高中数学 第三章 指数函数和对数函数 1 正整数指数函数 2 指数扩充及其运算性质学案 北师大版必修

§1 正整数指数函数
§2 指数扩充及其运算性质
学习目标 1.学会根式与分数指数幂之间的相互转化(重点)；2.理解实数指数幂的运算性质(重点)；3.能用实数指数幂运算性质化简、求值(重、难点)．
预习教材P61－67完成下列问题： 知识点一 正整数指数函数 1．正整数指数函数
一般地，函数y ＝a x
(a >0，a ≠1，x ∈N ＋)叫作正整数指数函数，其中x 是自变量，定义域是正整数集N ＋．
2．正整数指数函数的图像：正整数指数函数的图像是第一象限内一系列孤立的点，是离散而不是连续的．
知识点二 分数指数幂
1．分数指数幂的定义：给定正实数a ，对于任意给定的整数m ，n (m ，n 互素)，存在唯
一的正实数b ，使得b n
＝a m
，我们把b 叫作a 的m
n
次幂，记作b ＝a m
n ；
2．规定正数的负分数指数幂的意义是：a －
m
n ＝1
a m n
(a >0，m ，n ∈N ＋，且n >1)；
3．0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义． 【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”) (1)n
a n
＝(n
a )n
.( )
(2)(－2)24 ＝(－2)1
2 ＝－2.( )
(3)分数指数幂a m
n 可以理解为m
n
个a 相乘．( )
提示 (1)错误．当n 为偶数时n
a n
中a 可以为负数而(n
a )n
中的a 不可以为负数． (2)错误．(－2) 24 ＝(2) 24 ＝21
2 ＝2．
(3)错误，分数指数幂a m
n 不可能理解为m
n
个a 相乘，其实质是一个数．
答案 (1)× (2)× (3)× 知识点三 有理数指数幂的运算性质 1．a r a s
＝a
r ＋s
(a >0，r ，s ∈Q )；
2．(a r )s ＝a rs
(a >0，r ，s ∈Q )； 3．(ab )r ＝a r b r
(a >0，b >0，r ∈Q )． 【预习评价】
1．有理数指数幂的运算性质是否适用于a ＝0或a <0? 提示 (1)若a ＝0，因为0的负数指数幂无意义，所以a ≠0．
(2)若a <0，(a r )s
＝a rs
也不一定成立，如[(－4)2
]14 ≠(－4) 1
2 ，所以a <0不成立．因
此不适用于a ＝0或a <0的情况．
2．公式a m
÷a n
＝a
m －n
(a >0，m ，n ∈N *
)成立吗？请用有理数指数幂的运算性质加以证明，
并说明是否要限制m >n?
提示 成立，且不需要限制m >n ．
证明如下：a m
÷a n
＝a m a n ＝a m ·1a
n ＝a m ·a －n ＝a m －n
．
3．结合教材P64例4，你认为应该怎样利用分数指数幂的运算性质化简与求值？ 提示 第一步：先将式子中的根式化为分数指数幂的形式． 第二步：根据有理数指数幂的运算性质化简求值．
题型一 根式的运算
【例1】 求下列各式的值． (1)
3
－2
3
；(2)
4
－3
2
；(3)
8
3－π
8
；
(4)x 2
－2x ＋1－x 2
＋6x ＋9，x ∈(－3,3)． 解 (1)3
－2
3
＝－2．
(2)4－32
＝432
＝3．
(3)
8
3－π
8
＝|3－π|＝π－3．
(4)原式＝x －12
－x ＋3
2
＝|x －1|－|x ＋3|，
当－3<x ≤1时，原式＝1－x －(x ＋3)＝－2x －2．
当1<x <3时，原式＝x －1－(x ＋3)＝－4．
因此，原式＝⎩⎪⎨
⎪
⎧
－2x －2，－3<x ≤1，－4，1<x <3.
规律方法 (1)解决根式的化简或求值问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值．
(2)开偶次方时，先用绝对值表示开方的结果，再去掉绝对值符号化简，化简时要结合条件或分类讨论．
【训练1】 化简下列各式． (1)
5
－25
；(2)
4
－10
4
；(3)
4
a －b
4
．
解 (1)5
－2
5
＝－2．
(2)4－104
＝|－10|＝10．
(3)
4
a －b
4
＝|a －b |＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
a －
b a ≥b ，b －a a <b .
题型二 根式与分数指数幂的互化 【例2】 (1)设a >0，将
a 2
a ·3
a 2
表示成分数指数幂，其结果是( )
A ．a 1
2 B ．a 32 C ．a 56
D ．a 76
(2)将(a 1n ＋b 1n )1
3 表示成根式的形式是( ) A.3n
a ＋b
B ．(n a ＋n
b )1
3
C.
3n
a ＋n
b
D ．
3a 1n ＋b 1n
解析 (1)
a 2
a ·3
a 2
＝
a 2
a 1
2×a 2
3×2
＝a 2－
12 －
13 ＝a 7
6．
(2)因为a 1n
＝n a ，b 1n ＝n b ，所以(a 1n ＋b 1n )1
3 ＝3n a ＋n
b ．
答案 (1)D (2)C
规律方法 根式与分数指数幂互化的规律及技巧
(1)规律：根指数↔化为
分数指数幂的分母．
被开方数(式)的指数↔化为
分数指数幂的分子．
(2)技巧：当表达式中的根号较多时，由里向外用分数指数幂的形式写出来，然后再利用相关的运算性质进行化简．
【训练2】 (1)3
a a 化为分数指数幂为________． (2)将下列各式化为分数指数幂的形式． ①1
3
x ·
5
x 2
2
(x >0)； ②ab
3
ab 5(a >0，b >0)．
(1)解析 原式＝3
a ·a 12 ＝3a 32 ＝a 1
2 ．
答案 a 1
2 (2)解 ①原式＝
1
3
x ·
x 25
2
＝1
3
x ·x 45
＝1
3x 95
＝
1x 95
13 ＝1x 35
＝x －
35 ． ②原式＝[ab 3
(ab 5
)12 ] 12 ＝(a ·a 12 ·b 3
·b 52 )12 ＝(a 32 b 112 )12 ＝a 34 b 11
4 ．
题型三 利用分数指数幂运算性质化简与求值 【例3】 (1)化简式子： 2×3a 2
·b
－6×a ·3
b
－3×6a ·6b
5
＝________．
(2)①化简a 23 ·b 12 ·(2a 12 b 13 )÷⎝ ⎛⎭
⎪⎫15a 16b 56＝________； ②计算：(2－1)0
＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫169－12 ＋823 ＝________．
解析 (1)
2×3a 2
·b －6×a ·3
b
－3×6a ·6b
5
＝－12a 23 b 12 a 12 b 13 －3a 16 b 56
＝4a ．
(2)①a 23 ·b 12 ·(2a 12 b 13 )÷⎝ ⎛⎭⎪⎫15a 16 b 56
＝10a 23 ＋12 －16 b 12 ＋13 －
5
6 ＝10a ． ②(2－1)0
＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫169－12 ＋823
＝1＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫432－12 ＋(23
) 23 ＝1＋34＋4＝234．
答案 (1)4a (2)①10a ②
234
规律方法 利用分数指数幂的运算性质化简、求值的方法技巧 (1)有括号先算括号里的． (2)无括号先做指数运算． (3)负指数幂化为正指数幂的倒数．
(4)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化为假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，使于用指数运算性质．
【训练3】 (1)计算：0.027－
1
3 －⎝ ⎛⎭⎪⎫－16－2＋810.75
＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫190－3－1．
(2)化简：(2a 14 b －13 )·(－3a －
12 b 23 )÷⎝ ⎛⎭
⎪⎫－14a －14 b －23 ．
解 (1)原式＝(0.33) －
13 －(－6)2＋(34
) 34 ＋1－13＝103－36＋27＋1－13
＝－5．
(2)原式＝24a 14 －12 ＋14 b －13 ＋23 ＋
23 ＝24b ．
典例
迁移
题型四 条件求值问题
【例4】 已知a 12 ＋a －
12 ＝5，求a 32 －a 3
2 a 12 －a －12 的值．
解 因为a 32 －a －32 ＝(a 12 )3－(a －1
2 )3
， 所以a 32 －a －
3
2 a 12 －a －12
＝
a 12 －a 12
a ＋a 12 ·a －
1
2 ＋a －1
a 12 －a －12
＝a ＋a －1
＋1＝(a 12 ＋a －1
2 )2－2＋1＝52
－1＝24．
【迁移1】 (变换条件)若将本例中a 12 ＋a －12 ＝5改为a 12 －a －
1
2 ＝5，则结论如何？ 解 因为a 32 －a －32 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 12 3－(a －12 )3
，
所以a 32 －a －
3
2 a 12 －a －12
＝
a 12 －a －
1
2
a ＋a 12 ·a －
1
2 ＋a －1
a 12 －a －12
＝a ＋a －1
＋1＝(a 12 －a －1
2 )2＋2＋1＝52
＋3＝28．
【迁移2】 (改变问法)在本例中，若条件不变，求a 2
－a －2
的值． 解 因为a 12 ＋a －1
2 ＝5，故a ＋a －1
＝23， 所以a 2
＋a －2
＝527， 当a ≥1时，a 2
－a －2
＝a 2＋a －2
2
－4＝511 109，
当0<a <1时，a 2
－a －2
＝－
a 2＋a －2
2
－4＝－511 109．
【迁移3】 (变换条件，改变问法)已知a ＋a －1
＝5(a >0)，求下列各式的值： (1)a 2
＋a －2
；(2)a 12 －a －1
2 ；(3)a 3＋a －3
．
解 (1)法一 由a ＋a －1＝5两边平方，得a 2＋2aa －1＋a －2＝25，即a 2＋a －2
＝23． 法二 a 2
＋a －2
＝a 2
＋2aa －1
＋a －2
－2aa －1
＝(a ＋a －1)2
－2＝25－2＝23． (2)∵(a 12 －a －1
2 )2＝a ＋a －1
－2＝5－2＝3， ∴|a 12 －a －
1
2 |＝3， ∴a 12 －a －
1
2 ＝±3．
(3)a 3
＋a －3
＝(a ＋a －1
)(a 2
－aa －1
＋a －2
) ＝(a ＋a －1
)(a 2
＋2aa －1
＋a －2
－3) ＝(a ＋a －1
)[(a ＋a －1)2
－3] ＝5×(25－3)＝110．
规律方法 条件求值问题的两个步骤及一个注意点 (1)两个步骤：
(2)一个注意点：若已知条件或所求式子中含有平方差、立方差的形式，注意应用平方差公式或立方差公式．
课堂达标
1．若n a ＝－n
a ，则( ) A ．a ＝0 B ．a ≠0 C ．a ≤0
D ．a ≥0
解析 因为n a 与－n
a 互为相反数，所以a ＝0． 答案 A
2．下列等式一定成立的是( ) A ．a 13 ·a 3
2 ＝a B ．a －
12 ·a 1
2 ＝0
C ．(a 3)2
＝a 9
D ．a 12 ÷a 13 ＝a 16
解析 a 13 ·a 32 ＝a 13 ＋
32 ＝a 11
6 ≠a ，
a －
12 ·a 12 ＝a 0＝1≠0，(a 3)2＝a 6≠a 9，a 12 ÷a 13 ＝a 12 －
13 ＝a 1
6 ．
答案 D
3．若x >3，则x 2
－6x ＋9－|2－x |＝________． 解析 x 2－6x ＋9－|2－x |＝x －3
2
－|2－x |＝|x －3|－|2－x |＝x －3＋2－x ＝
－1．
答案 －1
4．若10x
＝3,10y
＝4，则10
2x －y
＝________．
解析 因为10x
＝3，所以(10x )2
＝9，即102x
＝9， 所以102x
10y ＝94，即102x －y
＝94．
答案 94
5．求值：(1)[(－5)4
]1
4 －150
．
(2)0.001－
13 －⎝ ⎛⎭
⎪⎫780＋1634 ＋(2·33)6．
解 (1)原式＝(54
) 1
4 －150
＝5－1＝4．
(2)原式＝(0.13) －
13 －1＋(24) 34 ＋(212 )6·(31
3 )6
＝89．
课堂小结
1．掌握两个公式：(1)(n
a )n
＝a (n ∈N ＋)；(2)n 为奇数且n ∈N ＋，n
a n
＝a ，n 为偶数且
n ∈N ＋，n
a
n
＝|a |＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
a
a ≥0，－a a <0.
2．根式一般先转化成分数指数幂，然后利用有理数指数幂的运算性质进行运算．在将根式化为分数指数幂的过程中，一般采用由内到外逐层变换的方法，然后运用运算性质准确求解．。