最新届高考数学-江苏专用--【应用题中的瓶颈题】讲解

第3讲应用问题中的“瓶颈题”

数学应用问题是高考中常见题型之一,是能否锁定128分的重要突破口.常见的应用题有:(1) 函数与不等式模型;(2) 函数与导数模型;(3) 三角函数模型;(4) 数列模型.解决实际问题的一般步骤:(1) 阅读题目,理解题意;(2) 设置变量,建立函数关系;(3) 应用函数知识或数学方法解决问题;(4) 检验,作答.解应用题的一般思路可表示如下:

分类解密———专题突破

函数与不等式模型的应用题

例1 某工厂有工人214名,现要生产1500件产品,每件产品由3个A型零件和1个B型零件配套组成,每个工人加工5个A型零件与加工3个B型零件所需的时间相同.现将工人分成两组,分别加工一种零件,同时开始加工.设加工A型零件的工人有x人,在单位时间里每一个工人加工A型零件5k件,加工完A型零件所需时间为g(x),加工完B型零件所需时间为h(x).

(1) 比较g(x)与h(x)的大小,并写出完成总任务的时间f(x)的解析式;

(2) 应怎样分组,才能使完成任务用时最少?

练习如图,已知矩形油画的长为a,宽为b.在该矩形油画的四边镶金箔,四个角(图中斜线区域)装饰矩形木雕,制成一幅矩形壁画.设壁画左右两边金箔的宽为x,上下两边金箔的宽为y,壁画的总面积为S.

(1) 用x,y,a,b表示S;

(2) 若S为定值,为节约金箔用量,应使四个矩形木雕的总面积最大,求四个矩形

木雕总面积的最大值及对应的x,y 的值.

(练习)

函数与导数模型的应用题

例1 某建筑公司要在一块如图所示的矩形地面上进行开发建设,阴影部分

为一公共设施,不能开发,且要求用栏栅隔开(栏栅要求在一直线上),公共设施边界为曲线f(x)=1-ax 2(a>0)的一部分,栏栅与矩形区域的边界交于点M,N,交曲线于点P,设P(t,f(t)).

(1) 将△OMN(O 为坐标原点)的面积S 表示成t 的函数S(t);

(2) 若在t=1

2处,S(t)取得最小值,求此时a 的值及S(t)的最小值.

(例1)

练习 在某次水下考古活动中,需要潜水员潜入水深为30m 的水底进行

作业.其用氧量包含3个方面:①下潜时,平均速度为v(米/单位时间),单位时间内用氧量为cv 2(c 为正常数);②在水底作业需5个单位时间,每个单位时间用氧量为0.4;

③返回水面时,平均速度为2v

(米/单位时间),单位时间用氧量为0.2.记该潜水员在

此次考古活动中,总用氧量为y.

(1) 求出y 关于v 的函数解析式;

(2) 设0

三角形与三角函数模型

例1 如图,某园林单位准备绿化一块直径为BC的半圆形空地,△ABC外的地方种草,△ABC的内接正方形PQRS为一水池,其余的地方种花,若BC=a,∠ABC=θ,设△ABC的面积为S

1

,正方形PQRS的面积为S

2

.

(1) 用a,θ表示S

1

和S

2

;

(2) 当a固定,θ变化时,求

1

2

S

S的最小值.

(例1)

练习(2014·淮安中学)如图所示,某市政府决定在以政府大楼O为中心,正北方向和正东方向的马路为边界的扇形地域内建造一个图书馆.为了充分利用这块土地,并考虑与周边环境协调,设计要求该图书馆底面矩形的四个顶点都要在边界上,图书馆的正面要朝市政府大楼.设扇形的半径OM=R,∠MOP=45°,OB与OM之间的夹角为θ.

(1) 将图书馆底面矩形ABCD的面积S表示成θ的函数.

(2) 求当矩形ABCD的面积S最大时,θ的值,并求最大值.(用含R的式子表示)

(练习)

解析几何模型

例1 一艘轮船在沿直线返回港口的途中,接到气象台的台风预报:台风中心位于轮船正西80km处,受影响的范围是半径长为r(r>0)km的圆形区域.轮船的航行方向为西偏北45°且不改变航线,假设台风中心不移动.

(1) r在什么范围内,轮船在航行途中不会受到台风的影响?

(2) 当r=60时,轮船在航行途中受到影响的航程是多少千米?

练习(2014·江苏卷)如图,为保护河上古桥OA,规划建一座新桥BC,同时设立一个圆形保护区.规划要求:新桥BC与河岸AB垂直,保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆,且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m.经测量,点A位于点O正北方向60m处,点C位于点O正东方向170m处(OC为河岸),tan∠

BCO=4 3.

(1) 求新桥BC的长;

(2) 当OM多长时,圆形保护区的面积最大?

(练习)

数列模型

例1 商学院为推进后勤社会化改革,与桃园新区商定:由该区向建设银行贷款500万元在桃园新区为学院建一栋可容纳1000人的学生公寓,工程于2012年年初动工,年底竣工并交付使用,公寓管理处采用收费还贷偿还建行贷款(年利率5%,按复利计算),公寓所收费用除去物业管理费和水电费18万元.其余部分全部在年底还建行贷款.

(1) 若公寓收费标准定为每名学生每年800元,问:到哪一年可还清建行全部贷

款?

(2) 若公寓管理处要在2020年底把贷款全部还清,则每名学生每年的最低收费标准是多少元?(精确到元,参考数

据:lg1.7343=0.2391,lg1.05=0.0212,1.058=1.4774)

练习某企业投入81万元经销某产品,经销时间共60个月,市场调研表明,该企业在经销这个产品期间第x个月的利润函数

f(x)=

*

*

1,120,N,

1

,2160,N

10

x x

x x x

∈

∈

⎧≤≤

⎪

⎨

≤≤

⎪⎩

(单位:万元).为了获得更多的利润,企业将每月获得

的利润再投入到次月的经营中.记第x个月的利润率为g(x)=

x

x

第个月的利润

第个月的资金总和,例

如,g(3)=

(3)

81(1)(2)

f

f f

++.

(1) 求g(10);

(2) 求第x个月的当月利润率;

(3) 该企业经销此产品期间,哪一个月的当月利润率最大?并求出该月的当月利润率.

立体几何体模型

例1 某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度,长度单位:m),其中容器的中间为圆柱形,高为l,左右两端均为半球形,半径为r,按照设计要求容器的体积为

80π

3 m3,且l≥2r.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元,半球形部分每平方米建造费用为c(c>3)千元.设该容器的建造费用为y千元.

(1) 求y关于r的函数解析式,并求该函数的定义域;

(2) 求该容器的建造费用最小时半径r的值.