辽宁省瓦房店市高级中学2018届高三数学上学期12月月考试题文201807230134

辽宁省瓦房店市高级中学2018届高三数学上学期12月月考试题文
满分150分时间120分钟.
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共12道小题，每小题5分，共60分，四个选项中只有一项符合要求）1．设全集U＝R，集合A{x| (x1)(x3)0}，B{x| x1≥0}，则图
中阴影部分所表示的集合为（）
A.{x| x≤1或x≥3}
B. {x| x1或x≥3}
C.{x| x≤1}
D.
{x| x≤1}
2. 已知复数z满足(2 i)z i i2 ，则z在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
3．在等差数列中，若，，那么等于（）
a3 a5 a7 a9 a11 45 S
a 3 3 a
n 5
A．4 B．5 C．9 D．18
4. 设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则()
A．若m⊥n，n∥α，则m⊥α
B．若m∥β，β⊥α，则m⊥α
C．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥α
D．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α
5．为了得到函数y cos 2x的图像，可将函数sin 2 的图像（）
y x
6
A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度
6 3
C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度
6 3
6．若变量x，y满足约束条件Error!则z＝3x－y的最小值为()
A．－7 B．－1 C．1 D．2
x2 y2
7．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，以F1，F2为直径的圆与双a2 b2
曲线渐近线的一个交点为(3，4)，则此双曲线的方程为()
x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2
A. －＝1
B. －＝1
C. －＝1
D. －＝1
16 9 3 4 9 16 4 3
8．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则该几何体的外接球的体积
为( )
3 16
26
A.
B.
C.
D.
3
3
3
32 27
3
9． 设
x , y R ， 向 量 a
x ,2,b
1, y ,c
2,6
， 且
a c ,
b /
/c ， 则
a b
（）
A ．3 2
B ． 4 2
C ．5 2
D ． 6 2
π
1
π
10．已知 sin
(
＝3，则 cos [2( ＋α)]的值是( )
－α
)
6
3 7 1 1 7
A. B. C ．－
D ．－
9
3 3
9
2
11．函数
图象的大致形状是(
)
f (x ) (
1) cos x
1
e x
上的函数
f x , f '
x
为其导数,且 f
x f
'x tan x
恒成立，则 12.已知定义在
0,
2
（）
A ． 3 f
2 f
4 3
B ． 2
f f
6 4
C ． 3
f
f
6
3
D ． 3 f ( ) f( )
6 3
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 1
13．设命题 p
：函数 f (x )
lg(ax 2 2x
1) 的定义域为 R ；命题 q
：当 x
， 时，
[ 2] 2
1 x
a
a
恒成立，如果命题“p ∧q ”为真命题，则实数 的取值范围是
x
5πx sin , x ≤0
f
f 3 3
2
14
．已知函数
，则
____________．
f x
1
log x , x 0
3
6
1
15．如图是某算法的程序框图，若任意输入[ ，19]
2
中的实数 x ，则输出的 x 大于 49的概率为______．
π
AB3
16．如图所示，在梯形ABCD中，∠A＝，，BC＝2，点E为AB的中点，则
2AD
22
CE BD
____________．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分）已知等差数列{a n}的前n项和S n满足S3＝6，S5＝15.
(1)求{a n}的通项公式；
a
b
b T
n
(2)设2求数列的前n项和
n a n n
n
18．（本小题满分12分）某中学在高二年级开设大学选修课程《线性代数》，共有50名同学选修，其中男同学30名，女同学20名.为了对这门课程的教学效果进行评估，学校按性别采
取分层抽样的方法抽取5人进行考核.
（Ⅰ）求抽取的5人中男、女同学的人数；
（Ⅱ）考核前，评估小组打算从选出的5中随机选出2名同学进行访谈，求选出的两名同学中
恰有一名女同学的概率；
（Ⅲ）考核分答辩和笔试两项.5位同学的笔试成绩分别为115,122,105,111,109；结合答辩情况，他们的考核成绩分别为125,132,115,121,119.这5位同学笔试成绩与考核成绩的方差分
2222
别记为，试比较和的大小（不用计算最后结果，但需说明理由）
s s s
1,s
212
19（本小题满分12分）如图，在直三棱柱
ABC—A1B1C1中，AB=BC=BB1，，
AB A B E
11
D为AC上的点，B1C∥平面A1BD；
（Ⅰ）求证：BD⊥平面；
A
1ACC
1
（Ⅱ）若AB1,且AC AD1，
求三棱锥A-BCB1的体积．
x y
22
20．（本小题满分12分）设椭圆C：的
221a b0
a b
- 3 -
2,0，且椭圆C与直线63相切．
左顶点为
y x
2
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点P0,1的动直线与椭圆C交于A，B两点，设O为坐标原点，是否存在常数，使
得OA OB PA PB7？请说明理由．
21.（本小题满分12分）已知函数f(x)ln x a(x1)，其中a R.
(Ⅰ) 当a＝－1时，求证：f(x)≤0；
(Ⅱ) 对任意t≥e，存在x(0，)，使t ln t(t1)[f(x)a]0成立，
求a的取值范围. （e＝2.71828…）
四、选做题（在22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分）
22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线C
1
222sin20
的极坐标方程为，曲线C的极坐标方程为R.
42
4
C与相交于两点.
C
A,B 12
（Ⅰ）把和C的方程化为直角坐标方程，并求点A,B的直角坐标；
C
12
PA PB
22
（Ⅱ）若P为C上的动点，求的取值范围.
1
23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲.
已知函数f x2x1x1.
（1）求函数f x的值域M；
（2）若a M，试比较a1a1，3，的大小.
7
2a
2a2
- 4 -
高三模拟考试数学（文）参考答案 一、
DBBCD AC D CDBC 二、
3 (1, 2), ,
2 24 37
, 2
三、17．【解析】：(1)设等差数列{a n }的公差为 d ，首项为 a 1，
∵S 3＝6，S 5＝15， 1 3a 1＋
× 3 × （3－1）d ＝6，
2
a 1＋d ＝2， a 1＝1，
∴{× 5 × （5－1）d ＝15.)
即{ 解得
1 a 1＋2d ＝3，)
{d ＝1. ) 5a 1
＋
2
∴{a n }的通项公式为 a n ＝a 1＋(n －1)d ＝1＋(n －1)×1＝n. ----------4分
n 1 2 3 n －1 n
(2)由(1)得 b n ＝ ，∴T n ＝ ＋ ＋ ＋…＋ ＋ ，①
2n 2 22 23 2n －
1 2n 1 ①
式两边同乘 ，得
2
1 1
2 2
3 n －1 n T n ＝ ＋ ＋ ＋ ＋…＋ ＋
，②
2 22 2
3 23 2
4 2n 2n ＋
1
1
1
2(1－2n
)
1 1 1 1 1 n n 1 n ①－
②得 T n ＝ ＋ ＋ ＋…＋ － ＝
－ ＝1－ － ，
2 2 22 2
3 2n 2n ＋
1
1 2n ＋1 2n 2n ＋1 1－ 2
1
n
∴T n ＝2－ － .
--------12分
2n －
1 2n
5
18．解（Ⅰ）抽取的5人中男同学的人数为 30 3 ，
50
5
女同学的人
数为
20 2 .--------2分
50
（Ⅱ）记3名男同学为 1, A , A ， 名女同学为
.从 人中随机选出 名同学，所有的
A
2 B 1, B
5 2
2
3
2
可能结果有
，共
个.用
A 1, A , A , A , A ,
B , A , B , A , A , A , B , A , B , A , B , A , B , B , B
10
2
1
3
1
1
1
2
2
3
2
1
2
2
3
1
3
2
1
2
C C6
表示：“选出的两名同学中恰有一名女同学”这一事件，则中的结果有个，它们是
.
A1,B,A,B,A,B,A,B,A,B,A,
B
1122122313
2
63
所以选出的两名同学中恰有一名女同学的概率P(C).--------8分
105
2 2
1s
2
（Ⅲ）第二组每个数据都比第一组数据多10 ，所以方差不变。

.
s
- 5 -
--------12分
19．解：（Ⅰ）连结 ED ，-----------------------1分 ∵平面 AB 1C ∩平面 A 1BD=ED ，B 1C ∥平面 A 1BD ， ∴B 1C ∥ED ，------------------3分 ∵E 为 AB 1中点，∴D 为 AC 中点， B 1 C 1
∵AB=BC ，∴BD ⊥AC ①，------------------4分 A 1
由 A 1A ⊥平面 ABC ， BD
平面 ABC ，得 A 1A ⊥BD ②，
E
由①②及 A 1A 、AC 是平面 A 1 ACC 1 内的两条相交直线， B
C
D
A
得 BD ⊥平面
.-------------------------6分
A
1 ACC
1
（Ⅱ）由 AB 1得 BC=BB 1=1， 1
由（Ⅰ）知 DA
AC ，又 得 ,------------8分
AC DA 1 AC 2
2
2
∵ AC 2 2 AB 2 BC 2 ，∴ AB
BC ， ---------------10分 1 1
1
1 1 1
∴ S
AB BC ∴V
S
BB 1 .-------------12分
ABC
A BC
B 1
ABC
1
2
2 3
3 2
6
其它解法请参照给分．
x
y
2
2
20．（1）根据题意可知 a
2，所以
2
1，·······1 分
4
b
2 2
x y
2
1
6
4 b
由椭圆 C 与直线
相切，联立得 ，
y
x 3
2
6
y x 3
2
消去 y 可得：
，··············3 分
b 2
6 x 2
12 6x 36 4b 2
2
12 6
4 b
6 36 4b
b 2
，即
，解得：
或 3，
2
2
(舍)
x
y
2
2
所以椭圆的标准方程为
．·············5 分
1
4
3
（2）当过点 P 的直线 AB 的斜率存在时，设直线 AB 的方程为 y
kx
1，设 A 、B 两点的坐
标分别为
x y
，
，
1
,
1
x 2 , y 2
- 6 -
22
x y
1
联立得43，化简，
34k x 8kx 8
22
y kx1
8k
x x
122
4k3
8
所以
，···············7分
x x
122
4k
3
≥0
恒成立
所以
OA OB
PA PB x1x2＋y1y2＋[x1x2＋(y1－1)(y2－1)]
11k x x k x
x 1
2
1212
8(1＋)(1＋)8
k k
22
1
4k 34k 3
22
(8)[(2)k 1]
2
1
4k 3
2
所以当
2时，OA OB
PA PB
7；··········10分当过点P的直线AB的斜率不存在时，A0,3，B 0,3，
所以OA OB PA PB3＋[(3－1)(3－1)]32，
所以当2时，OA OB PA PB7；
综上所述，当2时，OA OB PA PB7．·········12分
21.（Ⅰ）当a＝－1时，f(x)ln x x1（x＞0），
11x
f(x)0
x 1 则f(x)1，令，
得．
x x
当x(0，1)时，f(x)0，f(x)单调递增；当x(1，+)时，f(x)0，f(x)单调递减．
故当x1时，函数f(x)取得极大值，也为最大值，所以f(x)f(1)0，
max
所以，f(x)≤0，得证．·········· 4分
（II）原题即对任意t≥e，存在x(0,)，使ln()成立，
t t
f x a
t1
t ln t
()(f(x)a)
只需min min．··········5分
t1
- 7 -
t
1 ln t
t ln t
h (t )
h (t )
设
，则
，
t
t
2
1
(
1)
令u (t ) t
1
ln t ，则u (t ) 1 1 t 1 0 对于 恒成立，
t ≥e
t t 所以u (t ) t 1 ln t 为[e, +
) 上的增函数，
t
1
ln t
于是u (t ) t
1
ln t ≥u (e) e 2 0 ，即
对于 恒成立，
h (t )
0 t ≥e
(t
1)
2
t ln t
t ln t
e
[e ，+) h (t )
(
) h (e) 所以 h (t ) 为 上的增函数，则
． t 1
t 1
e 1
min
min
··········8分
令 p (x ) f (x ) a ，则 p (x ) ln x a (x
1) a ln x ax ，
当 a ≥0时， p (x )
ln x ax 为 (0,) 的减函数，且其值域为 R ，符合题意．
1 p (x ) 0
x 1 0
p (x )
a
当 a ＜0时，
，由
得
，
x
a
由 p
(x ) 0 得 x 1 ，则 p(x)在 (
1 ,
) 上为增函数；由 p
(x ) 0 得 0 x 1 ，则 p(x)
a
a
a
1
1 在 上为减函数，所以 p (x )
p (
) ln(
a ) 1，
(0, )
min
a
a
e
1
从而由 ln(a ) 1
，解得
．
e
a 0
e
1
e 1
1
综上所述，a 的取值范围是
.··········12分 (
e
， )
e 1
22．选修 4-4：坐标系与参数方程
解：（Ⅰ）
.
C
x
y
C x y
1
:
1
1 4,
2 : 0
2
2
解 得 或 .·····4分 A
1,1,B 1,1 A 1,1,B 1,1
2
2
x 1
y 1 4,
x y
0,
（Ⅱ）设 P 1 2cos ,1
2sin ，不妨设 A 1,1,B 1,1，
则
PA 2
PB 2
2cos
2
2sin
2 2
2cos
2 2
2sin
2
16 8sin
8cos
16 8 2 sin
4
， 所以 PA 2
PB 2 的取值范围为 16
8 2,16 8 2
.·····10分
- 8 -
3x (x 1)
1
f x
x
x
23．【解析】（1）
2 ( 1
) 2
1 3x (x )
2 根据函数 f
x
的单调性可知，当
1 时，
.
x
f x f
1
3
2
min
2 2
所以函数 f
x
的值域
M
3 ,
.---------------5分
2
（2）因为 a M ，所以 a 3 ，所以 0
3 1.
2 2a
又 a 1 a
1 a 1 a 1 2a 3 ，
a
7
2
1
3 (7 2 ) ( 1)(
4 3) 0
3 a a
a
a 时，
，
2 2
2 2a
2
2a
3 7 2a
2a 2 所以
，
3 7
a 1 a
1 2a
2a 2
所以
.---------------10分
- 9 -。