高考应用题解题方法研究
函数应用问题-学会解题之高三数学多题一解【解析版】
函数应用问题【高考地位】应用题是指利用数学知识解决一些非数学领域中的问题，在近几年全国各地高考中经常出现。
数学的高度抽象性决定了数学应用的广泛性，因而应用题的非数学背景是多种多样的，解应用题往往需要在陌生的情景中去理解、分析给出的有关问题，并舍弃与数学无关的非本质因素，通过抽象转化成相应的数学问题，或许正是这个原因让学生比较惧怕数学应用题。
在高考中要处理好函数应用题，学会数学建模分析的步骤和掌握数学建模的具体方法是关键.方法 解函数应用题的一般步骤万能模板 内 容使用场景 函数的实际应用问题解题模板第一步 审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；第二步 建模——将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型； 第三步 解模——求解数学模型，得到数学结论；第四步 还原——将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义；第五步 反思——对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性.例1.已知某公司生产某产品的年固定成本为100万元，每生产1千件需另投入27万元，设该公司一年内生产该产品x 千件()025x <≤并全部销售完，每千件的销售收入为()R x 万元，且()21108,(010)3{ 17557,(1025)x x R x x x x-<≤=-++<≤.⑴ 写出年利润()f x （万元）关于年产量x （千件）的函数解析式；⑴ 当年产量为多少千件时，该公司在这一产品的生产中所获年利润最大？（注：年利润＝年销售收入-年总成本）.【答案】(1)详见解析;(2) 9千件.【解析】第一步，审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；某公司的年固定成本为100万元，每生产1千件需另投入27万元，设该公司一年内生产该产品x 千件()025x <≤并全部销售完，每千件的销售收入为()R x 万元，且()21108,(010)3{ 17557,(1025)x x R x x x x-<≤=-++<≤. 第二步，建模——将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型； 当010x <≤时，第三步，解模——求解数学模型，得到数学结论；第四步，还原——将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义；第五步，反思——对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性.考点：1、函数的解析式及定义域；2、函数的单调性．【点评】(1)由年利润＝年销售收入-年总成本，结合()R x ，即可得到所求()f x 的解析式；(2)由()1的解析式，我们求出各段上的最大值，即利润的最大值，然后根据分段函数的最大值是各段上最大值的最大者，即可得到结果。
解排列组合应用题的26种策略
解排列组合应用题的26种策略排列组合问题是高考的必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握.解排列组合问题的基础是两个基本原理，分类用加法原理，分步用乘法原理，问题在于怎样合理地进行分类、分步，特别是在分类时如何做到既不重复，又不遗漏，正确分每一步，这是比较困难的。
要求我们周密思考，细心分析，理解并掌握解题的常用方法和技巧，掌握并能运用分类思想、转化思想、整体思想、正难则反等数学思想解决排列组合问题。
实践证明，掌握题型和解题方法，识别模式，熟练运用，是解决排列组合应用题的有效途径；下面就谈一谈排列组合应用题的解题策略.1、相邻排列——捆绑法：n个不同元素排列成一排，其中某k个元素排在相邻位置上，有多少种不同排法？先将这k个元素“捆绑在一起”，看成一个整体，当作一个元素同其它元素一起排列，共有种排法．然后再将“捆绑”在一起的元素进行内部排列，共有种方法．由乘法原理得符合条件的排列，共种．例1.五人并排站成一排，如果必须相邻且在的右边，那么不同的排法种数有（）A、60种B、48种C、36种D、24种解析：把视为一人，且固定在的右边，则本题相当于4人的全排列，种，答案：.例2 有3名女生4名男生站成一排，女生必须相邻，男生必须相邻，共有多少种不同的站法？解：先把3名女生作为一个整体，看成一个元素，4名男生作为一个整体，看成一个元素，两个元素排列成一排共有种排法；女生内部的排法有种，男生内部的排法有种．故合题意的排法有种．2.相离排列——插空法：元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.将n个不同元素排成一排，其中k个元素互不相邻，有多少种排法？先把个元素排成一排，然后把k个元素插入个空隙中，共有排法种．例3 五位科学家和五名中学生站成一排照像，中学生不相邻的站法有多少种？解：先把科学家作排列，共有种排法；然后把5名中学生插入6个空中，共有种排法，故符合条件的站法共有种站法．例4.七位同学并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（）A、1440种B、3600种C、4820种D、4800种解析：除甲乙外，其余5个排列数为种，再用甲乙去插6个空位有种，不同的排法种数是种，选.3、定序问题---倍缩法：在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.此法也被叫消序法.将n个不同元素排列成一排，其中某k个元素的顺序保持一定，有多少种不同排法？n个不同元素排列成一排，共有种排法；k个不同元素排列成一排共有种不同排法．于是，k个不同元素顺序一定的排法只占排列总数的分之一．故符合条件的排列共种．例5.五人并排站成一排，如果必须站在的右边（可以不相邻）那么不同的排法种数是（）A、24种B、60种C、90种D、120种解析：在的右边与在的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即种，选.例6. A，B，C，D，E五个元素排成一列，要求A在B 的前面且D在E的前面，有多少种不同的排法？解：5个不同元素排列一列，共有种排法． A，B两个元素的排列数为；D，E两个元素的排列数为．因此，符合条件的排列法为种．4、标号排位问题---分步法：把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.例7.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（）A、6种B、9种C、11种D、23种解析：先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3×1=9种填法，选.5、留空排列——借元法例8、一排10个坐位，3人去坐，每两人之间都要留空位，共有种坐法。
数学高考应用题探究
的解 ． １ 命题 走势 从而 Ｄ ：
＝ ＝Biblioteka ｓｎ ｃ ｓ ｉ４ ｏ５ 桨 ＋ ｓ。６ ＿ 。６ ０ ｌ ０ ｏ ｃ ５ｉ ０ 。 ４ｓ ｎ
。 ～
ｌ
’
在 ＡＣ Ｂ中 ， Ｄ 由余 弦定理 得
Ｑ９＋Ｑ １×Ｑ ０ ９＋Ｑ ０ １ｘ０ ９×Ｑ ９＝ ９ｘ ． １ｘ ． ．
－ ～
～ ‘
面 区域 如 图 ２阴 影 部 分 所
示． 直线 ｚ ３ ６ ， ｙ＝ 将 ＝ ｘ＋ ｙ 即＿
０． ８ ． ９ ９ １
． ．
点评
概率 基本 上是 理 科 的必考题 ， 问题 的背
课程高 考试题 中有 更 多 的体 现 ， 其涉 及 内容 广 泛 ， 多与 函数 、 概率 统计 、 角 、 等式 （ 三 不 含线 性规 划 ） 、
数列 、 析几何 等 内容 有机 结 合． 课 程标 准 对应 解 新
因此
ＬＡ Ｂ＝１０ 一 ５ 一 ０ ＝１５ ． Ｄ ８。 ４ 。 ３ 。 ０ 。
５ ３＋ ） 里 的 ２个 观 测 （ 海
点， 现位 于点 北偏 东 ４ 。 ５ ，ｃ 点 Ｂ北偏 西 ６ 。 ０ 的点 Ｄ有 一
艘轮船发 出求救信号 ， 位于
图１
点 南偏 西 ６ 。 与点 Ｂ相 距 ２ 海里 的点 Ｃ的 ０且 ０ 救援 船立 即前 往 营 救 ， 航 行 速 度 为 ３ 其 ０海 里／ 小 时， 该救援 船达 到点 Ｄ需要 多长 时间 ？ 分析 解 （ ０ ０年 陕 西省数 学 高考理科试题 ） ２１ 本题 主要 考 查学 生 运用 解三 角形 的知 由题 意 知
一道高考应用题的思考与探究——研究性学习一例
叉 ｎ ＋ （ ＋ １ ≥ ２ ，￣ － ｎ ） ， ＴＳ ・ ｑ
＋２
’ ． ．
霄 ， ．
＿ ・ １
≤３， ０
淀后 流 出的 水 中该 杂 质 的 质 量 分 数 最 小 （ Ａ，
Ｂ孔 的面积忽略不 计） ．
经沉 淀 后 从 Ｂ 孔 流 出 ， 箱 体 的 长 度 为 “ 设
米 ， 度 为 ６米 ， 高 已知 流 出 的 水 中 该 杂质 的 质
令 ｄ 一日 ＋ … ＋ ／ ， 孙 ２ （ １ ． 则 ／ ＋ ａｂ 一 ２
＋ １１ 一 ６ ． ６ ０
量 分 数 与 ａ， 乘 积 曲 成 反 比 有 制 箱 材 ６的 现
当 ＝ ６时 ， ０ ０ ６ ７ 皿 ≈ ． ４ ：
（１ 一）取 号 ％－ Ｕ １ 等 一 ／－ ＿ 时
下 面进行估 算 ，
当 ｎ一 １时 ≈ Ｏ ６ Ｙ ．１ ７；
一逐 渐 增 大 ， ｎ １ 当 ≥ ０时 ， ≥ １ 效 果 越 ｙ ， 来 越 差． 因 此 ， ｎ ４ 即 分 为 四个 等 体 积 的 箱 当 一 ， 体 时 质 量 分 数 晟 小 为 ０ ０ ５６ 此 时 底 宽 为 ２ ． ２ ， 米 ， 长 与高 的 乘 积 为 ７ 米 底 ． ．
计 成几个时 效果最理想 ．
下 面 以 一 道 高 考 应 用 题 为 背 景 ， 谈 启 谈 发 学生进行研究 性学 习的体会．
１ ９ 年 全 国 ９８ 高 考 试 题 ： 图 ｌ 如 。 为 处 理 含 有 某 种 杂 质 的 污 水 ， 制 造 要
一
分析
设从 左 到右 流 过 这 一个 沉 淀 箱 后
提高高考数学应用题解答能力的对策
些 是 重要 的信 息 ？ 哪些 是 次 要 的信 息 ？ 了什 么 给
考 核 阅 读 理 解 能 力 、 息 迁 移 能 力 和 数 学 思 想 信
发 展 的 实 际 应 用 能 力 的 重 要 形 式 ； 是 当 今 国 也
际 数 学 教 育 面 向 大众 化 和 应 用 化发 展 的 一 种 必 然 趋 ． 如 何 将 一 个 用 文 字 叙 述 的 应 用 题 根 据 而 其 实 际 意 义 概 括 抽 象 为 一 个 纯 粹 的数 学 问题 ，
高 考 数 学 题 ， 学 生 认 识 到 应 用 题 只不 过 是 套 使
的 “ 场 平 衡 价 格 ”就 是 尸 一 Ｑ 时 的 ｔ １ ９ 市 ； ９ ９年
的 “ 薄 率 ”问 题 中 的 减 薄 率 一 （ 厚 度 一 新 减 老
上 实 际 背 景 的 简 单 的 纯 数 学 问 题 ， 不 是 想 象 并 的 那 样 难 ， 要 见 到 心 虚 ， 战Байду номын сангаас而 败 ． 学 生 相 不 不 使 信 自己能 力 ， 立 起 信 心 ， 服 心 理 障 碍 ． 树 克
厚度 ） ／老 厚 度 ， 质 上 和 产 品 降价 率 一 样 ． 本
３ 教 学 生 建 立 数 学 模 型
３ １ 借 助 直 观 图形 ， 形 助 数 ． 以
２ 教 学 生 阅读 理 解 问 题
柯 尔 莫 哥 洛 夫 说 ： 只 要 有 可 能 ， 学 家 总 “ 数
维普资讯
办法 ： 化 专业 术 语 的 背 景 及 本 身 ， 要 把 它看 淡 只 成 一 个 数 量 或 符 号 即可 ， １ ９ 如 ９ ８年 高 考 数 学 应 用题 中 的 “ 量 分 数 ” 你 把 它 看 成 是 一 个 数 量 质 ，
追溯题源,总结归纳——高考英语语言基础知识及应用题的解题策略研究
完形填空的试题特点是 ： 针对 于 每 个 空 所 提 供 的 ４个 选 项 。 果 孤 立 地 看 ， 如 对
教 应 在 句 子 中可 能都 能满 足 句 子 的 要 求 ，无 论 哪一 个 放 进 去 ，从 词 法 上 说 都 是 正 确
文 ， 文 第 一 句 话 一 般 是 完 整 的 ， 要 是 给 考 生 提 供 一 个 语 境 ， 考 生 对 全 文 有 一 短 主 让
个 总 体 印象 ， 中 有 ｌ 文 ５个 词 被 去 掉 ， 生 必 须 通 读 短 文 ， 篇 考 虑 ． 掌 握 全 文 大 考 通 在 意 的基 础 上 ， 合 运 用 所 学 的 词 汇 、 法 知 识 以 及 生 活 常 识 ， 所 给 的 ４个 选 项 中 综 语 从 选 择 最 佳 答 案 ， 形 后 的 文 章 不 仅 语 法 知 识 正 确 无 误 、 法 恰 当 ， 且 文 章 结 构 合 完 用 而
０
施 的教 育 。 同样 的 教 育 过 程 中 ， 以 赏 识 为 先 导 ， 发 被 教 育 者 的 主 观 能 动 性 和 在 是 激
潜 在 的 巨大 能 力 或 者 是 人 的 良知 与 自觉 性 ． 而让 教 育顺 理 成 章 地 自然 发 生 ． 从 这样
的教 育 状 态 一 旦 在 人 身 上 起 作 用 的 时 候 ．那 么 赏 识 教 育 的着 眼 点就 不 仅 仅 是 对 学
——— ５ ） ・— Ｉ・ ・ —～
Ｌ
圆圆 园 圃
赏识 教 育 理论 。
—
—
者共 同受 教 育 的过 程 ， 是成 长 的过 程 。 者 在 完 形 填 空 和 语 法 填 空 讲 评 时 经 常使 用 笔
高考理科数学专题十一 应用题的解法
应试策略
应用题的解法
应试策略
1. 应用题的背景丰富，题目灵活多变，但应用题的解答却
是一个程序化的过程：
（1）审题：解题的前提；应用题往往题干较长，文字表述较 多.在审题时，要注意抓住题目中的关键词、关键句，如：至多、
至少、直到两人中有一人取到白球，尤其是题目中出现的新词，
往往这些新词是平常生活中不太熟悉的，要求把这些新词单独提 取出来，如：2005年湖南卷中出现的新词汇有：鱼群的总量、鱼 群的繁殖量、被捕捞量、死亡量；当这些词汇被提取出来后，要 理顺各种数量之间的关系，解题就可以进入第二步.
应用题的解法
应试策略
(3)三角、向量应用题，引入角作为参变量，构造三角
形，借助正弦定理、余弦定理、三角函数公式、三角函数的
最值、反三角函数、向量、不等式、图象的对称及平移等知 识，求解实际问题，对于参变量的角要注意角的范围.
(4)解析几何应用题，在新教材引入“线性规划”后，使
此类题目的命题点从原来的椭圆应用题、双曲线应用题、抛 物线应用题又增加了线性规划应用题，解此类应用题往往在 理解题意的基础上，利用先行规划求最优解、直线的夹角定 比分点公式、或利用圆锥曲线的定义或性质、使用导数与切 线的关系等求解问题.
考题剖析
应用题的解法
考题剖析
1.（2007·梅州市二模）某养殖厂需定期购买饲料，已知该厂
每天需要饲料200公斤，每公斤饲料的价格为1.8元，饲料的
保管与其他费用为平均每公斤每天0.03元，购买饲料每次支 付运费300元. （Ⅰ）求该厂多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的 总费用最小； （Ⅱ）若提供饲料的公司规定，当一次购买饲料不少于5吨 时其价格可享受八五折优惠（即原价的85%）.问该厂是否考虑 利用此优惠条件，请说明理由.
高考重要数学答题技巧归纳
高考重要数学答题技巧归纳高中数学常考题型答题技巧1、解决绝对值问题主要包括化简、求值、方程、不等式、函数等题，基本思路是：把含绝对值的问题转化为不含绝对值的问题。
具体转化方法有：①分类讨论法:根据绝对值符号中的数或式子的正、零、负分情况去掉绝对值。
②零点分段讨论法：适用于含一个字母的多个绝对值的情况。
③两边平方法：适用于两边非负的方程或不等式。
④几何意义法：适用于有明显几何意义的情况。
2、因式分解根据项数选择方法和按照一般步骤是顺利进行因式分解的重要技巧。
因式分解的一般步骤是：提取公因式选择用公式十字相乘法分组分解法拆项添项法3、配方法利用完全平方公式把一个式子或部分化为完全平方式就是配方法，它是数学中的重要方法和技巧。
配方法的主要根据有：4、换元法解某些复杂的特型方程要用到“换元法”。
换元法解方程的一般步骤是：设元→换元→解元→还元5、待定系数法待定系数法是在已知对象形式的条件下求对象的一种方法。
适用于求点的坐标、函数解析式、曲线方程等重要问题的解决。
其解题步骤是：①设②列③解④写6、复杂代数等式复杂代数等式型条件的使用技巧：左边化零，右边变形。
①因式分解型：(-----)(----)=0两种情况为或型②配成平方型：(----)2+(----)2=0两种情况为且型7、数学中两个最伟大的解题思路(1)求值的思路列欲求值字母的方程或方程组(2)求取值范围的思路列欲求范围字母的不等式或不等式组8、化简二次根式基本思路是：把√m化成完全平方式。
即：9、观察法10、代数式求值方法有：(1)直接代入法(2)化简代入法(3)适当变形法(和积代入法)注意：当求值的代数式是字母的“对称式”时，通常可以化为字母“和与积”的形式，从而用“和积代入法”求值。
11、解含参方程方程中除过未知数以外，含有的其它字母叫参数，这种方程叫含参方程。
解含参方程一般要用‘分类讨论法’，其原则是：(1)按照类型求解(2)根据需要讨论(3)分类写出结论12、恒相等成立的有用条件(1)ax+b=0对于任意x都成立关于x的方程ax+b=0有无数个解a=0且b=0。
浅谈数学高考中的应用题
浅谈数学高考中的应用题仪征电大附中曹文文浅谈数学高考中的应用题摘要数学的高度抽象性决定了数学应用的广泛性，应用题的数学背景是多种多样的。
本文针对数学应用题的特点，提出解决数学应用的基本方法，通过对近几年江苏高考和各大市模拟卷中的数学应用题的分析和点评，归纳了应用题型和基本思路，丰富了应用题的教学。
关键词江苏高考数学应用题每年高考中的六大题中总有一条是应用题，却也是学生最担心的题目，并且越来越与实际生活相结合，这就需要我们从从实际问题中建立数学模型，解决数学问题从而解决实际问题，这一数学全过程的教学关键是建立数学模型，数学建模能力的强弱，直接关系到数学应用题的解题质量，同时也体现一个学生的综合能力。
一、数学应用题的特点1、数学应用题往往与实际生活相联系，有着较强的生活背景，而对于我们埋首于书本理论的同学是个挑战。
2、数学应用题的解决方法需要进行建模,将实际问题转化为数学问题以及数学符号。
3、数学应用题需要与生活常识、生活经验以及语文、物理、政治等多学科相联系。
4、数学应用题一般运算量较大、较复杂且有近似计算。
有的尽管思路正确、建模合理，但计算能力欠缺，就会前功尽弃，所以加强数学运算推理能力是使数学建模正确求解的关键所在，忽视运算能力，特别是计算能力的培养，只重视推理过程，不重视计算过程的做法是不可取的。
二、数学应用题的解决办法解决数学应用题的基本步骤：审题转化为数学模型解决纯数学检验答案回答题目1、审题审题是解决每个问题的关键点，在审题的时候要弄清题目的条件和结论，找到数量之间的关系。
2、转化为数学模型在找到数量关系后要将文字语言的数量关系转化为数学符号语言的关系，进D而找到该题的数学模型，比如二次函数、指数函数、概率与统计、三角函数等等。
3、解决纯数学建立好数学模型后，用数学知识来解决题目要求，比如找函数关系式及求最值问题。
4、检验答案求解出答案后，要考虑实际问题，比如整数等条件。
5、回答题目把所得到的关于应用问题的数学结论，还原为实际问题本身所具有的意义。
数学模型方法与解题研究——高考数学应用题分析的开题报告
数学模型方法与解题研究——高考数学应用题分析的开题报告一、研究背景高考数学应用题作为高考数学中占比例较大的一种题型，其解题过程中一定程度上需要运用数学模型方法。
因此，研究高考数学应用题中的数学模型方法，对于提高学生的解题水平和素养具有非常重要的意义。
本研究旨在分析高考数学应用题中的数学模型方法，探究其基本特征和解题技巧，为教学提供有益的参考。
二、研究目的本研究旨在通过对高考数学应用题的分析，探讨其中数学模型方法的应用情境和解题技巧，对解题有优势的数学模型方法进行分类，为高中数学应用题的教学提供参考。
三、研究内容与意义本研究主要研究高考数学应用题的数学模型方法，理清其中的应用情境和解题技巧，针对性地进行案例分析和探究，以期提高学生对数学模型方法的认知和应用能力。
同时，本研究将对数学模型方法进行分类，为高中数学应用题的教学提供参考，帮助学生提高解题水平和素养。
四、研究方法本研究将采取案例分析和文献研究的方法，通过对高考数学应用题中数学模型方法的梳理和解题技巧的总结，分析其基本特征，将其分类，并讨论其中的优劣和适用性。
同时，本研究也将结合理论推导，说明其中的算法原理和应用意义。
五、研究预期结果本研究预计通过对高考数学应用题中的数学模型方法进行分析和总结，得出各自特征和适用情境，并对其进行分类，为高中数学应用题的教学提供参考和指导。
同时，本研究也将用具体案例说明各种数学模型方法的解题技巧和适用性，帮助学生更好地掌握数学模型方法，提高解题水平。
六、参考文献1、康杭.数学模型方法在高中数学教学中的运用[J]. 科学教育,2018(15).2、福建省高级中学数学科组.福建省高考数学考试试题分析与解析[M]. 北京：人民邮电出版社,2016.3、王一阳,张建军.高中数学应用题解题方法分析及教学策略研究[J]. 科学教育,2015(5).4、陈国君,史丽娜.数学模型方法在高中数学教学中的应用研究[J].数学教育,2016(2).。
高考数学技巧如何利用数学定理解决实际应用题
高考数学技巧如何利用数学定理解决实际应用题在高考数学中，遇到实际应用题是许多学生感到头疼的问题。
这类题目涉及到实际情境，需要学生灵活运用数学知识和技巧来解决。
然而，通过运用数学定理，我们可以有效地解决这类问题。
本文将介绍一些常用的数学定理及其应用技巧，帮助学生提高解决实际应用题的能力。
一、线性函数与斜率的应用线性函数是高考数学中最基本的函数之一，其表达式可以写为y =kx + b，其中k表示斜率，b表示截距。
运用线性函数的知识，我们可以解决许多实际应用题。
比如在求解两点间的距离时，我们可以利用两个点的坐标(x1, y1)和(x2, y2)计算出斜率k，并应用斜率相等的原理，得到垂直于该线段的线的斜率：-1/k。
通过此定理，我们可以解决许多与线段相垂直的问题。
二、函数的复合与反函数在实际应用题中，我们有时需要解决复合函数或反函数的相关问题。
例如，当我们需要求解由两个函数构成的复合函数的值时，可以先计算第一个函数的值，再将结果作为输入计算第二个函数的值。
此外，函数的反函数也在实际问题中发挥着重要的作用。
通过建立函数与反函数的关系，我们可以解决一些关于逆运算的问题。
三、概率与统计概率与统计是高考数学中的重要部分，许多实际应用题都涉及到这个领域。
在解决概率问题时，我们可以运用排列组合的知识来计算不同事件发生的可能性。
而在解决统计问题时，我们可以运用样本调查的方法，通过收集数据并进行分析，得出符合实际情况的结论。
这些技巧对于解决实际问题有着很大的帮助。
四、三角函数与三角恒等式三角函数是高考数学中的难点，但它们在解决实际问题时具有广泛的应用。
通过运用三角函数的知识，我们可以测量难以直接测量的物理距离、角度等。
此外，三角恒等式也是解决一些复杂三角问题的重要工具。
通过熟练掌握三角恒等式，我们可以简化计算步骤，提高解题效率。
五、数列与等差数列数列与等差数列是高考数学中的常见考点，在实际应用题中也有重要的作用。
通过数列的知识，我们可以解决一些关于等距离、等时间间隔等问题。
高考数学答题方法与技巧
高考数学答题方法与技巧一、答题原则答题时，一般遵循如下原则：1．从前向后，先易后难。
通常试题的难易分布是按每一类题型从前向后，由易到难。
因此，解题顺序也宜按试卷题号从小到大，从前至后依次解答。
当然，有时也不能机械地按部就班。
中间有难题出现时，可先跳过去，到最后攻它或弃它。
先把容易得到的分数拿到手，不要“一条胡同走到黑”，总的原则是先易后难，先填空题，后解答题。
2．规范答题，分分计较。
一般情况下，除填空题外，大多解答题一题设若干小题，通常独立给分。
解答时要分步骤（层次）解答，争取步步得分。
解题中遇到困难时，能做几步做几步，一分一分地争取，也可以跳过某一小题直接做下一小题。
3．得分优先、随机应变。
在答题时掌握的基本原则是“熟题细做，生题慢做，难题粗做”，保证能得分的地方绝不丢分，不易得分的地方争取得分，但是要防止被难题耗时过多而影响总分。
4．填充实地，不留空白。
高考阅卷是连续性的流水作业，如果你在试卷上留下的空白太多，会给阅卷老师留下不好印象，会认为你确实不行。
另外每道题都有若干得分点，触到得分点便可给分，未能触到得分点也没有倒扣分的规定。
因此只要时间允许，应尽量把试题提问下面的空白处写上相应的公式或定理等有关结论。
5．字迹清晰，合理规划。
这对任何一科考试都很重要，尤其是对“精确度”较高的数理化，若字迹不清无法辨认极易造成阅卷老师的误判（特别是已经实行计算机阅卷的科目），如填空题填写带圈的序号、数字等，如不清晰就可能使本来正确的失了分。
另外，卷面答题书写的位置和大小要计划好，尽量让卷面安排做到“前紧后松”而不是“前松后紧”。
特别注意只能在规定位置答题，转页答题不予计分。
二、审题要点审题包括浏览全卷和细读试题两个方面。
一是开考前浏览。
开考前5分钟开始发卷，考生利用发卷至开始答题这段有限的时间，检查卷型是否配套，页码是否齐全，印刷是否清楚，再是看本科有几道大题、几道小题、各题分值、以及题型和答卷说明等，通过答前浏览对全卷有大致的了解，据此统筹安排答题顺序。
浅析高考数学应用题的教学-无锡第六高级中学
浅析高考数学应用题的教学无锡市第六高级中学丁辰皎摘要：由高三学生在考试中应用题得分偏低并且平时害怕应用题等现象提出研究应用题教学问题的必要性，从分析学生学习及教师教学的障碍出发，给出了教学实践中提高解应用题能力的方法及策略.关键词：高中数学应用题学习与教学障碍教学实践一问题的提出所谓数学应用题就是利用数学知识解决一些非数学领域的问题，它是培养学生高层次思维、用数学意识分析和解决实际问题能力的重要内容.江苏近几年高考数学试卷加大了对应用题的考查力度，新高考（08年开始）以来，每年除了在小题（填空）考查外，都还有一道大题，其中2008年、2010年、2011年、2012年都是放在试卷的第17题，2013年放在试卷的第18题，2009年放在试卷的第19题，考查的知识点都是B级考点的综合应用，试题的难度属于中档题.那么，目前高三学生面临高考应用题学习情况如何呢？笔者在平时的教学中发现，学生普遍比较害怕应用题，甚至有的学生碰到应用题就直接放弃.就拿2014届本市高三学生上学期期末测试的应用题（第18题，满分16分）来说，平均得分2.4分，不令人满意，说明学生在应用题复习和教师在应用题教学上仍有很大发挥的空间.如何才能改进现状，有必要做些深入的思考.二应用题学习与教学上的障碍：1.阅读能力弱，不知题目意思.阅读题目理解题意是解问题的第一步，它在很大程度上制约着背景问题的数学化进程.很多学生在读完一遍题目后表示不理解，经常不理解题目要表达的意思.2 .学生知识面窄，建模能力差.长久以来，传统的教学模式也导致了学生重课本、轻生活，重理论、轻实践.由于生活阅历有限，对应用题的背景和情境不熟悉，教师们常常抱怨“学生阅读理解能力差，逻辑思维能力差”，事实上这些不简单的是阅读理解能力，而是学生知识面窄造成的.3.审题不清，审得太快，漏看题目条件，跳着审题.因为应用题题目文字较长，条件很多，所以学生在审题时为了尽快理解题意节约时间，往往只满足于理解题目的大概，自认为已经理解题目的意思.欲速则不达.学生易漏看题目条件，于是百思不得其解.学生也会按照自己的想法去“理解”题目，从而歪曲题目本身所标的意思.4.教师大包大揽，学生抽象能力未得到培养.一遇到情景比较复杂的问题，教师首先给学生扫清障碍，是学生把注意力集中到关键字词上，使学生能清晰地看清问题中的量与量之间的关系，这样，学生就不会走入歧途，课堂教学往往能得以完成.然而，学生的思维却得不到培养，这个模型是教师给他的，而不是由他自己经过分析抽象出来的.三应用题的教学实践面对以上问题，我们可以知道的是，高中学生认识过程的各种心理成分接近成人的水平，能够逐步地摆脱具体形象和直接经验的限制，借助于概念进行合乎逻辑的抽象思维活动，在教师帮助下独立地搜集事实材料，进行分析综合、抽象概括事物的本质属性.因此，应结合学生的心理特点和思维规律，进行应用问题的教学.教学应用题的常规思路是：将实际问题抽象、概括、转化一数学问题一解决数学问题一回答实际问题.具体可按以下程序进行：1.审题：由于数学应用的广泛性及实际问题非数学情景的多样性，往往需要在陌生的情景中去理解、分析给出的问题，舍弃与数学无关的因素，抽象转化成数学问题，分清条件和结论，理顺数量关系.为此，引导学生从粗读到细研，明确问题中所含的量及相关量的数学关系.对学生生疏情景、名词、概念作必要的解释和提示，以帮助学生将实际问题数学化.2.建模：明白题意后，再进一步引导学生分析题目中各量的特点，哪些是已知的，如哪些是未知的，是否可用字母或字母的代数式表示，它们之间存在着怎样的联系；将文字语言转化成数学语言或图形语言，找到与此相联系的数学知识，建成数学模型.3.求解数学问题，得出数学结论.4.还原：将得到的结论，根据实际意义适当增删，还原为实际问题.前三个步骤尤为重要，如何攻克，笔者有如下体会：（一）过读题关：让学生学会读题，消除畏难情绪应用题文字表述较多，数学中的情景相对陌生，连题目都没看完，就望而生畏，置之不理.在平时教学过程中注意有计划，有目的地加一些应用题进行分析.在审题时，要注意断句的教学，深刻体会每句话要表达的意思，提取有用的数据，寻找建立模型的关键句.例1 如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径.一种是从A 沿直线步行 到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C ．现有甲、乙两 位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为min /50m ．在甲出发min 2后，乙从 A 乘缆车到B ，在B 处停留min 1后，再从匀速步行到C ．假设缆车匀速直线运动的 速度为min /130m ，山路AC 长为m 1260，经测量，1312cos =A ，53cos =C ． （1）求索道AB 的长； （2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？ （3）为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟， 乙步行的速度应控制在什么范围内？ 题目比较长，和学生分析题目时，我们需要讲透每句话的用处:① 前两句话可以得出从A 到C 的两种路径：A −−→−步行C;A −−→−乘缆车B −−→−步行C. ②三、四句揭示了甲乙两人从A 到C 的具体办法：甲：A −−−−→−min)/50(m 步行 C 乙：（2min 后）A −−−−−→−min /130m 乘缆车B （1min 后）−−−−→−min)/(?m 步行C ③最后一句话揭示了图形中的常量：AC =m 1260，1312cos =A ，53cos =C .由此条件就可以求第一题了. 根据②③建立相应的等式与不等式即可解决后两问.（二）过建模关：让学生学会建模，增强解题能力1.掌握应用题模型的分类了解数学模型分类的目的在于让学生做到心中有数，明确题目通解通法，从而可知采用什么数学知识去解决问题.高中数学模型包括代数模型和几何模型.代数模型主要知识载体为函数、数列、不等式、概率等知识，其难度主要在阅读题意，建立等式或不等关系上；几何模型主要是利用解析几何知识，建立直角坐标系，使实际问题几何化，解决实际问题. C BA DMN根据对这几年高考试题应用题及备考资料中试题的归纳，常见的建模有以下几种：(1)函数、不等式的应用题：大多是以函数知识为背景设计的.(2)数列、不等式的应用题：大多是以数列知识为背景，所涉及的知识有数列的首项、通项公式、项数、递推公式、前n 项和公式及n a 与n S 的关系等等.(3)三角、向量应用题，引入角作为参变量，构造三角形，借助正弦定理、余弦定理、三角函数公式、三角函数的最值、向量、不等式、图象的对称及平移等知识，求解实际问题，对于参变量的角要注意角的范围.(4)解析几何应用题，此类题目的命题点有椭圆应用题、双曲线应用题和线性规划应用题.(5)排列组合、概率应用题，此类题目从内容上能很好体现实际应用的意义.2.明确解决应用性问题的思路和步骤：例2如图所示的镀锌铁皮材料ABCD ，上沿DC 为圆弧，其圆心为A ，圆半径为2米，AD ⊥AB ，BC ⊥AB ，且BC=1米．现要用这块材料裁一个矩形PEAF （其中P 在圆弧DC 上、E 在线段AB 上，F 在线段AD 上）做圆柱的侧面，若以PE 为母线，问如何裁剪可使圆柱的体积最大？其最大值是多少？建模如下:① 将实际问题转化为数学模型：设θ=∠PAE ,圆柱底面半径为r ,则母线长θcos 2=PE ,圆柱底面周长为θsin 2=AE ，则πθcos =r .由于P 点在圆弧DC 上，故)2,6[ππθ∈.故)sin (sin 2sin cos 2sin 2cos 3222θθπθθπθπθπ-==⋅==Sh V .即三角函数与三次函数复合的函数模型求最值.② 对数学模型求解：.93433sin .0')1,33(sin ;0')33,21(sin .33sin ),2,6[0'),sin 31(cos 2)cos sin 3(cos 2'max 22πθθθθππθθθπθθθπ==∴<∈>∈=∴∈=-=-=V V V V V V 有极大值，即时，当时，时，又，令 ③ 回归实际问题： 故裁一个两边长分别为m m 332362和时能使圆柱体积最大，最大值为3934m π.三 过运算关： 强化训练 增强学生解决问题的能力1.教师板演方面：教师需要选取典型示范例题，明确解题的目标、计算的步骤及其依据.通过板书，条理清晰的讲解与运算，做到一个表率示范作用.2.指导学生方面：应用题的运算设计合理，题目难度不是很大，培养学生运算能力，需要注意以下几点：(1)注意关于数、式的恒等变形（变换）能力的训练.(2)一题多变、一题多改、一题多解、一法多用，培养运算的熟练性、准确性、灵活性、顺畅性，以题组训练形式培养学生运算能力.(3)课堂上多留些时间给学生计算，不断增强其思维的深刻性，提高运算能力.(4)养成验算的习惯，掌握验算方法.全面素质教育中一个必不可少的部分就是知识的应用型教育，该类问题有着丰富的社会信息，它会从多角度横向联系问题，并提出多层次的能力要求，其教育价值的多功能性也早已众所周知，它成为了学生观察了解社会、认识评价社会的一个窗口.中学生若能运用所学数学知识解决一些实际问题，这对中学生素质教育有着极其重要的意义.他们学习数学、喜爱数学，会用数学知识解问题，就不仅能克服对数学的恐惧心理，而且能激发学好数学的内部动机.这正是我们教育工作者的职责和长期任务，我们要借应试教育向素质教育转变的这个大好契机，做好数学应用教育的研究，提高数学教育水平和效率，开拓数学教育新局面.。
谈江苏数学高考的应用题和解几题
(1)按下列要求建立函数关系式：
(i)设∠BAO=θ(rad)，将y表示成θ的函数； (ii)设OP=x(km)，将y表示成x的函数；
阅读文本，理解情境， (2)请你选用(1)中的一个函数关系确定污水处理厂的位置，使铺
设的污水管道的总长度最短。
建立模型，回答设问
08-17．如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的两个顶
B的单价分别为mA，mB。甲买进A卖出B的综合满意度为h甲，乙
的成本分别为12，5，乙生产产品A，B的成本分别为3，20，设A，
卖出A买进BA= mB ，求证h甲= h乙； 5
h甲 =
mB 12 mA 12 mB 5
h乙 =
最大？最大值为多少？ (3)记(2)中最大的综合满意度为h0，试问能否适当选取mA，mB，
阅读文本，理解情境，
建立模型，回答设问 使得h甲≥h0 和h乙≥h0同时成立，但等号不同时成立？试说明理由。
09-19.生产某产品的成本a，卖出单价为m，单位为元，则满意度 a m 为 m a ；买进单价为n，则满意度为 n a ；如果卖出或买进两者 的满意度分别为h1，h2，则综合满意度为 h1h2 。甲生产产品A，B
点A，B及CD的中点P处．AB＝20 km，BC＝10 km．为了处 理这三家工厂的污水，现要在该矩形区域上（含边界）且与A， B等距的一点O处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道 AO，BO，PO．记铺设管道的总长度为y km．
D P O A B C
(1)按下列要求建立函数关系式：
(i)设∠BAO=θ(rad)，将y表示成θ的函数； AO=BO=10/cos(θ/2)，
卖出A买进B的综合满意度为h乙。
高考数学应用题技巧
高考数学应用题技巧数学是高考中最重要的科目之一，而应用题是数学考试中占比很大的一部分。
应用题是将数学知识应用于实际问题解决的题目，涉及的思维方式和解题方法更为复杂。
在高考中，应用题的解答需要一定的技巧和方法。
本文将分享一些高考数学应用题的解题技巧，希望对广大考生有所帮助。
一、理清题意，分析问题要解决一个应用题，首先要理清题意，并从题目中找到关键信息。
在读题时要有系统性的思维，明确所有已知条件和需要求解的未知数。
此外，切忌草率从事，对题目的文字说明、图形、数据等都要仔细阅读和分析，避免遗漏关键信息。
二、建立数学模型解决应用题需要建立数学模型，即将问题转化为数学语言。
建立数学模型要考虑以下几点：1. 应用适当的数学概念和理论，将问题进行数学抽象；2. 建立方程或不等式，根据已知条件列出方程组，或者采用函数关系式；3. 利用已知条件构造几何图形，运用几何知识进行推理。
三、选择合适的解题方法在解决应用题时，应根据具体情况选择合适的解题方法。
常见的解题方法包括：1. 代数方法：对于计算题或关联题，可以使用代数方法，通过列方程组或使用函数关系式进行求解；2. 几何方法：对于几何题，可以使用几何图形进行推理，利用几何定理进行解答；3. 统计方法：对于统计和概率题，可以利用统计学方法进行解答，如频率分布、样本调查等。
四、考虑实际意义，给出合理答案解决应用题的最终目标是得出合理的答案，并进行实际意义的解释。
在应用题中，除了计算结果之外，还要考虑结果的合理性和实际意义。
对于物理、经济、统计等领域的应用题，要能够将计算结果与实际情况相联系，进行合理的解释。
五、刻意练习，备考经验解决应用题需要一定的技巧和实践经验，而这些技巧和经验只有通过刻意练习才能获得。
建议考生在备考过程中，多做各种类型的应用题，积累解题经验。
可以从历年高考真题或者模拟试题中选取较难的应用题进行练习，找到解题过程中的症结点，针对性地进行突破。
六、注意审题，防止各种陷阱有时应用题会设置一些陷阱，考察考生的审题能力和反应能力。
高考数学核心考点解题方法与策略
一、历年高考数学试卷的启发1.试卷上有参考公式，80%是有用的，它为你的解题指引了方向；2.解答题的各小问之间有一种阶梯关系，通常后面的问要使用前问的结论。
如果前问是证明，即使不会证明结论，该结论在后问中也可以使用。
当然，我们也要考虑结论的独立性；3.注意题目中的小括号括起来的部分，那往往是解题的关键。
二、解题策略选择1.先易后难是所有科目应该遵循的原则，而表现在数学试卷上显得更为重要。
一般来说，选择题的后两题，填空题的后一题，旧高考解答题的20和21题是难题,22和23是二选一的题目，相对比较容易，新高考解答题的后两题是难题（一般是入口容易，拿高分难，所以也不能完全放弃，应该是争取多拿分）。
当然，对于不同的学生来说，有的简单题目也可能是自己的难题，有的难题却可能是自己的容易题。
所以题目的难易只能由自己确定。
一般来说，小题思考1分钟还没有建立解答方案，则应采取“暂时性放弃”，把自己可做的题目做完再回头解答。
2.选择题有其独特的解答方法，首先重点把握选择项也是已知条件，利用选择项之间的关系可能使你的答案更准确。
切记不要“小题大做”。
注意解答题按步骤给分，根据题目的已知条件与问题的联系写出可能用到的公式、方法、或是判断。
虽然不能完全解答，但是也要把自己的想法与做法写到答题卷上。
多写不会扣分，写了就可能得分。
（1）直接法直接法在选择题中的具体应用就是直接从题设条件出发，利用已知条件、相关概念、性质、公式、公理、定理、法则等基础知识，通过严谨推理、准确运算、合理验证，从而直接得出正确结论，然后对照题目所给出的选项“对号入座”，从而确定正确的选择支．这类选择题往往是由计算题、应用题或证明题改编而来，其基本求解策略是由因导果，直接求解．由于填空题和选择题相比，缺少选择项的信息，所以常用到直接法进行求解.直接法是解决选择、填空题最基本的方法，适用范围广，只要运算正确必能得到正确答案，解题时要多角度思考问题，善于简化运算过程，快速准确得到结果.直接法具体操作起来就是要熟悉试题所要考查的知识点，从而能快速找到相应的定理、性质、公式等进行求解，比如，数列试题，很明显能看到是等差数列还是等比数列或是两者的综合，如果是等差数列或等比数列，那就快速将等差数列或等比数列的定义（或）、性质（若，则或）、通项公式（或）、前n 项和公式（等差数列、，等比数列）等搬出来看是否适用；如果不能直接看出，只能看出是数列试题，那就说明，需要对条件进行化简或转化了，也可快速进入状态.（2）排除法排除法是一种间接解法，也就是我们常说的筛选法、代入验证法，其实质就是舍弃不符合题目要求的选项，找到符合题意的正确结论．也即通过观察、分析或推理运算各项提供的信息，对于错误的选项，逐一剔除，从而获得正确的结论。
高考高等数学备考指南导数应用题解题方法
高考高等数学备考指南导数应用题解题方法在高考的高等数学中，导数应用题是一个重要的考点，也是许多同学感到头疼的部分。
然而，只要掌握了正确的解题方法和思路，导数应用题也并非难以攻克。
接下来，让我们一起深入探讨导数应用题的解题方法。
一、导数的基本概念与意义在开始解决导数应用题之前，我们首先要清楚导数的基本概念和意义。
导数表示函数在某一点处的变化率，它反映了函数的增减性、极值等重要性质。
从几何角度来看，导数就是函数曲线在某一点处的切线斜率。
如果导数大于零，函数在该区间单调递增；如果导数小于零，函数在该区间单调递减；当导数为零时，可能取得极值。
二、常见的导数应用题类型1、利润最大问题在经济学中，经常会遇到利润最大化的问题。
通常会给出成本函数和收益函数，我们需要通过求导找到利润函数的最大值。
例如，某工厂生产某种产品，成本函数为$C(x) ＝ 2x^2 ＋ 10x ＋50$，收益函数为$R(x) ＝ 100x 05x^2$，则利润函数$P(x) ＝ R(x) C(x) ＝－25x^2 ＋ 90x 50$。
对利润函数求导$P'（x) ＝－5x ＋ 90$，令$P'（x) ＝0$，解得$x ＝18$。
此时需要进一步判断是极大值还是极小值，可以通过二阶导数或者区间端点的值来判断。
2、面积、体积最大问题这类问题通常涉及到几何图形，要求找出使得面积或体积最大的条件。
比如，用一段长为$L$的铁丝围成一个矩形，求矩形面积的最大值。
设矩形的长为$x$，则宽为$＼frac{L}｛2} x$，面积$S ＝ x(＼frac{L}｛2} x)＄。
对面积函数求导，找到极值点。
3、优化问题如在一定条件下，求时间最短、用料最省等问题。
三、解题步骤1、认真审题仔细阅读题目，理解题目所给的条件和要求，明确问题的类型和目标。
2、建立函数关系根据题目中的数量关系，建立相应的函数表达式。
3、求导对建立的函数进行求导。
4、令导数为零求出导数为零的点。
【高中数学】高考数学求解应用题的四个步骤
【高中数学】高考数学求解应用题的四个步骤高中学习方法应用题的“要求”是检查考生的应用意识和使用情况，分析和解决问题。
这一要求主要分为三点：1、要求考生关心国家大事，了解信息社会，讲究联系实际，重视数学在生产、生活及科学中的应用，明确"数学有用，要用数学"，并积累处理实际问题的经验。
2.为了测试理解语言的能力，考生需要从普通语言中获取信息，将普通语言转换为数学语言，并将数学语言作为数学和交流的工具。
3、考查建立数学模型的初步能力，并能运用"考试说明"所规定的数学知识和方法来求解。
在应用题方面，考生的弱点主要体现在将实际问题转化为数学问题的能力上。
将实际问题转化为数学问题的关键是提高我们的阅读能力，即检查数学问题的能力，以及检查函数、方程、不等式和方程的能力。
我们需要理解材料，分析书面叙事所反映的实际背景，理解从背景中总结出的数学本质，提取它们之间的数量关系，并将书面语言叙事翻译成数学符号语言，建立相应的数学模型求解。
可以说，解决一道应用题的关键是通过三道关口：第一，理性，即要理解问题的含义，需要一定的阅读能力；二是艺术与科学的关系，即将书面语言转化为数学的符号语言；三是数学间隙，即建立相应的数学模型。
施工结束后，我们还需要扎实的基础知识和较强的数学能力。
求解应用题的一般步骤是（四步法）：1.阅读问题：阅读并深入理解，翻译成数学语言，找出主要关系；2.建模：把主要关系近似化、形式化，抽象成数学问题；3.解决方法：将其转化为常规问题，并选择适当的数学方法来解决；4.评价：对结果进行验证或评估，对错误加以调节，最后将结果应用于现实，作出解释或验证。
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【课 题】：应用问题·专题研究 【学习目标】：掌握应用题解题的一般步骤、解题方法. 〖知识归纳〗：1.应用题的背景丰富，题目灵活多变，但应用题的解答却是一个程序化的过程：（1）审题、（2）建模、（3）运算.2.要做好高考应用题，需注意以下三个方面：（1）文字关：即阅读理解题意，罗列题目的条件，分清题目中的已知量、未知量、常量、变量、新词汇，分析题目所求，思考可能采用的方法——审题.（2）建模关：建立数学模型主要包括代数建模、几何建模.代数建模主要利用函数、数列、不等式进行建模，其难度主要在阅读题意，建立等式或不等式关系上；几何建模主要是利用解析几何知识，建立直角坐标系，使实际问题几何化，解决实际问题.（3）运算关：考查学生运算的稳定度，精确度. 3.应用题在考查知识上主要有：Ⅰ.函数、不等式的应用题，数学模型主要有一次函数、反比例函数、二次函数、分段函数、以及形如y =ax +bx的函数等. Ⅱ.数列、不等式应用题，常用的数学模型有构造等差、等比数列的模型，然后应用数列求和或特殊数列求和求解；构造数列通项的递推公式或Sn 的递推公式，利用待定系数法或an 与Sn 的关系求解，注意n 的范围问题等.Ⅲ.三角、向量应用题，引入角作为参变量，构造三角形，借助正弦定理、余弦定理、三角函数公式、三角函数的最值、向量、不等式、图象的对称及平移等知识，求解实际问题，对于参变量的角要注意角的范围.Ⅳ.解析几何应用题，命题点主要为有线性规划应用题及椭圆应用题、双曲线应用题、抛物线应用题等，利用线性规划求最优解、使用导数与切线的关系或利用圆锥曲线的定义或性质等求解问题. 〖典题研究〗： 1、（2015年江苏第17题，本小题满分14分）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为12l l ，，山区边界曲线为C ，计划修建的公路为l ，如图所示，M ，N 为C 的两个端点，测得点M 到12l l ，的距离分别为5千米和40千米，点N 到12l l ，的距离分别为20千米和2.5千米，以12l l ，所在的直线分别为x ，y 轴，建立平面直角坐标系xOy ，假设曲线C 符合函数2ay x b=+（其中a ，b 为常数）模型. （I ）求a ，b 的值；（II ）设公路l 与曲线C 相切于P 点，P 的横坐标为t.①请写出公路l 长度的函数解析式()f t ，并写出其定义域；②当t 为何值时，公路l 的长度最短？求出最短长度. 2、（淮安市2015届高三第三次调研测试数学试题第17题，本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知向量=a (1，0)，=b (0，2).设向量=+x a (1cos θ-)b ，k =-y a 1sin θ+b ，其中0πθ<<.（1）若4k =，π6θ=，求x ⋅y 的值；（2）若x //y ，求实数k 的最大值，并求取最大值时θ的值.3、（淮安市2014年8月南京、盐城联考高三数学二模第17题，本小题满分15分）如图，经过村庄A 有两条夹角为60°的公路AB ，AC ，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P ，分别在两条公路边上 建两个仓库M 、N (异于村庄A )，要求PM ＝PN ＝MN ＝2(单位：千米)．如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小 (即工厂与村庄的距离最远)．4、（宿迁市三校2014-2015学年下学期4月月考高一数学试题，第18题，本小题满分16分）某地今年年初有居民住房面积为a m 2，其中需要拆除的旧房面积占了一半，当地有关部门决定每年以当年年初住房面积的10%的住房增长率建设新住房，同时每年拆除x m 2的旧住房，又知该地区人口年增长率为4.9‰．（1）如果10年后该地区的人均住房面积正好比目前翻一番，那么每年应拆除的旧住房面积x 是多少？（2）依照（1）拆房速度，共需多少年能拆除所有需要拆除的旧房？注：下列数据供5、（2014年秋锦江校考宿迁市2014届高三11月第一次调研考试数学试题第18题，本小题满分16分）如图，海上有A B ，两个小岛相距10km ，船O 将保持观望A 岛和B 岛所成的视角为60︒，现从船O 上派下一只小艇沿BO 方向驶至C 处进行作业，且OC BO =．设AC x =km ．（1）用x 分别表示22OA OB +和OA OB ⋅，并求出x 的取值范围；（2）晚上小艇在C 处发出一道强烈的光线照射A 岛，B 岛至光线CA 的距离为BD ，求BD 的最大值．APMNBC(第18题图)6、（15年陕西理科）某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料．已知生产1吨每种产品需原料及每天原料 的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最7、在海岸A 处，发现北偏东045方向、距离A 处13 海里的B 处有一艘走私船；在A 处北偏西075方向、距离A 处2海里的C 处的辑私船奉命以310海里/小时的速度追截走私船.同时，走私船正以10海里/小时的速度从B 处向北偏东030方向逃窜，问辑私船沿什么方向能最快追上走私船？最少要花多少时间？8、（2004 广东）某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s.已知各观测点到该中心的距离都是1020 m. 试确定该巨响发生的位置. (假定当时声音传播的速度为340 m/s:相关各点均在同一平面上)9、（江苏省泰州市姜堰区2015届高三下学期期初联考数学试题第17题，本小题满分14分．）光在某处的照度与光的强度成正比，与光源距离的平方成反比，假设比例系数都为1。
强度分别为a,b 的两个光源A ，B 间的距离为d ，在连结两光源的线段AB （不含端点）上有一点P ，设PA=x ，P 点处的“总照度”等于各照度之和。
（I ）若a =8，b =1，d =3，求点P 的“总照度”()I x 的函数表达式; （II ）在（1）问中，点P 在何处总照度最小？B ACD10、（南通市2015届高三第一次调研测试第18题，本小题满分14分）在长为20m ，宽为16m 的长方形展厅正中央有一圆盘形展台(圆心为点)C ，展厅入口位于长方形的长边的中间，在展厅一角B 点处安装监控摄像头，使点B 与圆C 在同一水平面上，且展台与入口都在摄像头水平监控范围内(如图阴影所示).（1）若圆盘半径为25m ，求监控摄像头最小水平视角的正切值；（2）过监控摄像头最大水平视角为60，求圆盘半径的最大值.(注：水平摄像视角指镜头中心点水平观察物体边缘的实现的夹角.)11、（2015高考上海，文21本题共2小题，第1小题6分，第2小题8分,本小题满分14分）.如图，C B A ,,三地有直道相通，5=AB 千米，3=AC 千米，4=BC 千米.现甲、乙两警员同时从A 地出发匀速前往B 地，经过t 小时，他们之间的距离为)(t f （单位：千米）.甲的路线是AB ，速度为5千米/小时，乙的路线是ACB ，速度为8千米/小时.乙到达B 地后原地等待.设1t t =时乙到达C 地.（1）求1t 与)(1t f 的值；（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米.当11≤≤t t 时，求)(t f 的表达式，并判断)(t f 在]1,[1t 上得最大值是否超过3？说明理由.12、如图，中国渔民在中国南海黄岩岛附近捕鱼作业，中国海监船在A 地侦察发现，在南偏东60°方向的B 地，有一艘某国军舰正以每小时13海里的速度向正西方向的C 地行驶，企图抓捕正在C 地捕鱼的中国渔民．此时，C 地位于中国海监船的南偏东45°方向的10海里处，中国海监船以每小时30海里的距离赶往C 地救援我国渔民，能不能及时赶到？ (2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45)13、(南通市2011届高三第三次调研测试数学试题第18题，本题满分15分)如图，直角三角形ABC 中，∠B=90°，AB=1，BC=3，点M ，N 分别在边AB 和AC 上（M 点和B 点不重合），将△AMN 沿MN 翻折，△AMN 变为△A ‘MN ，使顶点A ‘落在边BC 上（A ‘点和B 点不重合）．设∠AMN=θ．（1）用θ表示线段AM 的长度，并写出θ的取值范围；（2）求线段A ‘N 长度的最小值．14、(江苏省2010届高三数学模拟数学试题第18题，本题满分15分)如图,矩形纸片ABCD 的边AB =24,AD =25,点E 、F 分别在边AB 与BC 上.现将纸片的右下角沿EF 翻折,使得顶点B 翻折后的新位置1B 恰好落在边AD 上.设BEt EF=,EF l =,l 关于t 的函数为()l f t =,试求:(1)函数()f t 的解析式；(2)函数()f t 的定义域；(3)l 的最小值.15、（扬州中学2012—2013学年度第二学期开学质量检测高三数学第17题，本小题满分15分）如图所示，有一块边长为1km 的正方形区域ABCD ，在点A 处有一个可转动的探照灯，其照射角PAQ ∠始终为4π弧度（其中点P Q 、分别在边BC CD 、上运动），设PAB θ∠=，tan t θ=。
（1）试用t 表示出PQ 的长度，并探求CPQ ∆的周长l ；（2）求探照灯照射在正方形ABCD 内部区域的面积S 的最大值。
A B C DF1ADθ4π应用问题·专题研究（参考答案）〖典题研究〗：1、（2015年江苏第17题，本小题满分14分）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为12l l ，，山区边界曲线为C ，计划修建的公路为l ，如图所示，M ，N 为C 的两个端点，测得点M 到12l l ，的距离分别为5千米和40千米，点N 到12l l ，的距离分别为20千米和2.5千米，以12l l ，所在的直线分别为x ，y 轴，建立平面直角坐标系xOy ，假设曲线C 符合函数2ay x b=+（其中a ，b 为常数）模型.（I ）求a ，b 的值；（II ）设公路l 与曲线C 相切于P 点，P 的横坐标为t. ①请写出公路l 长度的函数解析式()f t ，并写出其定义域； ②当t 为何值时，公路l 的长度最短？求出最短长度.2、（淮安市2015届高三第三次调研测试数学试题第17题，本小题满分14分）解：（1）（方法1）当4k =，π6θ=时，()123=-，x ，=y (44-，)， 则⋅=x y ()1(4)234443⨯-+-⨯=-… 6（方法2）依题意，0⋅=a b ，… 2分 则⋅=x y ()342144432=-+⨯-⨯=- ． … 6分（2）依题意，()122cos θ=-，x ，()2sin k θ=-，y ，因为x //y ，所以2(22cos )sin k θθ=--，整理得，()1sin cos 1kθθ=-，… 9分 令()()sin cos 1f θθθ=-，则()()cos cos 1sin (sin )f θθθθθ'=-+-22cos cos 1θθ=-- ()()2cos 1cos 1θθ=+-. … 11分 令()0f θ'=，得1cos 2θ=-或cos 1θ=， 又0πθ<<，故2π3θ=. 列表：故当2π3θ=时，min ()f θ=334-，此时实数k 取最大值439-. …… 14分3、如图，经过村庄A 有两条夹角为60°的公路AB ，AC ，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P ，分别在两条公路边上建两个仓库M 、N (异于村庄A )，要求PM ＝PN ＝MN ＝2(单位：千米)．如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远)．解法一：设∠AMN ＝θ，在△AMN 中，MN sin60°＝AMsin(120°－θ)．因为MN ＝2，所以AM ＝433sin(120°－θ) ． ………………2分在△APM 中，cos ∠AMP ＝cos(60°＋θ)． 6分AP 2＝AM 2＋MP 2－2 AM ·MP ·cos ∠AMP ＝163sin 2(120°－θ)＋4－2×2×433 sin(120°－θ) cos(60°＋θ) ………………………………8分 ＝163sin 2(θ＋60°)－1633 sin(θ＋60°) cos(θ＋60°)＋4 ＝83[1－cos (2θ＋120°)]－833 sin(2θ＋120°)＋4 ＝－83[3sin(2θ＋120°)＋cos (2θ＋120°)]＋203＝203－163sin(2θ＋150°)，θ∈(0，120°)． …………………………………………12分当且仅当2θ＋150°＝270°，即θ＝60°时，AP 2取得最大值12，即AP 取得最大值23．答：设计∠AMN 为60时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．……………………………………14分解法二(构造直角三角形)：设∠PMD ＝θ，在△PMD 中，∵PM ＝2，∴PD ＝2sin θ，MD ＝2cos θ． ……………2分 在△AMN 中，∠ANM ＝∠PMD ＝θ，∴MN sin60°＝AMsin θ，AM ＝433sin θ，∴AD ＝433sin θ＋2cos θ，(θ≥π2时，结论也正确)．……………6分 AP 2＝AD 2＋PD 2＝(433sin θ＋2cos θ)2＋(2sin θ)2＝163sin 2θ＋833sin θcos θ＋4cos 2θ＋4sin 2θ …………………………8分A PMNBC第17题图D APMNB C (第20题图) θ ()2π0 3， 2π3()2π π3， ()f θ' - 0+ ()f θ ↘ 极小值334-↗＝163·1－cos2θ2＋433sin2θ＋4＝433sin2θ－83cos2θ＋203＝203＋163sin(2θ－π6)，θ∈(0，2π3)． ……12分 当且仅当2θ－π6＝π2，即θ＝π3时，AP 2取得最大值12，即AP 取得最大值23．此时AM ＝AN ＝2，∠PAB ＝30° …14分解法三：设AM ＝x ，AN ＝y ，∠AMN ＝α．在△AMN 中，因为MN ＝2，∠MAN ＝60°，所以MN 2＝AM 2＋AN 2－2 AM ·AN ·cos ∠MAN ，即x 2＋y 2－2xy cos60°＝x 2＋y 2－xy ＝4． ……2分因为MN sin60°＝AN sin α，即2sin60°＝ysin α，所以sin α＝34y ，co sα＝x 2＋4－y 22×2×x ＝x 2＋(x 2－xy )4x ＝2x －y 4． …………6分cos ∠AMP ＝cos(α＋60°)＝12cos α－32sin α＝12·2x －y 4－32·34y ＝x －2y 4．………8分在△AMP 中，AP 2＝AM 2＋PM 2－2 AM ·PM ·cos ∠AMP ，即AP 2＝x 2＋4－2×2×x ×x －2y 4＝x 2＋4－x (x －2y )＝4＋2xy ．………12分因为x 2＋y 2－xy ＝4，4＋xy ＝x 2＋y 2≥2xy ，即xy ≤4．所以AP 2≤12，即AP ≤23．当且仅当x ＝y ＝2时，AP 取得最大值23． 答：设计AM ＝AN ＝2 km 时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．…14分 解法四(坐标法)：以AB 所在的直线为x 轴，A 为坐标原点，建立直角坐标系．设M (x 1，0)，N (x 2，3x 2)，P (x 0，y 0)．∵MN ＝2，∴(x 1－x 2)2＋3x 22＝4． ………2分MN 的中点K (x 1＋x 22，32x 2)． ∵△MNP 为正三角形，且MN ＝2．∴PK ＝3，PK ⊥MN ．∴PK 2＝(x 0－x 1＋x 22)2＋(y 0－32x 2)2＝3， k MN ·k PK ＝－1，即3x 2x 2－x 1·y 0－32x 2x 0－x 1＋x 22＝－1， ……6分∴y 0－32x 2＝x 1－x 23x 2(x 0－x 1＋x 22)，∴(y 0－32x 2)2＝(x 1－x 2)23x 22(x 0－x 1＋x 22)2∴(1＋(x 1－x 2)23x 22)(x 0－x 1＋x 22)2＝3，即43x 22(x 0－x 1＋x 22)2＝3，∴(x 0－x 1＋x 22)2＝94x 22．∵x 0－x 1＋x 22＞0 ∴x 0－x 1＋x 22＝32x 2，∴x 0＝12x 1＋2x 2，∴y 0＝32x 1． ……8分∴AP 2＝x 20＋y 20＝(2x 2＋12x 1)2＋34x 21＝x 21＋4x 22＋2x 1x 2＝4＋4x 1x 2≤4＋4×2＝12， ………12分即AP ≤23．答：设计AM ＝AN ＝2 km 时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．…………………………14分4、（宿迁市三校2014-2015学年下学期4月月考高一数学试题，第18题，本小题满分16分）某地今年年初有居民住房面积为a m 2，其中需要拆除的旧房面积占了一半，当地有关部门决定每年以当年年初住房面积的 10%的住房增长率建设新住房，同时每年拆除x m 2的旧住房，又知该地区人口年增长率为4.9‰． （1）如果10年后该地区的人均住房面积正好比目前翻一番，那么每年应拆除的旧住房面积x 是多少？ （2）依照（1）拆房速度，共需多少年能拆除所有需要拆除的旧房？注：下列数据供计算时参考：解：(1)设今年人口为b 人，则10年后人口为b(1+4.9‰)10=1.05b………………………………3分1年后的住房面积为a×(1+10%)－x=1.1a －x2年后的住房面积为(1.1a －x)×(1+10%)－x=1.12a －1.1x －x=1.12a －x(1+1.1) 3年后的住房面积为(1.12a －1.1x －x)×(1+10%)－x=1.13a －x(1+1.1+1.12)10年后的住房面积a×1.110－x(1+1.1+1.12+…1.19)=2.6a －x·101(1 1.1)1 1.1⨯--=2.6a －16x………8分∴2.61621.05a x ab b-=⨯……………12分∴x=32a ………………13分(2)全部拆除旧房还需116232a a ÷=年……………………16分 5.（2014年秋锦江校考宿迁市2014届高三11月第一次调研考试数学试题第18题，本小题满分16分）如图，海上有A B ，两个小岛相距10km ，船O 将保持观望A 岛和B 岛所成的视角为60︒，现从船O 上派下一只小艇沿BO方向驶至C 处进行作业，且OC BO =．设AC x =km ．（1）用x 分别表示22OA OB +和OA OB ⋅，并求出x 的取值范围；（2）晚上小艇在C 处发出一道强烈的光线照射A 岛，B 岛至光线CA 的距离为BD ，求BD 的最大值．试题分析：（1）在 和 中，分别用余弦定理AC ，AB ，然后两式相加即得 1 的表达式；两式相减即得2 的表达式，由和确定x 的取值范围.（2）由 、 和可得到关于BD 的函数式，然后通过求导，求出BD 的最大值. 试题解析：解：（1）在 中，，，由余弦定理得， ，又 ，所以 ①，在中，，由余弦定理得， ②， 3分①+②得 ，①②得 ，即 ， 4分又 ，所以 ，即，又 ，即 ，所以； 6分（2）易知，故， 8分又 ，设 ，所以 ， 9分 6、（15年陕西理科）某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料．已知生产1吨每种产品需原料及每天原料 的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最 大利润为甲乙原料限额A(吨)3212B(吨)128(第18题图)60︒DBCA【答案】D 【解析】试题分析：设该企业每天生产甲、乙两种产品分别为x 、y 吨，则利润34z x y =+由题意可列32122800x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，其表示如图阴影部分区域：当直线340x y z +-=过点(2,3)A 时，z 取得最大值，所以max 324318z =⨯+⨯=，故选D ．7、在海岸A 处，发现北偏东045方向、距离A 处13-海里的B 处有一艘走私船；在A 处北偏西075方向、距离A 处2海里的C 处的辑私船奉命以310海里/小时的速度追截走私船.同时，走私船正以10海里/小时的速度从B 处向北偏东030方向逃窜，问辑私船沿什么方向能最快追上走私船？最少要花多少时间？解析：设辑私船t 小时后在D 处追上走私船，则有t BD t CD 10,310==.在ABC ∆中，0120,2,13=∠=-=ABC AC AB .利用余弦定理可得6=BC (4)分由正弦定理，222362sin sin =⋅=∠=∠BAC BC AC ABC ,得045=∠ABC ，即BC 与正北方向垂直.于是0120=∠CBD . 在BCD ∆中，由正弦定理得，21310120sin 10sin sin 0=⋅=∠=∠t t CD CBD BD BCD 得030=∠BCD , 又0030sin 120sin BCCD =，63310=t ，得106=t . 答： 当辑私船沿东偏北︒30的方向能最快追上走私船，最少要花的时间为610小时. 8、某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s.已知各观测点到该中心的距离都是1020 m. 试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速 度为340 m/s:相关各点均在同一平面上)［解析］如图，以接报中心为原点O ，正东、正北方向为x 轴、y 轴正向，建立直角坐标系.设A 、B 、C 分别是西、 东、北观测点，则A （－1020，0），B （1020，0）， C （0，1020） 设P （x ,y ）为巨响发生点，由A 、C 同时听到巨响声，得 |PA |=|PC |，故P 在AC 的垂直平分线PO 上，PO 的方程为y =－x ，因B 点比 A 点晚4s 听到爆炸声，故|PB |－ |PA |=340×4=1360由双曲线定义知P 点在以A 、B 为焦点的双曲线22221x y a b-=上，依题意得a =680, c =1020，∴b 2=c 2－a 2=10202－6802=5×3402 故双曲线方程为222216805340x y -=⨯用y =－x 代入上式，得x =±680 ，∵|PB |＞|PA |,∴x =－680 , y =680 ,即P (－680 ,680 ),故PO =680 答：巨响发生在接报中心的西偏北45°距中心680 m 处.9、（江苏省泰州市姜堰区2015届高三下学期期初联考数学试题第17题，本小题满分14分．）光在某处的照度与光的强度成正比，与光源距离的平方成反比，假设比例系数都为1。