x ⎛⎫=+-- ⎪++++⎝⎭
⎫=+--⎪
++++⎭
例8求函数()arccos 11y x x =-<<的导数．
解根据反正弦函数的定义，函数()arccos 11y x x =-<<可化为
()cos 0.x y y π=<<
两边对x 求导数,得'
1sin ,x y y =
-⋅
即'
1
sin x y y
=-
因为当0y π<
<时,sin y >0
，所以
sin y ==
于是,得())'
arccos 11x x =-<
<
课后要求：证明
()
)'
arcsin 11x x =
-<<
()
()'
2
1
arctan .1x x x =
-∞<<+∞+ ()()'
21arccot .1x x x
=--∞<<+∞+
4、小结本次课内容：
（1)显函数定义y=f(x ） (2）隐函数的定义F （x ，y ）=0
（3)隐函数的求导法则
（4）特殊题型要先变形用隐函数的求导方法求解
课时教学计划表授课日期：教案编号：第二章04
第二章导数与微分
引入：前虽然学习了基本的求导公式和基方法,但还需要练习熟悉,灵活应用,归纳总结 1请学生上黑板写公式:导数的基本公式
2请学生上黑板写公式:
函数的和、差、积、商的求导法则
设()(),u u x v v x ==是可导函数，C 是常数，则
()()()()''
''''1.2.u v u v uv u v uv ±=±=+
()()()()'
'
'
'
'2
3.4,0u u v uv
Cu Cu v v v -⎛⎫==≠ ⎪⎝⎭
3复合函数的求导法则
设()(),y f u u x ϕ==都是可导函数，则复合函数()y f x ϕ=⎡⎤⎣⎦的导数为 3333log 3-++=x x y x ，
例1
设
求y '.
分析：该题要用幂函数，指数函数，对数函数，常函数求导公式,再用求导四则运算
()()
()()()()()()()()()()()()()
()()()()
()()()()
''
1
'
'
'
'
''
'
'22
22
'
10.2.
3ln ..115log .6ln .ln 7sin cos .8cos sin .119tan sec .10cot csc .cos sin 11sec sec tan .x x x x a C C x
x
a a a e e x x x a x
x x x x x x x x x x
x x x ααα-=====
===-=
==-=-=为常数 4
()()()(
)()()()()()()'
'
'
''
22
12csc csc cot .13arcsin 14arccos 1115arctan .cot .11x x x x x x arc x x x
=-=
===-++ 16　()()'''''.
x u x y y u f u x ϕ=⋅=⋅
公式
解)3log 3(333'
-++='x x y x
=)3()(log )3()(333'-'+'+'x x x
=03ln 1
3ln 332
-+
+x x x
=3
ln 13ln 332x x x
++
例2设x
y 1sin
e
=求y '.
分析:该题要分析结构，它是由x
v v u y u
1
,sin ,e =
==复合而成 解（1）利用复合函数求导法则，有
)1(cos e )1()(sin )e (2
x v x v y u x
v u u -='''=' 代回还原得)1(1cos e
21sin x
x y x
-='
在基本掌握复合函数求导法则后，也可以不写出中间变量,如下解法:
)1
(1cos e )1(sin e
1
sin 1sin
'='='x
x x y x x
)1(1cos e
21sin x x x
-=1sin 211e cos x x x
=-
例3设()ln arccos y x =，求'
y ． 解(
)'
'
11arccos arccos arccos y x x x =
== 例4
设y ='y '
分析：该题是由arctan y μ
=μ=
解
4、小结本
次课内容
1)、导数的基本公式共16个
2）、函数的和、差、积、商的求导法则： 3）、复合函数的求导法则
:
(
)
'
'2
1
111y x =
⋅
=
=++
()()'''
''.
x u x y y u f u x ϕ=⋅=⋅
课时教学计划表授课日期：教案编号：第二章05
第二章导数与微分
引入:有的函数可以多次求导，下面介绍有关概念,学习高阶导数.
1.二阶导数：一般地，如果函数()y f x =的导函数()''y f x =仍然可导，则
数()'
''
y f x ⎡⎤=⎣⎦
叫作函数()y f x =的二阶导数，
我们把()'
'
y f
x =的导
记作()"",y f x 或，即
()()()2'
'
"
'"
'
2,,.d y d dy y y f x f x dx dx dx ⎛⎫
⎡⎤=== ⎪⎣⎦⎝⎭
2.n 阶导数：类似地，函数()y f x =的二阶导数的导数叫作()y f x =的三阶导
数,三阶导数的导数叫作四阶导数，…,一般地，()y f x =的（n -l)阶导数的导数叫作()y f x =的n 阶导数，分别记作
()()4''',,
,;n
y y y
或
()(
)
()(
)
()4''',,
,;n f x f x f x
或3434,,,.n n d y d y d y dx dx
dx
3.高阶导数:二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数．
例如，若质点的运动方程)(t s s =，则物体的运动速度为)()(t s t v '=，或
dt
ds
t v =
)(，而加速度)(t a 是速度)(t v 对时间t 的变化率，即)(t a 是速度)(t v 对时间2
2
d y dx
t 的导数：)()(dt
ds
dt d dt
dv t a =
⇒=
=αα或))(()(''='=t s t v α，由上可见，加速度α是)(t s 的二阶导函数的导数。

提问:怎样求高阶导数呢?
由高阶导数的定义知,求函数()y f x =的高阶导数，只需多次连续地求导数即 可，因此仍可应用前面的求导方法进行计算．下面通过对例题的分析讲解学会求高阶导数的方法
4例题分析讲解
例1求函数3
y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数)的二、三、四阶导数．
解对3
y ax bx c =++依次求导，得
'2''
6,12.
y ax b y ax =+=　
12y a '''=()4
0y =
例2设
''
sin cos .x y x x y π
==+，求
解：'
''
''cos sin ,sin cos ,sin cos 1.x y x x y x x y
π
ππ==-=--=--=
例3验证函数12x x y C e C e -=+(12,C C 为常数）满足关系式：''
0y y -=． 证因为12x x
y C e C e -=+
'''1212,.x x x x y C e C e y C e C e --=-=+
所以()
''12120.x x x x y y C e C e C e C e ---=+-+=
例4求由方程50y
xe y --=所确定的隐函数()y f x =的二阶导数''
y ．
解方程两端对x 求导，并注意到y 是x 的函数，得
''0y y e xe y y +-=①
解得'
1y
y
e y xe
=-②
①式两端同时对x 求导,得
()
2
'''''''0.y y y
y e y e y xe
y xe y y +++-=③
从③解出二阶导数，得()''''2.1y y
e y xy y xe +=
-
再将②代入③，得()
()
2''3
2.1y y y e xe y xe -=
-
下面介绍几个初等函数的n 阶导数．
例5求x
y e =的n 阶导数．
解()
4'''''',,,,x x x x y e y e y e y
e ====
一般地，可得()
n x y
e =
例6求cos y x =的n 阶导数． 解一般地,可得'
sin cos ,2y x x π⎛⎫
=-=+
⎪⎝
⎭
''sin cos cos 2,
2222y x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛
⎫=-+=++=+⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭'''sin 2cos 3,22y x x ππ⎛⎫⎛
⎫=+⋅=+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
()cos .2n y x n π⎛
⎫=+⋅ ⎪⎝
⎭
类似可求sin y x =的n 阶导数为()
sin .2n y
x n π⎛
⎫=+⋅ ⎪⎝
⎭
例7求()()ln 11y x x =+>-的n 阶导数． 解()1
'
111y x x
-=
=++ ()()2
''11,
y x -=-+
()()()()()()()()3
4
4'''121,1231,y x y x --=--+=---+
一般地，可得:
()()()()
()()
()
()()1
1!123111.
1n
n n
n
n y n x x ---=-----+=-⎡⎤⎣⎦+
例8求y x α
=(α为任意常数)的n 阶导数． 解()'1''2,1,y x y x ααααα--==-
()()()()()()4
'''3412,123,y x y x αααααααααα--=--=---
一般地，可得
()()()
()121.n n y n x ααααα-=---+
特殊地，当n α=(n 为正整数）时，得到
()()()12321!.n
y n n n n =--⋅⋅=
注:求函数的阶导数关键是寻找规律 例9已知物体作直线运动的方程2
012
s v t gt =+是(0,v g 都是常数）,求物体运 动的加速度．
解因为
'0''
,.
s v gt s g =+=
所以，物体运动的加速度a g =．
例10已知物体的运动方程为()sin s A t ωϕ=+，其中,,A ωϕ都是常数。

求物体
运动的加速度．
解因为()()()'
'
cos cos s A t t A t ωϕωϕωωϕ=++=+⎡⎤⎣⎦,
()()()'
''2
sin sin s A t t A t ωωϕωϕωωϕ=-++=-+⎡⎤⎣⎦
．
所以，物体运动的加速度为()2sin a A t ωωϕ=-+．
5小结:本次课主要讲解了高阶导数,要求了解高阶导数的概念，掌握求高阶导
数的方法.
课时教学计划表
授课日期：教案编号:第二章06
第二章导数与微分
引入：设函数()y f x =在点0x 处可导，即()'00lim
.x y
f x x
∆→∆=∆存在．根据有极限
的函数与无穷小的关系，得
其中α是当0x →时的无穷小．将上式两端同乘以x ，
x α∆是当0x ∆→时比x ∆高阶的无穷小量．
从而有近似公式我们把()'
0f
x x ∆称为y ∆的线性主部，并叫作函数()y f x =在点0x 处的微分．
1。

微分的定义：设函数()y f x =在点0x 处可导,则()'0f x x ∆叫作函数()
y f x =在点0x 处的微分,记作0x x dy =即()0
'0.x x dy
f x x ==∆
此时，也称函数()y f x =在点0x 处可微． 例如，函数2
y x =在点1x =处的微分是()
'
21
1
2.x x dy
x
x x ===∆=∆
函数sin y x =的微分是()'
sin cos .dy x x x x =∆=⋅∆ 很明显，函数的微分()'
dy f
x x =∆的值由x 和x ∆两个独立变化的量确定．
例1求函数3
y x =当2,0.01x x =∆=时的增量及微分． 解函数的增量为()3
3
20.012y ∆=+-=0.120601．
因为函数在点x 的微分是()'
32
3.dy x
x x
x =∆=⋅∆
所以,将2,0.01x x =∆=代入上式,得2
320.010.122.dy x =⨯⨯== 由上例结果可以看出,2
2x x dy y
==≈∆,误差是0。

000601．
()'0.
y
f x x α∆=+∆()'0.
y f x x x α∆=∆+∆()'0
y f x x ∆≈∆
思考：函数y x =的微分?()()'
dy d x x x x ==⋅∆=∆,
规定:自变量的微分dx x =∆．于是，函数()y f x =的微分又可写成
()'.dy f x dx =．
从而有
因此,导数也叫作微商．
可以看出，如果已知函数()y f x =的导数()'f x ，则由()'dy f x dx =可求出它的微分dy ；
反之，如果已知函数()y f x =的微分dy ，则由()'dy
f x dx
=可求得它的导数．
因此,可导与可微是等价的．我们把求导数和求微分的方法统称为微分法．
注意求函数的导数和微分的运算虽然可以互通，但它们的含义不同．一般地 说,导数反映了函数的变化率，微分反映了自变量微小变化时函数的改变量．
2。

微分的几何意义
如图2—3所示，．从图中可以看出
,.dx x NQ y QN =∆=∆=
设过点M 的切线MT 与NQ 相交于点P ，则MT 的斜率
()'0tan .QP
f x MQ
α==
所以，函数()y f x =在点0x x =的微分
()'0.QP
dy f x dx MQ QP MQ
==
⋅= 因此，函数()y f x =在点0x x =的微分就是曲线()y f x =在点M (()00,x f x )处的切线MT 的纵坐标对应于x ∆的增量． 由图2-3还可以看出,当()'
00f
x ≠且x ∆很小时，y dy ∆-比x ∆小得多
．因此，在点M 的邻近，可以用切线段来近似代替曲线段．
3微分公式与微分运算法则
从函数微分的定义()'
dy f
x dx
=()'.dy
f x dx
=
可以知道,计算函数的微分，只要先求出函数的导数,然后乘以自变量的微分即
可．因此,从导数的基本公式和运算法则，就可以直接推出微分的基本公式和运算法则． Ⅰ．微分的基本公式
Ⅱ．函数和、差、积、商的微分法则
,u v 都是x 的函数，C 为常
其中
数．
下面只证乘积的微分法则
证根据微分的定义，有()()'
.d uv uv dx =
因为()'
'
'
.uv u v uv =+所以()()
'
'
'
'
.d uv u v uv dx u vdx uv dx =+=+
又因为'
'
,.u dx du v dx dv ==所以().d uv vdu udv =+
类似地，可证明其他法则．
注：上述公式必须记牢，对以后学习积分学很有好处。

Ⅲ．复合函数的微分法则
与复合函数的求导法则相应的复合函数的微分法则可推导如下： 设()y f u =及()u x ϕ=都可导,则复合函数()y f x ϕ=⎡⎤⎣⎦的微分为
()()'
''x dy y dx f u x dx ϕ==
由于()'
x dx du ϕ=，所以，复合函数()y f x ϕ=⎡⎤⎣⎦的微分公式也可以写成
()'dy f u du =或'u dy y du =。

由此可见，无论u 是自变量还是另一个变量的可微函数，微分形式()'
dy f
u du
=()()()()()()()()()(
)()(
)()()()()
222
2
22
11
9tan sec .10cot csc .cos sin 11sec sec tan .12csc csc cot .13arcsin .14arccos .11
15arctan .16cot .11d x dx xdx d x dx xdx x x
d x x xdx d x x xdx d x d x d x dx d arc x dx x x ===-=-==-====-++ ()()()()()()()()()()()()()()())()110.2.3ln .4.11
5log .6ln .ln 7sin cos .cos sin .x x x x a d C C d x x dx d a a adx d e e dx d x dx d x dx x a x
d x xdx d x xdx ααα-========-为常数 ()()()()()()2
1.2.3.4.d u v du dv duv udv vdu u vdu udv
d Cu Cdu d v v ±=±=+-⎛⎫==
⎪⎝⎭
保持不变。

这一性质称为微分形式不变性。

这性质表示,当变换自变量时，微分形
()()''dy f u x dx ϕ=并不改变。

例3求函数的微分。

分析;先求导，再计算微分.
解：
'222(1)/(11)(1(1))y x x x =-+=-+
所以2
1dx
dy x =-+
例4求函数x
e y sin =的微分。

解利用一阶微分形式不变性得
xdx e x d e e d dy x x x cos )(sin )(sin sin sin ===。

例5求方程2
2
2
2x xy y a +-=确定的隐函数()y f x =的微分dy 及导数
dy dx
解对方程两端求微分，得()()
2222.d x xy y d a +-=
应用微分的运算法则，得
()()()()2220,2220.
d x d xy d y xdx ydx xdy ydy +-=++-=
()().x y dx y x dy +=-
于是，所求微分为.y x
dy dx y x
+=
- 所求导数为
.dy y x dx y x
+=- 例5给出了一种求隐函数导数的简易方法．
例6在下列等式左边的括号中填人适当的函数，使等式成立．
()()()()152.cos3d xdx d xdx ==
分析:因为(
)2
2d x
xdx =，所以()2255522xdx d x d x ⎛⎫
=
= ⎪⎝⎭
即255.2d x xdx ⎛⎫
=
⎪⎝⎭
x
y 1
arctan
=
()255.2d x C xdx C ⎛⎫
+= ⎪⎝⎭
为任意常数 分析:因为()sin33cos3d x xdx =,所以：
()11cos3sin 3sin 333xdx d x d x ⎛⎫== ⎪⎝⎭即1sin 3cos33d x xdx ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
一般地，有()1
sin 3cos3.3d x C xdx C ⎛⎫+= ⎪⎝⎭
为任意常数 4．微分在近似计算中的应用
计算函数的增量是科学技术和工程中经常遇到的问题，有时由于函数比较复杂，计算增量往往感到困难，对于可微函数，通常利用微分去近似替代增量。

由微分的概念知，当()'
00f
x ≠，且当x ∆很小时，有
()'0.y f x x ∆≈∆①
因为()()00y f x x f x ∆=+∆-所以①式可以写成
()()()'000,y f x x f x f x x ∆=+∆-≈∆
即
()()()'000f x x f x f x x +∆≈+∆。

②
在②式中,令0x x x =+∆，即0x x x ∆=-，则
()()()()'000.f x f x f x x x ≈+-③
利用①式可以求函数增量y ,的近似值,利用②，③式可以求函数()y f u =在0x 邻近的近似值．
例7有一批半径为lcm 的球，为了提高球面的光洁度,要镀上一层铜,厚度定 为0.01cm ．估计一下每只球需要铜多少克？(铜的密度是8.93
/g cm ） 解要求铜的质量，应先求出镀层的体积．
因为镀层的体积等于两个球体积之差，所以它就是球体体积34
3
V R π=
当0R =1, R ∆=0.01时的增量V ∆ 因为'
''
3244,3V R R ππ⎛⎫
== ⎪⎝⎭
所以，根据公式()'
0y f
x x ∆≈∆，得()222044 3.1410.010.13V R R cm π∆≈∆≈⨯⨯⨯=．
于是,镀每只球需用的铜约为
()0.138.9 1.16g ⨯≈．
例8求'3030sin
的近似值．
解令()sin f x x =则()cos f x x '=取0
0306
x π
==
'30360
x π
∆==
代入公式②得
5076
.0360
2321 360
6
cos
6sin
)3606sin(
0330sin ≈⨯+=⨯
+≈+
='π
π
π
π
π
π
在应用近似公式②时，经常遇到的
情形是取0x 这时②成为
()()()'00f x f f x ∆≈+∆
也就是当x 很小时，有近似式
()()()'00f x f f x ≈+
当x 很小时，可得出下列一些常用的近似公式:
.
1)1)(5(,)1ln()4( ,1)3(,tan )2( ,sin )1(x x x x x e x x x x x αα+≈+≈++≈≈≈(其中(1)，（2）式中x 用弧度作单位)．．
下面证明公式（3)．
证设()x f x e =，则()()()''01,,01x f f x e f ===． 代入()()()'00f x f f x ≈+，得
()()'001x e f f x x ≈+⋅=+．
类似地，可证明其他近似公式．
利用上述近似计算公式求函数在x =0邻近的值时比较方便．例如,容易算出:
()(
)()()0.0315
10.030.97,ln 0.98ln 10.020.02,
1
10.0510.050.99.
5
e -≈+-==-≈-=-≈+⨯-=
例9求3
65的近似值．
解
=
=在公式()11x x ∂
+≈+∂中，取x=164,13
∂= 得
5、小结本次
课内容
11
4(1) 4.0208
364
≈+⨯≈
本次课主要讲解了微分的概念及几何意义;微分公式及微分运算法则。

要求了解微，分的概念及几何意义,掌握微分公式及微分运算法则,能应用微分知识计算近似值.。