2017-2018学年八年级数学下专题整合训练1)三角形的证明北师大含答案)

2017-2018 学年八年级数学下专题整合训练 (1) 三角形的证明 ( 北师大含答案 )
专题整合训练
专题一等腰三角形的性质与判断
1.(2017 ?山东滨州中考 ) 如图 , 在△ ABc 中 ,AB=Ac,D 为 Bc 上一点 , 且 DA=Dc,BD=BA,则∠ B 的大小为 (B )
A.40°
B.36° c.30° D.25°
2.如下图 , 点 D,E 在△ ABc 的边 Bc 上, 连结 AD,AE.
①AB=Ac;② AD=AE;
③ BD=cE.
以此三个等式中的两个作为命题的题设, 另一个作为命题的结论 , 组成三个命题: ①② ? ③; ①③ ? ②; ②③ ? ①.
(1) 以上三个命题是真命题的为( 直接作答 );
(2)请选择一个真命题进行证明 ( 先写出所选命题 , 而后证明 ).
(1)解①② ? ③,①③? ②, ②③? ①.
(2)证明①② ? ③
方法一 : ∵ AB=Ac,
∴∠ B=∠ c.
又 AD=AE,
∴∠ ADG=∠ AEG.
∵∠ ADG=∠ B+∠BAD,∠ AEG=∠ c+∠cAE, ∴∠ BAD=∠ cAE.
在△ ABD与△ AcE 中 ,AB=Ac, ∠BAD=∠ cAE,AD=AE,则△ ABD ≌△ AcE(SAS).
∴BD=cE.
方法二 : 过点 A 作△ ABc 的高 AG,
∵AB=Ac,AG⊥ Bc, ∴ BG=cG.
又 AD=AE,AG⊥ DE,∴DG=EG.
∵BD=BG-DG,cE=cG-GE,
∴BD=cE.
专题二等边三角形的性质与判断
3.导学号 99804031 如图 , 在△ ABc 中 ,D 是 AB边上的一点 , 且 AD=Dc=DB,∠ B=30°. 求证 : △ADc 是等边三角形 .
证明∵ Dc=DB,
∴∠ B=∠ DcB=30° ( 等边平等角 ).
∴∠ ADc=∠ DcB+∠ B=60°.
又 AD=Dc,∴△ ADc 是等边三角形 ( 有一个角等于 60°的等腰三角形是等边三角形 ).
4.导学号 99804032 如图 , △ ABc 是等边三角形 , ∠1=∠ 2= ∠3, 求∠ BEc 的度数 .
解∵△ ABc 是等边三角形 ,
∴ AB=Bc=cA,∠ ABc=∠ BcA=∠ cAB=60° .
∵∠ 1=∠ 2=∠ 3, ∴∠ BAc-∠ 1=∠ ABc- ∠ 2=∠ BcA-∠ 3, 即∠cAF=∠ABD=∠ BcE.
在△ ABD和△ BcE 和△ cAF 中 ,
{■ (∠1=∠ 2=∠ 3”,” @AB=Bc=cA” ,” @∠ ABD=∠BcE=∠cAF” , ”) ┤
∴△ ABD≌△ BcE≌△ cAF(ASA).
∴AD=BE=cF,BD=cE=AF.
∴AD-AF=BE-BD=cF-cE,
即 FD=DE=EF.
∴△ DEF是等边三角形 . ∴∠ FED=60° .
∴∠ BEc=180° - ∠ FED=180° -60 °=120° .
5.导学号 99804033 如下图 , 等边△ ABc 和等边△ DcE 在
直线 BcE 的同一侧 ,AE 交 cD 于点 P,BD 交 Ac 于点 Q,求证 : △PQc为等边三角形 .
证明
在等边△ABc 和等边△DcE 中 ,Bc=Ac,Dc=Ec, ∠ AcB=∠DcE=60°,
因此∠ AcB+∠ AcD=∠ DcE+∠ AcD, 即∠ BcD=∠ AcE.
在△ BcD 和△ AcE中,{■ (Bc=Ac”,” @∠ BcD=∠AcE” , ”@cD=cE”. ” ) ┤
因此△ BcD≌△ AcE(SAS).
因此∠ 1=∠ 2.
由于∠ AcB=∠ DcE=60° ,
因此∠ AcD=180°- ∠ AcB-∠ DcE=60° .
因此∠ BcQ=∠ AcP.
在△ BcQ 和△ AcP 中 ,{ ■ ( ∠1=∠ 2” , ”@Bc=Ac”, ”
@∠ BcQ=∠ AcP” , ” ) ┤
因此△ BcQ≌△ AcP. 因此 cQ=cP.
又由于∠ QcP=60° , 因此△ PQc为等边三角形.
专题三直角三角形的性质与判断
6.如下图,在△ ABc中,cD是AB边上的高,且cD2=AD?BD.
求证 : △ABc 是直角三角形 .
证明在 Rt △AcD 中 , 由勾股定理得Ac2=AD2+cD2.
在 Rt △ BcD中 , 由勾股定理得 Bc2=BD2+cD2.
∴Ac2+Bc2=AD2+2cD2+BD2=AD2+2AD? BD+BD2=(AD+BD)2=AB2.
∴△ ABc 是直角三角形 .
7.导学号99804034 如下图, 点P 是等边三角形ABc 内的一点 , 连结 PA,PB,Pc, 以 BP 为边作∠ PBQ=60°, 且 PB=BQ,连结cQ,若 PA∶ PB∶ Pc=3∶ 4∶ 5, 连结 PQ.求证 : △ PQc是直角三角形 .
证明∵ PA∶ PB∶ Pc=3∶ 4∶ 5,
∴设 PA=3a,PB=4a,Pc=5a.
在△ PBQ中, ∵ PB=BQ=4a,且∠ PBQ=60°,
∴△ PBQ是等边三角形 . ∴ PQ=4a.
在△ PQc中 , ∵ PQ2+Qc2=16a2+9a2=25a2=Pc2,∴△ PQc
是直角三角形 .
专题四线段垂直均分线与角均分线性质的应用
8.(2016 ?贵州毕节中考) 到三角形三个极点的距离都相等
的点是这个三角形的(D )
A.三条高的交点
B.三条角均分线的交点
c.三条中线的交点
D.三条边的垂直均分线的交点
9.(2017 ? 湖南益阳中考 ) 如图 , 在△ ABc 中 ,AB=Ac, ∠BAc=36°,DE 是线段 Ac 的垂直均分线 , 若 BE=a,AE=b, 则用含
a,b 的代数式表示△ABc 的周长为 2a+3b.
10.如下图,在Rt△ ABc中,∠ AcB=90°,AB的垂直均分
线 DE交 Ac 于点 E, 交 Bc 的延伸线于点F, 若∠ F=30°,DE=1, 求 BE的长 .
解∵∠ AcB=90°,FD⊥ AB,
∴∠ AcB=∠ FDB=90° .
∵∠ F=30° , ∴∠ A=∠ F=30° .
又 AB的垂直均分线DE交 Ac 于点 E,
∴∠ EBA=∠ A=30° .
∴ Rt △DBE中 ,BE=2DE=2.
11.导学号 99804035 如图 , 已知 AD是△ ABc的角均分线 ,DE ⊥AB于点E,DF⊥Ac 于点F. 求证:AD 垂直均分EF.
证明∵ AD均分∠ BAc,DE⊥ AB,DF⊥ Ac, ∴DE=DF.
∴点 D 在 EF 的垂直均分线上 .
在 Rt △ ADE和 Rt △ADF中 ,AD=AD,DE=DF,∴Rt △ ADE≌ Rt △ADF(HL).
∴AE=AF.
∴点 A 在 EF 的垂直均分线上.
∵两点确立一条直线, ∴直线 AD是线段 EF的垂直均分线.。