初中数学几何辅助线作法小结

几何协助线作法小结
三角形中常有协助线的作法：
①延伸中线结构全等三角形；
②利用翻折，结构全等三角形；
③引平行线结构全等三角形；
④作连线结构等腰三角形。

常有协助线的作法有以下几种：
1) 碰到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思想模式是全等变
换中的“对折”．
2)碰到三角形的中线，倍长中线，使延伸线段与原中线长相等，结构全等三角形，利
用的思想模式是全等变换中的“旋转”．
3)碰到角均分线，能够自角均分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思想模式是
三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角均分线的性质定理或逆定理．
4)过图形上某一点作特定的均分线，结构全等三角形，利用的思想模式是全等变换中的
“平移”或“翻转折叠”
5)截长法与补短法，详细做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将
某条线段延伸，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这类作法，
合适于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．
特别方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各极点的线段连
接起来，利用三角形面积的知识解答．
A
（一）、倍长中线（线段）造全等
B D C
A 1：已知，如图△ABC 中， AB=5， AC=3，则中线AD 的取值范围是_________.
2：如图，△ ABC 中， E、F 分别在 AB、 AC 上， DE⊥ DF ，D 是中点，试比较BE+CF 与 EF 的大小 .
E
F B
D C
3：如图，△ ABC 中， BD =DC=AC， E 是 DC 的中点，求证：AD 均分∠ BAE.
A
B D EC
中考应用
以ABC 的两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt ABD 和等腰Rt ACE ，BAD CAE 90 , 连结DE，M、N分别是BC、DE的中点．研究：AM与DE的地点关系及数目关系．
1
当 ABC 为直角三角形时，AM
与
DE
的地点关系是，
（）如图①
线段 AM 与 DE 的数目关系是；
（ 2）将图①中的等腰 Rt ABD绕点 A 沿逆时针方向旋转(0< <90) 后，如图②所示，（1）问中获得的两个结论能否发生改变？并说明原因．
A
C
B
D
（二）、截长补短
1.如图，ABC 中，AB=2 AC，AD均分BAC ，且AD=BD，求证：CD⊥AC
A D
E
B
C
2：如图， AC∥ BD ， EA,EB 分别均分∠ CAB,∠ DBA ， CD 过点 E，求证 ;AB＝ AC+BD
A
B
Q
P
C
3：如图，已知在VABC 内，BAC 60 ， C 400 ， P， Q 分别在 BC， CA 上，
而且 AP， BQ 分别是BAC ，ABC 的角均分线。

求证：BQ+AQ=AB+BP 4：如图，在四边形ABCD 中， BC ＞BA,AD＝CD ， BD 均分ABC ，
求证： A C 1800
A
D
C
B
5:如图在△ ABC 中， AB＞ AC，∠ 1＝∠ 2，P 为 AD 上随意一点，求证;AB-AC＞ PB-PC
A
1 2
P
B C
D
中考应用
（三）、平移变换
1.AD 为△ ABC 的角均分线，直线MN⊥AD 于A.E 为MN 上一点，△ABC 周长记为P A，△EBC 周长记为P B.求证P B＞ P A.
2：如图，在△ ABC 的边上取两点D、 E，且 BD=CE，求证： AB+AC>AD
A
B D E
C
（四）、借助角均分线造全等
1：如图，已知在△ ABC 中，∠ B=60 °，△ ABC 的角均分线AD,CE 订交于点O，求证： OE=OD
A
E
O
B C
D
2：如图，△ABC 中，AD 均分∠ BAC ，DG ⊥ BC 且均分 BC ，DE ⊥ AB 于 E ，DF ⊥ AC 于 F. （ 1）
说明 BE=CF 的原因；（ 2）假如 AB= a ， AC= b ，求 AE 、BE 的长 .
A
E
G
B
C
F
D
中考应用
如图①， OP 是∠ MON 的均分线， 请你利用该图形画一对以
OP 所在直线为对称轴的全
等三角形。

请你参照这个作全等三角形的方法，解答以下问题：
（ 1）如图②，在△ ABC 中，∠ ACB 是直角，∠ B=60°，AD 、CE 分别是∠ BAC 、∠ BCA 的均分线， AD 、 CE 订交于点 F 。

请你判断并写出 FE 与 FD 之间的数目关系；
（ 2）如图③，在△ ABC 中，假如∠ ACB 不是直角，而 (1)中的其余条件不变，请问，你
在(1) 中所得结论能否仍旧建立？若建立，请证明；若不建立，请说明原因。

B
M
B
E
E
F
D
F
D
O
P
A
C
C
图①
N
A
图③
图② (第 23题图)
（五）、旋转
1：正方形 ABCD 中， E 为 BC 上的一点， F 为 CD 上的一点， BE+DF =EF ，求∠ EAF
的度数 .
A
D
F
B
E
C
2： D 为等腰Rt ABC 斜边AB的中点，DM⊥DN ,DM ,DN分别交BC,CA于点E,F。

（ 1）当MDN 绕点D 转动时，求证 DE=DF 。

（ 2）若AB=2，求四边形DECF 的面积。

B
A
E
M C
A F
N
3.如图，ABC
是边长为 3 的等边三角形，BDC 是等腰三角形，且BDC 1200 ，
以 D 为极点做一个600 角，使其两边分别交AB 于点 M，交 AC 于点 N，连结 MN ，则AMN 的周长为；
A
M
N
B C
D 中考应用
1、已知四边形ABCD 中， AB AD， BC CD， AB BC ，∠ABC 120o，∠ MBN 60o，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC （或它们的延伸线）于E，F ．
当∠MBN 绕 B 点旋转到 AE CF 时（如图1），易证 AE CF EF．
当∠MBN 绕 B 点旋转到 AE CF 时，在图2和图3这两种状况下，上述结论能否成立？若建立，请赐予证明；若不建立，线段AE，CF ， EF 又有如何的数目关系？
A
E M A A
B B E M B
C F
D C F D F C D
N N N E
M （图 1）（图2）（图3）
2、已知 :PA=2
,PB=4,以AB为一边作正方形ABCD ,使P、D两点落在直线AB的双侧.
(1)如图 ,当∠ APB=45°时 ,求 AB 及 PD 的长 ;
(2)当∠ APB 变化 ,且其余条件不变时,求 PD 的最大值 ,及相应∠ APB 的大小 .
3、在等边
ABC 的两边AB、 AC 所在直线上分别有两点M、N，D 为 VABC 外一点，且MDN 60 , BDC 120 ,BD =DC . 研究：当M、 N 分别在直线AB、AC 上挪动时，BM、 NC、 MN 之间的数目关系及AMN 的周长Q 与等边ABC 的周长L 的关系．
图 1 图 2 图 3
（ I）如图 1，当点 M、 N 边 AB、 AC 上，且 DM =DN 时， BM 、NC、 MN 之间的数目关
系是；此时Q
；L
（ II）如图 2，点 M、 N 边 AB、 AC 上，且当 DM DN 时，猜想（ I ）问的两个结论还建立吗？写出你的猜想并加以证明；
（ III ）如图 3，当 M、 N 分别在边AB、 CA 的延伸线上时，
若 AN= x，则 Q=（用x、L表示）．
圆中作协助线的常用方法
（1）作弦心距，以便利用弦心距与弧、弦之间的关系与垂径定理。

（2）若题目中有“弦的中点”和“弧的中点”条件时，一般连结中点和圆心，利用垂径定
理的推论得出结果。

（3）若题目中有“直径”这一条件，可适入选用圆周上的点，连结此点与直径端点获得90 度的角或直角三角形。

（4）连结同弧或等弧的圆周角、圆心角，以获得等角。

（5）若题中有与半径（或直径）垂直的线段，如图1，圆 O 中， BD ⊥ OA 于 D ，常常是：
①如图 1（上）延伸BD 交圆于 C，利用垂径定理。

②如图 1（下）延伸AO 交圆于 E，连结 BE，BA ，得 Rt△ ABE。

图 1（上）图1（下）
（6）若题目中有“切线”条件时，一般是：对切线引过切点的半径，
（7）若题目中有“两圆相切”（内切或外切），常常过切点作两圆的切线或作出它们的连心
线（连心线过切点）以交流两圆中有关的角的相等关系。

（8）若题目中有“两圆订交”的条件，常常作两圆的公共弦，使之获得同弧上的圆周角或
组成圆内接四边形解决，有时还引两连心线以获得结果。

（9）有些问题能够先证明四点共圆，借助于协助圆中角之间的等量关系去证明。

（10）关于圆的内接正多边形的问题，常常添作边心距，抓住一个直角三角形
去解决。

例题 1：如图，在圆O 中， B 为的中点，BD为AB的延伸线，∠ OAB =500，
求∠ CBD 的度数。

例题 2:如图 3,在圆 O 中 ,弦 AB、 CD 订交于点P，求证：∠ APD 的度数
= 1
（弧 AD+弧 BC ）的度数。

2
一、造直角三角形法
1.组成 Rt△ ,常连结半径
例 1. 过⊙ O 内一点 M ,最长弦 AB = 26cm,最短弦 CD = 10 cm ,求 AM 长 ;
2.遇有直径 ,常作直径上的圆周角
例 2. AB是⊙ O的直径 ,AC切⊙O 于 A,CB 交⊙O 于 D,过 D作⊙O 的切线 ,交 AC
于 E.
求证 :CE = AE;
3.遇有切线 ,常作过切点的半径
例 3 .割线 AB 交⊙ O 于 C、D,且 AC=BD,AE 切⊙ O 于 E,BF 切⊙ O 于 F.
求证 :∠OAE = ∠OBF ;
4.遇有公切线 ,常结构 Rt△ (斜边长为圆心距 ,向来角边为两半径的差 ,另向来角边为公切线长 ) 例 4 .小⊙O1与大⊙ O2外切于点 A,外公切线 BC、DE 分别和⊙ O1、⊙ O2切于点 B、C 和 D、
E，并订交于P，∠ P = 60 。

°
求证：⊙ O1与⊙ O2的半径之比为1： 3；
5．正多边形有关计算常结构Rt△
例 5.⊙ O 的半径为6,求其内接正方形ABCD 与内接正六边形AEFCGH 的公共部分的面积.
二、欲用垂径定理常作弦的垂线段
例 6. AB 是⊙ O 的直径 ,CD 是弦 ,AE⊥ CD 于 E,BF⊥ CD 于 F.(1)求证 :EC = DF ;
(2)若 AE = 2,CD=BF=6,求⊙ O 的面积 ;
三、变换割线与弦订交的角，常组成圆的内接四边形A
O
1P
C
B
例 7. AB 是⊙ O 直径 ,弦 CD⊥AB,M 是
AC 上一点,AM延伸线交DC延伸线于 F .
求证:∠F =∠ACM;
四、切线的综合运用
1．已知过圆上的点，常_________________
例 8.如图，已知：⊙ O1与⊙ O2外切于P，AC是过P点的割线交⊙O1于
A，交⊙ O2于 C，过点 O1的直线 AB ⊥ BC 于 B.求证：BC 与⊙ O2相切 .
例 9.如图， AB 是⊙ O 的直径， AE 均分∠ BAF 交⊙ O 于 E，过 E 点作直线与AF 垂直交 AF 延伸线于 D 点，且交AB 于 C 点．
求证： CD 与⊙ O 相切于点E．
2.两个条件都没有,常___________________
例 10. 如图， AB 是半圆的直径， AM ⊥MN ，BN⊥ MN ，假如 AM+BN＝ AB，求证 : 直线 MN 与半圆相切；
例 11.等腰△ ABC 中 ,AB =AC,以底边中点 D 为圆心的圆切 AB 边于 E 点.求证:AC与⊙ D相切;
例 12．菱形 ABCD 两对角线交于点 O，⊙ O 与 AB 相切。

求
证：⊙ O 也与其余三边都相切；
五、两圆有关题型
1．两圆订交作_____________________
例 13.⊙ O1与⊙ O2订交于 A、B，过 A 点作直线交⊙ O1于 C 点、交⊙ O2于 D 点，过 B 点作直线交⊙ O1于 E 点、交⊙ O2于 F 点. 求证 :CE∥ DF ;
2.相切两圆作 ________________________
例 14. ⊙O1与⊙ O2外切于点 P,过 P 点的直线分别交⊙ O1与⊙ O2于 A、B 两点， AC 切⊙ O1
于 A 点，BC 交⊙O2于 D 点。

求证：∠ BAC = ∠BDP ；
3．两圆或三圆相切作 _________________
例 15.以 AB=6 为直径作半⊙ O,再分别以 OA、OB 为直径在半⊙ O 内作半⊙ O1与半⊙ O2，又
⊙O3与三个半圆两两相切。

求⊙ O3的半径；
4．一圆过另一圆的圆心，作____________
例 16.两个等圆⊙ O1与⊙ O2订交于 A、B 两点，且⊙ O1过点 O2，过 B 点作直线交⊙ O1于 C 点、交⊙ O2于 D 点 .求证：△ ACD是等边三角形；
六、开放性题目
例 17．已知：如图，以△ABC的边AB为直径的e O交边AC于点D，且过点D的切线DE 均分边 BC ．
（1）BC与e O能否相切？请说明原因；
（2）当△ABC知足什么条件时，以点O ， B ， E ， D 为极点的四边形是平行四边形？并
C 说明原因． C
D E D E
A
O B
A B
O
（第 23 题）
四边形协助线做法
一、和平行四边形有关的协助线作法
1．利用一组对边平行且相等结构平行四边形
例 1 如图 1，已知点 O 是平行四边形 ABCD 的对角线 AC 的中点，四边形 OCDE 是平行四边形 . 求证 :OE 与 AD 相互均分 .
2．利用两组对边平行结构平行四边形
例 2 如图 2，在△ ABC 中，E、F 为 AB 上两点， AE=BF，ED//AC，FG //AC 交 BC 分别为 D ，G.求证 :ED +FG =AC.
3．利用对角线相互均分结构平行四边形
例 3 如图 3，已知 AD 是△ ABC 的中线，BE 交 AC 于 E，交 AD 于 F，且 AE=EF.求证 BF=AC. 二、和菱形有关的协助线的作法
和菱形有关的协助线的作法主假如连结菱形的对角线，借助菱形的判断定理或性质定定理
解决问题 .
例 4 如图 5，在△ ABC 中，∠ ACB=90°，∠ BAC 的均分线交 BC 于点 D， E 是 AB 上一点，且AE=AC，EF //BC 交 AD 于点 F ，求证：四边形 CDEF 是菱形 .
例 5 如图 6，四边形 ABCD 是菱形，E 为边 AB 上一个定点， F 是 AC 上一个动点，求证 EF +BF 的最小值等于 DE 长 .
3．与矩形有协助线作法
和矩形有关的题型一般有两种：（ 1）计算型题，一般经过作协助线结构直角三角形借助勾
股定理解决问题；（ 2）证明或研究题，一般连结矩形的对角线借助对角线相等这一性质解
决问题和矩形有关的试题的协助线的作法较少.
例 6 如图 7，已知矩形 ABCD 内一点， PA=3， PB=4， PC=5.求 PD 的长 .
例 7 如图8 ，过正方形ABCD 的极点 B 作 BE//AC ，且AE=AC，又CF //AE.求证：
1
∠B CF = 2∠ AEB.
五、与梯形有关的协助线的作法
和梯形有关的协助线的作法是许多的 .主要波及以下几种种类：（ 1）作一腰的平行线结构平行四边形和特别三角形；（ 2）作梯形的高，结构矩形和直角三角形；（ 3）作一对角线的平行线，结构直角三角形和平行四边形；（ 4）延伸两腰组成三角形；（ 5）作两腰的平行线等 .
例 8 已知，如图 9，在梯形 ABCD 中， AD //BC，AB=AC，∠ BAC=90°，BD =BC，BD 交 AC 于点 0.求证： CO=CD .
例 9 如图 10，在等腰梯形 ABCD 中， AD //BC， AC⊥ BD，AD +BC=10，DE⊥ BC 于 E.求 DE
的长 .
六、和中位线有关协助线的作法
例 10 如图 11，在四边形 ABCD 中， AC 于 BD 交于点 0，AC=BD ，E、F 分别是 AB、CD 中点，EF 分别交 AC、BD 于点 H、 G.求证： OG=OH .
中考数学经典几何证明题
1. （ 1）如图 1 所示，在四边形
ABCD 中， AC = BD ， AC 与 BD 订交于点 O ， E 、F 分
别是 AD 、BC 的中点， 联络 EF ，分别交 AC 、 BD 于点 M 、N ，试判断 △OMN 的形状，
并加以证明；
（ 2）如图 2，在四边形
ABCD
中，若 AB CD
， E 、F
分别是 、
的中点，联络
AD BC
FE 并延伸，分别与 BA 、CD 的延伸线交于点 M 、N ，请在图 2 中绘图并察看，图中能否
有相等的角，如有，请直接写出结论：
；
（3）如图 3，在 △ ABC 中， AC
AB ，点 D 在 AC 上，AB CD ，E 、F 分别是 AD 、 BC
的中点，联络 FE 并延伸，与 BA 的延伸线交于点
M ，若 FEC 45 ，判断点 M 与以
AD 为直径的圆的地点关系，并简要说明原因．
A
E
M
A
E
D D
A
M
E
D
N
O
B
F C
B
F
CB F C
图 1
图 2
图 3
练习
1、为了让州城居民有更多休闲和娱乐的地方，政府又新建了几处广场，工人师傅在铺设地
面时，准备采用同一种正多边形地砖
.现有下边几种形状的正多边形地砖，此中不可以 ．．进行平
面镶嵌的是（ ）
A. 正三角形
B. 正方形
C. 正五边形 D . 正六边形
2、矩形纸片 ABCD 中， AB=4， AD =3，折叠纸片使 AD 边与对角线 BD 重合，折痕为 DG ，
则 AG 的长为（
）
A ． 1
4 3
D ． 2
B ．
C ．
3
2
3、把正方形 ABCD 绕着点 A ，按顺时针方向旋转获得正方形 AEFG ，边 FG 与 BC 交于
点 H （如图）．试问线段 HG 与线段 HB 相等吗？
D
C
G
请先察看猜想，而后再证明你的猜想．
H
F A
B
E
二、与梯形有关的协助线的作法
和梯形有关的协助线的作法是许多的.主要波及以下几种种类：（ 1）作一腰的平行线结构平
行四边形和特别三角形；（ 2）作梯形的高，结构矩形和直角三角形；（ 3）作一对角线的平行线，结构直角三角形和平行四边形；（ 4）延伸两腰组成三角形；（ 5）作两腰的平行线等 .
例 1 已知，如图，在梯形 ABCD 中， AD //BC， AB=AC，∠ BAC=90°， BD =BC， BD 交 AC 于点 0.求证： CO=CD .
例 2 如图，在等腰梯形 ABCD 中， AD//BC ，AC⊥ BD ，AD+BC=10 ，DE ⊥ BC 于 E.求 DE 的长.
三、和中位线有关协助线的作法
例 3 如图，在四边形 ABCD 中， AC 于 BD 交于点 0，AC=BD ，E、F 分别是 AB、CD 中点， EF 分别交 AC、 BD 于点 H 、G.求证： OG=OH.。