最新届高考数学-江苏专用--【应用题中的瓶颈题】讲解
高考数学母题解密专题12 基本不等式的应用附答案解析(江苏专版)
专题10 基本不等式的应用【母题来源一】【2020年江苏】已知，则的最小值是22451(,)x y y x y R +=∈22x y +_______．【母题来源二】【2019年江苏】在平面直角坐标系中，P 是曲线上xOy 4(0)y x x x =+>的一个动点，则点P 到直线x +y =0的距离的最小值是 ▲ .【母题来源三】【2018年江苏】在中，角所对的边分别为，ABC △,,A B C ,,a b c ，的平分线交于点D ，且，则的最小值为120ABC ∠=︒ABC ∠AC 1BD =4a c +___________．【命题意图】（1）了解基本不等式的证明过程.（2）会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题.【命题规律】基本不等式是高考考查的热点，常以填空题的形式出现．通常以不等式为载体综合考查函数、方程、三角函数、立体几何、解析几何等问题．主要有以下几种命题方式：（1）应用基本不等式判断不等式是否成立或比较大小．解决此类问题通常将所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解．（2）条件不等式问题．通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解．（3）求参数的值或范围．观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得到参数的值或范围.【方法总结】利用基本不等式求最值的常用技巧：（1）若直接满足基本不等式条件，则直接应用基本不等式．（2）若不直接满足基本不等式条件，则需要创造条件对式子进行恒等变形，如构造“1”的代换等．常见的变形手段有拆、并、配.①拆——裂项拆项对分子的次数不低于分母次数的分式进行整式分离——分离成整式与“真分式”的和，再根据分式中分母的情况对整式进行拆项，为应用基本不等式凑定积创造条件．②并——分组并项目的是分组后各组可以单独应用基本不等式，或分组后先由一组应用基本不等式，再组与组之间应用基本不等式得出最值．③配——配式配系数有时为了挖掘出“积”或“和”为定值，常常需要根据题设条件采取合理配式、配系数的方法，使配式与待求式相乘后可以应用基本不等式得出定值，或配以恰当的系数后，使积式中的各项之和为定值.（3）若一次应用基本不等式不能达到要求，需多次应用基本不等式，但要注意等号成立的条件必须要一致.注：若可用基本不等式，但等号不成立，则一般是利用函数单调性求解.（4）基本不等式的常用变形①a ＋b ≥2(a >0，b >0)，当且仅当a ＝b 时，等号成立．ab ②a 2＋b 2≥2ab ，ab ≤2(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时，等号成立． (a ＋b 2)③＋≥2(a ，b 同号且均不为零)，当且仅当a ＝b 时，等号成立． b a a b④a ＋≥2(a >0)，当且仅当a ＝1时，等号成立；a ＋≤－2(a <0)，当且仅当a ＝－1时，等1a 1a号成立．1．（江苏省南京市玄武高级中学2020届高三下学期最后一卷）已知直线经过点，则的最小值是_________． 80(,)ax by a b R +-=∈(1,2)-124a b+2．（江苏省南京市玄武高级中学2020届高三下学期最后一卷）设，均为正实数，且x y ，则的最小值为________. 33122x y+=++xy3．（江苏省南通市2020届高三下学期第三次调研测试）已知x ＞1，y ＞1，xy ＝10，则的最小值是_______． 14lg lg x y+4．当时，的最小值为______. 1x >41x x +-5．（江苏省2020届高三下学期6月高考押题）已知正实数满足，则,x y 211x x y y ⎛⎫-= ⎪⎝⎭的最小值为____________. 1x y+6．在中,已知,,,为线段上的点,ABC ·9AB AC =sin cos sin B A C =6ABC S = P AB 且,则的最大值为________. CA CB CP x y CA CB=+ xy 7．已知，，且，若恒成立，则实数的取值范0x >0y >211x y+=222x y m m +>+m 围是______. 8．已知，且，若，则的最小值为______. ,x y R ∈1x >()()121x y --=66xy x y +++9．（江苏省无锡市天一中学2020届高三下学期6月模拟）常数，和正变量，满a b x y 足，，若的最小值为64，则______． 16a b ⋅=212a b x y +=2x y +b a =10．（江苏省南通市海安高级中学2020届高三下学期5月第二次检测）已知函数的图像经过点，如下图所示，则的最小值(0)x y a b b =+>(1,3)P 411a b+-为 .11．（2019届江苏省南京市、盐城市高三第一次模拟）若正实数满足,,a b c ，则的最大值为________.2,2ab a b abc a b c =+=++c12．（2020届江苏省无锡市高三上学期期末）对于任意的正数，不等式,a b 恒成立，则的最大值为_____.222(2)443ab a k b ab a +≤++k 解析附后专题10 基本不等式的应用【母题来源一】【答案】 45【解析】根据题设条件可得，可得，利用基本不42215y x y -=4222222114+555y y x y y y y-+=+=等式即可求解．∵22451x y y +=∴且 0y ≠42215y x y -=∴，当且仅当，即42222221144+5555y y x y y y y -+=+=≥=221455y y =2231,102x y ==时取等号．∴的最小值为． 22x y +45故答案为：． 45【点睛】本题考查了基本不等式在求最值中的应用．利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号≥≤能否同时成立）．【母题来源二】【答案】4【解析】设P 点的坐标是， 4(,0)m m m m+>则点P 到直线x +y =0，4=≥=当且仅当，即时等号成立，42m m=m =则点P 到直线x +y =0的距离的最小值是4.故答案为．4【名师点睛】本题考查曲线上任意一点到已知直线的最小距离，渗透了直观想象和数学运算素养.利用基本不等式即可求解.【母题来源三】【答案】9【解析】由题意可知，,S △ABC =S △ABD +S △BCD 由角平分线性质和三角形面积公式得， 12ac sin120°=12a ×1×sin60°+12c ×1×sin60°化简得， ac =a +c,1a +1c=1因此 4a +c =(4a +c )(1a +1c )=5+c a +4a c ≥5+2c a ⋅4a c =9,当且仅当时取等号，则的最小值为.c =2a =34a +c 9【名师点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求字母为正数）、“定”不等式的另一边必须为定值）、“等（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.1．【答案】32【解析】根据题意，直线经过点，则有， 80(,)ax by a b R +-=∈(1,2)-28a b -=即；82a b =+则，当且仅当时等号成立；824111224232444a b b b b b +++=+=+=…2b =-即的最小值是32， 124a b +故答案为：32．【点睛】本题考查基本不等式的性质以及应用，涉及直线的一般式方程，属于中档题．2．【答案】16 【解析】由，可化为， 33122x y+=++8xy x y =++，均为正实数，x y（当且仅当等号成立）88xy x y ∴=+++…x y =即，80xy -…，即416xy …故的最小值为16．xy 故答案为：16．来构造一(0,0)2a b a b +>>个新的不等式．3．【答案】9【解析】∵,,，∴，，， 10xy =1x >1y >lg lg 1x y +=lg 0x >lg 0>y所以1414lg 4lg (lg )55lg lg lg lg lg lg y x x y x y x y x y +=++=++≥+，当且仅当，即时取“＝”． 59=+=lg 4lg lg lg y x x y=1310x =故答案为： 9【点睛】本题考查对数的运算及基本不等式的应用，属于基础题. 4．【答案】5【解析】，，由基本不等式得1x >Q 10x ∴->. ()44111511x x x x +=-++≥+=--当且仅当时，等号成立.3x =因此，的最小值为. 41x x +-5故答案为：.5【点睛】本题考查利用基本不等式求代数式的最值，考查计算能力，属于基础题. 5．【答案】2【解析】，2222112141x x x x x x x x y y y y y y y y ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=+-=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 214x y x y y x ⎛⎫∴+=+ ⎪⎝⎭（当且仅当，即时取等号）， 2144x y x y y x ⎛⎫∴+=+≥= ⎪⎝⎭4x y y x =2y x =，即的最小值为. 12x y ∴+≥1x y +2故答案为：2【点睛】本题考查利用基本不等式求解和的最小值的问题，关键是能够将已知等式变形、配凑成符合基本不等式的形式.6．【答案】3【解析】由得 sin cos sin B A C =2222221622ABC b c a b c a b c S ab bc ∆+-=⇒+=⇒==所以由得·9AB AC = 29,3,4AC b a =∴== 又为线段上的点，且, P AB CA CB CP x y CA CB=+ 所以 ， 1,1,1334x y x y xy b a +=∴+=∴≥≤当且仅当时，等号成立 3,22x y ==即的最大值为3.xy 7．【答案】()4,2-【解析】因为，要使()2142244228y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥+⨯= ⎪⎝⎭恒成立，所以，解得.222x y m m +>+228m m +<42m -<<故答案为：．(4,2)-【点睛】本题考查不等式恒成立问题，解题关键是用“1”的代换凑配出定值后用基本不等式求最小值．8．【答案】25【解析】由题, ,设则. ()()6616xy x y x y +++=++1,2a x b y =-=-1ab =.()()()()162882161717825x y a b ab a b ++=++=+++≥+=+=当且仅当时取等号.82a b =故答案为： 25【点睛】本题主要考查了换元法利用基本不等式求解最小值的问题.需要根据题中所给的形式换元,结合基本不等式求最小值.属于中档题.9．【答案】64【解析】 ()2222a b x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭()()2224242432bx ay a b a b a b y x ⎛⎫=+++≥++=++ ⎪⎝⎭所以，，又，所以，，． ()243264a b ++=416a b +=16ab =8a =2b =64b a =故答案为：64【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，属于中档题.10．【答案】 92【解析】由图可知，a ＞1，点(1，3)在函数的图象上，所以 a ＋b ＝3．1(0)x y a b b =+>＜a ＜3，0＜b ＜2． 4114114114192()[(1)]((5)12121212b a a b a b a b a b a b -+=⨯+=⨯-++=⨯++≥----当且仅当时取等号 72,33a b ==11．【答案】 87【解析】因为，所以， 2abc a b c =++211111a b ab c ab ab ab +===+---而，故，2ab a b =+2ab a b =+≥8ab ≥当且仅当等号成立，故的最大值为. 4,2a b ==c 87故答案为：. 87【点睛】本题为三元等式条件下的最值问题，注意将欲求范围的变量分离出来，再结合代数式的特点把最值问题转化为整体的范围问题，而后者可根据基本不等式来处理，本题属于中档题.12．【答案】【解析】由题均为正数，不等式恒成立，等价于,a b 222(2)443ab a k b ab a +≤++恒成立， 2222234442322a ab b b ab k a ab a ab++-≤=+++令则， ,0b xa x =>24223212121x x k x x x -≤+=++++22121x x ++≥+当且仅当即时取得等号， 22121x x +=+x =故的最大值为. k故答案为：【点睛】此题考查不等式恒成立求参数的取值范围，关键在于合理进行等价变形，此题可以构造二次函数求解，也可利用基本不等式求解.如何学好数学做选择题时注意各种方法的运用，比较简单的自己会的题正常做就可以了，遇到比较复杂的题时，看看能否用做选择题的技巧进行求解（主要有排除法、特殊值代入法、特例求解法、选项一一带入验证法、数形结合法、逻辑推理验证法等等），一般可以综合运用各种方法，达到快速做出选择的效果。
高中数学江苏省南京市高考应用题突破秘籍
高中数学江苏省南京市高考应用题突破秘籍引言高中数学江苏省南京市高考应用题是每年高考中的重要组成部分，也是区分学生数学素养的关键环节。
本秘籍旨在帮助广大考生掌握应用题解题技巧，提高解题速度和正确率。
一、了解题型及分值分布江苏省南京市高考数学应用题主要分为以下几种题型：1. 函数与方程应用题2. 几何应用题3. 概率与统计应用题4. 导数与极限应用题5. 综合应用题每种题型在高考数学试卷中占有一定分值，掌握各类题型的解题方法对提高总分具有重要意义。
二、突破方法与技巧1. 函数与方程应用题（1）认真审题，找出已知条件和所求未知量。
（2）建立函数关系式，明确函数类型（线性函数、二次函数、分段函数等）。
（3）根据题意，选择合适的解题方法（代入法、消元法、图像法等）。
（4）解出未知量，检验答案是否符合实际意义。
2. 几何应用题（1）分析题意，确定已知条件和所求未知量。
（2）画出图形，标注关键信息，明确几何关系。
（3）运用几何公式（如三角形面积、四边形面积、勾股定理等）解题。
（4）检查答案是否符合几何性质和实际意义。
3. 概率与统计应用题（1）明确概率统计的基本概念（如概率、期望、方差等）。
（2）根据题意，列出概率公式或统计公式。
（3）代入已知条件，计算出结果。
（4）解释结果的实际意义。
4. 导数与极限应用题（1）找出已知条件和所求未知量。
（2）确定函数的导数或极限表达式。
（3）运用导数或极限的性质，解题。
（4）检验答案是否符合实际意义。
5. 综合应用题（1）分析题意，确定已知条件和所求未知量。
（2）根据题意，将问题分解为几个小问题，分别解决。
（3）整合各个小问题的解题结果，得出最终答案。
（4）检查答案是否符合实际意义。
三、实战演练与总结通过以上方法，我们可以有效地解决高中数学江苏省南京市高考应用题。
在实际考试中，广大考生需要多做练，总结经验，不断提高解题速度和正确率。
最后，祝各位考生在高考数学中取得优异成绩，迈向理想的大学！。
2021届高考数学三轮复习：考前冲刺二压轴小题“瓶颈”突破
考前冲刺二压轴小题“瓶颈”突破“瓶颈”一般是指在整体中的关键限制因素，例如，一轮、二轮复习后，很多考生却陷入了成绩提升的“瓶颈期”一无论怎么努力，成绩总是停滞不前.怎样才能突破“瓶颈”，让成绩再上一个台阶？新高考卷客观题满分80分，共16题，决定了整个高考试卷的成败，要突破“瓶颈题”就必须在两类客观题第8, 11, 12, 15, 16题中有较大收获，分析近年高考，必须从以下儿个方面有所突破，才能实现“柳暗花明乂一村”，做到保“本”冲“优”，迈进双一流.热点聚焦分类突破研热点求突破压轴热点1函数的图象、性质及其应用【例1］(1)(2020-江南名校联考)已知/⑴是定义在R上的奇函数，且当兀>0时,2 7TJ(x)=~x-\n x+ln p 则函数g(x)=f(x)sinx的零点个数为( )A.lB.2C.3D.5⑵(2020•石家庄调研)若函数f(x~2)为奇函数，/(一2) = 0,且/U)在区间［一2, + 8)上单调递减，则不等式A3-x)>0的解集为___________ .解析(1)函数g(x)的零点个数,即函数y=f(x)的图象与>'=sinx的图象交点个数'*1 A>0 时，/U)=¥_v—ln x+ln 号，则/3=吕一2=—A 令f(x)=0，得x=号. 易知当0G岑时，代r)<0；当Q訓，％)>0.则在(0’另上单调递减，在库，+耳上单调递增，所以当x=^i,/(力取得最小值，且最小值为7(另=1・函数y=sinx在处取得最大值1,所以当x>0时，/W的图象与y=sin x的图象有且只有一个交点£，1).由/U)和>'=sin x均为奇函数，可得当x<0时，/(x) 的图象与y=sinx的图象的交点也有且只有一个，为点(一号，一1).乂两函数的图象均过原点，因此函数y=f(x)与)=5山尤的图象有3个交点，所以函数g(x)=/W -sinX的零点有3个.(2)因为函数/U—2)是奇函数，所以函数几丫一2)的图象关于点(0, 0)对称，故/(x)的图象关于点(一2, 0)对称.乂几r)在［一2, +©上单调递减，・•/>)在(-co, -2) 上也单调递减，由f(3-x)>0=f(~2),得3~x<~2,・・・x>5,・・不等式f(3~x) >0的解集为(5, +oo).答案(1)C (2)(5, +©探究提高1•利用图象法求函数几丫)的零点个数时，直接画函数/(劝的图象较困难，可以将解析式变形，将函数零点个数问题转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两函数图象，看其交点的横坐标有儿个不同的值，就有儿个不同的零点.2•求解函数的图象与性质综合应用问题的策略(1)熟练掌握图象的变换法则及利用图象解决函数性质、方程、不等式问题的方法.(2)熟练掌握与应用函数单调性、奇偶性、周期性、最值、对称性及零点解题的方法.【训练1】(2020•山东师大附中模拟)已知函数f[x)=X3-2x+c x-^其中e是自然对数的底数，在心一1)+几2/)弐，则实数“的取值范围是___________ .解析因为函数几¥)= / —2% +出一所以代¥)= 3异一2 + 7 +占N3%2—2 + (当且仅当尸。
第3讲 应用问题中的“瓶颈题”
第3讲应用问题中的“瓶颈题”【举题说法】第3讲应用问题中的“瓶颈题”(本讲对应学生用书第74~84页)数学应用问题是高考中常见题型之一，是能否锁定128分(试卷前128分)的重要突破口.常见的应用题有：(1)函数与不等式模型；(2)函数与导数模型；(3)三角函数模型；(4)数列模型.近几年江苏高考数学试题中，正在形成强调将数学应用于解决实际问题的趋势，这个趋势有以下两个特点：一是应用问题考查加大力度，连续多年考大题，形成江苏特色；二是由简单的直接应用向实际问题数学化转化，贴近生活，并且阅读量逐步增加.应用题在高考中的得分率一直比较低，怎样才能突破这个瓶颈，应该从以下几个方面抓起.首先，要掌握解决实际问题的一般步骤：(1)阅读题目，理解题意；(2)设置变量，建立函数关系；(3)应用函数知识或数学方法解决问题；(4)检验，作答(解应用题的一般思路如下面流程图所示).其次，要掌握数学建模的方法.下面以数学建模方法为例来谈谈如何突破应用题这个瓶颈.关系分析法通过寻找关键词和关键量之间的数量关系的方法来建立问题的数学模型.例1 某工厂有容量为300 t 的水塔一个，每天从早上6时起到晚上10时止供应该厂生活和生产用水.已知该厂生活用水为每小时10 t ，工业用水量W (单位：t)与时间t (单位：h ，定义早上6时t=0)的函数关系式为W=，水塔的进水量有10级，第一级每小时进水10 t ，以后每提高一级，每小时的进水量增加10 t ，若某天水塔原有水100 t ，在供水同时打开进水管.(1)设进水量选用第n 级，写出在t 时刻时水的存有量；(2)问：进水量选择第几级，既能保证该厂用水(水塔中水不空)又不会使水溢出? 【读懂题意】题目涉及的关键词比较多：生活用水量、工业用水量、水的存有量、进水量、原有量.其数量关系为：存有量=进水量-用水量+原有量，而用水量=生活用水量+工业用水量.第一问的关键点是求“进水量选用第n 级”.第二问的关键点是“水塔中水不空不溢”转化为“存有量∈(0，300)”.【建立模型】因为存有量=进水量-用水量+原有量，而用水量=生活用水量+工业用水量=10t+100，所以在选用第n 级的进水量时，t 时刻水的存有量为y=10nt-10t-100+100(0<t ≤16)，要使水塔中水不空不溢，则0<y ≤300，问题转化为确定n ，使0<10nt-10t-100≤300在(0，16]上恒成立.【精要解析】面对上述不等式，如何求解?是否会转化为“-10t++1<n ≤20t++1对一切0<t ≤16恒成立”，是否会作一个代换“令=x ，x ≥14”，将上式转化为“-10x 2+10x+1<n ≤20x 2+10x+1对一切x ≥14恒成立”.由于g (x )=20x 2+10x+1在14∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭，上的最小值为194，h (x )=-10x 2+10x+1在14∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭，上的最大值为72，所以72<n ≤194，从而确定n=4.练习 (2015·常州期末)某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建造一间室内面积为900 m 2的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1 m ，三块矩形区域的前、后与内墙各保留1 m 宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左、右内墙保留3 m 宽的通道，如图.设矩形温室的室内长为x (单位：m)，三块种植植物的矩形区域的总面积为S (单位：m 2).(1)求S 关于x 的函数关系式； (2)求S 的最大值.(练习)【解答】(1)由题设得S=(x-8)900-2x⎛⎫⎪⎝⎭=-2x-7200x +916，x ∈(8，450). (2)因为8<x<450，所以2x+7200x240， 当且仅当x=60时等号成立.从而S ≤676.答：当矩形温室的室内长为60 m 时，三块种植植物的矩形区域的总面积最大，最大为676 m 2.列表分析法对于数据较多，较复杂的应用性问题通过列表的方式探索问题的数学模型.例2从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少15，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加1 4.(1)设n年内(本年度为第一年)总投入为a n万元，旅游业总收入为b n万元，试写出它们的表达式；(2)问：至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入?【读懂题意】在研究旅游业的投入产出问题时，根据“本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少11”“54和旅游业收入每年会比上年增加”，其投入资金数列和收入(产出)数列均为等比数列，注意题目“设n年内(本年度为第一年)总投入为a n万元，旅游业总收入为b n万元”中的“n年内”说明“a n”，“b n”表示等比数列的前n项和.【建立模型】(1)第n 年的投入与收入资金数列表如下：(2)略【精要解析】(1)第1年投入800万元，第2年投入800×11-5⎛⎫⎪⎝⎭万元，…，第n年投入800×-111-5n⎛⎫⎪⎝⎭万元，所以n年内的总投入a n=800+800×11-5⎛⎫⎪⎝⎭+ (800)-111-5n⎛⎫⎪⎝⎭=4 000×41-5n⎡⎤⎛⎫⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦；第1年旅游业收入为400万元，第2年旅游业收入为400×114⎛⎫+⎪⎝⎭万元，…，第n年旅游业收入为400×-1114n⎛⎫+⎪⎝⎭万元，所以n年内的总收入b n=400+400×114⎛⎫+⎪⎝⎭+ (400)-1114n⎛⎫+⎪⎝⎭=1 600×5-14n⎡⎤⎛⎫⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.(2)设至少经过n年旅游业的总收人才能超过总投入，所以b n-a n>0，即1 600×5-14n⎡⎤⎛⎫⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-4 000×41-5n⎡⎤⎛⎫⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦>0，化简，得5×45n⎛⎫⎪⎝⎭+2×54n⎛⎫⎪⎝⎭-7>0，即45n⎛⎫⎪⎝⎭<25，可得n≥5，所以至少要经过5年旅游业的总收入才能超过总投入.图象分析法通过对图象中的数量关系进行分析来建立问题数学模型.例3 某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系可用图(1)所示的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系可用图(2)所示的抛物线段表示.(1)写出图(1)表示的市场售价与时间的函数关系式P=f (t )，写出图(2)表示的种植成本与时间的函数关系Q=g (t )；(2)认定市场售价减去种植成本为纯收益，问：何时上市的西红柿纯收益最大?(注：市场售价和种植成本的单位：元/102kg ，时间单位：天)图(1) 图(2)(例3)【读懂题意】(1)观察图象求出市场售价函数P=f (t )和种植成本函数Q=g (t ).(2)由“市场售价减去种植成本为纯收益”建立纯收益函数h (t )=f (t )-g (t ).【建立模型】由图(1)可得市场售价与时间的函数关系为f (t )=300-02002-300200300t t t t ≤≤⎧⎨<≤⎩，，，；由图(2)可得种植成本与时间的函数关系为g (t )=2(-150)200t +100，0≤t ≤300.【精要解析】(1)由图(1)可得市场售价与时间的函数关系为f(t)=300-02002-300200300t tt t≤≤⎧⎨<≤⎩，，，；由图(2)可得种植成本与时间的函数关系为g(t)=2(-150)200t+100，0≤t≤300.(2)设t时刻的纯收益为h(t)，则由题意得h(t)=f(t)-g(t)，即h(t)=2211175-0200 20022171?025--200300. 20022t t tt t t⎧++≤≤⎪⎪⎨⎪+<≤⎪⎩，，，当0≤t≤200时，配方整理得h(t)=-1200(t-50)2+100，所以当t=50时，h(t)取得区间[0，200]上的最大值100；当200<t≤300时，配方整理得h(t)=-1200(t-350)2+100，所以当t=300时，h(t)取得区间(200，300]上的最大值87.5.综上，由100>87.5可知，h(t)在区间[0，300]上可以取得最大值100，此时t=50，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大.练习某公司为帮助尚有26.8万元的无息贷款，但没有偿还能力的残疾人商店，借出20万元，将该商店改建为经营状况良好的某种消费品专卖店，并约定用该店经营的利润逐步偿还债务(不计息).已知该种消费品的进价为每件40元，该店每月销售量q(单位：百件)与销售价p(单位：元/件)的关系用图中的一条折线表示.职工每人每月工资600元，该店应交付的其他费用为每月13 200元.(1)若当销售价p为52元/件时，该店正好收支平衡，求该店的职工人数；(2)若该店只安排40名职工，则该店最早可在几年后还清所有债务，此时每件消费品价格定为多少元?(练习)【解答】(1)设该店每月的利润为S元，有职工m名，则S=q(p-40)×100-600m-13 200.又由图可得q=-21404058 -825881p pp p+≤≤⎧⎨+<≤⎩，，，，所以当40≤p≤58时，S=(-2p+140)(p-40)×100-600m-13 200，当58<p≤81时，S=(-p+82)(p-40)×100-600m-13 200.由题设知，当p=52时，S=0，即(-2×52+140)(52-40)×100-600m-13 200=0，解得m=50，即此时该店有员工50人.(2)由题意知S=(-2140)(-40)100-372004058 (-82)(-40)100-372005881 p p pp p p+⨯≤≤⎧⎨+⨯<≤⎩，，，，当40≤p≤58时，求得当p=55时，S取最大值7 800(元)；当58<p≤81时，求得当p=61时，S取最大值6 900(元).所以当p=55时，S有最大值为7 800元.设该店最早可在n年后还清所有债务，依题意得12×7 800×n-268 000-200 000≥0，解得n≥5，即该店最早可在5年后还清所有债务，此时消费品价格定为每件55元.建立坐标系法通过建立坐标系，得到函数模型来解应用题.例4 如图(1)所示的镀锌铁皮材料ABCD ，上沿DC 为圆弧，其圆心为A ，半径为2 m ，AD ⊥AB ，BC ⊥AB ，且BC 的长为1 m .现要用这块材料裁一个矩形PEAF (其中P 在D C 上，E 在线段AB 上，F 在线段AD 上)作圆柱的侧面，若以PE 为母线，问：如何裁剪可使圆柱的体积最大?其最大值是多少?(例4(1))【读懂题意】该问题是方案设计问题，如何确定点P 的位置使得以PE 为母线，以矩形PEAF (其中P 在D C 上，E 在线段AB 上，F 在线段AD 上)作圆柱的侧面围成的圆柱的体积最大.【建立模型】因为点P 在D C 上，其圆心为A ，半径为2 m ，且AD ⊥AB ，BC ⊥AB ，所以分别以AB ，AD 所在直线为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系xOy ，如图(2)所示，(例4(2))则D C 的方程为x 2+y 2=4(0≤x≤y>0)，设P (x ，y )(0<x≤)，圆柱底面半径为r ，体积为V ，则PE=，2πr=AE=x ，则r=2πx ，所以V=πr 2l=2π2πx ⎛⎫ ⎪⎝⎭14πx2【精要解析】(1)分别以AB ，AD 所在直线为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系xOy ，如图(2)所示，则D C 的方程为x 2+y 2=4(0≤x≤y>0)，设P (x ，y )(0<x≤)，圆柱底面半径为r ，体积为V ，则PE=，2πr=AE=x ，则r=2πx，所以V=πr 2l=2π2πx ⎛⎫ ⎪⎝⎭14πxV 2=2116πx 4(4-x 2).设t=x 2∈(0，3]，令u=t 2(4-t )，则u'=-3t 2+8t=-3t 8-3t ⎛⎫⎪⎝⎭，令u'=0，得t=83.当83<t ≤3时，u'<0，u 是减函数；当0<t<83时，u'>0，u 是增函数，所以当t=83时，u 有极大值，也是最大值，所以当x=3 m 时，V 有最大值9π m 3，此时y=3 m .故裁一个矩形，两边长分别为3 m和3 m 时，能使圆柱的体积最大，其最大值为9π m 3.练习 某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4 s .已知各观测点到该中心的距离都是1 020 m .试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340 m/s ，相关各点均在同一平面上)(练习)【解答】如图，以接报中心为原点O，正东、正北方向为x轴、y轴正方向，建立平面直角坐标系.设A，B，C分别是西、东、北观测点，则A(-1 020，0)，B(1 020，0)，C(0，1 020).设P(x，y)为巨响发生点，由A，C同时听到巨响声，得PA=PC，故点P在AC的垂直平分线PO上，PO的方程为y=-x，因点B比点A晚4 s 听到爆炸声，故PB-PA=340×4=1 360.由双曲线定义知点P在以A，B为焦点的双曲线22xa-22yb=1上，依题意得a=680，c=1 020，所以b2=c2-a2=1 0202-6802=5×3402，故双曲线方程为22680x-225340y=1.将y=-x代入上式，得x=±680因为PB>PA，所以x=-680y=680即P(-680680，故PO=答：巨响发生在接报中心的西偏北45°距中心m处.【常考模型】常考模型函数与导数模型例1(2015·江苏卷)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l.如图所示，M，N 为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为5 km和40 km，点N到l1，l2的距离分别为20 km和2.5 km，以l1，l2所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数y=2ax b(其中a，b为常数)模型.(1)求a，b的值；(2)设公路l与曲线C相切于点P，点P的横坐标为t.①请写出公路l长度的函数解析式f(t)，并写出其定义域；②当t为何值时，公路l的长度最短?求出最短长度.(例1)【解答】(1)由题意知，点M，N的坐标分别为(5，40)，(20，2.5).将其分别代入y=2a x b +，得4025 2.5400aba b ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，，解得10000.a b =⎧⎨=⎩，(2)①由(1)知，y=21000x (5≤x ≤20)， 则点P 的坐标为t ，21000t .设在点P 处的切线l 交x ，y 轴分别于点A ，B ，y'=-32000x ， 则直线l 的方程为y-21000t =-32000t (x-t )，由此得A 302t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，B 230000t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，， 故f (t )t ∈[5，20].②设g (t )=t 2+64410t ⨯，则g'(t )=2t-651610t ⨯.令g'(t )=0，解得t=.当t ∈(5，)时，g'(t )<0，g (t )单调递减； 当t ∈，20)时，g'(t )>0，g (t )单调递增. 所以当t=10时，函数g (t )有极小值，也是最小值，g (t )min =300，此时f (t )min =15答：当t=时，公路l 的长度最短，最短长度为15km .练习 (2016·南通、扬州、泰州、淮安三调)某宾馆在装修时，为了美观，欲将客房的窗户设计成半径为1 m 的圆形，并用四根木条将圆分成如图所示的9个区域，其中四边形ABCD 为中心在圆心的矩形.现计划将矩形ABCD 区域设计为可推拉的窗口.(1)若窗口ABCD 为正方形，且面积大于14 m 2(木条宽度忽略不计)，求四根木条总长的取值范围；(2)若四根木条总长为6 m ，求窗口ABCD 面积的最大值.【解答】(1)设一根木条长为x m ，则正方形的边长为. 因为S 四边形ABCD >14，所以4-x 2>14，即x<2.又因为四根木条将圆分成9个区域，所以， 所以<4x<答：木条总长的取值范围为，.(2)方法一：设AB 所在木条的长为a m ， 则BC 所在木条的长为(3-a )m .因为a ∈(0，2)，3-a ∈(0，2)，所以a ∈(1，2)，S 矩形ABCD =设f (a )=a 4-6a 3+a 2+24a-20，f'(a )=4a 3-18a 2+2a+24=2(a+1)(2a-3)(a-4)，令f'(a )=0，得a=32或a=-1(舍去)或a=4(舍去).当a 变化时，f'(a )，f (a )的变化情况如下表：所以当a=32时，f (a )max =f 32⎛⎫ ⎪⎝⎭=4916，即S max =74.答：窗口ABCD面积的最大值为74 m 2.方法二：设AB 所在木条的长为a m ，BC 所在木条的长为b m. 由题意知2a+2b=6，即a+b=3.因为a ，b ∈(0，2)，所以b=3-a ∈(0，2)，从而a ，b ∈(1，2).由于AB=BC= S 矩形ABCD =228-()2a b +≤2()8-22a b +=74，当且仅当a=b=32∈(1，2)时，S 矩形ABCD =74.答：窗口ABCD 面积的最大值为74 m 2.解析几何模型例1 (2016·扬州期末)某隧道设计为双向四车道，车道总宽20 m ，要求通行车辆限高4.5 m ，隧道口截面的拱线近似地看成抛物线形状的一部分，如图所示建立平面直角坐标系xOy.(1)若最大拱高h 为6 m ，则隧道设计的拱宽l 是多少?(2)为了使施工的土方工程量最小，需隧道口截面面积最小.现隧道口的最大拱高h 不小于6 m ，则应如何设计拱高h 和拱宽l ，使得隧道口截面面积最小.23S lh ⎛⎫=⎪⎝⎭隧道口截面面积公式为(例1)【分析】求面积的关键在于求出l ，h 之间的关系，注意到点910--22l h h ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，及点，在抛物线上，就可得到l ，h 之间的关系，由此来消去一个变量，消元时，要注意等价性，即注意变量的取值范围的求解.【解答】(1)设抛物线的方程为y=-ax 2(a>0)，则抛物线过点310-2⎛⎫ ⎪⎝⎭，，代入抛物线方程，解得a=3200.令y=-6，解得x=±20，则隧道设计的拱宽l 是40 m .(2)抛物线最大拱高为h m，h≥6，抛物线过点910-2h⎛⎫+⎪⎝⎭，，代入抛物线方程得a=9-2100h.令y=-h，则-9-2100hx2=-h，解得x2=1009-2hh，则22l⎛⎫⎪⎝⎭=1009-2hh，h=2292-400ll.因为h≥6，所以2292-400ll≥6，即20<l≤40.所以S=23lh=23l·2292-400ll=323-400ll(20<l≤40).所以S'=223229(-400)-3?2(-400)l l l ll=22223(-1200)(-400)l ll=2223((-400)l l ll+，当20<l<20时，S'<0；当20<l≤40时，S'>0，即S在(20，20)上单调递减，在，40]上单调递增，所以S在l=l=20h=274.答：当拱高为274m，拱宽为20m时，使得隧道口截面面积最小.练习(2014·江苏卷)如图(1)，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区.规划要求：新桥BC与河岸AB垂直，保护区的边界为圆心M 在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m.经测量，点A位于点O正北方向60m处，点C位于点O正东方向170m处(OC为河岸)，tan∠BCO=4 3.(1)求新桥BC的长；(2)当OM 多长时，圆形保护区的面积最大?(练习(1))【解答】方法一：(1)如图(2)所示，以O 为坐标原点，OC 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系xOy.(练习(2))由条件知A (0，60)，C (170，0)，直线BC 的斜率k BC =-tan ∠BCO=-43. 又因为AB ⊥BC ，所以直线AB 的斜率k AB =34.设点B 的坐标为(a ，b )，则k BC =-0-170b a =-43，k AB =-60-0b a =34，解得a=80，b=120，所以150(m).因此新桥BC 的长是150m .(2)设保护区的边界圆M 的半径为r m ，OM=d m(0≤d ≤60).由条件知，直线BC 的方程为y=-43(x-170)，即4x+3y-680=0.由于圆M 与直线BC 相切，故点M (0，d )到直线BC 的距离是r ，即680-35d.因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80m ，所以-80-(60-)80r d r d ≥⎧⎨≥⎩，，即680-3-805680-3-(60-)805dd d d ⎧≥⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩，，解得10≤d ≤35.故当d=10时，r=680-35d最大，即圆的面积最大，所以当OM=10m 时，圆形保护区的面积最大. 方法二：(1)如图(3)所示，延长OA ，CB 交于点F.(练习(3))因为tan ∠FCO=43，所以sin ∠FCO=45，cos ∠FCO=35.因为OA=60，OC=170，所以OF=OC tan ∠FCO=6803，CF=cos OC FCO ∠=8503， 从而AF=OF-OA=5003.因为OA ⊥OC ，所以cos ∠AFB=sin ∠FCO=45. 又因为AB ⊥BC ，所以BF=AF cos ∠AFB=4003，从而BC=CF-BF=150. 因此新桥BC 的长是150m .(2)设保护区的边界圆M与BC的切点为D，连接MD，则MD⊥BC，且MD是圆M 的半径，并设MD=r m，OM=d m(0≤d≤60).因为OA⊥OC，所以sin∠CFO=cos∠FCO.故由(1)知sin∠CFO=MDMF=-M DOF OM=680-3rd=35，所以r=680-35d.因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80m，所以-80-(60-)80r dr d≥⎧⎨≥⎩，，即680-3-805680-3-(60-)805dddd⎧≥⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩，，解得10≤d≤35.故当d=10时，r=680-35d最大，即圆的面积最大，所以当OM=10m时，圆形保护区的面积最大.立体几何体模型例1某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：m)，其中容器的中间为圆柱形，高为l，左、右两端均为半球形，半径为r，按照设计要求容器的体积为80π3m3，且l≥2r.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c(c>3)千元.设该容器的建造费用为y千元.(1)求y关于r的函数解析式，并求该函数的定义域；(2)求该容器的建造费用最小时半径r的值.(例1)【分析】根据球的体积和圆柱的体积公式求出y 关于r 的函数表达式，再利用导数研究其最值.【解答】(1)因为容器的体积为803πm 3，所以43πr 3+πr 2l=803π，解得l=2803r -43r=2420-3r r⎛⎫ ⎪⎝⎭，由于l ≥2r ，所以0<r ≤2， 所以建造费用y=2πrl×3+4πr 2c=2πr×2420-3r r⎛⎫⎪⎝⎭×3+4πr 2c ， 所以y=160πr -8πr 2+4πcr 2，定义域为(0，2].(2)y'=-2160πr -16πr+8πcr=328π[(-2)-20]c r r ，因为c>3，所以c-2>0，当r 3=20-2c 时，即y'=0，，则m>0，所以y'=28(c-2)r π(r-m )(r 2+mr+m 2).①当0<m<2，即c>92时，当r=m 时，y'=0；当r ∈(0，m )时，y'<0；当r ∈(m ，2)时，y'>0， 所以当r=m 时，函数y 取得极小值点，也是最小值点.②当m ≥2，即3<c ≤92时，当r ∈(0，2)时，y'<0，函数单调递减，所以r=2时函数y 取得最小值点.综上，当3<c ≤92时，建造费用最小时r=2；当c>92时，建造费用最小时r=练习 (2016·江苏卷)现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，如图，上部分的形状是正四棱锥P -A 1B 1C 1D 1，下部分的形状是正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1，并要求正四棱柱的高O 1O 是正四棱锥的高PO 1的四倍.(1)若AB=6 m ，PO 1=2 m ，则仓库的容积是多少?(2)若正四棱锥的侧棱长为6 m ，则当PO 1为多少时，仓库的容积最大?(练习)【解答】(1)容积为下部正四棱柱的容积与上部正四棱锥的容积的和，则V=62×4×2+13×62×2=62×2×143⎛⎫+ ⎪⎝⎭=312(m 3).(2)设PO 1=x m .则A 1O 1<x<6)，A 1B 1V=2×(36-x 2)×4x+13×2×(36-x 2)x=2×(36-x 2)x×143⎛⎫+⎪⎝⎭=263(-x 3+36x )，V'=-26x 2+12×26=26×(-x 2+12)，令V'=0，得x=.当0<x<2V'>0，V 是单调增函数；当<x<6时，V'<0，V 是单调减函数，所以当PO 1=m 时，仓库的容积V 取得最大值.三角形与三角函数模型例1 如图，某园林单位准备绿化一块直径为BC 的半圆形空地，△ABC 外的地方种草，△ABC 的内接正方形PQRS 为一水池，其余的地方种花，若BC=a ，∠ABC=θ，设△ABC 的面积为S 1，正方形PQRS 的面积为S 2.(1)用a ，θ表示S 1和S 2；(2)当a 固定，θ变化时，求12S S 的最小值.(例1)【分析】用a ，θ表示S 1和S 2，a 固定时12S S 是关于θ的函数，然后可以利用换元法或求导来研究其单调性从而求出最小值.【解答】(1)S 1=12a sin θ·a cos θ=14a 2sin2θ， 设正方形边长为x ，则BQ=tan xθ，RC=x tan θ，所以tan x θ+x tan θ+x=a ，所以x=1tan 1tan aθθ++=sin22sin2a θθ+，所以S 2=2sin22sin2a θθ⎛⎫⎪+⎝⎭=222sin 2sin 24sin24a θθθ++. (2)当a 固定，θ变化时，12S S =14sin244sin2θθ⎛⎫++ ⎪⎝⎭， 令sin2θ=t ，则12S S =1444t t⎛⎫++⎪⎝⎭(0<t ≤1)，利用单调性求得t=1时，12min S S ⎛⎫ ⎪⎝⎭=94.练习1 如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径.一种是从A 处沿直线步行到C 处，另一种是先从A 处沿索道乘缆车到B 处，然后从B 处沿直线步行到C 处.现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50 m/min .在甲出发2 min 后，乙从A 处乘缆车到B 处，在B 处停留1 min 后，再从B 处匀速步行到C 处.假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min ，山路AC 长为1 260 m ，经测量，cos A=1213，cos C=35.(1)求索道AB 的长；(2)问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短?(3)为使两位游客在C 处相互等待的时间不超过3 min ，乙步行的速度应控制在什么范围内?(练习1)【解答】(1)因为cos A=1213，cos C=35，且0<A<π，0<B<π，0<C<π，所以sin A=513，sin C=45.因为A+B+C=π，所以sin B=sin(A+C )=sin A cos C+cos A sin C=513×35+1213×45=6365.由sin AC B =sin AB C =sin BC A ，得AB=sin sin C B ·AC=45×6563×1 260=1 040(m).(2)由(1)知BC=sin sin A B ·AC=500(m)，设乙出发t (t ≤8)min 后，甲到了D 处，乙到了E处，则有AD=50t+100，AE=130t ，根据余弦定理得DE 2=AE 2+AD 2-2AE·AD·cos A ，即DE2=7 400t2-14 000t+10 000，所以当t=1400027400⨯=3537时，DE2有最小值，此时乙在缆车上与甲的距离最短，(3)设甲所用时间为t甲，乙所用时间为t乙，乙步行速度为v乙，由题意知甲到C处用时t甲=126050=1265(min)，乙到C处用时t乙=2+1040130+1+500v乙=11+500v乙(min)，所以-3≤1265-50011v⎛⎫+⎪⎝⎭乙≤3，解不等式得125043≤v乙≤62514.所以乙步行的速度应控制在12506254314⎡⎤⎢⎥⎣⎦，(m/min)范围内.练习2(2016·南通一调)如图，阴影部分为古建筑物保护群所在地，其形状是以O1为圆心，半径为1 km的半圆面.公路l经过点O，且与直径OA垂直.现计划修建一条与半圆相切的公路PQ(点P在直径OA的延长线上，点Q在公路l上)，T为切点.(1)按下列要求建立函数关系：①设∠OPQ=α(单位：rad)，将△OPQ的面积S表示为α的函数；②设OQ=t(单位：km)，将△OPQ的面积S表示为t的函数.(2)请你选用(1)中的一个函数关系，求△OPQ的面积S的最小值.(练习2)【解答】(1)①由题设知，在Rt△O1PT中，∠O1PT=α，O1T=1，所以O1P=1sinα，又OO 1=1，所以OP=1sin α+1.在Rt △OPQ 中，OQ=OP tan α=11sin α⎛⎫+ ⎪⎝⎭tan α=1sin cos αα+.所以Rt △OPQ 的面积为S=12OP·OQ=1211sin α⎛⎫+ ⎪⎝⎭1sin cos αα+=2(1sin )2sin cos ααα+=2(1sin )π0sin22ααα+⎛⎫<< ⎪⎝⎭.②由题设知，OQ=QT=t ，O 1T=1，且Rt △POQ ∽△PTO 1，所以OP OQ =1TP TO ，即OPt=1t ，化简得OP=222-1t t (t>1).所以Rt △OPQ 的面积为S=12OQ·OP=12t·222-1tt =32-1t t (t>1). (2)方法一：选用(1)中①的函数关系S=2(1sin )sin2αα+π02α⎛⎫<< ⎪⎝⎭.S'=222(1sin )cos sin2-(1sin )2cos2sin 2αααααα++=22(1sin )[cos sin2-(1sin )cos2]sin 2αααααα++=222(1sin )[sin(2-)-(1-2sin )]sin 2ααααα+=222(1sin )(2sin -1)π0sin 22αααα+⎛⎫<< ⎪⎝⎭. 由S'=222(1sin )(2sin -1)sin 2ααα+=0π02α⎛⎫<< ⎪⎝⎭，得α=π6. 当α变化时，S ，S'的变化情况如下表：所以当α=π6时，△OPQ 的面积S 取得最小值为2π1sin 6πsin 26⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭=2(km 2). 方法二：选用(1)中②的函数关系S=32-1t t (t>1).S'=223223(-1)-2(-1)t t t t t ⨯=(t>1). 由S'=222((-1)t t t t =0(t>1)，得t=当t 变化时，S ，S'的变化情况如下表：所以当OPQ 的面积S 的最小值为33-1=2(km 2).【预测模型】预测模型分段函数模型例1(2016·南京三模)如图，某森林公园有一直角梯形区域ABCD，其四条边均为道路，AD∥BC，∠ADC=90°，AB=5 km，BC=8 km，CD=3 km.现甲、乙两管理员同时从A地出发匀速前往D地，甲的路线是AD，速度为6 km/h，乙的路线是ABCD，速度为v km/h.(1)若甲、乙两管理员到达D地的时间相差不超过15 min，求乙的速度v的取值范围；(2)已知对讲机有效通话的最大距离是5 km.若乙先到达D地，且乙从A到D的过程中始终能用对讲机与甲保持有效通话，求乙的速度v的取值范围.(例1) 【解答】(1)由题意可得AD=12 km.由题可知1216-6v≤14，解得649≤v≤647.(2)方法一：设经过t h，甲、乙之间的距离的平方为f(t).由于乙先到达D地，故16v<2，即v>8.①当0<vt≤5，即0<t≤5v时，f(t)=(6t)2+(vt)2-2×6t×vt×cos∠DAB=248-365v v⎛⎫+⎪⎝⎭t2.因为v2-485v+36>0，所以当t=5v时，f(t)取得最大值，所以248-365v v⎛⎫+⎪⎝⎭×25v⎛⎫⎪⎝⎭≤25，解得v≥154.②当5≤vt≤13，即5v≤t≤13v时，f(t)=(vt-1-6t)2+9=(v-6)221--6tv⎛⎫⎪⎝⎭+9.因为v>8，所以1-6v<5v，(v-6)2>0，所以当t=13v时，f(t)取得最大值，所以(v-6)22131--6v v⎛⎫⎪⎝⎭+9≤25，解得398≤v≤394.③当13≤vt≤16，即13v≤t≤16v时，f(t)=(12-6t)2+(16-vt)2，因为12-6t>0，16-vt>0，所以f(t)在1316v v⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减，即当t=13v时，f(t)取得最大值，21312-6v⎛⎫⨯⎪⎝⎭+21316-vv⎛⎫⨯⎪⎝⎭≤25，解得398≤v≤394.因为v>8，所以8<v≤39 4.方法二：设经过t h，甲、乙之间的距离的平方为f(t).由于乙先到达D地，故16v<2，即v>8.以点A为原点，AD为x轴建立平面直角坐标系，①当0<vt≤5时，f(t)=24-65vt t⎛⎫⎪⎝⎭+235vt⎛⎫⎪⎝⎭.由于24-65vt t⎛⎫⎪⎝⎭+235vt⎛⎫⎪⎝⎭≤25，所以24-65v⎛⎫⎪⎝⎭+235v⎛⎫⎪⎝⎭≤225t对任意0<t≤5v都成立，所以24-65v⎛⎫⎪⎝⎭+235v⎛⎫⎪⎝⎭≤v2，解得v≥154.②当5≤vt≤13时，f(t)=(vt-1-6t)2+32. 由于(vt-1-6t)2+32≤25，所以-4≤vt-1-6t≤4对任意5v≤t≤13v都成立，即5-63--6vtvt⎧≤⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，对任意5v≤t≤13v都成立，所以5-6133--613vvvv⎧≤⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，，解得398≤v≤394.③当13≤vt≤16，即13v≤t≤16v时，f(t)=(12-6t)2+(16-vt)2.由①及②知8<v≤394，于是0<12-6t≤12-78v≤12-78×439=4，又因为0≤16-vt≤3，所以f(t)=(12-6t)2+(16-vt)2≤42+32=25恒成立.综上所述，8<v≤39 4.【点评】当分段函数f(t)的图象连续时，整体考虑函数的单调性求最值，可减少很多(无效)计算量.一个小窍门是：分段函数的各个分界点，能用“闭区间”就不用开区间.练习某工厂有工人214名，现要生产1500件产品，每件产品由3个A型零件和1个B型零件配套组成，每个工人加工5个A型零件与加工3个B型零件所需的时间相同.现将工人分成两组，分别加工一种零件，同时开始加工.设加工A型零件的工人有x人，在单位时间里每一个工人加工A型零件5k件，加工完A型零件所需时间为g(x)，加工完B型零件所需时间为h(x).(1)比较g(x)与h(x)的大小，并写出完成总任务的时间f(x)的解析式；(2)应怎样分组，才能使完成任务用时最少?【分析】根据题设条件分别求出g(x)和h(x)，然后通过作差找出分界点，得到一个分段函数.【解答】由题设，每个工人在单位时间内加工5k个A型零件，所以x个工人在单位时间内加工5k·x个A型零件.总共需要1500×3个A型零件，所以g(x)=150035kx⨯=900kx.单位时间内加工B型零件的个数为3k，所以h(x)=15003(214-)k x⋅=500(214-)k x.(1)g(x)-h(x)=900kx-500(214-)k x=192600-1400·(214-)xkx x，因为1≤x<214，x∈N，因此，①当1≤x≤137时，g(x)>h(x)；②当138≤x≤213时，g(x)<h(x)，即当x≤137时，加工A型这一组所用的时间多；当x≥138时，加工B型这一组所用的时间多.要完成任务必须使两组全完成才能完成任务，故完成总任务的时间是f(x)=9001137500138213.(214-)x xkxx xk x∈∈⎧≤≤⎪⎪⎨⎪≤≤⎪⎩NN ，，，，，(2)要使任务完成最快，|g(x)-h(x)|应最小，令g(x)-h(x)=0，得x=1374 7.因为x∈N，所以需比较x=137和138时，|g(x)-h(x)|的大小.经比较，加工A型零件有137人，加工B型零件有77人时，完成任务的用时最少. 另外可以这样考虑，要使任务完成最快，即求函数f(x)的最小值.当1≤x≤137，x∈N时，f(x)=900kx，显然x=137时，f(x)最小.当138≤x≤213，x∈N时，f(x)=500(214-)k x，显然x=138时，f(x)最小，比较x=137和x=138时f(x)的大小，可知当x=137时，f(x)最小.数列模型例1商学院为推进后勤社会化改革，与桃园新区商定：由该区向建设银行贷款500万元在桃园新区为学院建一栋可容纳一千人的学生公寓，工程于2012年初动工，年底竣工并交付使用，公寓管理处采用收费还贷偿还建行贷款(年利率5%，按复利计算)，公寓所收费用除去物业管理费和水电费18万元.其余部分全部在年底还建行贷款.(1)若公寓收费标准定为每生每年800元，问到哪一年可偿还建行全部贷款；(2)若公寓管理处要在2020年底把贷款全部还清，则每生每年的最低收费标准是多少元(精确到元).(参考数据：lg 1.734 3≈0.239 1，lg 1.05≈0.021 2，1.058≈1.477 4) 【分析】将该问题转化为等比数列求和问题.利率问题有两种：①单利问题：如零存整取储蓄(单利)本利和计算模型：若每期存入本金p元，每期利率为r，则n期后本利和为S n=p(1+r)+p(1+2r)+…+p(1+nr)=p(1)2n nn r+⎡⎤+⎢⎥⎣⎦(等差数列问题)；②复利问题：按揭贷款的分期等额还款(复利)模型：若贷款(向银行借款)p元，采用分期等额还款方式，从借款日算起，一期(如一年)后为第一次还款日，如此下去，分n期还清.如果每期利率为r(按复利)，那么每期等额还款x元应满足：p(1+r)n=x(1+r)n-1+x(1+r)n-2+…+x(1+r)+x(等比数列问题).【解答】依题意，公寓2012年底建成，2013年开始使用.(1)设公寓投入使用后n年可偿还全部贷款，则公寓每年收费总额为1 000×800(元)=800 000(元)=80万元，扣除18万元，可偿还贷款62万元.依题意有62[1+(1+5%)+(1+5%)2+…+(1+5%)n-1]≥500(1+5%)n+1，化简得62(1.05n-1)≥25×1.05n+1.所以1.05n≥1.734 3.。
2021高考数学(文,江苏专用)二轮复习 瓶颈题解题突破35_【答案】
第三部分瓶颈题突破——冲刺高分②第1讲填空题中的“瓶颈题”举题说法——解法概述考点1 直接法【例1】【分析】(1) 解不等式再求交集;(2) 运用向量垂直的条件计算.【答案】(1) (1,2] (2) -8 3【解析】(1) 由题可得A={x|x>1},B={x|x≤2},所以A∩B={x|1<x≤2}.(2) 由已知得m=a+t b=(1,2+t),n=2a-b=(2,3),故由m⊥n可知1×2+(2+t)×3=0,所以t=-83.【练习】【答案】500【解析】(直接法)设第一种买x箱,其次种买y箱,总的花费为z元.由题意知35x+24y≥106(x,y均为整数).z=140x+120y,其中x=0,1,2,3,4.相应y值和花费如下:x=0,y=5,z=600;x=1,y=3,z=500;x=2,y=2,z=520;x=3,y=1,z=540;x=4,y=0,z=560.易知最少花费为500元.考点2 数形结合法【例1】【答案】3【解析】如图,在同一坐标系中作出y1=lgx和y2=sinx的图象.留意到lg10=1,由图易得原方程的实根个数是3个.(例1)【练习】【答案】11-,0,88⎧⎫⎨⎬⎩⎭【解析】由题意得y=1xx+-1-xx是偶函数,且y=2-,-1,-2,-10,2,01,2,1,xxx xx xxx⎧≤⎪⎪<<⎪⎨<<⎪⎪≥⎪⎩作出曲线的图象(如图所示).当k=0时,直线y=kx+1与曲线y=1xx+-11-x有四个公共点;当k>0时,要使它们有四个公共点,则需y=kx+1与y=-2x(x≤-1)有一个公共点,此时kx+1=-2x,即方程kx2+x+2=0有两个相等的实数解,从而Δ=1-8k=0,故k=18;当k<0时,依据对称性可得k=-18.从而满足条件的k的取值范围是11-,0,88⎧⎫⎨⎬⎩⎭.(练习)考点3 特例法【例1】【答案】1316【解析】考虑到a1,a3,a9的下标成等比数列,故可令an=n,又易知它满足题设条件,于是1392410a a aa a a++++=1316.【练习】【答案】S3<S2<S1(练习)【解析】要满足各个截面使分得的两个三棱锥体积相等,则需满足与对应的交点E,F,G 分别为中点方可.故可以将三条棱长分别取为OA=6,OB=4,OC=2,则如图,可计算S 1=45,S 2=40,S 3=13.故S 3<S 2<S 1.考点4 等价转化法【例1】 【分析】直线y=kx+1恒过定点(0,1),转化为点(0,1)恒在圆的内部或边界上可满足题意.【答案】[-1,3]【解析】由于直线y=kx+1恒过定点(0,1),所以原题等价于点(0,1)恒在圆内或圆上,所以点(0,1)到圆x 2+y 2-2ax+a 2-2a-4=0的圆心(a,0)的距离小于或等于半径24a +,即22(0-)(1-0)a +≤24a +,解得-1≤a ≤3.即实数a 的取值范围是[-1,3].【练习】 【答案】2【解析】f(x)=22(1)2sin 1x x x x ++++=1+22sin 1x x x ++,由于f(x)-1=22sin 1x xx ++为奇函数,所以[f(x)-1]max +[f(x)-1]min =0,f(x)max -1+f(x)min -1=0,所以M+m=2.考点5 整体代入法【例1】 【分析】由题意联想到长方体,把三棱锥放置于长方体内,整体代入,解决问题. 【答案】4【解析】由题意可联想到长方体模型,如图,(例1)设三条棱长分别为x,y,z,则12xy=6,12xz=4,12yz=3,有xy=12,xz=8,yz=6, 即(xyz)2=12×8×6=4×3×4×2×6=242,于是xyz=24,所以所求体积V=16xyz=4. 【练习】 【答案】23(c -b )【解析】连接BF,由题意知D,C 分别AB,AF 的中点,即BC,FD 均为△ABF 的中线,于是E 为△ABF的重心,则BE =23BC=23(AC -AB )=23(c -b ).考点6 分析法【例1】 【分析】由所给的四棱柱为直棱柱知为A 1C 在平面A 1B 1C 1D 1上的射影,只需B 1D 1⊥A 1C 1. 【答案】B 1D 1⊥A 1C 1【解析】由于四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1为直四棱柱,故A 1C 为A 1C 1在平面A 1B 1C 1D 1上的射影,从而要使A 1C ⊥B 1D 1,只要B 1D 1与A 1C 1垂直,故底面四边形A 1B 1C 1D 1只要满足条件B 1D 1⊥A 1C 1即可.考点7 归纳猜想法【例1】 【答案】1n【解析】由题知(a n+1+a n )[(n+1)a n+1-na n ]=0,所以(n+1)a n+1-na n =0,所以a 1=1,a 2=12,a 3=13,…,猜想a n =1n .检验,当a n =1n 时,(n+1)211n ⎛⎫ ⎪+⎝⎭-n 21n ⎛⎫ ⎪⎝⎭+11n +·1n =0,故a n =1n .【练习】 【答案】b m (b n )2b p =b s (b t )2b r【解析】等差数列的和、差、积、商的运算分别类比于等比数列中的积、商、乘方、开方.考点8 极限法【例1】 【答案】-12【解析】虽然点P 异于点C,在选择P 点位置时可以无限接近点C,因而当点P 处在点C 位置时,易得OP ·(OB -OA )=OC ·AB =12(OA +OB )(OB -OA )=12(|OB |2-|OA |2)=-12.事实上,一般状况下,OP ·(OB -OA )=(OC +CP )·AB =OC ·AB +CP ·AB ,由于CP ·AB =0,所以OP ·(OB -OA )=OC ·AB =12(OA +OB )·(OB -OA )=12(|OB |2-|OA |2)=-12.分类解密——专题突破考点1 简易规律问题【例1】 【答案】1【解析】①不对,可能2A+2B=π;②不对,如B=120°,A=30°;③不对,仅能说明C 为锐角;④对,由正弦定理可得sin 2A =sin 2B =sin 2C,即A=B=C.【点评】本题主要使用了特殊值法.当填空题已知条件中含有某些不确定的量,但填空题的结论唯一或题设条件中供应的信息示意答案是一个定值时,可以将题中变化的不定量选取一些符合条件的恰当特殊值(或特殊函数、特殊角、特殊数列、特殊图形,特殊位置、特殊点、特殊方程、特殊模型等)进行处理,从而得出探求的结论.这样可大大地简化推理、论证的过程.【例2】 【答案】b=-2【解析】易得||2b =1,且b<0,即b=-2.【点评】要理解必要不充分、充分不必要、充要条件的意义,精确 推断命题之间的相互关系.假如p ⇒q,p 是q 的充分条件,q 是p 的必要条件;假如p ⇒q 且q p,p 是q 的充分而不必要条件;假如p q 且q ⇒p,p 是q 的必要而不充分条件,假如p ⇔q,p 是q 的充要条件.【练习】 【答案】(-1,2)【解析】由题意得p:-1<x<3,q:x<2,由于p 且q 为真,所以实数x 的取值范围是{x|-1<x<2}.考点2 立体几何中体积、面积的计算【例1】 【答案】32【解析】点A,C 到直线BD 的距离之比为3∶2,所以BCD ABDS S =23,又在直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AE=34AA 1,CF=13CC 1,所以AE CF =94,于是EBCDFABDV V=1·31·3BCDABD S AES CF =23×94=32.【例2】 【答案】23【解析】方法一:过点B 作BE ⊥AC,垂足为E,平面ABC ⊥平面ACC 1A 1,且平面ABC ∩平面ACC 1A 1=AC,所以BE ⊥平面ACC 1A 1.又由于梯形ACC 1D 的面积为12×(2+4)×2=6,所以1BACC D V四棱锥=13×6×3=23.方法二:1BACC D V 四棱锥=3BACD V 三棱锥,而BACD V 三棱锥=DABC V三棱锥=13×3×2,所以四棱锥B-ACC 1D的体积为23.【点评】求几何体体积的关键是找“高”,假如高是现存的,需要证明线面垂直,若题目中没有高,往往是依据面面垂直的性质定理作出高,求三棱锥的体积可以接受等积来转化.【练习1】 【分析】本题中点M 在线段BB 1上移动时,MA 和MC 1两者都在变化中,无法直接求出距离之和的最小值.在平面几何中三角形两边之和大于第三边,且当三点共线时,可以得到两边之和等于第三边,故利用该特征将该三棱柱的侧面开放转化为平面几何进行争辩.【答案】3【解析】将三棱柱侧面开放后知,AM+MC 1最小可以等价为在矩形ACC 1A 1中求AM+MC 1的最小值.如图,当A,M,C 1三点共线时,AM+MC 1最小.又AB=1,BC=2,所以AM=2,MC 1=22,又AC 1=95+=14,所以cos ∠AMC 1=222111-2?AM C M AC AM C M +=28-142222+⨯⨯=-12,所以sin ∠AMC 1=32.故△AMC 1的面积为S=12×2×22×32=3.(练习1)【点评】立体几何中相邻两个面之间的两点间距离路径最短问题,都可以转化为平面几何中两点间距离最短,空间问题向平面转化,使得问题简化.【练习2】 【答案】4327【解析】方法一:设正四棱锥的底面边长为x,则体积V=13x221-2x=422(2-)6x x,记y=t2(2-t),t>0,利用导数可求得当t=43时,ymax=3227,此时Vmax=4327;方法二:设正四棱锥的侧棱与底面所成角为θ,则V=13×2cos2θ×sinθ=23(1-sin2θ)×sinθ,0<θ<π2,记y=(1-t2)t,0<t<1,利用导数可求得当t=33时,ymax=239,此时Vmax=4327.考点3 三角形与三角函数问题【例1】【答案】0【解析】由两等式可知α3+sinα=3π-2β⎛⎫⎪⎝⎭+sinπ-2β⎛⎫⎪⎝⎭.考虑函数f(x)=x3+sinx,则f(x)是奇函数,且在ππ-,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数,现已知α,π-2β⎛⎫⎪⎝⎭∈ππ-,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦且f(α)=fπ-2β⎛⎫⎪⎝⎭,所以α=π2-β,所以α+β=π2,所以cos(α+β)=0.【点评】两角和与差的正弦、余弦和正切在高考中要求为C级,故这部分内容及与其相关的内容要予以高度重视,它们将是今后高考命题的热点.【练习1】【答案】24 7【解析】由于cosαcos(α+β)+sinαsin(α+β)=cos(α+β-α)=cosβ=-35,且β是其次象限角,所以sinβ=45,tanβ=-43,所以tan2β=22tan1-tan aβ=247.【练习2】【答案】30°【解析】由sinC=23sinB及正弦定理得c=23b,代入a2-b2=3bc,得a2-b2=3b·23b=6b2,即a2=7b2,又c2=12b2,由余弦定理cosA=222-2b c abc+=222212-743b b bb+=643=32,又A∈(0°,180°),所以A=30°.考点4 函数的零点问题【例1】【答案】20【解析】由于f(x)是定义域为(0,+∞)的单调函数,且对任意的x∈(0,+∞)都有f(f(x)-log2x)=3,故f(x)-log2x必是正常数,设f(x)-log2x=m(m>0),即f(x)=m+log2x,则由f(f(x)-log2x)=3,得f(m)=3,从而m+log2m=3,由于g(m)=m+log2m是单调增函数,故易得有唯一的m=2满足上式.f(x)=2+log2x,f(x)=2+x,即log2x=x,易知有两个实根x1=4,x2=16.故满足方程的全部实根的和为20.【点评】依据f(x)是定义域为(0,+∞)的单调函数,且对任意的x∈(0,+∞)都有f(f(x)-log2x)=3,得出f(x)-log2x必是正常数,是解决该问题的关键.【练习1】【答案】2【解析】令f(x)=t,函数y=f(t)-1的零点为t1=0,t2=2.由f(x)=0,得x1=1;由f(x)=2,得x2=4.故有2个零点.【练习2】【答案】4【解析】依据条件作出函数f(x),y=|log4x|,x>0的图象,由两个函数图象的交点个数确定函数的零点个数.由于f(x+1)=f(x-1),所以函数f(x)的周期为2,且x∈[-1,1]时,f(x)=x2,在同一坐标系中作出函数f(x),y=|log4x|,x>0的图象如图,由图象可知,交点个数是4,即F(x)的零点个数为4.(练习2)考点5 函数的性质问题【例1】【答案】[-2,0]【解析】方法一:若x≤0,|f(x)|=|-x2+2x|=x2-2x.当x=0时,不等式恒成立,当x<0时,不等式可变为a≥x-2,而x-2<-2,可得a≥-2;若x>0,|f(x)|=|ln(x+1)|=ln(x+1),由ln(x+1)≥ax,可得a≤ln(1)xx+恒成立,令。
高考数学二轮复习第三篇方法应用篇专题3.9客观“瓶颈”题突破__冲刺高分讲理03272110
方法九客观“瓶颈”题打破——冲刺高分“瓶颈”一般是指在整体中的重点限制要素，比如，一轮、二轮复习后，好多考生却堕入了成绩提高的“瓶颈期”——不论怎么努力，成绩老是阻滞不前. 如何才能打破“瓶颈” ，让成绩再上一个新台阶？全国高考卷客观题满分 80 分，共 16 题，决定了整个高考试卷的成败，要打破“瓶颈题”就一定在两类客观题第10，11， 12， 15， 16 题中有较大收获，剖析近三年高考，一定从以下几个方面有所打破，才能实现“峰回路转又一村”，做到保“本”冲“优” .热门一函数的图象、性质及其应用例 1【 2018 届广东省六校（广州二中，深圳实验，珠海一中，中山纪念，东莞中学，惠州一中）高三放学期第三次联考】若函数的图象上存在不一样的两点，，此中使得的最大值为0，则称函数是“柯西函数”．给出以下函数：①；②；③；④.此中是“柯西函数”的为___ ．（填上全部正确答案的序号）【答案】①④【分析】设，由向量的数目积的可得（三点共线）时等号成立．故，当且仅当向量的最大值为0 时，当且仅当共线三点共线时成立．所以函数是“柯西函数”等价于函数的图象上存在不一样的两点关于①，函数图象上不存在知足题意的点；关于②，函数图象上存在知足题意的点；关于③，函数图象上存在知足题意的点；关于④，函数图象不存在知足题意的点．，使得三点共线．图①图②图③图④故函数①④是“柯西函数”．答案：①④点睛：（ 1）此题属于新定义问题，读懂题意是解题的重点，所以在解题时获得“柯西函数”即为图象上存在两点A,B ，使得 O,A,B 三点共线是至关重要的，也是解题的打破口．（ 2）数形联合是解答本题的工具，借助于图形可使得解答过程变得直观形象．例 2【 2018届江西省南昌市高三第一次模拟】设函数，若的最大值不超出1，则实数的取值范围为()A. B. C. D.【答案】 A【分析】当时，，绘制函数图象如下图，察看可得函数的最大值为，知足题意，据此清除 B 选项；当时，，绘制函数图象如下图，察看可得函数的最大值为，知足题意，据此清除CD选项；【名师点睛】 1. 依据函数的观点、表示及性质求函数值的策略(1) 关于分段函数的求值( 解不等式 ) 问题，依照条件正确地找准利用哪一段求解，不明确的要分状况议论.(2)关于利用函数性质求值的问题，依照条件找到该函数知足的奇偶性、周期性、对称性等性质，利用这些性质将待求值调整到已知区间上求值.2.求解函数的图象与性质综合应用问题的策略(1) 娴熟掌握图象的变换法例及利用图象解决函数性质、方程、不等式问题的方法.(2) 娴熟掌握确立与应用函数单一性、奇偶性、周期性、最值、对称性及零点解题的方法.热门二．函数、导数与不等式例 3【 2018 届甘肃省兰州市高三一诊】已知函数是定义在上的偶函数，且当时，不等式成立，若，，，则，，之间的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】 C例 4【 2018 届安徽省芜湖市高三上学期期末考试（一模）】已知函数，若方程有三个不一样的实数根，且，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】 B【分析】当相切时，设切点为，由得再由图知方程的三个不一样的实数根知足，所以，即的取值范围是，选 B.【名师点睛】 1. 利用导数解抽象函数不等式，本质是利用导数研究对应函数单一性，而对应函数需要结构.结构协助函数常依据导数法例进行：如 f xf x， f x f x 0结构f x 结构g xe xg x e x f x ， xf x f x结构 g x f x， xf x f x 0 结构 g x xf x 等.x2.波及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先经过导数研究函数的单一性、最大值、最小值、变化趋向等，再借助函数的大概图象判断零点、方程根、交点的状况，归根究竟仍是研究函数的性质，如单一性、极值，而后经过数形联合的思想找到解题的思路.3. 波及导数的几何意义，必定分清是在点P(x 0， y0) 的切线，而不是过点P(x 0， y0) 的切线斜率；当点P 不是切点时，第一要想法求出切点的坐标.4.利用导数解不等式问题，主假如结构函数，利用导数研究函数的单一性，常有的结构函数的方法有移项法、结构形似函数法、主元法、放缩法等.5. 线性规划问题常出现的形式有：①直线型，转变成斜截式比较截距，要注意z 前方的系数为负时，截距越大，z 值越小；②分式型，其几何意义是已知点与未知点的斜率；③平方型，其几何意义是距离，特别要注意的是最后结果应当是距离的平方；④绝对值型，转变后其几何意义是点到直线的距离.热门三直线与圆的地点关系例 5【 2016高考新课标 3 理数】已知直线l ：mx y3m 3 0 与圆x2y212 交于A, B两点，过A, B 分别做l的垂线与x 轴交于C, D两点，若AB 2 3，则|CD |__________________.【答案】4【分析】因为| AB | 2 3 ，且圆的半径为 2 3 ，所以圆心(0,0)到直线mx y 3m30 的距离为R2(| AB |)23，则由| 3m3 | 3 ，解得 m3，代入直线 l 的方程，得y3x 2 3 ，所2m2 133以直线 l 的倾斜角为30，由平面几何知识知在梯形ABDC 中，| AB|4 ．|CD |cos30【技巧点拨】解决直线与圆的综合问题时，一方面，要注意运用分析几何的基本思想方法( 即几何问题代数化 ) ，把它转变为代数问题；另一方面，因为直线与圆和平面几何联系得特别密切，所以，正确地作出图形，并充足发掘几何图形中所隐含的条件，利用几何知识使问题较为简捷地获得解决．例 6【 2018 届天津市耀华中学高三12 月月考】已知向量，向量，向量，则向量与向量的夹角的取值范围是（）．A. B. C. D.【答案】 D【分析】不如设∵，．∴、．∴点在以为圆心半径为的圆上．∴与的夹角为直线的倾斜角．设∴．即，则．又∵，．∴、夹角．应选．【名师点睛】直线与圆的地点关系要抓住两点：(1) 抓住直线、圆的几何特点，作出正确表示图，数形联合.(2) 灵巧利用圆的几何性质、找寻打破口，减少运算量.热门四圆锥曲线及其性质例 7【 2018 届广东省六校（广州二中，深圳实验，珠海一中，中山纪念，东莞中学，惠州一中）高三放学期第三次联考】已知点为双曲线的右焦点，直线与交于，两点，若，设，且，则该双曲线的离心率的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】 D【分析】如图，设双曲线的左焦点为，连．因为四边形为矩形，故．在中，，由双曲线的定义可得，∴．∵，∴，∴，∴．即双曲线的离心率的取值范围是．选D．例 8【 2018 届河北省定州中学高三（承智班）放学期开学】已知抛物线是抛物线上一点，以为圆心的圆与线段订交于点，且被直线的焦点为，点截得的弦长为，若【答案】 1，则_______．【分析】由题意，在抛物线上，则，则，① 由抛物线的性质可知，，则，被直线截得的弦长为，则，由，在中，，即，代入整理得，②由①②，解得，，故答案为.【名师点睛】 1. 波及与圆锥曲线方程有关问题，必定要抓住定义，作出表示图，充足利用几何性质，简化运算 .2. 双曲线的离心率与渐近线是高考的热门，求圆锥曲线离心率大小( 范围 ) 的方法是：依据已知椭圆、双曲线知足的几何条件及性质获得参数a，b，c知足的等量关系( 不等关系) ，而后把cb 用 a，c 表示，求 a的值 ( 范围 ).热门五立体几何球的组合体例 9【 2018 届江西省金溪一中、余江一中等五市八校高三上学期第一次联考】球面上两点且，. 若球的表面积为，则棱锥【答案】【分析】如图，由题意球的表面积为，可得球的半径为，知，已知为球的体积为的直径，，是__________．，所以平面，，所以，所以棱锥的体积．例 10【 2018 届广东省广州市广州大学隶属中学、铁一中学、广州外国语中学高三上学期期中】如图，三棱锥的极点，，，都在同一球面上，过球心且，是边长为等边三角形，点、分别为线段，上的动点（不含端点），且，则三棱锥体积的最大值为__________ ．【答案】【分析】设∵平面∴是三棱锥在中，平面，∵为中点，，平面的高，，，∴平面，∴，∴，∴，，平面，，，，∴．，当且仅当时取等号，∴三棱锥体积的最大值为．【名师点睛】 1. 有关球的组合体问题，解答时要仔细审题，注意球的性质的合理运用，求解球的组合体问题常用方法有（ 1）三条棱两两相互垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（ 2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再依据勾股定理求球的半径；（ 3）假如设计几何体有两个面订交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点为几何体的球心.热点六线性规划及基本不等式的应用例 11【 2018 届云南省昆明市第一中学高三第六次月考】已知函数，若两个正数，知足，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】 C【分析】由可得，，即对恒成立，所以在实数上单一递加.因为，由可得，由题意可得，画出、的可行域，则可看作地区内点与定点的斜率.直线与横轴交于点，与纵轴交于点，又因为，，所以，应选 C．例 12【 2018 届广东省珠海市高三 3 月质量检测】在中，角、、所对边的边长分别为、、，若，，则面积的最大值为__________．【答案】【名师点睛】 1. 解决条件最值的思路：①对条件使用基本不等式，成立所求目标函数的不等式求解；②对条件变形，进行“ 1”的代换求目标函数的最值 .2.有些题目不具备直接用基本不等式的条件时，可经过拆项法、变系数法、凑因子法、分别常数法、换元法、整体代换等手段，使之能运用基本不等式进行求解.3. 线性规划问题常出现的形式有：①直线型，转变成斜截式比较截距，要注意前方的系数为负时，截距越大，值越小；②分式型，其几何意义是已知点与未知点的斜率；③平方型，其几何意义是距离，特别要注意的是最后结果应当是距离的平方；④绝对值型，转变后其几何意义是点到直线的距离.热门七三角变换与解三角形例 13【 2018 届辽宁省旭日市一般高中高三第一次模拟】函数在区间（）上有且仅有一个零点，则实数的取值范围是__________．【答案】【分析】, 由得, 解得, 因为或, 所以, 因为或实数的取值范围是例 14【 2018 届江西省新余市高三上学期期末】在中，，，的对边分别为，，，且知足，，则面积的最大值为__________ ．【答案】【分析】∵ A+B+C=π，∴，∴．∴，.∵，由余弦定理可得：，（当且仅当b=c=2，不等式等号成立）,∴．∴S△ABC．故答案为：．【名师点睛】 1. 三角恒等变换的综合应用主假如将三角变换与三角函数的性质相联合，经过变换把函数化为的形式再借助三角函数图象研究性质，解题时注意察看角、函数名、结构等特点．2.解三角形问题，需注意应用正弦定理、余弦定理进行边角互化，注意应用和差倍半的三角函数公式，灵活的变形．【反省提高】纵观近几年高考试卷中第10,11,12,15,16题，命制比较灵巧，所波及的知识内容常常有函数、导数、三角、数列、不等式、立体几何、分析几何、算法、推理等，题目的难度基本保持在中档或略难. 复习过程中应立足于全面、灵巧、娴熟地掌握基础知识，提高正确、谨慎、全面、灵巧运用知识的能力. 适合关注命题组改革实验的一些创新题型，如阅读理解型、发散开放型、多项选择型、本质应用型等，这些题型的出现，无疑会对热中于“模式化”解题的同学“当头棒喝”.。
高考中应用题瓶颈突破——以江苏高考应用题为例
作者： 尤蓓君[1]
作者机构： [1]江苏省南菁高级中学214400
出版物刊名： 数理化解题研究
页码： 32-33页
年卷期： 2021年 第22期
主题词： 高考;应用题;瓶颈突破;江苏
摘要：一直以来,数学都是一门难度相对较大的科目,尤其是在高中教育阶段,随着知识深度与广度的同步提升,题目难度也随之增加,应用题更是难上加难,而且在高考中所占的分值比例较大,学生在解题中极易遇到瓶颈难易突破,影响他们的解题效率与自信.本文针对如何突破高考中应用题瓶颈作探讨,以江苏高考应用题为例,并提出部分个人建议.。
高考数学第1讲 填空题中的“瓶颈题”
第1讲填空题中的“瓶颈题”【举题说法】第1讲填空题中的“瓶颈题”(本讲对应学生用书第59~64页)江苏高考对填空题知识点的考查相对稳定，共有14道，分值70分，填空题的得分多少，决定了整个试卷的成败.我们应该坚持由易到难的做题顺序.要确保填空题前10题正确.要突破填空题中的“瓶颈题”就必须在填空题后4题中有所斩获.解填空题时，要有合理的分析和判断，要求推理、运算的每一个步骤都正确无误，还要求将答案表达的准确、完整.合情推理、优化思路、少算多思将是快速、准确地解答填空题的基本要求.数学填空题，解题的基本方法一般有：①直接求解；②数形结合；③特例法(特殊值、特殊函数、特殊角、特殊数列、特殊图形、特殊位置、特殊点、特殊方程、特殊模型)；④整体代换；⑤类比、归纳；⑥构造图形等.求解填空题的基本策略是要在“准”“巧”“快”上下功夫.要想又快又准地答好填空题，除直接推理计算外，还要讲究解题策略，要合理利用“数形结合”和“特例法”等非常规解法.直接法直接从题设条件出发，利用定义、定理、性质、公式等知识，通过变形、推理、运算等过程，直接得到结果.例1 已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且是以2为周期的周期函数.若当x ∈[0，1)时，f (x )=2x -1，则f (lo12g 6)的值为 .【分析】先分析所给的自变量值是否在已知函数的定义域范围内，再利用函数的单调性、奇偶性、周期性和对称性求值.【答案】-12【解析】因为-3<lo12g 6<-2，所以-1<lo12g 6+2<0，即-1<lo123g 2<0.因为f (x )是周期为2的奇函数，所以f (lo 12g 6)=f 123log 2⎛⎫ ⎪⎝⎭=-f 123-log 2⎛⎫ ⎪⎝⎭=-f 23log 2⎛⎫ ⎪⎝⎭=-(23log 22-1)=-12.练习 (1)已知集合A={x|ln x>0}，B={x|2x ≤4}，则A ∩B= .(2)已知向量a =(1，2)，b =(0，1)，设m =a +t b ，n =2a -b ，若m ⊥n ，则实数t 的值为 .【分析】(1)解不等式再求交集；(2)运用向量垂直的条件计算.【答案】(1)(1，2] (2)-83【解析】(1)由题可得A={x|x>1}，B={x|x ≤2}，则A ∩B={x|1<x ≤2}.(2)由已知得m =a +t b =(1，2+t )，n =2a -b =(2，3)，故由m ⊥n 可知1×2+(2+t )×3=0，所以t=-83.数形结合法对于一些含有几何背景的填空题，若能数中思形，以形助数，则往往可以简捷地解决问题，得出正确的结果.例2已知定义在R上的奇函数f(x)满足当x>0时，f(x)=2 017x+log2 017x，则方程f(x)=0的实根的个数为.【答案】3【解析】由题意可得，f(x)的零点个数即函数y=2 017x和y=-log2 017x的图象的交点个数，在同一平面直角坐标系中分别作出y=2 017x，y=-log2 017x的图象如图所示，(例2)在(0，+∞)上，两个图象只有一个交点，即方程f(x)=0只有一个实根.再根据奇函数的性质可得f(0)=0，以及根据奇函数的图象的对称性可得，当x<0时，两个图象也有一个交点，即方程f(x)=0只有一个实根.综上，在R上，函数f(x)的零点个数为3.【点评】f(x)的零点个数即函数y=2 017x和函数y=-log2 017x的图象的交点个数，数形结合可得在(0，+∞)上，两个图象只有一个交点.再根据奇函数的性质可得当x<0时，两个图象也有一个交点，且f(0)=0，综合可得结论.练习已知函数f(x)=|lg x|，若0<a<b，且f(a)=f(b)，则a+2b的取值范围是.【答案】(3，+∞)【解析】作出f(x)的示意图如图所示，易知0<a<1<b，故由f(a)=f(b)可得-lg a=lg b，于是lg a +lg b=lg ab=0，故a=1b ，从而a+2b=1b b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭+b>2+b>3，所以a+2b 的取值范围为(3，+∞).(练习)特例法当填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以把题中变化的不定量用特殊值(或特殊函数、特殊角、特殊数列、特殊图形、特殊位置、特殊点、特殊方程、特殊模型等)代替，即可以得到正确结果.例3 在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且ba +a b =6cos C ，则tan tan C A +tan tan CB =.(例3)【答案】4【解析】方法一：(特殊值法)根据题意可知，a ，b 是等价关系，我们将题目中的a ，b 互换条件不变.因此，我们选用特殊图形，构造锐角三角形ABC 为等腰三角形，此时cos C=13.不妨设a=b=3(如图)，作AD ⊥BC ，垂足为D ，所以CD=1，AD=，所以tan C=2，tan A=tantan tan C A +tan tan CB =4.方法二：因为b a +ab =6cos C ⇒6ab cos C=a 2+b 2，所以6ab·222-2a b c ab +=a 2+b 2⇒a 2+b 2=232c ，所以tan tan C A +tan tan C B =sin cos C C ·cos sin sin cos sin sin B A B A A B +=sin cos C C ·sin()sin sin A B A B +=1cos C ·2sin sin sin C A B =2221-2a b c ab +·2c ab =224c c =4.练习 已知f (x )是定义在R 上的函数，且f (1)=1，对任意x ∈R 都有下列两式成立：(1)f (x+5)≥f (x )+5；(2)f (x+1)≤f (x )+1.若g (x )=f (x )+1-x ，则g (6)的值为 .【答案】1【解析】(特殊函数)观察(1)(2)可知，f (x )=x 显然满足题设，故可得g (6)=f (6)+1-6=1.等价转化法通过“化复杂为简单、化陌生为熟悉”，将问题等价地转化成便于解决的问题，从而得到正确的结果.例4 若不论k 为何实数，直线y=kx+1与曲线x 2+y 2-2ax+a 2-2a-4=0恒有交点，则实数a 的取值范围是 .【分析】直线y=kx+1恒过定点(0，1)，转化为点(0，1)恒在圆的内部或边界上即可满足题意.【答案】[-1，3]【解析】由于直线y=kx+1恒过定点(0，1)，所以原题等价于点(0，1)恒在圆内或圆上，所以点(0，1)到圆x 2+y 2-2ax+a 2-2a-4=0的圆心(a ，0)的距离小于或等于半径a>-2，即≤，解得-1≤a ≤3，即a 的取值范围是[-1，3].练习 如图，在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别是AB ，CD 的中点，点G 是EF 上的动点，记△A 1B 1G ，△C 1D 1G 的面积分别为S 1，S 2，则S 1+S 2的最小值为 .(练习)【答案】【解析】设EG=x ，则FG=2-x ，0≤x ≤2，则S 1+S 2=12×2+12×2×，在平面直角坐标系中，它表示x 轴上的点P (x ，0)到M (0，2)与N (2，2)两点的距离之和，而点M 关于x 轴的对称点为M'(0，-2)，则S 1+S 2≥M'N=整体代入法将需要解决的问题看作一个整体，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体功能或作整体处理后得到正确的结果.例5 已知三棱锥的三个侧面两两互相垂直，它们的侧面积分别是6，4，3，那么该三棱锥的体积等于 .【分析】由题意联想到长方体，把三棱锥放置于长方体内，整体代入，解决问题.(例5)【答案】4【解析】由题意可联想到长方体模型，如图，设三条棱长分别为x ，y ，z ，则12xy=6，12xz=4，12yz=3，有xy=12，xz=8，yz=6，即(xyz )2=12×8×6=4×3×4×2×6=242，于是xyz=24，故所求体积V=16xyz=4.练习 设实数x ，y 满足3≤xy 2≤8，4≤2x y ≤9，则34x y 的最大值是 .【答案】27【解析】34xy =22x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭·21xy ∈[2，27]，故所求最大值为27.构造法构造型填空题的求解，需要利用已知条件和结论的特殊性构造出新的数学模型，从而简化推理与计算过程.例6在四面体ABCD中，若AC=BD=5，AD=BC=2，则该四面体的体积V=.(例6)【答案】8【解析】构造如图所示的长方体，并且满足AB=CD=，AC=BD=5，AD=BC=2现设AP=p，AQ=q，AR=r，则p2+q2=AB2=13，r2+p2=AD2=20，q2+r2=AC2=25.将以上三式分别相加得p2+q2+r2=29，于是r=4，q=3，p=2.故V=V长方体-4CAQBV=2×3×4-4×13×4×12×2×3=8.归纳猜想法认真分析，仔细观察、归纳，发现共同特征，大胆猜想，据此预测它的变化规律.例7设{a n}是首项为1的正项数列，且(n+1)21na-n2na+a n+1a n=0(n=1，2，3，…)，则它的通项公式是a n=.【答案】1 n【解析】因为(a n+1+a n)[(n+1)a n+1-na n]=0，所以(n+1)a n+1-na n=0，所以a1=1，a2=12，a3=13，…，猜想an=1n.练习观察下列算式，猜测由此提供的一般性法则，使用适当的数学式子表示它：1=13+5=87+9+11=2713+15+17+19=6421+23+25+27+29=125设第n个式子为a1+a2+…+a n=b n，则(a1，a n)=，b n=.【答案】(n2-n+1，n2+n-1)n3【解析】观察每一个式子的首项分别为1，3，7，13，21，…均为奇数，对它们都减去1，则为0，2，6，12，20，…，即为12-1，22-2，32-3，42-4，52-5，…，所以归纳为n2-n+1.同理末项归纳为n2+n-1.观察等式右边可得b n=n3.【中档题突破】中档题突破简易逻辑问题例1 对于△ABC ，有如下四个结论： ①若sin2A= sin2B ，则△ABC 为等腰三角形； ②若sin B=cos A ，则△ABC 是直角三角形； ③若sin 2A+ sin 2B> sin 2C ，则△ABC 是锐角三角形；④若cos2aA =cos 2bB =cos 2cC，则△ABC 是等边三角形.其中正确的结论个数是 . 【答案】 1【解析】①不对，可能2A+2B=π；②不对，如B=120°，A=30°；③不对，仅能说明C 为锐角；④对，由正弦定理可得sin 2A =sin 2B =sin 2C，即A=B=C.【点评】本题主要使用了特殊值法.当填空题已知条件中含有某些不确定的量，但填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以将题中变化的不定量选取一些符合条件的恰当的特殊值(或特殊函数、特殊角、特殊数列、特殊图形、特殊位置、特殊点、特殊方程、特殊模型等)进行处理，从而得出探求的结论.这样可大大地简化推理论证的过程.练习 在平面直角坐标系xOy 中，直线y=x+b ，b ∈R 与曲线的充要条件是 .【答案】=1，且b<0，即b=-【点评】要理解必要不充分、充分不必要、充要条件的意义，准确判断命题之间的相互关系.如果p ⇒q ，那么p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件；如果p ⇒q 且q⇒/p，那么p是q的充分不必要条件；如果p⇒/q且q⇒p，那么p是q的必要不充分条件，如果p⇔q，那么p是q的充要条件.立体几何中体积、面积的计算例1如图(1)，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，若AB=1，BC=2，AC=，AA1=3，M为线段BB1上的一动点，则当AM+MC1最小时，△AMC1的面积为.(例1(1))【分析】本题中点M在线段BB1上移动时，MA和MC1两者都在变化中，无法直接求出距离之和的最小值.在平面几何中三角形两边之和大于第三边，且当三点共线时，可以得到两边之和等于第三边，故利用该特征将该三棱柱的侧面展开转化为平面几何进行研究.(例1(2))【解析】将三棱柱侧面展开后知，AM+MC1最小可以等价为在矩形ACC1A1中求AM+MC1的最小值.如图(2)，当A，M，C1三点共线时，AM+MC1最小.又AB=1，BC=2，所以AM=，MC 1=2.又AC 1==，所以cos ∠AMC 1=222111-2?AM C M AC AM C M +=-12，所以sin ∠AMC 1=2.所以△AMC 1的面积为S=12××2=【点评】立体几何中相邻两个面之间的两点间路径距离最短问题，都可以转化为平面几何中两点间距离最短，空间问题向平面问题转化，使得问题简化.练习 设正四棱锥的侧棱长为1，则其体积的最大值为 .【答案】27【解析】方法一：设正四棱锥的底面边长为x ，则体积V=13x2=，记y=t 2(2-t )，t>0，利用导数可求得当t=43时，y max =3227，此时V max=27.方法二：设正四棱锥的侧棱与底面所成角为θ，则V=13×2cos 2θ×sin θ=23(1-sin 2θ)×sin θ，0<θ<π2，记y=(1-t 2)t ，0<t<1，利用导数可求得当t=3时，y max=9，此时V max=27.三角函数与解三角形问题例1 (2016·苏锡常镇一调)若一个钝角三角形的三内角成等差数列，且最大边与最小边之比为m ，则实数m 的取值范围是 .【分析】由题意知中间角为60°，由正弦定理知m 也是最大角与最小角的正弦值之比.【答案】(2，+∞)【解析】由三角形的三个内角成等差数列，得中间角为60°.设最小角为α，则最大角为120°-α，其中0°<α<30°.由正弦定理得m=°sin(120-)sin αα=×1tan α+12>12=2.【点评】若“钝角三角形”改为“直角三角形”，则m=2；若仅放大最大边，则最大角为钝角，此时m>2.其思想根源是30°角所对的直角边是斜边的一半.例2 已知ω>0，若函数f (x )=sin π4x ω⎛⎫+ ⎪⎝⎭在ππ2⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递减，则ω的取值范围是 .【答案】1524⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【解析】当2k π+π2≤ωx+π4≤2k π+3π2，k ∈Z 时，f (x )为减函数，即π2π4k ω+≤x ≤5π2π4k ω+，k ∈Z 时，f (x )为减函数，又当x ∈ππ2⎛⎫ ⎪⎝⎭，时f (x )是减函数，所以π2ππ425π2π4πk k ωω⎧+⎪≤⎪⎪⎨⎪+⎪≥⎪⎩，，k ∈Z ，解得142524k k ωω⎧≥+⎪⎪⎨⎪≤+⎪⎩，，k ∈Z .又ω>0，所以k=0，12≤ω≤54.练习1(2015·成都外国语)若函数f(x)=a sin 2x+cosπ23x⎛⎫+⎪⎝⎭的最大值为1，则实数a=.【答案】0【解析】因为函数f(x)=a sin 2x+cosπ23x⎛⎫+⎪⎝⎭=a-2sin 2x+12cos 2x的最大值为1，所以2-2a⎛⎝⎭+14=1，解得a=0或【点评】研究三角函数的性质，一般先化成一个角的三角函数再进行解答，本意要注意应用a sin x+b cos x的最值的结论进行作答.练习2在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2-b2=bc，sin C=B，则A=.【答案】30°【解析】由sin C=2sin B及正弦定理得c=2b，代入a2-b2=bc，得a2-b2=b·2b=6b2，即a2=7b2.又c2=12b2，由余弦定理得cos A=222-2b c abc+= 222.又A∈(0°，180°)，所以A=30°.不等式与线性规划例1 已知实数x ，y 满足约束条件-0-50-30x y x y y ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，，，若不等式m (x 2+y 2)≤(x+y )2恒成立，则实数m 的最大值是.(例1)【答案】2513【解析】作出线性约束条件下的可行域如图中阴影部分所示，显然，A (2，3)，B (3，3)，令目标函数z=yx ，它表示经过点(0，0)及可行域内的点(x ，y )的直线的斜率，从而1≤z ≤32.不等式m (x 2+y 2)≤(x+y )2恒成立，也就是m ≤222()x y x y ++恒成立，令u=222()x y x y ++，则u=1+222xy x y +=1+2x y y x +=1+21z z+1≤z ≤32，当1≤z ≤32时，2≤1z+z ≤136，从而1213≤21z z +≤1，所以2513≤1+21zz +≤2，于是m ≤2513，即实数m 的最大值为2513.【点评】本题是恒成立问题与基本不等式问题的综合题，较容易入题，需要考生完成的工作是灵活将这两个问题搭桥，以及如何将含两个变量x ，y 的函数消元成一个变量z.例2 若a 2-ab+b 2=1，a ，b 是实数，则a+b 的最大值是 .【答案】2【解析】方法一：因为a 2-ab+b 2=1，即(a+b )2-3ab=1，从而3ab=(a+b )2-1≤23()4a b +，即(a+b )2≤4，所以-2≤a+b ≤2，所以(a+b )max =2.方法二：令u=a+b ，与a 2-ab+b 2=1联立消去b 得3a 2-3ua+u 2-1=0，由于此方程有解，从而有Δ=9u 2-12(u 2-1)≥0，即u 2≤4，所以-2≤u ≤2，所以(a+b )max =2.练习1 已知P (x ，y )为函数y=x 2-1(x>)图象上一动点，记m=3-5-1x y x ++3-7-2x y y +，则当m 最小时，点P 的坐标为 .【答案】(2，3)【解析】方法一：m=23-6-1x x x ++223-10-3x x x +=6+2-3-1x x +2-1-3x x . 当且仅当2-3-1x x =2-1-3x x ，即x=2时m 取得最小值，此时点P 的坐标为(2，3).方法二：m=3-3-2-1x y x ++-13-6-2x y y +=6+-2-1y x +-1-2x y .当且仅当-2-1y x =-1-2x y 时，m 取得最小值.以下同方法一.【点评】用基本不等式研究最值，具有重要意义，要注意构造应用基本不等式求最值的条件，同时要特别注意基本不等式应用的条件是否具备，特别是等号能否取到，而且还要在条件不满足的情况下能够求解或者转化，如等号取不到时，要借助函数图象，利用函数单调性求解最值等.练习2 已知x>0，y>0，2x +1y =1，若x+2y>m 2+2m 恒成立，则实数m 的取值范围是 .【答案】(-4，2)【解析】x+2y>m 2+2m 恒成立可知m 2+2m<(x+2y )min ，而x+2y=(x+2y )21x y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=4+4y x +xy ≥4+4=8，所以m 2+2m<8，解得-4<m<2.平面向量的应用问题例1 如图，在△ABC 中，AB=AC=4，∠BAC=90°，D 是BC 的中点，若向量AM =14AB+m A C ，且AM 的终点M 在△ACD 的内部(不含边界)，则AM ·BM 的取值范围是.(例1)【分析】根据题设条件，本题采用向量的坐标法运算比较简单，因此，首先建立平面直角坐标系.由AM =14AB +m A C 可得到点M 的坐标，进而由点M 在△ACD 的内部，得到点M 的坐标所满足的条件，根据此条件就可得到AM ·BM 的取值范围. 【答案】(-2，6)【解析】以AB ，AC 为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，则A (0，0)，B (4，0)，C (0，4)，D (2，2)，从而直线AD 的方程为y=x ，直线BC 的方程为y=-x+4.由AM =14AB+m A C 得M (1，4m ).因为点M 在△ACD 的内部，所以1-40144m m <⎧⎨+<⎩，，解得14<m<34.又因为AM ·BM =(1，4m )·(-3，4m )=16m 2-3，所以AM ·BM ∈(-2，6).例2 在边长为1的菱形ABCD 中，∠BAD=2π3，若点P 为对角线AC 上一点，则P B ·P D 的最大值为 . 【分析】由于点P 是AC 上的点，所以可将A PA C 用向量表示，进而将PB ，P D 表示为A B ，AD 的形式，通过计算就可得到它的最大值.【答案】-12【解析】设A P =λA C (0≤λ≤1)，则P B =A B -A P =A B -λA C P D ，=AD -A P =AD -λA C ，因此P B ·P D =(A B -λA C )·(AD -λA C )=A B ·AD -λA C ·(A B +AD )+λ22AC .因为四边形ABCD 是边长为1的菱形，且∠BAD=2π3， 所以|A C |=1，A B +AD =AC AB ，·AD =1×1×cos 120°=-12，从而P B ·P D =λ2-λ-12=21-2λ⎛⎫ ⎪⎝⎭-34，所以当λ=0或1时，(P B ·P D )max =-12.练习1 如图，在圆O 的内接三角形ABC 中，M 是BC 的中点，AC=3.若A O ·AM =4，则AB=.(练习1)【解析】方法一：因为O 是三角形外心，所以A O 在A B 和A C 上的投影分别为12|A B |，12|A C |.又因为M 是边BC 的中点，所以A O ·AM =12AO·(A B +A C )=214A B +214AC =214A B+94=4，所以2A B =7，即.方法二：延长AO 交圆O 于点D ，连接BD ，DC ，则BD ⊥AB ，CD ⊥AC.所以A O ·AM =12AD·12(A B +A C )=14(AD ·A B +AD ·A C )=14(A B +B D )·A B +14(A C +C D )·A C =214A B +214AC =214A B+94=4，所以2A B =7，即.练习2 已知向量a =(1，1)，b =(-1，1)，设向量c 满足(2a -c )·(3b -c )=0，则|c |的最大值为 .【解析】因为(2a -c )·(3b -c )=0， 所以6a ·b +c 2-(2a +3b )·c =0.又因为a =(1，1)，b =(-1，1)，所以a ·b =0， 所以|c |2=|2a +3b |·|c |·cos θ(θ为2a +3b 与c 夹角)，所以|c |=|2a +3b |·cos θ≤|2a +3b直线与圆例1在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2+(y-1)2=5，A为圆C与x轴负半轴的交点，过点A作圆C的弦AB，记线段AB的中点为M.若OA=OM，则直线AB的斜率为.【分析】由于中点M是直线AB与CM的交点，从而可由这两条直线的方程，求出它的坐标，即用AB的斜率将它的坐标表示出来，再根据条件OA=OM，求出k的值.【答案】2【解析】在圆C：x2+(y-1)2=5中，令y=0，得x=±2，从而A(-2，0).设直线AB：y=k(x+2).因为M是弦AB的中点，所以CM⊥AB，所以直线CM：y=-1k x+1.将它与直线AB的方程联立解得M222(1-2)211k k k kk k⎛⎫+⎪++⎝⎭，.因为OA=OM=2，所以2，解得k=±2.当k=-2时，M(-2，0)不合题意，所以k=2，即直线AB的斜率为2.例2在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x-1)2+(y-1)2=9，直线l：y=kx+3与圆C相交于A，B两点，M为弦AB上一动点，以M为圆心，2为半径的圆与圆C总有公共点，则实数k的取值范围为.【答案】3-4∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭，【解析】由题意得MC≥1对于任意的点M恒成立，由图形的对称性可知，只需点M位于AB的中点时存在则可.由点C(1，1)到直线l的距离得d=≥1，解得k≥-34.练习1已知P(x，y)是直线kx+y+4=0(k>0)上一动点，PA，PB是圆C：x2+y2-2y=0的两条切线，A，B是切点，若四边形PACB的最小面积为2，则k的值为.【答案】2【解析】由圆的方程得x2+(y-1)2=1，所以圆心为(0，1)，半径r=1，四边形PACB的面积S=2S△PBC.因为四边形PACB的最小面积为2，所以S△PBC的最小值为1，而S△PBC =12r·PB，即PB的最小值为2，此时PC最小为圆心到直线的距离，此时=即k2=4，因为k>0，所以k=2.练习2已知圆C1：(x-2)2+(y-3)2=1，圆C2：(x-3)2+(y-4)2=9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则PM+PN的最小值为.【答案】-4【解析】两圆的圆心和半径分别为C1(2，3)，C2(3，4)，r1=1，r2=3，且两圆内含.圆C1：(x-2)2+(y-3)2=1关于x轴对称的圆的方程为圆C3：(x-2)2+(y+3)2=1，圆心C3(2，-3)，所以PC1=PC3，所以动点P到圆心C3(2，-3)，C2(3，4)的距离之和的最小值为C2C3==5，所以PM+PN的最小值为C2C3-1-3=5-4.【压轴题突破】压轴题突破函数的零点问题例1 已知函数f (x )=220(-1)10.x x x f x x ⎧+≤⎨+>⎩，，，当x ∈[0，100]时，关于x 的方程f (x )=x-15的所有解的和为.(例1)【分析】注意到方程f (x )=x-15的解可以看做函数y=f (x )与y=x-15的图象交点的横坐标，同时，注意到f (x )=f (x-1)+1具有“周期性”的特点，由此可作出图象，由图象来得到解的规律，进而得到所有解的和.【答案】10 000【解析】分别作出函数y=f (x )与y=x-15的图象(如图).当x ∈[0，1)时，令f (x )=(x-1)2+2(x-1)+1=x-15，即x 2-x+15=0，此时两根之和为1；由图可知，当x ∈[1，2)，x ∈[2，3)，…时，它们的两个根的和组成公差为2的等差数列，从而当x ∈[0，100]时，所有解的和为100[112(100-1)]2++⨯=10 000.【点评】应用数形结合的方法来研究解的个数或与解相关的问题，是一种常用的策略，也是简化问题求解的一种手段，要熟练地掌握.例2 (2016·上海卷)已知a ∈R ，函数f (x )=log 21a x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.若关于x 的方程f (x )-log 2[(a-4)x+2a-5]=0的解集中恰好有一个元素，则实数a 的取值范围是 .【答案】(1，2]∪{3，4}【解析】由题意知1x +a=(a-4)x+2a-5，其中1x +a>0，(a-4)x+2a-5>0，即(a-4)x 2+(a-5)x-1=0，当a=4时，x=-1，经检验，满足题意. 当a=3时，x 1=x 2=-1，经检验，满足题意.当a ≠3且a ≠4时，x 1=1-4a ，x 2=-1，x 1≠x 2.x 1是原方程的解当且仅当11x +a>0，即a>2；x 2是原方程的解当且仅当21x +a>0，即a>1.于是满足题意的a ∈(1，2].综上，a的取值范围为(1，2]∪{3，4}.练习1 已知函数f (x )=1-|-1|21(-2)22x x f x x <⎧⎪⎨≥⎪⎩，，，，则函数F (x )=xf (x )-1的零点的个数为 .【答案】6(练习1)【解析】由题意知，F (x )=xf (x )-1的零点，即函数y=f (x )与y=1x 的图象交点的横坐标.作出x ∈(-∞，2)的函数f (x )的图象如图所示，由图象知f (0)=f (2)=0，f (1)=1，f12⎛⎫ ⎪⎝⎭=f 32⎛⎫ ⎪⎝⎭=12.当x ∈[2，+∞)时，f (4)=12f (2)=0，f (6)=12f (4)=0，…依次类推，易得f (4)=f (6)=f (8)=…=f (2n )=0.又f (3)=12f (1)=12，同理，f (5)=12f (3)=14，f (7)=12f (5)=18，作出x ∈[2，+∞)时函数f (x )的图象如图所示，显然零点共6个，其中左边1个，右边5个.练习2 若函数f (x )满足f (x+1)=f (x-1)，且当x ∈[-1，1]时，f (x )=x 2，则函数F (x )=f (x )-|log 4x|的零点个数为.(练习2)【答案】4【解析】因为f (x+1)=f (x-1)，所以函数f (x )的周期为2，且x ∈[-1，1]时，f (x )=x 2，在同一平面直角坐标系中作出函数f (x )的图象，y=|log 4x|(x>0)的图象如图所示，由图象可知，交点个数是4，即F (x )的零点个数为4.练习3 已知f (x )是以2为周期的偶函数，当x ∈[0，1]时，f (x )=x ，若在区间[-1，3]内，函数g (x )=f (x )-kx-k 有4个零点，则实数k 的取值范围是 .(练习3)【答案】104⎛⎤ ⎥⎝⎦，【解析】由题意可知g (x )=f (x )-kx-k 的零点，即y=f (x )与y=k (x+1)的图象交点的横坐标，在同一平面直角坐标系中分别作出y=f (x )与y=k (x+1)的图象如图所示，由题知函数g (x )在[-1，3]内有4个零点，所以k ∈104⎛⎤ ⎥⎝⎦，.练习4 函数f (x )=(x-1)sin πx-1(-1<x<3)的所有零点之和为 . 【答案】4【解析】原函数的零点可看作函数f (x )=sin πx ，g (x )=1-1x 的交点的横坐标，作出它们的图象可以看出，它们有四个交点，且f (x )与g (x )均关于点(1，0)对称，故f (x )与g (x )在(-1，3)上的四个交点的横坐标之和为4.函数的性质问题例1 (2016·苏锡常镇调研)已知函数f (x )=x|x 2-a|，若存在x ∈[1，2]，使得f (x )<2成立，则实数a 的取值范围是 .【答案】(-1，5)【解析】方法一：当x ∈[1，2]时，f (x )<2，等价于|x 3-ax|<2，即-2<x 3-ax<2，即x 3-2<ax<x 3+2，得到x 2-2x <a<x 2+2x ，即2min 2-x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭<a<2max 2x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，解得-1<a<5.方法二：原问题可转化为先求：对任意x∈[1，2]，使得f(x)≥2时，实数a的取值范围.则有x|x2-a|≥2，即|a-x2|≥2 x.(1)当a≥4时，a≥x2+2x≥22+22=5，得到a≥5.(2)当a≤1时，x2-a≥2x，有a≤x2-2x≤1-21=-1，得到a≤-1.(3)当1<a<4时，|a-x2|≥0，与2x>0矛盾.那么有a≤-1或a≥5，故原题答案为-1<a<5.【点评】对于存在性问题，可以直接转化为相应函数的最值问题，也可以参数和变量分离后再转化为新函数的最值问题(如方法一)，也可以转化为命题的否定，即恒成立问题来处理(如方法二).例2(2015·宿迁一模)已知函数f(x)=x2-2ax+a2-1，若关于x的不等式f(f(x))<0的解集为空集，则实数a的取值范围是.【分析】注意到f(f(x))<0是关于x的四次不等式，所以直接求解是有困难的，因此，首先要降次，由于f(x)可分解为[x-(a+1)][x-(a-1)]，从而应用整体思想，可将问题转化为a-1<f(x)<a+1，此时再来研究不等式a-1<f(x)<a+1的解集.若直接解不等式组2222-2-1-1-2-11x ax a ax ax a a⎧+>⎨+<+⎩，，则需要进行分类讨论，且情况众多，所以应用数形结合的思想来加以解决，考虑函数y=f(x)与y=a-1，y=a+1的图象关系，易得到问题答案.【答案】(-∞，-2]【解析】因为f(x)=[x-(a+1)][x-(a-1)]，所以f(f(x))<0等价于[f(x)-(a+1)][f(x)-(a-1)]<0，从而a-1<f(x)<a+1，要使f(f(x))<0的解集为空集，根据函数的图象，则需y=a+1与y=f(x)至多有一个交点.又因为f(x)=(x-a)2-1≥-1，所以a+1≤-1，解得a≤-2.【点评】研究高次的方程、不等式通常首先考虑的是能否进行降次，转化为低次的方程、不等式；其次，在研究方程、不等式问题时，要充分注意它与函数的关系，即充分利用它所对应的函数的图象的直观性来研究问题，这往往可以起到化难为易，化繁为简的作用.练习1 已知函数f (x )=|2x -2|(x ∈(-1，2))，则函数y=f (x-1)的值域为.(练习1)【答案】[0，2)【解析】方法一：由于平移不改变值域，故只需要研究原函数的值域.画出函数f (x )=|2x -2|的图象如图所示，由图易得值域为[0，2).方法二：因为x ∈(-1，2)，所以2x ∈142⎛⎫ ⎪⎝⎭，，2x -2∈3-22⎛⎫⎪⎝⎭，，所以|2x -2|∈[0，2).因为y=f (x-1)是由f (x )向右平移1个单位长度得到的，所以值域不变，所以y=f (x-1)的值域为[0，2).练习2 已知函数f (x )=13x 3+2x ，若对任意的t ∈[-3，3]，f (tx-2)+f (x )<0恒成立，则x 的取值范围是 .【答案】1-12⎛⎫ ⎪⎝⎭，【解析】易知函数f (x )=13x 3+2x 是R 上的奇函数且单调递增，f (tx-2)+f (x )<0可化为f (tx-2)<f (-x )，即tx-2<-x ，问题变为g (t )=tx+x-2<0在区间[-3，3]上恒成立，故有(-3)0(3)0g g <⎧⎨<⎩，，解得-1<x<12.导数的应用例1(2015·泰州二模)若函数f(x)=x2|x-a|在区间[0，2]上单调递增，则实数a 的取值范围是.【分析】含绝对值的函数需要去绝对值转化为分段函数，本题已知函数在[0，2]上为增函数，则需先讨论函数在[0，+∞)上的单调性，自然地分a≤0和a>0两个情况进行讨论，得到函数在[0，+∞)上的单调性，结合函数单调性得到23a≥2，从而解出a的取值范围.【答案】(-∞，0]∪[3，+∞)【解析】先讨论函数在[0，+∞)上的单调性.当a≤0时，f(x)=x3-ax2，f'(x)=3x2-2ax≥0在[0，+∞)上恒成立，所以f(x)在[0，+∞)上单调递增，则也在[0，2]上单调递增，成立；当a>0时，f(x)=2332-0-.ax x x a x ax x a⎧≤≤⎨>⎩，，，①当0≤x≤a时，f'(x)=2ax-3x2，令f'(x)=0，得x=0或x=23a，则f(x)在23a⎡⎫⎪⎢⎣⎭，上单调递增，在23a a⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递减；②当x>a时，f'(x)=3x2-2ax=x(3x-2a)>0，所以f(x)在(a，+∞)上单调递增，所以当a>0时，f(x)在23a⎡⎫⎪⎢⎣⎭，上单调递增，在23a a⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递减，在(a，+∞)上单调递增.要使函数在区间[0，2]上单调递增，则必有23a≥2，解得a≥3.综上，实数a的取值范围是(-∞，0]∪[3，+∞).例2 (2015·徐州、连云港、宿迁三检)若函数f (x )=a x -x 2(a>1)有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是 .【分析】本题的难点是如何求解当x>0时，关于x 的方程a x -x 2=0(a>1)有两个不同的实数根.【答案】(1，2ee )【解析】显然，当x<0时，函数f (x )=a x -x 2(a>1)必有一个零点， 所以当x>0时，函数f (x )=a x -x 2(a>1)必有两个不同的零点，也就是说当x>0时，关于x 的方程a x -x 2=0(a>1)有两个不同的实数根， 亦即x>0时，关于x 的方程a x =x 2(a>1)有两个不同的实数根.将该方程两边同时取对数，得x ln a=2ln x (a>1)，即ln 2a =ln xx ，所以只要求函数u (x )=ln x x (x>0)与函数v (x )=ln 2a有两个不同的交点即可， 因为u'(x )=21-ln x x (x>0)，令u'(x )=0，得x=e ，当x 变化时，u (x )，u'(x )的变化情况如下表：当x=e 时，函数u (x )取得极大值，这个极大值就是函数u (x )的最大值，且u (x )max =u (e)=1e ，于是ln 2a <1e ，ln a<2e ，a<2ee .又因为a>1，所以1<a<2e e ，即实数a 的取值范围是(1，2ee ).【点评】本题中采用的两边同时取对数的方法可以有效地实现a，x的分离，这既是本题的难点，也是本题的亮点，这种方法在求数列的通项中也常常用到，希望考生认真加以体会.练习1若不等式|ax3-ln x|≥1对任意的x∈(0，1]恒成立，则实数a的取值范围是.【答案】2e3∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭，【解析】令x=1，可得|a|≥1，即a≤-1或a≥1.令g(x)=ax3-ln x，g'(x)=3ax2-1x=33-1axx.①当a≤-1时，对任意的x∈(0，1]，g'(x)=33-1axx<0，g(x)在(0，1]上单调递减，g(x)min=g(1)=a≤-1，此时g(x)∈[a，+∞)，|g(x)|的最小值为0，不适合题意.②当a≥1时，由g'(x)=33-1axx=0，解得，可知当x∈(0，1]时，|g(x)|的最小值为g=13+13ln(3a)≥1，解得a≥2e3.故所求实数a的取值范围是2e+3⎡⎫∞⎪⎢⎣⎭，.【点评】导数的运算与其他知识的综合是常考题型，可以将导数的几何意义与数列、方程、不等式恒成立、基本不等式等知识综合，考查等价转化、函数与方程、分离参数等数学思想方法.练习2当x∈[-2，1]时，若不等式ax3-x2+4x+3≥0恒成立，则实数a的取值范围是.【答案】[-6，-2]【解析】不等式ax 3-x 2+4x+3≥0变形为ax 3≥x 2-4x-3.当x=0时，0≥-3，故实数a 的取值范围为R ；当x ∈(0，1]时，a ≥23-4-3x x x ，记f (x )=23-4-3x x x ，f'(x )=24-89x x x ++=4-(-9)(1)x x x +>0，故函数f (x )单调递增，则f (x )max =f (1)=-6，故a ≥-6.当x ∈[-2，0)时，a ≤23-4-3x x x ，记 f (x )=33-4-3x x x ，令f'(x )=0，得x=-1或x=9(舍去)，当x ∈(-2，-1)时，f'(x )<0；当x ∈(-1，0)时，f'(x )>0，故f (x )min =f (-1)=-2，则a ≤-2.综上，实数a 的取值范围为[-6，-2].数列的应用问题例1 设S n 是正项等比数列{a n }的前n 项和，若S 6-2S 3=5，则S 9-S 6的最小值为 .【分析】思路1：从研究等比数列的基本方法——基本量入手，将条件用a 1，q 表示出来，为此消去一个变量a 1，从而将S 9-S 6用q 的表达式表示出来，由此转化为用基本不等式来求函数的最小值.这当中要注意对公比q 是否等于1进行讨论.思路2：注意到所研究的是等比数列的前3项、前6项、前9项和的关系，因此，考虑将S 3作为一个整体来加以考虑，从而将S 6，S 9转化为S 3的形式，进而来研究问题.【答案】20【解析】方法一：当q=1时，S 6-2S 3=0，不合题意，所以q ≠1，从而由S 6-2S 3=5，得61(1-)1-a q q -312(1-)1-a q q =5，从而得11-a q =635-2-1q q +=325-(-1)q <0，故1-q<0，即q>1，故S 9-S 6=91(1-)1-a q q -61(1-)1-a q q =635-2-1q q +×(q 6-q 9)=635-1q q ，令q3-1=t>0，则S9-S6=25(1)tt+=512tt⎛⎫++⎪⎝⎭≥20，当且仅当t=1，即q3=2时等号成立.方法二：因为S6=S3(1+q3)，所以由S6-2S3=5，得S3=35-1q>0，从而q>1，故S9-S6=S3(q6+q3+1)-S3(q3+1)=S3q6=635-1qq，以下同方法一.【点评】整体法是研究问题的一种常用的方法，它可以起到化繁为简、化难为易的作用，对于一些复杂的且有一个特征的代数式，经常采用整体法来研究.例2(2015·扬州期末)设数列{a n}的前n项和为S n，且a n=4+-11-2n⎛⎫⎪⎝⎭，若对任意的n∈N*，都有1≤p(S n-4n)≤3，则实数p的取值范围是.【分析】求参数的常用方法是分离参数，所以首先将参数p进行分离，从而将问题转化为求函数f(n)=S n-4n的最大值与最小值，再注意到题中含有-11-2n⎛⎫⎪⎝⎭，涉及负数的乘方，所以需对n进行分类讨论.【答案】[2，3]【解析】令f(n)=S n-4n=4n+11--211--2n⎛⎫⎪⎝⎭⎛⎫⎪⎝⎭-4n=2311--2n⎡⎤⎛⎫⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.当n为奇数时，f(n)=21132n⎡⎤⎛⎫+⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦单调递减，则当n=1时，f(n)max=1；当n为偶数时，f(n)=211-32n⎡⎤⎛⎫⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦单调递增，由当n=2时，f(n)min=12.又1-4n S n ≤p ≤3-4n S n ，所以2≤p ≤3.【点评】本题的本质是研究数列的最值问题，因此，研究数列的单调性就是一个必要的过程，需要注意的是，由于本题是离散型的函数问题，所以，要注意解题的规范性，“当n 为奇数时，f (n )=21132n⎡⎤⎛⎫+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦单调递减，此时f (n )∈213⎛⎤ ⎥⎝⎦，；当n 为偶数时，f (n )=211-32n⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦单调递增，此时f (n )∈112⎡⎫⎪⎢⎣⎭，”的写法是不正确的，因为f (n )并不能取到112⎡⎫⎪⎢⎣⎭，∪213⎛⎤ ⎥⎝⎦，=112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，内的所有值.练习1 已知数列{a n }满足a 1=m (m 为正整数)，a n+1=231.nn nn a a a a ⎧⎪⎨⎪+⎩，当为偶数时，，当为奇数时若a 6=1，则m 所有可能的取值为 .【答案】4，5，32【解析】逆向思考，由a 6=1得a 5=2或0(舍去)，再由a 5=2得a 4=4或a 4=13(舍去)，再由a 4=4得a 3=1或a 3=8.由a 3=1得a 2=2或a 2=0(舍去)，由a 2=2，得a 1=4或a 1=13(舍去)；由a 3=8得a 2=16或a 2=73(舍去)，由a 2=16得a 1=32或a 1=5，所以a 1=4或a 1=5或a 1=32.练习2 已知数列{a n }满足3a n+1+a n =4(n ≥1)，且a 1=9，设其前n 项和为S n ，则满足不等式|S n -n-6|<1125的最小整数n= .【答案】7。
高考数学复习 客观“瓶颈”题突破
第3讲 客观“瓶颈”题突破——冲刺高分题型概述 “瓶颈”一般是指在整体中的关键限制因素，例如，一轮、二轮复习后，很多考生却陷入了成绩提升的“瓶颈期”——无论怎么努力，成绩总是停滞不前.怎样才能突破“瓶颈”，让成绩再上一个新台阶？全国高考卷客观题满分80分，共16题，决定了整个高考试卷的成败，要突破“瓶颈题”就必须在两类客观题第10，11，12，15，16题中有较大收获，分析近三年高考，必须从以下几个方面有所突破，才能实现“柳暗花明又一村”，做到保“本”冲“优”.压轴热点1 函数的图象、性质及其应用【例1】 (1)(2016·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)，x ＝－(ω>0，|φ|≤π2)为f (x )的零点，x ＝为y ＝f (x )图象的对称轴，且f (x )在上单调，则ω的π4π4(π18，5π36)最大值为( )A.11 B.9 C.7D.5(2)(2017·天津卷)已知奇函数f (x )在R 上是增函数.若a ＝－f ，b ＝f ，c(log 215)(log 24.1)＝f (20.8)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A.a <b <c B.b <a <c C.c <b <aD.c <a <b信息联想 (1)信息①：由x ＝－为f (x )的零点，x ＝为y ＝f (x )图象的对称轴，联π4π4想到周期.信息②：由f (x )在上单调，联想到周期范围.(π18，5π36)(2)信息①：f (x )在R 上是增函数.信息②：看到a ＝－f ，想到进行转化为a ＝f (log 25).(log 215)解析 (1)因为x ＝－为f (x )的零点，x ＝为f (x )的图象的对称轴，所以－＝π4π4π4(－π4)＋kT ，即＝T ＝·(k ∈Z )，所以ω＝4k ＋1(k ∈Z ).T 4π24k ＋144k ＋142πω又因为f (x )在上单调，所以－＝≤＝，即ω≤12，由此得ω的(π18，5π36)5π36π18π12T 22π2ω最大值为9.(2)∵f (x )是R 上的奇函数，∴a ＝－f ＝f ＝f (log 25).(log 215)(－log 215)又log 25>log 24.1>2，1<20.8<2，因此log 25>log 24.1>20.8，结合函数的单调性：f (log 25)>f >f (20.8)，(log 24.1)所以a >b >c ，即c <b <a .答案 (1)B (2)C探究提高 1.根据函数的概念、表示及性质求函数值的策略(1)对于分段函数的求值(解不等式)问题，依据条件准确地找准利用哪一段求解，不明确的要分情况讨论.(2)对于利用函数性质求值的问题，依据条件找到该函数满足的奇偶性、周期性、对称性等性质，利用这些性质将待求值调整到已知区间上求值.2.求解函数的图象与性质综合应用问题的策略(1)熟练掌握图象的变换法则及利用图象解决函数性质、方程、不等式问题的方法.(2)熟练掌握确定与应用函数单调性、奇偶性、周期性、最值、对称性及零点解题的方法.【训练1】 (1)(2016·全国Ⅱ卷)已知函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝2－f (x )，若函数y ＝与y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则(x i ＋y i )＝( )x ＋1x m∑i ＝1A.0B.mC.2mD.4m(2)设曲线f (x )＝cos x (m ∈R )上任一点(x ，y )处切线斜率为g (x )，则函数y ＝m 2＋1x 2g (x )的部分图象可以为( )解析 (1)法一 由题设得(f (x )＋f (－x ))＝1，点(x ，f (x ))与点(－x ，f (－x ))关于点(0，121)对称，则y ＝f (x )的图象关于点(0，1)对称.又y ＝＝1＋，x ≠0的图象也关x ＋1x 1x 于点(0，1)对称.则交点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )成对出现，且每一对关于点(0，1)对称.则,故选B.111()022mm mi i i i i i i m x y x y m ===-=+=+⨯=∑∑∑法二 特殊函数法，根据f (－x )＝2－f (x )可设函数f (x )＝x ＋1，联立y ＝，解x ＋1x得两个点的坐标为或此时m ＝2，所以(x i＋y i)＝2＝m ，故{x 1＝－1，y 1＝0){x 2＝1，y 2＝2，)m∑i ＝1选B.(2)由f (x )＝·cos x ，1＋m 2得g (x )＝f ′(x )＝－·sin x .1＋m 2令F (x )＝y ＝x 2g (x )＝－·x 2sin x ，则F (x )为奇函数，其图象关于原点对称，1＋m 2排除选项B ，C.又因为F (π)＝0，f ＝－<0，知A 不正确，选D.(π2)π21＋m 24答案 (1)B (2)D压轴热点2 直线与圆的位置关系【例2】 (2016·全国Ⅲ卷)已知直线l ：mx ＋y ＋3m －＝0与圆x 2＋y 2＝12交于3A ，B 两点，过A ，B 分别做l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点，若|AB |＝2，则|CD |＝3________.信息联想 信息①：由直线l 截圆x 2＋y 2＝12所得弦长|AB |＝2，联想到求弦心3距，进而求得m 的值及A ，B 坐标.信息②：AC ⊥l ，BD ⊥l ，联想求AC ，BD 方程.解析 设AB 的中点为M ，由题意知，圆的圆心为O (0，0)，半径R ＝2，|AB |＝23，所以|OM |＝3，即＝3，解得m ＝－，3|3m －3|m 2＋133由解得A (－3，)，B (0，2)，则AC 的直线方程为y －＝－{x －3y ＋6＝0，x 2＋y 2＝12，)333(x ＋3)，BD 的直线方程为y －2＝－x ，令y ＝0，解得C (－2，0)，D (2，0)，333所以|CD |＝4.答案 4探究提高 解决直线与圆的位置关系要抓住两点：(1)抓住直线、圆的几何特征，作出正确示意图，数形结合.(2)灵活利用圆的几何性质、寻找突破口，减少运算量.【训练2】 已知P (x ，y )是直线kx ＋y ＋4＝0(k >0)上一动点，PA ，PB 是圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0的两条切线，A ，B 是切点，若四边形PACB 的最小面积为2，则k 的值为________.解析 由圆的方程得x 2＋(y －1)2＝1，所以圆心为C (0，1)，半径r ＝1，四边形PACB 的面积S ＝2S △PBC ，因为四边形PACB 的最小面积为2，所以S △PBC 的最小值为1，而S △PBC ＝r ·PB ，即PB 的最小值为2，12此时PC 最小为圆心到直线的距离，此时d ＝＝＝，则k 2＝4，|5|k 2＋112＋225因为k >0，所以k ＝2.答案 2压轴热点3 函数与导数的综合应用【例3】 若对任意的实数a ，函数f (x )＝(x －1)ln x －ax ＋a ＋b 有两个不同的零点，则实数b 的取值范围是( )A.(－∞，－1] B.(－∞，0)C.(0，1)D.(0，＋∞)信息联想 信息①：由函数的零点，联想到函数图象交点，构造函数作图象.信息②：由零点的个数及函数的图象，借助导数确定最值的大小关系.解析 令f (x )＝0得(x －1)ln x ＝a (x －1)－b ，令g (x )＝(x －1)ln x ，则g ′(x )＝ln x ＋1－，1x ∴当0<x <1时，g ′(x )<0；当x >1时，g ′(x )>0.∴g (x )在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，作出y ＝(x －1)ln x 与y ＝a (x －1)－b 的大致函数图象，如图∵f (x )恒有两个不同的零点，∴y ＝a (x －1)－b 与g (x )＝(x －1)ln x 恒有两个交点，∵直线y ＝a (x －1)－b 恒过点(1，－b )，∴－b >0，从而b <0.答案 B探究提高 利用导数解零点问题，主要是构造函数，利用导数研究函数的单调性，常见的构造函数的方法有移项法、构造形似函数法、主元法等.【训练3】 (2017·石家庄质检)函数f (x )(x ∈R )满足f (1)＝2且f (x )在R 上的导数f ′(x )满足f ′(x )－3>0，则不等式f (log 3x )<3log 3x －1的解集为________.解析 设φ(x )＝f (x )－3x ＋1，x ∈R ，则φ′(x )＝f ′(x )－3>0，φ(x )在(－∞，＋∞)上是增函数，由f (1)＝2，知φ(1)＝f (1)－3×1＋1＝0，又f (log 3x )<3log 3x －1，即f (log 3x )－3log 3x ＋1<0.∴φ(log 3x )<φ(1)，得log 3x <1，则0<x <3.故原不等式的解集为(0，3).答案 (0，3)压轴热点4 圆锥曲线及其性质【例4】 (1)(2016·全国Ⅰ卷)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点.已知|AB |＝4，|DE |＝2，则C 的焦点到准线的距离25为( )A.2 B.4 C.6D.8(2)(2016·山东卷)已知双曲线E ：－＝1(a >0，b >0)，若矩形ABCD 的四个顶点x 2a 2y 2b 2在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |＝3|BC |，则E 的离心率是________.信息联想 (1)信息①：由条件中准线、焦点联想确定抛物线C 的方程y 2＝2px (p >0).信息②：看到|AB |＝4，|DE |＝2，及点A ，D 的特殊位置，联想求A ，D 的25坐标，利用点共圆，得p 的方程.(2)信息①：看到矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，想到双曲线的对称性，得AB ⊥x 轴，CD ⊥x 轴，且|AB |＝|CD |＝.2b 2a信息②：看到2|AB |＝3|BC |，想到由此构建关于a ，b ，c 的方程，进而得关于的ca 方程求e .解析 (1)不妨设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)，∵|AB |＝4，点A 是圆与抛物线交点，由对称性设A (x 1，2)，则x 1＝＝22（22）22p .4p又|DE |＝2，且点D 是准线与圆的交点，∴D 且|OD |＝|OA |.5(－p2，5)从而＋(2)2＝＋()2，解得p ＝4.(4p )2 2(－p 2)25因此C 的焦点到准线的距离是4.(2)由已知及双曲线的对称性得A ，(c ，b 2a)所以|AB |＝，且|BC |＝2c ，2b 2a又2|AB |＝3|BC |，所以2×＝3×2c ，2b 2a 整理得2b 2＝2(c 2－a 2)＝3ac ，等号两端同除以a 2得2(e 2－1)＝3e ，解得e ＝2.答案 (1)B (2)2探究提高 1.涉及与圆锥曲线方程相关问题，一定要抓住定义，作出示意图，充分利用几何性质，简化运算.2.双曲线的离心率与渐近线是高考的热点，求圆锥曲线离心率大小(范围)的方法是：根据已知椭圆、双曲线满足的几何条件及性质得到参数a ，b ，c 满足的等量关系(不等关系)，然后把b 用a ，c 表示，求的值(范围).ca 【训练4】 (1)(2017·唐山一模)已知双曲线C ：x 2－＝1的右顶点为A ，过右焦y 23点F 的直线l 与C 的一条渐近线平行，交另一条渐近线于点B ，则S △ABF ＝( )A. B.332C. D.334338(2)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点M (x 0，4)是抛物线C 上一点，以M 为圆心，|MF |为半径的圆被直线x ＝－1截得的弦长为2，则|MF |＝________.7解析 (1)由双曲线C ：x 2－＝1，得a 2＝1，b 2＝3.y 23∴c ＝＝2.a 2＋b 2∴A (1，0)，F (2，0)，渐近线方程为y ＝±x ，3不妨设BF 的方程为y ＝(x －2)，3代入方程y ＝－x ，解得：B (1，－).33∴S △AFB ＝|AF |·|y B |＝·1·＝.1212332(2)由抛物线定义可得：|MF |＝x 0＋，p2因为以M 为圆心，|MF |为半径的圆被直线x ＝－1截得的弦长为2，所以7＋(x 0＋71)2＝，(x 0＋p 2)2又16＝2px 0，联立解得p ＝4，x 0＝2，故|MF |＝2＋＝4.42答案 (1)B (2)4压轴热点5 线性规划及其综合问题【例5】 已知实数x ，y 满足约束条件当目标函数z ＝ax ＋{x －y －1≤0，2x －y －3≥0，)by (a >0，b >0)在该约束条件下取得最小值2时，a 2＋b 2的最小值为( )5A.5 B.4 C.D.25信息联想 信息①：看到x ，y 满足想到作出可行域.{x －y －1≤0，2x －y －3≥0，)信息②：看到z ＝ax ＋by (a >0，b >0)取到最小值2，想到数形结合，得a ，b 满5足的等量关系，进而求a 2＋b 2的最小值.解析 如图，阴影部分为不等式组表示的平面区域，其中A (2，1)，由于a >0，b >0，故点A 即为目标函数取得最小值的最优解，即2a ＋b ＝2，则b ＝2－2a .55又b >0，a >0，得0<a <.5因此a 2＋b 2＝a 2＋(2－2a )2＝5＋4(0<a <)，当a ＝时，a 2＋b2取5(a －455)25455得最小值4.答案 B探究提高 解线性规划相关问题的策略(1)熟练掌握求解线性规划问题的思路：作图→平移→求值.(2)根据待求式子的几何意义，把待求最值看作直线的截距、斜率、两点间的距离、点到直线的距离等，数形结合求解.【训练5】 若x ，y 满足约束条件则z ＝的最小值为( ){x ＋y ≤0，x －y ≤0，x 2＋y 2≤4，)y －2x ＋3A.－2 B.－23C.－D.1252－47解析 作出满足条件的可行域如图中阴影部分所示，z ＝的几何意义为可行域内的动点与定点P (－3，2)连线的斜率，设过P 的圆y －2x ＋3的切线的斜率为k ，则切线方程为y －2＝k (x ＋3)，即kx －y ＋3k ＋2＝0，由＝2，解得k ＝0或k ＝－.|3k ＋2|k 2＋1125∴z ＝的最小值为－.y －2x ＋3125答案 C。
2021高考数学(文,江苏专用)二轮复习 瓶颈题解题突破37_【答案】
第3讲应用问题中的“瓶颈题”考点1 函数与不等式模型的应用题【例1】【分析】依据题设条件分别求出g(x)和h(x),然后通过作差找出分界点,得到一个分段函数.【解答】由题设,每个工人在单位时间内加工5k个A型零件,所以x个工人在单位时间内加工5k·x个A型零件.总共需要1500×3个A型零件,所以g(x)=150035kx⨯=900kx.单位时间内加工B型零件的个数为3k,所以h(x)=15003?(214-)k x=500(214-)k x.(1) g(x)-h(x)=900kx-500(214-)k x=192600-1400·(214-)xkx x,由于1≤x<214,x∈N,所以:①当1≤x≤137时,g(x)>h(x);②当138≤x≤213时,g(x)<h(x);即当x≤137时,加工A型这一组所用的时间多;当x≥138时,加工B型这一组所用的时间多.要完成任务必需使两组全完成才能完成任务,故完成总任务时间是:f(x)=900,1137,N,500,138213,N.(214-)x xkxx xk x∈∈⎧≤≤⎪⎪⎨⎪≤≤⎪⎩(2) 要使任务完成最快,|g(x)-h(x)|应最小,令g(x)-h(x)=0,得x=1374 7.由于x∈N,所以需比较x=137和138时,|g(x)-h(x)|的大小.经比较,加工A型零件有137人,加工B型零件有77人时,完成任务的用时最少. 另外可以这样考虑,要使任务完成最快,即求函数f(x)的最小值.当1≤x≤137,x∈N时,f(x)=900kx,明显x=137时,f(x)最小.当138≤x≤213,x∈N时,f(x)=500(214-)k x,明显x=138时,f(x)最小,比较x=137和x=138时f(x)的大小,可知当x=137时,f(x)最小.【练习】【解答】(1) 由题意知S=2bx+2ay+4xy+ab(x,y>0).(2) 由于x,y>0,所以2bx+2ay≥2?2bx ay当且仅当bx=ay时,等号成立.从而S≥abxy令xy则t>0,上述不等式(*)可化为4t2ab≤0,解得-2S ab≤t≤-2S ab,由于t>0,所以0<t≤-S ab,从而xy≤-2ab S abS+.由,224,bx ayS bx ay xy ab=⎧⎨=+++⎩解得,2-2abS abxbabS abya⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(负根舍去).所以当x=-abS ab,y=-abS ab时,四个矩形木雕的总面积最大,最大值为abS.考点2 函数与导数模型的应用题【例1】【解答】(1) 由f(x)=1-ax2(a>0)可得f'(x)=-2ax,P(t,f(t)).直线MN的斜率k=f'(t)=-2at,则直线MN的方程为y-1+at2=-2at(x-t),令y=0,可得xM=t+21-2atat,可得M21-,0attat⎛⎫+⎪⎝⎭;令x=0,可得yM=1+at2,可得N(0,1+at2),所以S(t)=S△OMN =12×(1+at2)×212atat+=22(1)4atat+.(2) 当t=12时,S(t)取得最小值,S'(t)=222222(1)24-4(1)16at at at a ata t+⨯⨯+=22222(1)(12-4)16at a t aa t+,由题意知S'12⎛⎫⎪⎝⎭=0,即12a2×14-4a=0,解得a=43,此时S(t)的最小值为S12⎛⎫⎪⎝⎭=22(1)4atat+=24113441432⎛⎫⨯+⎪⎝⎭⨯⨯=23.【练习】【分析】构建函数模型,然后利用导数争辩函数的单调性和最值.【解答】(1) 潜入水底用时30v单位时间,用氧量为30v×cv2=30cv;水底作业时用氧量为5×0.4=2;返回水面用时60v单位时间,用氧量为60v×0.2=12v.所以y=30cv+2+12v(v>0).(2) y=30cv+2+12v≥2+21230cvv⨯=2+1210c.当且仅当30cv=12v,即v=25c时取等号.当25c≤5,即c≥2125时,v=25c时,y的最小值为2+1210c.当25c>5,即c<2125时,y'=30c-212v=2230-12cvv<0,因此函数y=30cv+2+12v在(0,5]上为减函数,所以当v=5时,y的最小值为150c+225.综上,当c≥2125时,下潜速度为25c时,用氧量最小为2+1210c;当0<c<2125时,下潜速度为5时,用氧量最小为150c+225.考点3 三角形与三角函数模型【例1】【分析】用a,θ表示S1和S2,a固定时12SS是关于θ的函数,然后可以利用换元法或求导来争辩其单调性从而求出最小值.【解答】(1) S1=12asinθ·acosθ=14a2sin2θ,设正方形边长为x,则BQ=tanxθ,RC=xtanθ,所以tanxθ+xtanθ+x=a,所以x=1tan1tanaθθ++=sin22sin2aθθ+,所以S2=2sin22sin2aθθ⎛⎫⎪+⎝⎭=222sin24sin24sin24aθθθ++.(2) 当a固定,θ变化时,12SS=14sin244sin2θθ⎛⎫++⎪⎝⎭,令sin2θ=t,则12SS=1444tt⎛⎫++⎪⎝⎭(0<t≤1),利用单调性求得t=1时,12minSS⎛⎫⎪⎝⎭=94.【练习】【解答】(1) 由题意可知,点M为PQ的中点,所以OM⊥AD.设OM与BC的交点为F,则BC=2Rsinθ,OF=Rcosθ.AB=OF-12AD=Rcosθ-Rsinθ.所以S=AB·BC=2Rsinθ(Rcosθ-Rsinθ)=R2(2sinθcosθ-2sin2θ)=R2(sin2θ-1+cos2。
2021高考数学(文,江苏专用)二轮复习 瓶颈题解题突破36_分类解密——专题突破
分类解密——专题突破求曲线方程中的“瓶颈题”例1 已知圆C与两圆x2+(y+4)2=1,x2+(y-2)2=1外切,圆C的圆心轨迹方程为L,设L上的点与点M(x,y)的距离的最小值为m,点F(0,1)与点M(x,y)的距离为n.(1) 求圆C的圆心轨迹L的方程;(2) 求满足条件m=n的点M的轨迹Q的方程.练习1 (2022·苏中三市、宿迁调研)在平面直角坐标系xOy中,设曲线C 1:||xa+||yb=1(a>b>0)所围成的封闭图形的面积为42,曲线C1上的点到原点O的最短距离为223.以曲线C1与坐标轴的交点为顶点的椭圆记为C2.(1) 求椭圆C2的标准方程.(2) 设AB是过椭圆C2中心O的任意弦,l是线段AB的垂直平分线,M是l上的点(与O不重合).①若MO=2OA,当点A在椭圆C2上运动时,求点M的轨迹方程;②若M是l与椭圆C2的交点,求△AMB的面积的最小值.练习2 设双曲线C1的渐近线方程为y=±3x,焦点在x轴上且实轴长为1.若曲线C 2上的点到双曲线C1的两个焦点的距离之和等于22,并且曲线C3:x2=2py(p>0,且是常数)的焦点F在曲线C2上.(1) 求满足条件的曲线C2和曲线C3的方程;(2) 过点F的直线l交曲线C3于点A,B(A在y轴左侧),若AF=13FB,求直线l的倾斜角.圆锥曲线中的最值与范围问题中“瓶颈题”例1 如图,在直角坐标系xOy中,点P11,2⎛⎫⎪⎝⎭到抛物线C:y2=2px(p>0)的准线的距离为54.点M(t,1)是C上的定点,A,B是C上的两动点,且线段AB被直线OM平分.(1) 求p,t的值;(2) 求△ABP面积的最大值.(例1)练习(2022·南京、盐城二模)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:22xa+22yb=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,焦距为2,一条准线方程为x=2.P为椭圆C上一点,直线PF1交椭圆C于另一点Q.(1) 求椭圆C的方程;(2) 若点P的坐标为(0,b),求过P,Q,F2三点的圆的方程;(3) 若1F P=λ1QF,且λ∈1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦,求OP·OQ的最大值.圆锥曲线中的定点与定值问题中“瓶颈题”例1 在平面直角坐标系中,点P(x,y)为动点,已知点A(2,0),B(-2,0),直线PA与PB的斜率之积为-12.(1) 求动点P的轨迹E的方程;(2) 过点F(1,0)的直线l交曲线E于M,N两点,设点N关于x轴的对称点为Q(M,Q不重合),求证:直线MQ过定点.练习(2022·江西卷)如图,已知双曲线C:22xa-y2=1(a>0)的右焦点F,点A,B分别在C的两条渐近线上,AF⊥x轴,AB⊥OB,BF∥OA(O为坐标原点).(1) 求双曲线C的方程;(2) 过C上一点P(x,y)(y≠0)的直线l:2x xa-yy=1与直线AF相交于点M,与直线x=32相交于点N,证明:点P在C上移动时,MFNF恒为定值,并求此定值.。
江苏省无锡市2020年高考数学 第一讲 突破计算瓶颈练习
江苏省无锡市2020年高考数学 第一讲 突破计算瓶颈练习方程：1、分解因式613622-++-+y x y xy x分析：原式的前3项226y xy x -+可以分为)2)(3(y x y x -+，则原多项式必定可分为)2)(3(n y x m y x +-++解：设613622-++-+y x y xy x =)2)(3(n y x m y x +-++∵)2)(3(n y x m y x +-++=mn y m n x n m y xy x --+++-+)23()(622∴613622-++-+y x y xy x =mn y m n x n m y xy x --+++-+)23()(622对比左右两边相同项的系数可得⎪⎩⎪⎨⎧-==-=+613231mn m n n m ，解得⎩⎨⎧=-=32n m∴原式=)32)(23(+--+y x y x2、（1）当m 为何值时，多项式6522-++-y mx y x 能分解因式，并分解此多项式。
（2）如果823+++bx ax x 有两个因式为1+x 和2+x ，求b a +的值。
（1）分析：前两项可以分解为))((y x y x -+，故此多项式分解的形式必为))((b y x a y x +-++ 解：设6522-++-y mx y x =))((b y x a y x +-++则6522-++-y mx y x =ab y a b x b a y x +-+++-)()(22比较对应的系数可得：⎪⎩⎪⎨⎧-==-=+65ab a b m b a ，解得：⎪⎩⎪⎨⎧==-=132m b a 或⎪⎩⎪⎨⎧-=-==132m b a∴当1±=m 时，原多项式可以分解；当1=m 时，原式=)3)(2(+--+y x y x ； 当1-=m 时，原式=)3)(2(--++y x y x（2）分析：823+++bx ax x 是一个三次式，所以它应该分成三个一次式相乘，因此第三个因式必为形如c x +的一次二项式。
高考数学母题解密专题12 基本不等式的应用附答案及解析(江苏专版)
专题10 基本不等式的应用【母题来源一】【2020年江苏】已知，则的最小值是22451(,)x y y x y R +=∈22x y +_______．【母题来源二】【2019年江苏】在平面直角坐标系中，P 是曲线上xOy 4(0)y x x x=+>的一个动点，则点P 到直线x +y =0的距离的最小值是 ▲ .【母题来源三】【2018年江苏】在中，角所对的边分别为，ABC △,,A B C ,,a b c ，的平分线交于点D ，且，则的最小值为120ABC ∠=︒ABC ∠AC 1BD =4a c +___________．【命题意图】（1）了解基本不等式的证明过程.（2）会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题. 【命题规律】基本不等式是高考考查的热点，常以填空题的形式出现．通常以不等式为载体综合考查函数、方程、三角函数、立体几何、解析几何等问题．主要有以下几种命题方式： （1）应用基本不等式判断不等式是否成立或比较大小．解决此类问题通常将所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解．（2）条件不等式问题．通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解．（3）求参数的值或范围．观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得到参数的值或范围. 【方法总结】利用基本不等式求最值的常用技巧：（1）若直接满足基本不等式条件，则直接应用基本不等式．（2）若不直接满足基本不等式条件，则需要创造条件对式子进行恒等变形，如构造“1”的代换等．常见的变形手段有拆、并、配. ①拆——裂项拆项对分子的次数不低于分母次数的分式进行整式分离——分离成整式与“真分式”的和，再根据分式中分母的情况对整式进行拆项，为应用基本不等式凑定积创造条件． ②并——分组并项目的是分组后各组可以单独应用基本不等式，或分组后先由一组应用基本不等式，再组与组之间应用基本不等式得出最值． ③配——配式配系数有时为了挖掘出“积”或“和”为定值，常常需要根据题设条件采取合理配式、配系数的方法，使配式与待求式相乘后可以应用基本不等式得出定值，或配以恰当的系数后，使积式中的各项之和为定值.（3）若一次应用基本不等式不能达到要求，需多次应用基本不等式，但要注意等号成立的条件必须要一致.注：若可用基本不等式，但等号不成立，则一般是利用函数单调性求解. （4）基本不等式的常用变形①a ＋b ≥2(a >0，b >0)，当且仅当a ＝b 时，等号成立． ab ②a 2＋b 2≥2ab ，ab ≤2(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时，等号成立． (a ＋b 2)③＋≥2(a ，b 同号且均不为零)，当且仅当a ＝b 时，等号成立． b a ab④a ＋≥2(a >0)，当且仅当a ＝1时，等号成立；a ＋≤－2(a <0)，当且仅当a ＝－1时，等1a 1a 号成立．1．（江苏省南京市玄武高级中学2020届高三下学期最后一卷）已知直线经过点，则的最小值是_________． 80(,)ax by a b R +-=∈(1,2)-124a b+2．（江苏省南京市玄武高级中学2020届高三下学期最后一卷）设，均为正实数，且x y ，则的最小值为________. 33122x y+=++xy3．（江苏省南通市2020届高三下学期第三次调研测试）已知x ＞1，y ＞1，xy ＝10，则的最小值是_______． 14lg lg x y+4．当时，的最小值为______. 1x >41x x +-5．（江苏省2020届高三下学期6月高考押题）已知正实数满足，则,x y 211x x y y ⎛⎫-= ⎪⎝⎭的最小值为____________. 1x y+6．在中,已知,,,为线段上的点,ABC ·9AB AC =sin cos sin B A C =6ABC S = P AB 且,则的最大值为________. CA CB CP x y CA CB=+xy 7．已知，，且，若恒成立，则实数的取值范0x >0y >211x y+=222x y m m +>+m 围是______.8．已知，且，若，则的最小值为______. ,x y R ∈1x >()()121x y --=66xy x y +++9．（江苏省无锡市天一中学2020届高三下学期6月模拟）常数，和正变量，满a b x y 足，，若的最小值为64，则______． 16a b ⋅=212a b x y +=2x y +b a =10．（江苏省南通市海安高级中学2020届高三下学期5月第二次检测）已知函数的图像经过点，如下图所示，则的最小值(0)x y a b b =+>(1,3)P 411a b+-为.11．（2019届江苏省南京市、盐城市高三第一次模拟）若正实数满足,,a b c ，则的最大值为________.2,2ab a b abc a b c =+=++c12．（2020届江苏省无锡市高三上学期期末）对于任意的正数，不等式,a b 恒成立，则的最大值为_____.222(2)443ab a k b ab a +≤++k 解析附后专题10 基本不等式的应用【母题来源一】【2020年江苏】已知，则的最小值是22451(,)x y y x y R +=∈22x y +_______． 【答案】45【解析】根据题设条件可得，可得，利用基本不42215y x y -=4222222114+555y y x y y y y-+=+=等式即可求解．∵22451x y y +=∴且 0y ≠42215y x y -=∴，当且仅当，即42222221144+5555y y x y y y y -+=+=≥=221455y y =2231,102x y ==时取等号． ∴的最小值为． 22xy+45故答案为：． 45【点睛】本题考查了基本不等式在求最值中的应用．利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号≥≤能否同时成立）．【母题来源二】【2019年江苏】在平面直角坐标系中，P 是曲线上xOy 4(0)y x x x=+>的一个动点，则点P 到直线x +y =0的距离的最小值是 ▲ . 【答案】4【解析】设P 点的坐标是， 4(,0)m m m m+>则点P 到直线x +y =0，4=≥=当且仅当，即时等号成立，42m m=m =则点P 到直线x +y =0的距离的最小值是4.故答案为．4【名师点睛】本题考查曲线上任意一点到已知直线的最小距离，渗透了直观想象和数学运算素养.利用基本不等式即可求解.【母题来源三】【2018年江苏】在中，角所对的边分别为，ABC △,,A B C ,,a b c ，的平分线交于点D ，且，则的最小值为120ABC ∠=︒ABC ∠AC 1BD =4a c +___________． 【答案】9【解析】由题意可知，,S △ABC =S △ABD +S △BCD 由角平分线性质和三角形面积公式得，12ac sin120°=12a ×1×sin60°+12c ×1×sin60°化简得， ac =a +c,1a +1c=1因此 4a +c =(4a +c )(1a +1c )=5+c a +4a c ≥5+2c a ⋅4ac=9,当且仅当时取等号，则的最小值为.c =2a =34a +c 9【名师点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求字母为正数）、“定”不等式的另一边必须为定值）、“等（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.【命题意图】（1）了解基本不等式的证明过程.（2）会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题.【命题规律】基本不等式是高考考查的热点，常以填空题的形式出现．通常以不等式为载体综合考查函数、方程、三角函数、立体几何、解析几何等问题．主要有以下几种命题方式：（1）应用基本不等式判断不等式是否成立或比较大小．解决此类问题通常将所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解．（2）条件不等式问题．通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解．（3）求参数的值或范围．观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得到参数的值或范围.【方法总结】利用基本不等式求最值的常用技巧：（1）若直接满足基本不等式条件，则直接应用基本不等式．（2）若不直接满足基本不等式条件，则需要创造条件对式子进行恒等变形，如构造“1”的代换等．常见的变形手段有拆、并、配.①拆——裂项拆项对分子的次数不低于分母次数的分式进行整式分离——分离成整式与“真分式”的和，再根据分式中分母的情况对整式进行拆项，为应用基本不等式凑定积创造条件．②并——分组并项目的是分组后各组可以单独应用基本不等式，或分组后先由一组应用基本不等式，再组与组之间应用基本不等式得出最值．③配——配式配系数有时为了挖掘出“积”或“和”为定值，常常需要根据题设条件采取合理配式、配系数的方法，使配式与待求式相乘后可以应用基本不等式得出定值，或配以恰当的系数后，使积式中的各项之和为定值.（3）若一次应用基本不等式不能达到要求，需多次应用基本不等式，但要注意等号成立的条件必须要一致.注：若可用基本不等式，但等号不成立，则一般是利用函数单调性求解. （4）基本不等式的常用变形ab①a＋b≥2(a>0，b>0)，当且仅当a＝b时，等号成立．②a 2＋b 2≥2ab ，ab ≤2(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时，等号成立． (a ＋b 2)③＋≥2(a ，b 同号且均不为零)，当且仅当a ＝b 时，等号成立． b a ab④a ＋≥2(a >0)，当且仅当a ＝1时，等号成立；a ＋≤－2(a <0)，当且仅当a ＝－1时，等1a 1a 号成立．1．（江苏省南京市玄武高级中学2020届高三下学期最后一卷）已知直线经过点，则的最小值是_________． 80(,)ax by a b R +-=∈(1,2)-124a b+【答案】32【解析】根据题意，直线经过点，则有， 80(,)ax by a b R +-=∈(1,2)-28a b -=即； 82a b =+则，当且仅当时等号成立； 824111224232444a b b b b b +++=+=+=…2b =-即的最小值是32， 124ab +故答案为：32．【点睛】本题考查基本不等式的性质以及应用，涉及直线的一般式方程，属于中档题． 2．（江苏省南京市玄武高级中学2020届高三下学期最后一卷）设，均为正实数，且x y ，则的最小值为________. 33122x y+=++xy 【答案】16【解析】由，可化为， 33122x y+=++8xy x y =++，均为正实数，x y（当且仅当等号成立）88xy x y ∴=+++…x y =即， 80xy -…，即416xy …故的最小值为16． xy 故答案为：16．来构造一(0,0)2a ba b +>>个新的不等式．3．（江苏省南通市2020届高三下学期第三次调研测试）已知x ＞1，y ＞1，xy ＝10，则的最小值是_______． 14lg lg x y+【答案】9【解析】∵,,，∴，，，10xy =1x >1y >lg lg 1x y +=lg 0x >lg 0>y所以1414lg 4lg (lg )55lg lg lg lg lg lg y x x y x y x y x y +=++=++≥+，当且仅当，即时取“＝”． 59=+=lg 4lg lg lg y x x y=1310x =故答案为：9【点睛】本题考查对数的运算及基本不等式的应用，属于基础题. 4．当时，的最小值为______. 1x >41x x +-【答案】5【解析】，，由基本不等式得1x >Q 10x ∴->. ()44111511x x x x +=-++≥+=--当且仅当时，等号成立. 3x =因此，的最小值为. 41x x +-5故答案为：.5【点睛】本题考查利用基本不等式求代数式的最值，考查计算能力，属于基础题.5．（江苏省2020届高三下学期6月高考押题）已知正实数满足，则,x y 211x x y y ⎛⎫-= ⎪⎝⎭的最小值为____________. 1x y+【答案】2【解析】，2222112141x x x x x x x x y y y y y y y y ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=+-=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，214x yx y y x ⎛⎫∴+=+ ⎪⎝⎭（当且仅当，即时取等号）， 2144x y x y y x ⎛⎫∴+=+≥= ⎪⎝⎭4x y y x =2y x =，即的最小值为. 12x y ∴+≥1x y+2故答案为：2【点睛】本题考查利用基本不等式求解和的最小值的问题，关键是能够将已知等式变形、配凑成符合基本不等式的形式.6．在中,已知,,,为线段上的点,ABC ·9AB AC =sin cos sin B A C =6ABC S = P AB 且,则的最大值为________. CA CB CP x y CA CB=+ xy 【答案】3【解析】由得sin cos sin B A C =2222221622ABC b c a b c a b c S ab bc ∆+-=⇒+=⇒==所以由得·9AB AC = 29,3,4AC b a =∴== 又为线段上的点，且, P AB CA CB CP x y CA CB=+ 所以， 1,1,1334x y x y xy b a +=∴+=∴≥≤当且仅当时，等号成立 3,22x y ==即的最大值为3. xy 7．已知，，且，若恒成立，则实数的取值范0x >0y >211x y+=222x y m m +>+m 围是______.【答案】()4,2-【解析】因为，要使()2142244228y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥+⨯=⎪⎝⎭恒成立，所以，解得.222x y m m +>+228m m +<42m -<<故答案为：．(4,2)-【点睛】本题考查不等式恒成立问题，解题关键是用“1”的代换凑配出定值后用基本不等式求最小值．8．已知，且，若，则的最小值为______. ,x y R ∈1x >()()121x y --=66xy x y +++【答案】25【解析】由题, ,设则.()()6616xy x y x y +++=++1,2a x b y =-=-1ab =.()()()()162882161717825x y a b ab a b ++=++=+++≥+=+=当且仅当时取等号. 82a b =故答案为：25【点睛】本题主要考查了换元法利用基本不等式求解最小值的问题.需要根据题中所给的形式换元,结合基本不等式求最小值.属于中档题.9．（江苏省无锡市天一中学2020届高三下学期6月模拟）常数，和正变量，满a b x y 足，，若的最小值为64，则______． 16a b ⋅=212a b x y +=2x y +b a =【答案】64【解析】 ()2222a b x y x y x y ⎛⎫+=++⎪⎝⎭()()2224242432bx ay a b a b a b y x ⎛⎫=+++≥++=++ ⎪⎝⎭所以，，又，所以，，． ()243264a b ++=416a b +=16ab =8a =2b =64b a =故答案为：64【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，属于中档题.10．（江苏省南通市海安高级中学2020届高三下学期5月第二次检测）已知函数的图像经过点，如下图所示，则的最小值(0)x y a b b =+>(1,3)P 411a b+-为 .【答案】 92【解析】由图可知，a ＞1，点(1，3)在函数的图象上，所以 a ＋b ＝3．1(0)x y a b b =+>＜a ＜3，0＜b ＜2． 4114114114192()[(1)]((5)12121212b a a b a b a b a b a b -+=⨯+=⨯-++=⨯++≥----当且仅当时取等号 72,33a b ==11．（2019届江苏省南京市、盐城市高三第一次模拟）若正实数满足,,a b c ，则的最大值为________.2,2ab a b abc a b c =+=++c 【答案】 87【解析】因为，所以， 2abc a b c =++211111a b ab c ab ab ab +===+---而，故，2ab a b =+2ab a b =+≥8ab ≥当且仅当等号成立，故的最大值为. 4,2a b ==c 87故答案为：. 87【点睛】本题为三元等式条件下的最值问题，注意将欲求范围的变量分离出来，再结合代数式的特点把最值问题转化为整体的范围问题，而后者可根据基本不等式来处理，本题属于中档题.12．（2020届江苏省无锡市高三上学期期末）对于任意的正数，不等式,a b恒成立，则的最大值为_____.222(2)443ab a k b ab a +≤++k【答案】【解析】由题均为正数，不等式恒成立，等价于,a b 222(2)443ab a k b ab a +≤++恒成立， 2222234442322a ab b b ab k a ab a ab++-≤=+++令则， ,0b xa x =>24223212121x x k x x x -≤+=++++22121x x ++≥+当且仅当即时取得等号， 22121x x +=+x =故的最大值为. k故答案为：【点睛】此题考查不等式恒成立求参数的取值范围，关键在于合理进行等价变形，此题可以构造二次函数求解，也可利用基本不等式求解.如何学好数学做选择题时注意各种方法的运用，比较简单的自己会的题正常做就可以了，遇到比较复杂的题时，看看能否用做选择题的技巧进行求解（主要有排除法、特殊值代入法、特例求解法、选项一一带入验证法、数形结合法、逻辑推理验证法等等），一般可以综合运用各种方法，达到快速做出选择的效果。
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第3讲应用问题中的“瓶颈题”数学应用问题是高考中常见题型之一,是能否锁定128分的重要突破口.常见的应用题有:(1) 函数与不等式模型;(2) 函数与导数模型;(3) 三角函数模型;(4) 数列模型.解决实际问题的一般步骤:(1) 阅读题目,理解题意;(2) 设置变量,建立函数关系;(3) 应用函数知识或数学方法解决问题;(4) 检验,作答.解应用题的一般思路可表示如下:分类解密———专题突破函数与不等式模型的应用题例1 某工厂有工人214名,现要生产1500件产品,每件产品由3个A型零件和1个B型零件配套组成,每个工人加工5个A型零件与加工3个B型零件所需的时间相同.现将工人分成两组,分别加工一种零件,同时开始加工.设加工A型零件的工人有x人,在单位时间里每一个工人加工A型零件5k件,加工完A型零件所需时间为g(x),加工完B型零件所需时间为h(x).(1) 比较g(x)与h(x)的大小,并写出完成总任务的时间f(x)的解析式;(2) 应怎样分组,才能使完成任务用时最少?练习如图,已知矩形油画的长为a,宽为b.在该矩形油画的四边镶金箔,四个角(图中斜线区域)装饰矩形木雕,制成一幅矩形壁画.设壁画左右两边金箔的宽为x,上下两边金箔的宽为y,壁画的总面积为S.(1) 用x,y,a,b表示S;(2) 若S为定值,为节约金箔用量,应使四个矩形木雕的总面积最大,求四个矩形木雕总面积的最大值及对应的x,y 的值.(练习)函数与导数模型的应用题例1 某建筑公司要在一块如图所示的矩形地面上进行开发建设,阴影部分为一公共设施,不能开发,且要求用栏栅隔开(栏栅要求在一直线上),公共设施边界为曲线f(x)=1-ax 2(a>0)的一部分,栏栅与矩形区域的边界交于点M,N,交曲线于点P,设P(t,f(t)).(1) 将△OMN(O 为坐标原点)的面积S 表示成t 的函数S(t);(2) 若在t=12处,S(t)取得最小值,求此时a 的值及S(t)的最小值.(例1)练习 在某次水下考古活动中,需要潜水员潜入水深为30m 的水底进行作业.其用氧量包含3个方面:①下潜时,平均速度为v(米/单位时间),单位时间内用氧量为cv 2(c 为正常数);②在水底作业需5个单位时间,每个单位时间用氧量为0.4;③返回水面时,平均速度为2v(米/单位时间),单位时间用氧量为0.2.记该潜水员在此次考古活动中,总用氧量为y.(1) 求出y 关于v 的函数解析式;(2) 设0<v≤5,试确定下潜速度v,使总的用氧量最少.三角形与三角函数模型例1 如图,某园林单位准备绿化一块直径为BC的半圆形空地,△ABC外的地方种草,△ABC的内接正方形PQRS为一水池,其余的地方种花,若BC=a,∠ABC=θ,设△ABC的面积为S1,正方形PQRS的面积为S2.(1) 用a,θ表示S1和S2;(2) 当a固定,θ变化时,求12SS的最小值.(例1)练习(2014·淮安中学)如图所示,某市政府决定在以政府大楼O为中心,正北方向和正东方向的马路为边界的扇形地域内建造一个图书馆.为了充分利用这块土地,并考虑与周边环境协调,设计要求该图书馆底面矩形的四个顶点都要在边界上,图书馆的正面要朝市政府大楼.设扇形的半径OM=R,∠MOP=45°,OB与OM之间的夹角为θ.(1) 将图书馆底面矩形ABCD的面积S表示成θ的函数.(2) 求当矩形ABCD的面积S最大时,θ的值,并求最大值.(用含R的式子表示)(练习)解析几何模型例1 一艘轮船在沿直线返回港口的途中,接到气象台的台风预报:台风中心位于轮船正西80km处,受影响的范围是半径长为r(r>0)km的圆形区域.轮船的航行方向为西偏北45°且不改变航线,假设台风中心不移动.(1) r在什么范围内,轮船在航行途中不会受到台风的影响?(2) 当r=60时,轮船在航行途中受到影响的航程是多少千米?练习(2014·江苏卷)如图,为保护河上古桥OA,规划建一座新桥BC,同时设立一个圆形保护区.规划要求:新桥BC与河岸AB垂直,保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆,且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m.经测量,点A位于点O正北方向60m处,点C位于点O正东方向170m处(OC为河岸),tan∠BCO=4 3.(1) 求新桥BC的长;(2) 当OM多长时,圆形保护区的面积最大?(练习)数列模型例1 商学院为推进后勤社会化改革,与桃园新区商定:由该区向建设银行贷款500万元在桃园新区为学院建一栋可容纳1000人的学生公寓,工程于2012年年初动工,年底竣工并交付使用,公寓管理处采用收费还贷偿还建行贷款(年利率5%,按复利计算),公寓所收费用除去物业管理费和水电费18万元.其余部分全部在年底还建行贷款.(1) 若公寓收费标准定为每名学生每年800元,问:到哪一年可还清建行全部贷款?(2) 若公寓管理处要在2020年底把贷款全部还清,则每名学生每年的最低收费标准是多少元?(精确到元,参考数据:lg1.7343=0.2391,lg1.05=0.0212,1.058=1.4774)练习某企业投入81万元经销某产品,经销时间共60个月,市场调研表明,该企业在经销这个产品期间第x个月的利润函数f(x)=**1,120,N,1,2160,N10x xx x x∈∈⎧≤≤⎪⎨≤≤⎪⎩(单位:万元).为了获得更多的利润,企业将每月获得的利润再投入到次月的经营中.记第x个月的利润率为g(x)=xx第个月的利润第个月的资金总和,例如,g(3)=(3)81(1)(2)ff f++.(1) 求g(10);(2) 求第x个月的当月利润率;(3) 该企业经销此产品期间,哪一个月的当月利润率最大?并求出该月的当月利润率.立体几何体模型例1 某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度,长度单位:m),其中容器的中间为圆柱形,高为l,左右两端均为半球形,半径为r,按照设计要求容器的体积为80π3 m3,且l≥2r.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元,半球形部分每平方米建造费用为c(c>3)千元.设该容器的建造费用为y千元.(1) 求y关于r的函数解析式,并求该函数的定义域;(2) 求该容器的建造费用最小时半径r的值.(例1)【归纳提升】常见应用问题与数学模型及其处理:1. 优化问题:实际问题中的“优选”、“控制”等问题,常需建立“不等式模型”和“线性规划”问题解决.2. 预测问题:经济计划、市场预测这类问题通常设计成“数列模型”来解决.3. 最(极)值问题:工农业生产、建设及实际生活中的极限问题,常设计成“函数模型”,转化为求函数的最值.4. 等量关系问题:建立“方程模型”解决.5. 测量问题:可设计成“图形模型”利用几何知识解决.总之,解应用题关键是将文字语言翻译成数学语言,常借助画图法抽象成数学问题,并注意解模后的验证.考点1 函数与不等式模型的应用题【例1】【分析】根据题设条件分别求出g(x)和h(x),然后通过作差找出分界点,得到一个分段函数.【解答】由题设,每个工人在单位时间内加工5k个A型零件,所以x个工人在单位时间内加工5k·x个A型零件.总共需要1500×3个A型零件,所以g(x)=150035kx=900kx.单位时间内加工B型零件的个数为3k,所以h(x)=15003?(214-)k x=500(214-)k x.(1) g(x)-h(x)=900kx-500(214-)k x=192600-1400·(214-)xkx x,因为1≤x<214,x∈N,所以:①当1≤x≤137时,g(x)>h(x);②当138≤x≤213时,g(x)<h(x);即当x≤137时,加工A型这一组所用的时间多;当x≥138时,加工B型这一组所用的时间多.要完成任务必须使两组全完成才能完成任务,故完成总任务时间是:f(x)=900,1137,N,500,138213,N.(214-)x xkxx xk x∈∈⎧≤≤⎪⎪⎨⎪≤≤⎪⎩(2) 要使任务完成最快,|g(x)-h(x)|应最小,令g(x)-h(x)=0,得x=13747.因为x∈N,所以需比较x=137和138时,|g(x)-h(x)|的大小.经比较,加工A型零件有137人,加工B型零件有77人时,完成任务的用时最少.另外可以这样考虑,要使任务完成最快,即求函数f(x)的最小值.当1≤x≤137,x∈N时,f(x)=900kx,显然x=137时,f(x)最小.当138≤x≤213,x∈N时,f(x)=500(214-)k x,显然x=138时,f(x)最小,比较x=137和x=138时f(x)的大小,可知当x=137时,f(x)最小.【练习】【解答】(1) 由题意知S=2bx+2ay+4xy+ab(x,y>0).(2) 因为x,y>0,所以2bx+2ay≥2?2bx ay当且仅当bx=ay时,等号成立.从而S≥abxy令xy则t>0,上述不等式(*)可化为4t2ab≤0,解得--S ab≤t≤-S ab,因为t>0,所以0<t≤2, 从而xy≤.由,224,bx ay S bx ay xy ab =⎧⎨=+++⎩解得2x ab y a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(负根舍去).所以当x=,y=时,四个矩形木雕的总面积最大,最大值为考点2 函数与导数模型的应用题【例1】 【解答】(1) 由f(x)=1-ax 2(a>0)可得f'(x)=-2ax,P(t,f(t)). 直线MN 的斜率k=f'(t)=-2at,则直线MN 的方程为y-1+at 2=-2at(x-t),令y=0,可得x M =t+21-2at at ,可得M 21-,0at t at ⎛⎫+ ⎪⎝⎭; 令x=0,可得y M =1+at 2,可得N(0,1+at 2),所以S(t)=S △OMN =12×(1+at 2)×212at at +=22(1)4at at +.(2) 当t=12时,S(t)取得最小值,S'(t)=222222(1)24-4(1)16at at at a at a t +⨯⨯+=22222(1)(12-4)16at a t a a t +,由题意知S'12⎛⎫ ⎪⎝⎭=0,即12a 2×14-4a=0,解得a=43,此时S(t)的最小值为S12⎛⎫⎪⎝⎭=22(1)4atat+=24113441432⎛⎫⨯+⎪⎝⎭⨯⨯=23.【练习】【分析】构建函数模型,然后利用导数研究函数的单调性和最值.【解答】(1) 潜入水底用时30v单位时间,用氧量为30v×cv2=30cv;水底作业时用氧量为5×0.4=2;返回水面用时60v单位时间,用氧量为60v×0.2=12v.所以y=30cv+2+12v(v>0).(2) y=30cv+2+12v≥当且仅当30cv=12v,即时取等号.≤5,即c≥2125时时,y的最小值为>5,即c<2125时,y'=30c-212v=2230-12cvv<0,因此函数y=30cv+2+12v在(0,5]上为减函数,所以当v=5时,y的最小值为150c+22 5.综上,当c≥2125时,时,用氧量最小为当0<c<2125时,下潜速度为5时,用氧量最小为150c+225.考点3 三角形与三角函数模型【例1】【分析】用a,θ表示S1和S2,a固定时12SS是关于θ的函数,然后可以利用换元法或求导来研究其单调性从而求出最小值.【解答】(1) S1=12asinθ·acosθ=14a2sin2θ,设正方形边长为x,则BQ=tanxθ,RC=xtanθ,所以tanxθ+xtanθ+x=a,所以x=1tan1tanaθθ++=sin22sin2aθθ+,所以S2=2sin22sin2aθθ⎛⎫⎪+⎝⎭=222sin24sin24sin24aθθθ++.(2) 当a固定,θ变化时,12SS=14sin244sin2θθ⎛⎫++⎪⎝⎭,令sin2θ=t,则12SS=1444tt⎛⎫++⎪⎝⎭(0<t≤1),利用单调性求得t=1时,12minSS⎛⎫⎪⎝⎭=94.【练习】【解答】(1) 由题意可知,点M为PQn的中点,所以OM⊥AD.设OM与BC的交点为F,则BC=2Rsinθ,OF=Rcosθ.AB=OF-12AD=Rcosθ-Rsinθ.所以S=AB·BC=2Rsinθ(Rcosθ-Rsinθ)=R2(2sinθcosθ-2sin2θ)=R2(sin2θ-1+cos2θ22sinπ24θ⎛⎫+⎪⎝⎭-R2,θ∈π0,4⎛⎫⎪⎝⎭.(2) 因为θ∈π0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭,则2θ+π4∈π3π,44⎛⎫⎪⎝⎭,所以当2θ+π4=π2,即θ=π8时,S有最大值,Smax=(2-1)R2.故当θ=π8时,矩形ABCD的面积S有最大值(2-1)R2.考点4 解析几何模型【例1】【分析】建立平面直线坐标系,求出圆心到直线的距离d,通过弦心距和半径作比较进行判断.【解答】如图,以台风中心为原点建立平面直角坐标系xOy.(1) 由图可知轮船在直线l:x+y-80=0上移动,原点到直线l的距离d=402.(例5)所以2,轮船在途中不会受到台风影响.(2) 因为2所以轮船会受到台风影响.航程为2260-(402)所以当r=60km时,轮船在航行途中受到影响的航程是40km.【点评】此类问题实际上就是判断直线与圆的位置关系,该类问题的解决有代数法和几何法两种方法.【练习】 【解答】方法一:(1) 如图(1)所示,以O 为坐标原点,OC 所在直线为x 轴,建立平面直角坐标系xOy. 由条件知A(0,60),C(170,0),直线BC 的斜率k BC =-tan ∠BCO=-43. 又因为AB ⊥BC,所以直线AB 的斜率k AB =34.设点B 的坐标为(a,b),则k BC =-0-170b a =-43,k AB =-60-0b a =34,解得a=80,b=120,所以BC=22(170-80)(0-120)+=150(m).因此新桥BC 的长是150m.(练习(1))(2) 设保护区的边界圆M 的半径为rm,OM=dm(0≤d ≤60).由条件知,直线BC 的方程为y=-43(x-170),即4x+3y-680=0.由于圆M 与直线BC 相切,故点M(0,d)到直线BC 的距离是r,即2243+=680-35d.因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80m,所以-80,-(60-)80,r d r d ≥⎧⎨≥⎩即680-3-80,5680-3-(60-)80,5dddd⎧≥⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩解得10≤d≤35.故当d=10时,r=680-35d最大,即圆面积最大,所以当OM=10m时,圆形保护区的面积最大.方法二:(练习(2))(1) 如图(2)所示,延长OA,CB交于点F.因为tan∠FCO=43,所以sin∠FCO=45,cos∠FCO=35.因为OA=60,OC=170,所以OF=OCtan∠FCO=6803,CF=cosOCFCO∠=8503,从而AF=OF-OA=5003.因为OA⊥OC,所以cos∠AFB=sin∠FCO=45.又因为AB⊥BC,所以BF=AFcos∠AFB=4003,从而BC=CF-BF=150.因此新桥BC的长是150m.(2) 设保护区的边界圆M与BC的切点为D,连接MD,则MD⊥BC,且MD是圆M的半径,并设MD=r m,OM=dm(0≤d≤60).因为OA⊥OC,所以sin∠CFO=cos∠FCO.故由(1)知sin∠CFO=MDMF=-MDOF OM=680-3rd=35,所以r=680-35d.因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80m,所以-80,-(60-)80, r dr d≥⎧⎨≥⎩即680-3-80,5680-3-(60-)80, 5dddd⎧≥⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩解得10≤d≤35.故当d=10时,r=680-35d最大,即圆面积最大,所以当OM=10m时,圆形保护区的面积最大.考点5 数列模型【例1】【分析】将该问题转化为等比数列求和问题.利率问题有两种:①单利问题:如零存整取储蓄(单利)本利和计算模型.若每期存入本金p元,每期利率为r,则n期后本利和为Sn =p(1+r)+p(1+2r)+…+p(1+nr)=p(1)2n nn r+⎡⎤+⎢⎥⎣⎦(等差数列问题).②复利问题:按揭贷款的分期等额还款(复利)模型.若贷款(向银行借款)p元,采用分期等额还款方式,从借款日算起,一期(如一年)后为第一次还款日,如此下去,分n期还清.如果每期利率为r(按复利),那么每期等额还款x元应满足:p(1+r)n=x(1+r)n-1+x(1+r)n-2+…+x(1+r)+x(等比数列问题).【解答】依题意,公寓2012年底建成,2013年开始使用.(1) 设公寓投入使用后n年可偿还全部贷款,则公寓每年收费总额为1000×800=800000=80(万元),扣除18万元,可偿还贷款62万元.依题意有62[1+(1+5%)+(1+5%)2+…+(1+5%)n-1]≥500(1+5%)n+1, 化简得62(1.05n-1)≥25×1.05n+1.所以1.05n≥1.7343,两边取对数整理得n≥lg1.7343lg1.05=0.23910.0212=11.28,所以取n=12.所以到2024年年底可还清全部贷款.(2) 设每名学生和每年的最低收费标准为x元,因为到2020年底公寓共使用了8年,依题意有1000-1810000x⎛⎫⎪⎝⎭[1+(1+5%)+(1+5%)2+…+(1+5%)7]≥500(1+5%)9,化简得(0.1x-18)81.05-11.05-1≥500×1.059,所以x≥109825 1.05 181.05-1⎛⎫⨯+⎪⎝⎭=1025 1.05 1.4774 181.4774-1⨯⨯⎛⎫+⎪⎝⎭=10×(18+81.2)=992.故每名学生每年的最低收费标准为992元.【点评】在经济活动中,如增长率、降低率、存款复利、分期付款等与年(月)份有关的实际问题,大多可归结为数列问题,即通过建立相应的数列模型来解决.在解应用题时,是否是数列问题,一是看自变量是否与正整数有关;二是看是否符合一定的规律,可先从特殊的情形入手,再寻找一般的规律.【练习】【解答】(1) 依题意得f(1)=f(2)=f(3)=…=f(9)=1,所以g(10)=(10)81(1)(2)(9)ff f f+++⋅⋅⋅+=190.(2) 当x=1时,g(1)=1 81.当1<x≤20时,f(1)=f(2)=…=f(x-1)=f(x)=1,则g(x)=()81(1)(2)(-1)f xf f f x+++⋅⋅⋅+=180x+,经验证x=1也符合上式,故当1≤x≤20时,g(x)=180x+.当21≤x≤60时,g(x)=()81(1)(2)(20)(21)(-1)f xf f f f f x +++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+=1108120(21)(-1)xf f x +++⋅⋅⋅+=110(-21)(20)10120xx x++=22-1600xx x+,所以第x个月的当月利润率为g(x)=21,120,802,2160.-1600xxxxx x⎧≤≤⎪⎪+⎨⎪≤≤⎪+⎩(3) 当1<x≤20时,g(x)=180x+是减函数,此时g(x)的最大值为g(1)=181.当21≤x≤60时,g(x)=22-1600xx x+=21600-1xx+≤279,当且仅当x=1600x,即x=40时,g(x)有最大值为279.因为279>181,所以当x=40时,g(x)有最大值为279,即该企业经销此产品期间,第40个月的当月利润率最大,其当月利润率为279.考点6 立体几何体模型【例1】【分析】根据球的体积和圆柱的体积公式求出y关于r的函数表达式,再利用导数研究其最值.【解答】(1) 因为容器的体积为803πm3,所以43πr3+πr2l=803π, 解得l=2803r-43r=2420-3rr⎛⎫⎪⎝⎭,由于l≥2r,所以0<r≤2,所以建造费用y=2πrl×3+4πr2c=2πr×2420-3rr⎛⎫⎪⎝⎭×3+4πr2c,所以y=160πr-8πr2+4πcr2,定义域为(0,2].(2) y'=-2160πr-16πr+8πcr=328π[(-2)-20]c rr,因为c>3,所以c-2>0,当r3=20-2c时,即y'=0,令320c-2=m,则m>0,所以y'=28(c-2)rπ(r-m)(r2+mr+m2).①当0<m<2,即c>92时,当r=m时,y'=0;当r∈(0,m)时,y'<0;当r∈(m,2)时,y'>0,所以r=m时函数y取得极小值点,也是最小值点.②当m≥2,即3<c≤92时,当r∈(0,2)时,y'<0,函数单调递减, 所以r=2时函数y取得最小值点.综上,当3<c≤92时,建造费用最小时r=2;当c>92时,建造费用最小时=64160640-288xx⨯+(x>200).要使tan∠BPC达到最大,只需x+160640x⨯-288达到最小,由均值不等式可知x+160640x⨯-288≥-288,当且仅当x=160640x⨯时上式取得等号,故当x=320时,tan∠BPC最大,这时,点P的纵坐标为y=320-2002=60.由此实际问题知,0<∠BPC<π2,所以tan∠BPC最大时,∠BPC最大,故当此人距水平地面60m时,观看铁塔的视角∠BPC最大.。