材料力学-第5章 弯曲内力

材料力学
第五章 弯曲内力
1
材料力学－第5章 弯曲内力
内容提纲：
• • • • • 概念及工程实例 梁的对称弯曲及计算简图 梁的剪力、弯矩 • 剪力图和弯矩图 弯矩、剪力和荷载集度间的微分关系 平面刚架和曲杆的内力
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材料力学－第5章 弯曲内力
概念及工程实例
3
材料力学－第5章 弯曲内力
概念及工程实例
梁的对称弯曲和计算简图
可动铰支端
– 这种支座使梁的端面不能沿轴线的垂直方向移 动，但端面可沿轴线自由移动和转动 – 限制梁沿轴线垂直方向移动的约束支反力—— 垂直支反力 FRy
FRy FRy FRy FRy
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材料力学－第5章 弯曲内力
梁的对称弯曲和计算简图
• 工程中常用静定梁的三种基本形式
悬臂梁
q
A
Me qa2
B
C
MC
a
a
FCy
解：首先计算支反力FCy和MC
Y 0, M
C
FCy qa 0 3 M C M e qa a 0 2
得
0,
FCy qa, M C
1 2 qa 2
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材料力学－第5章 弯曲内力
梁的剪力图、弯矩图
分段考虑： 当 x a 时： 内力按正方向假设！
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材料力学－第5章 弯曲内力
梁的对称弯曲和计算简图
集中载荷——作用在梁某一横截面处的载荷， 单位为 N（牛顿） 集中载荷一般用F 表示 F q( x)dx
x dx
F
x
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材料力学－第5章 弯曲内力
梁的对称弯曲和计算简图
集中力偶——梁某一横截面处作用在纵向对 称面内的力偶，单位为N· m（牛顿· 米） 集中力偶一般用M表示
C
FS ( x)
M ( x)
M ( x) dM ( x)
q ( x)
略去高阶小项dx2
dM ( x) FS ( x) dx
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材料力学－第5章 弯曲内力
剪力、弯矩与载荷集度的微分关系
从而，得剪力、弯矩和分布载荷的关系
dFS ( x) dx q( x) dM ( x) FS ( x) dx
x
qa
M
qa 2 / 2
x
qa 2 / 2 qa 2 / 2
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材料力学－第5章 弯曲内力
刚架与曲梁的内力
本节作业：
1 (c), (d)
5-2
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材料力学－第5章 弯曲内力
剪力、弯矩与载荷集度间的微分关系
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材料力学－第5章 弯曲内力
剪力、弯矩与载荷集度的微分关系
弯矩、剪力和载荷集度的微分关系
• 弯矩的符号规定
横截面m-m处使微梁有凹面向上（下凸）的弯曲 变形时，截面m-m上左、右两端的弯矩皆为正 （下部受拉）
横截面m-m处使微梁有凹面向下（上凸）的弯曲 变形时，截面m-m上左、右两端的弯矩皆为负 （上部受拉）
+M -M
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材料力学－第5章 弯曲内力
梁的剪力图、弯矩图
• 依据梁内力的符号规定，无论取所截左端梁，还是右 端梁，计算所得梁的内力是相同的 • 实际上，梁截面左、右两端的内力是大小相等，方向 相反的。这是因为它们是一对作用与反作用力 Fs(+) Fs(–)
梁的剪力图、弯矩图
分段考虑： 当
l x 2
P
时：（取右段考虑）
1 P0 4
A
l/2
x
l/2
M Pl / 4 B
Y 0,
FAy
M
cut
0, M ( x) M FBy (l x) 0
1 1 FS ( x) P M ( x) P 2l x 4 4
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材料力学－第5章 弯曲内力
梁的对称弯曲及计算简图
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材料力学－第5章 弯曲内力
梁的对称弯曲和计算简图
对称弯曲： 1. 2. 梁的任一横截面具有对称轴， 并且全梁有纵向对称面平面 外力作用在梁的对称面内
则梁的轴线变形后成为纵向 对称内的一平面曲线，这种变形称 为梁的对称弯曲（平面弯曲）
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材料力学－第5章 弯曲内力
cut
Ay
x0
3 FAy P 4
P
FBy
1 P 4
1 FS ( x) P （负值说明剪力沿反方向） 4
FS ( x)
M ( x)
A
1 M ( x) P 2l x 4
（此时弯矩正负未知。如正，弯矩沿假 定正方向；如负，弯矩沿假定负方向）
FAy
3 P 4
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材料力学－第5章 弯曲内力
F
•
FRy
M FS
对于梁的弯曲变形，内力一般由截
面上的剪力FS 和弯矩 M 组成
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材料力学－第5章 弯曲内力
梁的剪力图、弯矩图
•
剪力的符号规定
– 横截面m-m的左端对右端有相对向上的剪切 错动趋势时，截面m-m上左、右两端的剪力 皆为正（单元体有顺时针转动趋势）
m m +FS m m +FS
工程中的受弯构件
– 桥式起重机的主梁
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材料力学－第5章 弯曲内力
概念及工程实例
– 各类桥面
长江大桥
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材料力学－第5章 弯曲内力
概念及工程实例
火车轮轴
F
F
F
F
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材料力学－第5章 弯曲内力
概念及工程实例
楼房的横梁
阳台的挑梁
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材料力学－第5章 弯曲内力
概念及工程实例
变形特征
– 杆件的轴线由原来的直线变为曲线 – 垂直于轴线的横截面绕垂直于轴线的某 一轴作相对转动 杆件轴线由直线变为曲线的变形称为弯曲变形 以弯曲为主要变形的杆件称为梁
q
A
Me qa2
B
x a
q
C
MC
1 2 qa 2
a
FCy qa
FS ( x)
M ( x)
Y 0,
FS ( x) qx
A
1 2 M 0, M ( x ) qx 2
x
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材料力学－第5章 弯曲内力
梁的剪力图、弯矩图
分段考虑： 当 x a 时： 内力按正方向假设！
时：
3 3 P, M ( x) Px 4 4
FS
l/2
FS ( x )
当
x
l 2
时：
1 1 P, M ( x) P (2l x) 4 4
M
3 P 4
x
3 Pl 8 1 P 4 1 Pl 4
FS ( x )
x
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材料力学－第5章 弯曲内力
梁的剪力图、弯矩图
例题2：计算如图所示简支梁的剪力和弯矩。
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材料力学－第5章 弯曲内力
梁的对称弯曲和计算简图
固定端
– – –
MR
这种支座使梁的端面既不能移动，也不能转动 限制移动的约束反力——水平支反力 FRx和垂 直支反力 FRy 限制转动的约束反力——支反力偶 MR
MR
FRx
FRx
FRy
FRy
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材料力学－第5章 弯曲内力
梁的对称弯曲和计算简图
固定端
剪力直线变化，斜率为q
剪力非直线变化，斜率为q(x)
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材料力学－第5章 弯曲内力
剪力、弯矩与载荷集度的微分关系
任取一微梁段dx，其受力为
考虑微元梁段的平衡
1 2 M 0, F ( x ) dx q ( x ) dx M ( x ) M ( x) dM ( x) 0 C S 2 1 dx dM ( x) FS ( x) dx q( x)dx 2 2 FS ( x) dFS ( x)
得
FAy
0,
3 1 P, FBy P 4 4
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材料力学－第5章 弯曲内力
梁的剪力图、弯矩图
P
分段考虑： 当
x l 2
A
x
l/2
l/2
M Pl / 4 B
时：
FS ( x)
3 FAy P 4
FBy
1 P 4
3 P 4 3 M 0, M ( x ) Px 4
A
q
Me qa2
B
C
MC
1 2 qa 2
a
a
x
q
A
FCy qa
FS ( x)
2
Y 0,
FS ( x) qa 0
a M 0, M ( x ) qa ( x ) Me 0 2
FS ( x) qa
M ( x)
1 2 qa qax 2
Me qa
F
M F
M

F
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材料力学－第5章 弯曲内力
梁的对称弯曲和计算简图
• 由于外力作用在梁的纵向对称面内，并且通常为 等截面直梁，一般用梁的轴线表示梁构件本身 • 梁支座形式的简化和支反力 根据约束的特性，平面弯曲梁的支座可简化 为以下三种基本形式
– 固定端 – 固定铰支端（不可移简支端） – 可动铰支端（可移简支端）
dFS ( x ) q( x) dx
q
A A
2 qa MeP qa2 MM C Pl /4
C
讨论：剪力图与梁载荷之间的关系 1. 梁段无载荷 2. 有集中载荷 剪力无变化 剪力突变
FS
a
FS
B
l/2
1 2 B
a
l/2
FCy qa
3 P 4
x
qa
1 P 4
x
3. 均布载荷
4. 分布载荷
梁的对称弯曲和计算简图
对称弯曲
q 轴线
纵向对称面 弯曲后的轴线
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材料力学－第5章 弯曲内力
梁的对称弯曲和计算简图
对称弯曲
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材料力学－第5章 弯曲内力
梁的对称弯曲和计算简图
梁的计算简图 • 荷载的简化
分布荷载——沿梁轴线方向连续分布的 荷载，单位为 N/m（牛顿/米） 分布荷载一般用q表示，当分布载荷沿轴 q 变化时，表示为q(x)
3 FAy P 4
FBy
1 P 4
FS ( x)
B
M ( x)
FBy 1 P 4
对某截面进行内力分析时，既可以取截面左 侧部分分析，也可取截面右侧部分分析。但 须注意截面上内力的正方向！
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材料力学－第5章 弯曲内力
梁的剪力图、弯矩图
总结： 当
x l 2
P
A
M Pl / 4 B
l/2
Fs(+)
M(+) M(+) M(–)
Fs(–)
M(–)
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材料力学－第5章 弯曲内力
梁的剪力图、弯矩图
例题1：计算如图所示简支梁的剪力和弯矩。
P
A
M Pl / 4 B
l/2
l/2
FAy
FBy
解：首先计算支反力FAy和FBy，
Y 0, M
A
FAy FBy P l FBy l M 0 P 0 2
y P
A
考虑如图所示的平面弯曲梁，坐标系及分 布载荷的方向如图所示
Me
B
1. 集中载荷(集中力，集中力偶) x 两侧的截面，梁内力有突变 2. 载荷连续分布的梁段, 内力连续分布
x
dx
q ( x)
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材料力学－第5章 弯曲内力
剪力、弯矩与载荷集度的微分关系
任取一微梁段dx，其受力为
考虑微元梁段的平衡
Y 0,
dx
FS ( x)
M ( x)
q ( x)
FS ( x) q( x)dx FS ( x) dFS ( x) 0
dFS ( x ) q( x) dx
FS ( x) dFS ( x)
M ( x) dM ( x)
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材料力学－第5章 弯曲内力
剪力、弯矩与载荷集度的微分关系
Y 0,
FS
A
3 P 4 3 Px 4
M ( x)
FAy
3 P 4
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材料力学－第5章 弯曲内力
梁的剪力图、弯矩图
分段考虑： 当
l x 2
P
时：
Ay S
A
l/2
x
l/2
M Pl / 4 B
Y 0, F P F (x) 0 l M 0, M ( x ) P x F 2
– 工程实例
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材料力学－第5章 弯曲内力
梁的对称弯曲和计算简图
固定铰支端
– 这种支座使梁的端面不能移动，但可以自由转动 – 限制移动的约束反力——水平支反力 FRx和垂直支 反力 FRy
FRx
FRy FRx
FRy
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材料力学－第5章 弯曲内力
梁的对称弯曲和计算简图
固定铰支端
– 工程实例
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材料力学－第5章 弯曲内力
m
m
+FS
+FS
单元体上的正剪力
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材料力学－第5章 弯曲内力
梁的剪力图、弯矩图
–
横截面m-m的左端对右端有相对向下的剪切 错动趋势时，截面m-m上左、右两端的剪力 皆为负（单元体有逆时针转动趋势）
m -FS -FS m m m
-FS
-FS
单元体上的负剪力
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材料力学－第5章 弯曲内力
梁的剪力图、弯矩图
简支梁
外伸梁
支座之间的长度称为梁的跨度 另外，工程中亦存在许多静不定梁（超静定梁）
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材料力学－第5章 弯曲内力
梁的剪力、弯矩 & 剪力图和弯矩图
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材料力学－第5章 弯曲内力
梁的剪力图、弯矩图
•
当作用在静定梁上的外力（主动力 和约束反力）确定后，可以利用截 MR 面法确定梁任意横截面上的内力 FRx 横截面上的内力是该截面上应力的 合力和合力矩
B
M ( x)
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材料力学－第5章 弯曲内力
梁的剪力图、弯矩图
q
总结： 当
l x 2
Me qa2
B
A
C
MC
1 2 qa 2
时：
FS
a
a
FCy qa
当
1 FS ( x) qx, M ( x) qx 2 2 l x 时： 2 1 FS ( x) qa, M ( x) qa 2 qax 2