Lω-空间ω-p连通性的樊畿定理
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二、Lω-空间ω-p连通性的樊畿定理 定义2.1 设（LX，Ω）是Lω-空间，xλ∈M鄢（LX）， 称ω-p闭集P为xλ的ω-p闭远域，如果xλ≤P，xλ的所 有ω-p闭远域之族记为ωη←p （xλ）；Q∈LX称为xλ的 ω-p闭远域，如果存在xλ的ω-p闭远域P，使得Q≤P， xλ的所有ω-p远域之族记为ωη（p xλ）. 定义2.2 设（LX，Ω）是Lω-空间，A∈LX，映射
此①确实定义了M（* A）上的映射.由C←覣∧D=C∧D←覣=0， 可知x鬯P（x），且P（x）为ω-P闭集，所以坌x∈M（* A）， P（x）=ωη（p x）.在C中取分子a，在D中取分子b，则a， b∈M（* A），对M（* A）中的任意有限多个点x0，x1，x2，…， xn，使x0=a，xn=b，因为xi≤C或xi≤D必有一个成立（i=0， …，n），所以P（xi）≤D←覣或P（xi）≤C←覣，但是P（x0）≤D←覣， P（xn）≤C←覣，所以存在（i 0≤i＜n），使P（xi）≤D←覣，P（xi+1） ≤C←覣，这时A=C∨D≤P（xi）∨P（xi+1），从而定理中的结 果不成立.
嗓 瑟 P：M（* A）→∪ ωη（p x）|x∈M（* A） ，
P（x）∈ωη（p x），x∈M（* A），
收稿日期：2018-02-07 基金项目：陕西省教育厅2017年度专项科学研究计划：17JK1177 作者简介：徐小玲（1984-），女（汉族），陕西绥德人，讲师，硕士研究生，研究方向：格上拓扑学。
证明：“圯”反证法：设定理中的条件不成立，即存 在映射，
嗓 瑟 P：M（* A）→∪ ωη（p x）|x∈M（* A） ，
①
使得当x≤D时，P（x）=D←覣，当x≤D时，P（x）=C←覣.由
分子的性质知，坌x∈M（* A），或者x≤C，或者x≤D，因
嗓 瑟 P：M（* A）→∪ ωη（p x）|x∈M（* A） ，
-196-
2018 年 5 月 第 19 期
教育教学论坛 EDUCATION TEACHING FOR源自MMay 2018 NO.19
以及A中任二分子a，b，在A中可找出有限多个分
且A=C∨D.作映射
子x0，x1，x2，…，xn，使x0=a，xn=b，且A鬯P（xi）∨P（xi+1）， i=0，…，n-1.
嗓 瑟 P：M（* A）→∪ ωη（p x）|x∈M（* A） ，
P（x）∈ωη（p x），x∈M（* A）， 如果对于A中的任意两不同分子a，b，存在A中有 限多个分子x0=a，x1，x2，…，xn=b及P（xi）=ωη（p xi），使 得A≤P（xi）∨P（xi+1），i=0，…，n-1，则称a与b是可ω-p 连接的，否则称它们是不可ω-p连接的.这里M鄢（A）表 示A的全部分子之集合. 定理2.1 （樊畿定理） 设 （LX，Ω） 是Lω-空间， A∈LX，A是ω-P连通的充要条件是：对于每一个映射，
摘要：在Lω-空间中借助ω-p闭集引入了ω-p远域，并借助ω-p远域给出了ω-p连通性的樊畿定理。
关键词：Lω-空间；ω-p闭集；ω-p连通性；樊畿定理
中图分类号：G642.41
文献标志码：A
文章编号：1674-9324（2018）19-0196-02
一、引言及预备知识 在一般拓扑学中，樊畿定理是拓扑学上著名的定 理之一，它是对连通性的富于几何直观的刻画。1982 年，王国俊在LF拓扑空间中引入远域并推广此定理。 2002年陈水利 [4] 引入了L-fuzzy保序算子空间 （简称 Lω-空间），对于Lω-空间诸多问题已经有了较为系 统的研究，本文在Lω-空间中利用ω-p闭集引入了 ω-p远域，并借助ω-p远域给出了正面刻画ω-p连通 性的樊畿定理。 文中L表示具有逆序对合对应的完全分配格，LX 表示X上的全体L-fuzzy集，１和0分别表示LX中的最大 元和最小元，A0，A-和A忆分别表示A的内部，闭包和补 集，M（L），M鄢（A）和M（LX）分别表示L，A和LX中的分子 之集，其他未提到的概念和符号均见所列参考文献。 定义1.1[4] 设X是一个非空集合，ω：LX→LX为满 足下列条件的算子： （1）ω（1）=1； （2）坌A，B∈LX且A≤B，有ω（A）≤ω（B）； （3）坌A∈LX，有A≤ω（A）. 则称ω为L-fuzzy保序算子。如果A=ω（A），则称A 为LX中的ω-集.记
Ω= 嗓 A∈LX|A=ω（A）瑟 ，称序对（LX，Ω）为L-fuzzy
保序算子空间，简称Lω-空间. 定义1.2 设（LX，Ω）是Lω-空间，xα∈M鄢（LX），
A∈LX，xα称为A的ω-P附着点，若坌P∈ωη（p xα）， 有A鬯P，A的所有ω-p附着点之并称为A的ω-p闭包， 记作A←ω.如果A=A←ω，则称A为（LX，Ω）中的ω-p闭集.如
P（x）∈ωη（p x），x∈M（* A）， 且存在两不同分子a，b，使得对M鄢（A）中任意有 限多个分子x0，x1，x2，…，xn，使x0=a，xn=b，且A鬯P（xi）∨ P（xi+1），i=0，…，n-1不成立.令Ψ={x∈M（* A）|a与x可 ω-P连接}，Λ= {x∈M* （A）|a与x不可ω-P连接}，记 C=∨Ψ，D=∨Λ.由于a鬯P（a），故A鬯P（a），因此a与a 是 可 ω-P 连 接 . 因 为 坌x ∈M * （A）， P（x）=ωη（p x），A鬯P（x），从而对M（* A）中任意有限多 个 分子 x0 ，x1 ，x2 ，… ，xn ，使 x 0 =a，x n =b，且 a 鬯P（xi）∨ P（xi+1），i=0，…，n-1成立.因此a∈Ψ，a≤C，由假设a，b 不可ω-p连接，故b∈Λ，b≤D，则有C=0，D=0. 对于 坌x∈M（* A），x∈Ψ或x∈Λ成立，所以A=C∨D.下面证
果A为（LX，Ω）中的ω-p闭集，则称A忆为（LX，Ω）中的 ω-p开集.
定义1.3 设（LX，Ω）是Lω-空间，A，B，C∈LX，如 果A←ω∧B=A∧B←ω=0，称A与B称为ω-P隔离的.如果不 存 在 非 0 的 ω-p 隔 离 集 C 与 B，使 得 A=B ∨C，则 称 A 是 ω-p连通集.特别，若X上的最大L-fuzzy集1是ω-p连 通的，则称（LX，Ω）是ω-p连通空间.
2018 年 5 月 第 19 期
【学法指导】
教育教学论坛 EDUCATION TEACHING FORUM
May 2018 NO.19
Lω-空间ω-p连通性的樊畿定理
徐小玲1*，马保国2 （1.延安大学西安创新学院，陕西 西安 710100； 2.延安大学 数学与计算机科学学院，陕西 延安 716000）
此①确实定义了M（* A）上的映射.由C←覣∧D=C∧D←覣=0， 可知x鬯P（x），且P（x）为ω-P闭集，所以坌x∈M（* A）， P（x）=ωη（p x）.在C中取分子a，在D中取分子b，则a， b∈M（* A），对M（* A）中的任意有限多个点x0，x1，x2，…， xn，使x0=a，xn=b，因为xi≤C或xi≤D必有一个成立（i=0， …，n），所以P（xi）≤D←覣或P（xi）≤C←覣，但是P（x0）≤D←覣， P（xn）≤C←覣，所以存在（i 0≤i＜n），使P（xi）≤D←覣，P（xi+1） ≤C←覣，这时A=C∨D≤P（xi）∨P（xi+1），从而定理中的结 果不成立.
嗓 瑟 P：M（* A）→∪ ωη（p x）|x∈M（* A） ，
P（x）∈ωη（p x），x∈M（* A），
收稿日期：2018-02-07 基金项目：陕西省教育厅2017年度专项科学研究计划：17JK1177 作者简介：徐小玲（1984-），女（汉族），陕西绥德人，讲师，硕士研究生，研究方向：格上拓扑学。
证明：“圯”反证法：设定理中的条件不成立，即存 在映射，
嗓 瑟 P：M（* A）→∪ ωη（p x）|x∈M（* A） ，
①
使得当x≤D时，P（x）=D←覣，当x≤D时，P（x）=C←覣.由
分子的性质知，坌x∈M（* A），或者x≤C，或者x≤D，因
嗓 瑟 P：M（* A）→∪ ωη（p x）|x∈M（* A） ，
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以及A中任二分子a，b，在A中可找出有限多个分
且A=C∨D.作映射
子x0，x1，x2，…，xn，使x0=a，xn=b，且A鬯P（xi）∨P（xi+1）， i=0，…，n-1.
嗓 瑟 P：M（* A）→∪ ωη（p x）|x∈M（* A） ，
P（x）∈ωη（p x），x∈M（* A）， 如果对于A中的任意两不同分子a，b，存在A中有 限多个分子x0=a，x1，x2，…，xn=b及P（xi）=ωη（p xi），使 得A≤P（xi）∨P（xi+1），i=0，…，n-1，则称a与b是可ω-p 连接的，否则称它们是不可ω-p连接的.这里M鄢（A）表 示A的全部分子之集合. 定理2.1 （樊畿定理） 设 （LX，Ω） 是Lω-空间， A∈LX，A是ω-P连通的充要条件是：对于每一个映射，
摘要：在Lω-空间中借助ω-p闭集引入了ω-p远域，并借助ω-p远域给出了ω-p连通性的樊畿定理。
关键词：Lω-空间；ω-p闭集；ω-p连通性；樊畿定理
中图分类号：G642.41
文献标志码：A
文章编号：1674-9324（2018）19-0196-02
一、引言及预备知识 在一般拓扑学中，樊畿定理是拓扑学上著名的定 理之一，它是对连通性的富于几何直观的刻画。1982 年，王国俊在LF拓扑空间中引入远域并推广此定理。 2002年陈水利 [4] 引入了L-fuzzy保序算子空间 （简称 Lω-空间），对于Lω-空间诸多问题已经有了较为系 统的研究，本文在Lω-空间中利用ω-p闭集引入了 ω-p远域，并借助ω-p远域给出了正面刻画ω-p连通 性的樊畿定理。 文中L表示具有逆序对合对应的完全分配格，LX 表示X上的全体L-fuzzy集，１和0分别表示LX中的最大 元和最小元，A0，A-和A忆分别表示A的内部，闭包和补 集，M（L），M鄢（A）和M（LX）分别表示L，A和LX中的分子 之集，其他未提到的概念和符号均见所列参考文献。 定义1.1[4] 设X是一个非空集合，ω：LX→LX为满 足下列条件的算子： （1）ω（1）=1； （2）坌A，B∈LX且A≤B，有ω（A）≤ω（B）； （3）坌A∈LX，有A≤ω（A）. 则称ω为L-fuzzy保序算子。如果A=ω（A），则称A 为LX中的ω-集.记
Ω= 嗓 A∈LX|A=ω（A）瑟 ，称序对（LX，Ω）为L-fuzzy
保序算子空间，简称Lω-空间. 定义1.2 设（LX，Ω）是Lω-空间，xα∈M鄢（LX），
A∈LX，xα称为A的ω-P附着点，若坌P∈ωη（p xα）， 有A鬯P，A的所有ω-p附着点之并称为A的ω-p闭包， 记作A←ω.如果A=A←ω，则称A为（LX，Ω）中的ω-p闭集.如
P（x）∈ωη（p x），x∈M（* A）， 且存在两不同分子a，b，使得对M鄢（A）中任意有 限多个分子x0，x1，x2，…，xn，使x0=a，xn=b，且A鬯P（xi）∨ P（xi+1），i=0，…，n-1不成立.令Ψ={x∈M（* A）|a与x可 ω-P连接}，Λ= {x∈M* （A）|a与x不可ω-P连接}，记 C=∨Ψ，D=∨Λ.由于a鬯P（a），故A鬯P（a），因此a与a 是 可 ω-P 连 接 . 因 为 坌x ∈M * （A）， P（x）=ωη（p x），A鬯P（x），从而对M（* A）中任意有限多 个 分子 x0 ，x1 ，x2 ，… ，xn ，使 x 0 =a，x n =b，且 a 鬯P（xi）∨ P（xi+1），i=0，…，n-1成立.因此a∈Ψ，a≤C，由假设a，b 不可ω-p连接，故b∈Λ，b≤D，则有C=0，D=0. 对于 坌x∈M（* A），x∈Ψ或x∈Λ成立，所以A=C∨D.下面证
果A为（LX，Ω）中的ω-p闭集，则称A忆为（LX，Ω）中的 ω-p开集.
定义1.3 设（LX，Ω）是Lω-空间，A，B，C∈LX，如 果A←ω∧B=A∧B←ω=0，称A与B称为ω-P隔离的.如果不 存 在 非 0 的 ω-p 隔 离 集 C 与 B，使 得 A=B ∨C，则 称 A 是 ω-p连通集.特别，若X上的最大L-fuzzy集1是ω-p连 通的，则称（LX，Ω）是ω-p连通空间.
2018 年 5 月 第 19 期
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Lω-空间ω-p连通性的樊畿定理
徐小玲1*，马保国2 （1.延安大学西安创新学院，陕西 西安 710100； 2.延安大学 数学与计算机科学学院，陕西 延安 716000）