高中人教A版数学必修4：第19课时 向量减法运算及其几何意义 Word版含解析

向量减法运算及其几何意义
一、选择题
1．下列说法正确的是( )
A ．两个方向相同的向量之差等于0
B ．两个相等向量之差等于0
C ．两个相反向量之差等于0
D ．两个平行向量之差等于0
答案：B
解析：根据向量减法的几何意义知只有两个相等向量之差等于0其他选项都是不正确的．
2．化简以下各式：
(1)AB →＋BC →＋CA →；
(2)AB →－AC →＋BD →－CD →；
(3)OA →－OD →＋AD →；
(4)NQ →＋QP →＋MN →－MP →
则等于0的个数是( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
答案：D
解析：对于(1)：AB →＋BC →＋CA →＝0；
对于(2)：AB →－AC →＋BD →－CD →＝(AB →＋BD →)－(AC →＋CD →)＝0；
对于(3)：OA →－OD →＋AD →＝(OA →＋AD →)－OD →＝OD →－OD →＝0；
对于(4)：NQ →＋QP →＋MN →－MP →＝(MN →＋NQ →＋QP →)－MP →＝0
3．边长为1的正三角形ABC 中|AB →－BC →|的值为( ) A ．1 B ．2
C 32
D 3 答案：D
解析：延长CB 至D 使BC ＝BD ＝1则－BC →＝BD →故|AB →－BC →|＝|AB →＋BD →|＝|AD →|
二、填空题
7．小王从宿舍要到东边100米的教室去但他先到宿舍西边50米的收发室拿了一个包裹这时他需要向________边走________米才能到教室．
答案：东 150
解析：以向东为正方向则100－(－50)＝150所以他要向东走150米才能到教室．
8．对于向量ab 当且仅当________时有|a －b |＝||a |－|b ||
答案：a 与b 同向
解析：当ab 不同向时根据向量减法的几何意义知一定有|a －b |>||a |－|b ||所以只有两向量共线且同向时才有|a －b |＝||a |－|b ||
9．如图在四边形ABCD 中设AB →＝a AD →＝b BC →＝c 则DC →用ab c 表示为________．
答案：a －b ＋c
解析：DC →＝AC →－AD →＝AB →＋BC →－AD →＝a ＋c －b
三、解答题 10
如图所示四边形ABCD 为平行四边形设AB →＝a AD →＝b
(1)求当a 与b 满足什么条件时|a ＋b |＝|a －b |；
(2)求当a 与b 满足什么条件时四边形ABCD 为菱形正方形．
解：(1)∵四边形ABCD 为平行四边形
∴|a ＋b |＝|AB →＋AD →|＝|AC →||a －b |＝|AB →－AD →|＝|DB →|又|a ＋b |＝|a －b |
∴|AC →|＝|DB →|
∴▱ABCD 的对角线长相等
∴▱ABCD 为矩形
∴当a 与b 垂直时|a ＋b |＝|a －b |
(2)欲使ABCD 为菱形需|a |＝|b |
当|a |＝|b |且a 与b 垂直时平行四边形为正方形．
11．如图已知正方形ABCD 的边长等于1AB →＝a BC →＝b AC →＝c 试作向量并分别求模．
(1)a ＋b ＋c ；
(2)a －b ＋c
解：(1)如图由已知得a ＋b ＝AB →＋BC →＝AC →
又AC →＝c ∴延长AC 到E 使|CE →|＝|AC →|
则a ＋b ＋c ＝AE →且|AE →|＝2 2
(2)作BF →＝AC →连接CF 则DB →＋BF →＝DF →
而DB →＝AB →－AD →＝a －BC →＝a －b
∴a －b ＋c ＝DB →＋BF →＝DF →且|DF →|＝2
能力提升
12．下列各式中不能化简为AD →的是( )
A ．(A
B →－D
C →)－CB →
B AD →－(CD →＋D
C →)
C ．－(C
D →＋MC →)－(DA →＋DM →)
D ．－BM →－DA →＋MB →
答案：D
解析：因为(AB →－DC →)－CB →＝AB →＋CD →＋BC →＝AB →＋BD →＝AD →；AD →－(CD →＋DC →)＝AD →－0
＝AD →；－(CD →＋MC →)－(DA →＋DM →)＝－MD →－DA →－DM →＝DM →＋AD →－DM →＝AD →；－BM →－DA →＋MB →＝MB →＋AD →＋MB →＝AD →＋2MB →
13．探究不等式||a |－|b ||≤|a －b |≤|a |＋|b |的等号成立的条件．
解：若向量a 、b 至少有一个零向量不等式两端的等号都成立．
若向量a 、b 皆为非零向量则当向量a 、b 反向时不等式||a |－|b ||≤|a －b |≤|a |＋|b |的右端等号成立；
当向量a 、b 同向时不等式||a |－|b ||≤|a －b |≤|a |＋|b |的左端等号成立．。