【冀教版八年级数学上册教案】14.1平方根(1)

14.1 平方根（ 1）
教课目标
【知识与能力】
1.能说出平方根的看法 , 会用根号表示一个数的平方根 .
2.知道开平方与平方是互逆运算, 会利用这个互逆运算关系求某些非负数的平方根.
3.知道±√ a 表示的是非负数 a 的平方根 .
【过程与方法】
在学习开平方运算求一个数的平方根的过程中, 领悟开平方运算与平方运算之间的互逆关系.
【感情态度价值观】
1.经过研究学习 , 使学生进一步感觉到所学数学知识之间的内在联系.
2.培育学生发现问题、归纳结论、应用新知的意识, 培育学生学数学、爱数学的优异感情.
教课重难点
【教课要点】
平方根、算术平方根的看法及求法.
【教课难点】
有关平方根、算术平方根的运算以及它们的差别与联系.
课前准备
多媒体课件
教课过程
一、新课导入：
导入一 :
我们学习了有理数的加、减、乘、除和乘方的运算, 但在现实生活中, 有些问题仅运用这
2
围起来 , 需要护栏多少米?解决这个问题就要运用一种新的运算, 这类运算叫做开平方. 这节课我们就要学习开平方运算和平方根.
[ 设计企图 ]新课程数学课堂重申, 从学生已有的经验出发, 让学生亲自经历将实质问
题抽象成数学模型并解说与应用的过程, 从而使学生获取对数学理解的同时, 在思想能力、情感态度与价值观等多方面获取进步和发展.
导入二 :
小明家的新房方才装修好, 礼拜天小明的爸爸带着小明去优选餐桌. 他们看中了一款非
常美丽的餐桌 , 可是不知道边长是多少, 正当小明的爸爸犯愁
的时候 , 小明看了看桌子上的标签, 愉悦地说 : “我知道了”.
几秒以后提: 同学 , 你知道 ?
[ 意 ]疑以后,引学生个的本, 即求平方等于100 的数是多少.随后 , 再几个数学生找哪些数的平方等于它. 有了以上的, 解决一于学
生来就而易了, 即可松地引入.
入三 :
玲玲家近来好事不停, 家里新了一套房子, 全家喜喜地搬新居, 爸爸又增添
了工 . 条件改进了,了玲玲一个好的学境, 爸爸打算玲玲一桌子供她在家做
作 . 爸爸玲玲:“你喜方形桌子是正方形桌子?”玲玲正方形桌子更大, 可以多放点 , 又可以有足的地址写字, 因此她更喜正方形桌子. 于是爸爸依据她的要求她
置了一正方形桌子, 玲玲量了量桌的100 cm, 你能算出桌子的周和面?
2
置到意的桌子?算正方形的面必要知道正方形的, 依据求面是乘方运
算, 而依据面求又是什么运算呢?我就来探个.
[ 意 ]好的故事情境,充了生活气味, 学生感知数学与生活的亲近系, 从中领悟学数学的重要性, 使学生更能极地投入到本的学之中.
二、新知成立：
活一 : 做一做——感知平方根
[ 渡 ]通入一我知道当的是10 m, 正方形花园的面是100 m2,也就是 102=100.下边我再来看几个
思路一
【件 1】
.
1.和-的平方等于多少?10 和- 10 的平方等于多少?
2.平方等于的数有哪些?平方等于100的数呢?
3.足x2=25 的x的是多少 ?
解:1 . ,100 . 2. , - ,10, - 10. 3. 5, -5.
教明 : 因 52=25, 因此
x =5; 又因 (
-
5) 2=25, 因此 5或 5 的平方都等于 25
-.
因 5 和- 5 的平方都等于25, 我把 5 和-5 叫做 25 的平方根.
: 一般地 , 假如一个数x的平方等于, 即2= , 那么个数x就叫做a的平方根 , 也
a x a
叫做 a 的二次方根 .
比方 :100 的平方根是 10 与- 10.因 ( ±10) 2=100, 因此 10 与- 10 都是 100 的平方根.
你能出 49,144的平方根 ?
(49 的平方根是7 和- 7;144的平方根是12 和- 12. )
[ 意 ] 使学生初步领悟到 :(1)互相反数的两个数的平方相等;(2)初步感觉平方与开平方种互逆关系 .
【件 2】填写下表 :
x⋯-3--101 3 ⋯
x2⋯⋯
学生填完表格后 , 引学生察 :
(1) 当一个正数和一个数互相反数, 它的平方有什么关系?
(2)正数有平方根吗 ?假如有 , 有几个 ?它们有什么关系 ?
(3)0 有平方根吗 ?假如有 , 它是什么数 ?
(4)负数有平方根吗 ?
学生独自思虑, 经过详尽实例弄懂上述问题, 而后总结出 :
(1)它们的平方相等 .
(2)一个正数有两个平方根 , 它们互为相反数.
(3)0 有一个平方根, 是 0 自己.
(4)负数没有平方根 .
说明 : 经过详尽数的平方根的研究, 指引学生总结出正数、0、负数的平方根的状况.
教师指出 : 一个正数 a 的正的平方根,用符号“”表示,a叫做被开方数.正数a的负的平方根 , 用符号“-”表示,这两个平方根合起来可以记作“±”.根指数是 2 时 , 平时这个 2 省略不写 , 如记作, 读作“根号a”;±记作±, 读作“正、负根号a” .
【课件 3】观察框图 , 说一说求一个数的平方运算和求一个数的平方根运算拥有如何的
关系 .
教师指导学生依据框图 , 明确求一个数的平方运算和求一个数的平方根运算互为逆运算,并举例加以说明 , 我们把求一个数的平方根的运算, 叫做开平方.
[ 设计企图 ] 理解和掌握平方根的性质, 认识平方与开平方互为逆运算.
思路二
说明 : 导入一中的问题 , 实质就是要求一个数, 这个数的平方等于100, 结合以前乘方的知识 , 我们不难得出 102=100.因此护栏的边长是10 m.
教师说明 : 一般地 , 假如一个数
x 的平方等于
a
, 即2= , 那么这个数
x
就叫做
a
的平方根 ,
x a
也叫做 a 的二次方根 .
2
由于 5 =25, 因此 5 是 25 的一个平方根.
说明 : 除 52=25 外 , 可以由学生多举几个例子, 以加深对看法的认识, 从详尽到抽象 , 便于学生理解和接受平方根的看法 .
问 1:25 的平方根只有一个吗?有没有其余的数 , 它的平方也是 25?
学生思虑 , 快速获取 : 由于 ( - 5) 2=25, 因此- 5也是 25的一个平方根 .
问 2: 从上述解决问题的过程中, 你能总结一下求一个数的平方根的方法吗?
( 依据平方根的意义 , 可以利用平方来找寻或检验一个数的平方根)
【课件 4】求 100 的平方根.
问 1: 你能依据上述问题解决的方法求出100 的平方根吗 ?
问 2: 你能正确书写解题过程吗?
解: ∵(10) 2=100,( - 10) 2=100, ∴100 的平方根为 10 或- 10( 也可以写成± 10) .
说明 : 理解看法的基础上 , 指引学生思虑 , 由学生口述 , 教师合时纠正易出现的错误 , 板书规范解题格式 .
【课件 5】试一试.
(1)144 的平方根是什么?
(2)0 . 0001 的平方根是什么?
(3)0 的平方根是什么?
谈论 : 经过刚刚的“试一试”你能发现什么规律?
总结 :1 .正数的平方根有两个, 它们互为相反数.
2. 0 的平方根是0.
由以上谈论发现 , 有时我们已知一个数要求这个数的二次幂时 , 只有一个 , 也有些时候 , 我们已知某数的二次幂 , 要求出这个数 , 发现此时平时可找到两个数 , 且这两个数互为相反数.
[ 设计企图 ]生的总结归纳能力体”的理念 .进一步牢固有关平方根的看法, 在练习中总结平方根的有关性质
. 教师指引,学生自己总结出平方根的性质, 充足反响了“教师主导
, 培育学
, 学生主
问 1: - 4 有没有平方根?为何 ?
学生思虑得出: 一个负数没有平方根, 由于任何数的平方都是非负数.
结论 :
1.正数的平方根有两个, 它们互为相反数.
2. 0 的平方根只有一个, 为0.
3.负数没有平方根. (增补:非负数才有平方根. )
问 2: a有没有平方根?为何 ?
结合问 1: 当a≥0 时 , a有平方根 ; 当a<0 时 , a没有平方根.
[ 设计企图 ]指引学生学会用精练的数学语言来表达, 促进学生数学思想的发展及数学
语言的运用 .
注 : 学生刚开始接触平方根时, 有两点可能不太习惯: 一是正数有两个平方根, 即正数进行开平方运算时有两个结果, 这与学生过去遇到的运算结果独一的状况有所不一样; 另一个是负数没有平方根 , 即负数不可以进行开平方运算.教课时 , 可以经过许多实例说明这两点 , 并在本节今后的教课中连续增强这两点 .
说明 : 正数a的两个平方根记为±, 此中方数是 4;0 . 01 的平方根为±, 被开方数是活动二 : 例题讲解a 叫做被开方数
0. 01.
. 如4 的平方根为±, 被开
[ 过渡语]我们把求一个数平方根的运算, 叫做开平方. 我们可以借助平方运算来求一个正数的平方根
【课件 6】
.
求以下各数的平方根.
(1)81;(2);(3)0. 04.
指导学生利用平方与开平方的互逆关系求各数的平方根.
解 :(1)由于 ( ±9)2=81,因此81 的平方根为±9, 即±=±9.
(2) 由于, 因此的平方根为±, 即±=±.
(3) 由于 ( ±0. 2) 2=0. 04, 因此0. 04的平方根为±0 . 2,即±=±0. 2.
教师规范书写格式.
思虑 : ±表示什么意思,这里的a可取什么样的数呢?
-- 又该如何理解呢 ?这里的x又可取什么样的数呢 ?
学生谈论回答 .
【课件 7】
( 增补 ) 以下各数有平方根吗?假如有 , 求出它的平方根, 假如没有 , 说明原由.
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-64,0,( - 4) .
学生分组谈论, 选派一名代表回答.
解 : - 64 没有平方根 ;0 的平方根是0;( - 4) 2的平方根是±4.
[ 知识拓展 ] (1) 平方根是一个数, 是开平方的结果; 而开平方和加、减、乘、除、乘方相同 , 指的是一种运算, 是求平方根的过程.
(2)平方和开平方互为逆运算 , 我们可以用平方运算来检验开平方的结果能否正确.
(3) 平方和开平方之间的关系我们可以这样来理解 : ①已知底数m和指数2,求幂,是平方
2
②已知幂 a 和指数2,求底数,是开平方运算,即(?)2
=a.
运算 , 即m=(?);
[ 设计企图 ]经过例题 , 让学生掌握平方根的计算方法, 增强对平方根性质的理解, 进一步掌握正数有两个平方根, 它们互为相反数 ; 负数没有平方根;0 的平方根是 0.
三、课堂小结：
平方根一般地 , 假如一个数x的平方等于a, 即x2=a, 那么这个数x就叫做a的平方根 , 也
的定义叫做 a 的二次方根 .
表示方
当 a 为正数时, a 的平方根为±.
法
平方根(1) 一个正数有两个平方根 , 它们互为相反数.
(2)0 只有一个平方根 , 是 0 自己.
的性质
(3) 负数没有平方根.。