九年级数学下册第27章相似27-2相似三角形1-4用两角的相等关系判定三角形相似新版新人教版

2 [2023·东营]如图，△ABC为等边三角形，点D，E分别 在边BC，AB上，∠ADE＝60°，若BD＝4DC，DE＝ 2.4，则AD的长为( ) A．1.8 B．2.4 C．3 D．3.2
【点拨】 ∵△ABC 是等边三角形， ∴BC＝AC，∠B＝∠C＝60°. ∴∠CAD＋∠ADC＝120°. ∵∠ADE＝60°， ∴∠BDE＋∠ADC＝120°.∴∠CAD＝∠BDE. ∴△ADC∽△ DEB．∴ADDE＝DACB.
6 [2023·邵阳]如图，CA⊥AD，ED⊥AD，点B是线 段AD上的一点，且CB⊥BE.已知AB＝8，AC＝6， DE＝4.
(1)证明：△ABC∽△DEB． 【证明】∵CA⊥AD，ED⊥AD，CB⊥BE， ∴∠A＝∠CBE＝∠D＝90°. ∴∠C＋∠CBA＝90°，∠CBA＋∠DBE＝90°. ∴∠C＝∠DBE. 又∵∠A＝∠D，∴△ABC∽△DEB．
又∵CN＝CN，∴△NCG≌△NCM(SAS)，
∴∠MNC＝∠GNC．
∵∠CNA＝∠CEF，∴∠CNM＝∠CEF.
又∵∠ECF＝∠NCM，
∴△ECF∽△NCM，∴NEMF ＝NECC.
∵NECC＝
22，∴NEMF ＝
2 2.
(2)求线段BD的长. 【解】∵△ABC∽△DEB， ∴BADC＝DABE，即B6D＝84， 解得 BD＝3.
7 [2022·东营]如图，点 D 为△ABC 的边 AB 上任一点，DE
∥BC 交 AC 于点 E，连接 BE，CD 相交于点 F，则下列
等式中不成立的是( )
A．ADDB＝AEEC C．DBCE＝AEEC
【点拨】
由旋转的性质得到∠BAC＝∠DAE，∠B＝∠ADE， AB＝AD，∠E＝∠C，进而得出∠B＝∠ADB，得出 ∠ADE＝∠ADB，得出DA平分∠BDE，可判断结论② 正确；由∠AFE＝∠DFC，∠E＝∠C，得出 △AFE∽△DFC，可判断结论①正确；由∠BAC＝ ∠DAE，得出∠BAD＝∠FAE，由相似三角形的性质 得出∠FAE＝∠CDF，进而得出 ∠BAD＝∠CDF，可判断结论③正确．【答案】D
【点拨】 如图，连接 ND． ∵DE∥AB，DF∥AC， ∴∠ECD＝∠FDB，∠FBD＝∠EDC， ∠BFD＝∠A，∠A＝∠DEC． ∴△FBD∽△EDC，∠NFD＝∠MEC． ∴EFDB＝FEDC.
∵DM＝2ME，BN＝2NF， ∴NF＝13BF，ME＝13DE.∴MNFE＝DBFE.∴FEDC＝MNFE. 又∵∠NFD＝∠MEC，∴△NFD∽△MEC． ∴∠ECM＝∠FDN. ∵∠FDB＝∠ECD，∴∠MCD＝∠NDB． ∴MC∥ND．∴S△ MNC＝S△ MDC．
【探究三】把三角尺旋转到如图③所示位置，直线 BD 与三角尺 45°角两边 CM，CN 分别交于点 E，F，连接 AC 交 BD 于点 O，求NEMF 的值.
【解】易得∠DBC＝∠BAC＝∠DAC＝45°，∠DCB＝
90°，∴∠CDE＝∠DCB＋∠DBC＝135°，
∠CAN＝180°－∠BAC＝135°，∴∠CDE＝∠CAN.
∵∠MCN＝∠DCA＝45°，
∴∠MCN－∠DCN＝∠DCA－∠DCN，
即∠ECD＝∠NCA，∴△ECD∽△NCA，
∴∠CED＝∠CNA，NECC＝CADC＝
2 2.
如图②，将△DMC绕点C逆时针旋转 90°得到△BGC，则点G在直线AB上， ∴MC＝GC，∠MCG＝90°， ∴∠NCG＝∠NCM＝45°.
∵CG⊥AB，∴CG＝ACA·BBC＝2.∴AG＝ ( 5)2－22＝1. ∵AF＝2，∴FG＝AG＝1.∴AC＝FC． ∴∠CAF＝∠CFA＝∠BFD＝∠BDF. ∴BD＝BF＝AB－AF＝5－2＝3. ∵△DBE∽△ABC， ∴BADB＝DACE.即35＝DE5 ，解得 ED＝355.
10 数学兴趣小组探究了以下几何图形，如图①，把一个 含有45°角的三角尺放在正方形ABCD中，使45°角 的顶点始终与正方形的顶点C重合，绕点C旋转三角尺 时，45°角的两边CM，CN始终 与正方形的边AD，AB所在直线 分别相交于点M，N，连接MN， 可得△CMN.
(1)求证：△DBE∽△ABC； 【证明】∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB＝90°. ∵BE⊥CD，∴∠BED＝90°. ∵B︵C所对的圆周角为∠BDE 和∠BAC， ∴∠BDE＝∠BAC．∴△DBE∽△ABC．
(2)若AF＝2，求ED的长. 【解】如图，过点 C 作 CG⊥AB，垂足为 G， ∵∠ACB＝90°，AC＝ 5， BC＝2 5， ∴AB＝ AC2＋BC2＝5.
【点拨】 在题图①中，∵∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，∴
AC＝ AB2＋BC2＝ 82＋62＝10. ∵DE∥BC，∴△ADE∽△ ABC，∴AADB＝AAEC.
在题图②中，将△ADE 绕 A 点顺时针旋转后，得 ∠DAB＝∠EAC，由旋转的性质可得AADB＝AAEC仍成立． ∴△ADB∽△ AEC，∴BEDC＝AABC＝180＝45.
(2)若∠ABC＝∠CDE，求证：AF2＝BF·CE. 【证明】∵△ACF≌△DAE，∴∠AFC＝∠DEA． ∴∠AFB＝∠DEC． 又∵∠ABC＝∠CDE，∴△ABF∽△CDE. ∴ACFE＝DBFE.∴AF·DE＝BF·CE. ∵AF＝DE，∴AF2＝BF·CE.
9 如图，△ ABC 是⊙O 的内接三角形，AB 是⊙O 的直径， AC＝ 5，BC＝2 5，点 F 在 AB 上，连接 CF 并延长， 交⊙O 于点 D，连接 BD，作 BE⊥CD，垂足为 E.
【探究一】如图②，把△CDM绕点C逆时针旋转90° 得到△CBH，同时得到点H在直线AB上，求证： ∠CNM＝∠CNH；
【证明】∵把△CDM 绕点 C 逆时针旋转 90°得到△CBH， ∴CM＝CH，∠MCH＝90°， ∴∠NCH＝∠MCH－∠MCN＝90°－45°＝45°， ∴∠MCN＝∠HCN. 在△CNM 和△CNH 中，∠CMM＝CNCH＝，∠HCN，
27.2.1.4
第27章 相 ) ①各有一个角是60°的两个等腰三角形相似；②各有 一个角是80°的两个等腰三角形相似；③各有一个角 是100°的两个等腰三角形相似； ④两边成比例的两个等腰三角形相似. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
∵DM＝2ME，∴S△ MEC＝12S△ DMC＝12S△ MNC． ∴S△ DCE＝S△ MDC＋S△ MEC＝S△ MNC＋12S△ MNC＝32S△ MNC． ∴若已知△CMN 的面积，一定能求出△DCE 的面积， 故选 D．
【答案】D
5 [2023·常德]如图①，在 Rt△ABC 中，∠ABC＝90°， AB＝8，BC＝6，D 是 AB 上一点， 且 AD＝2，过点 D 作 DE∥BC 交 AC 于 E，将△ADE 绕 A 点顺时针 旋转到图②4的位置，则图②中BCDE 的值为____5____.
4 [2023·绍兴]如图，在△ABC中，D是边BC上的点(不与 点B，C重合)，过点D作DE∥AB交AC于点E，过点D 作DF∥AC交AB于点F，N是线段BF上的点，BN＝ 2NF，M是线段DE上的点，DM＝2ME.若已知△CMN 的面积，则一定能求出( ) A．△AFE的面积 B．△BDF的面积 C．△BCN的面积 D．△DCE的面积
CN＝CN， ∴△CNM≌△CNH(SAS)，∴∠CNM＝∠CNH.
【探究二】在图②中，连接BD，分别交CM，CN于点 E，F，求证：△CEF∽△CNM；
【证明】如图①. ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠DBA＝45°. ∵∠MCN＝45°， ∴∠FBN＝∠FCE＝45°. 又∵∠EFC＝∠BFN，∴∠CEF＝∠FNB． ∵∠CNM＝∠CNH，∴∠CEF＝∠CNM. 又∵∠ECF＝∠NCM，∴△CEF∽△CNM.
B．DBCE＝DFCF D．EBFF＝AAEC
【点拨】 找准相似三角形的对应边，才能准确写出对应线
段所成的比例式．
【答案】C
8 [2023·上海]如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点F， E分别在线段BC，AC上，且∠FAC＝∠ADE，AC＝ AD．
(1)求证：DE＝AF； 【证明】∵AD∥BC，∴∠ACF＝∠DAC． ∠FAC＝∠ADE， 在△ACF 和△DAE 中，AC＝DA， ∠ACF＝∠DAC， ∴△ACF≌△DAE(ASA)．∴AF＝DE.
设 DC＝x， ∵BD＝4DC，∴BD＝4x. ∴BC＝AC＝5x. ∴A2.D4＝54xx.∴AD＝3.
【答案】C
3 [2022·扬州]如图，在△ABC中，AB＜AC，将△ABC 以点A为中心逆时针旋转得到△ADE，点D在BC边上， DE交AC于点F.下列结论：①△AFE∽△DFC；②DA 平分∠BDE；③∠CDF＝∠BAD．其中所有正确结论 的序号是( ) A．①② B．②③ C．①③ D．①②③