2018年高考数学(理)二轮练习：第2部分 必考补充专题 第23讲 选修4-4 选修4-5

第23讲 选修4－4 选修4－5
(对应学生用书第118页)
一、选择题
1.(2017·全国Ⅰ卷)选修4­4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为
⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝3cos θ，y ＝sin θ
(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝a ＋4t ，
y ＝1－t
(t 为参数)．
(1)若a ＝－1，求C 与l 的交点坐标；
(2)若C 上的点到l 距离的最大值为17，求a .
【导学号：07804137】
[解] (1)曲线C 的普通方程为x 2
9＋y 2
＝1.
当a ＝－1时，直线l 的普通方程为x ＋4y －3＝0.
由⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋4y －3＝0，x 29
＋y 2
＝1，
解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝3，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝－21
25，y ＝24
25.
从而C 与l 的交点坐标为(3,0)，⎝ ⎛⎭
⎪⎫－2125，2425.
(2)直线l 的普通方程为x ＋4y －a －4＝0，故C 上的点(3cos θ，sin θ)到l 的距离为d ＝|3cos θ＋4sin θ－a －4|17.
当a ≥－4时，d 的最大值为a ＋9
17
.
由题设得
a ＋9
17
＝17，所以a ＝8;
当a ＜－4时，d 的最大值为－a ＋1
17.
由题设得－a ＋1
17＝17，
所以a ＝－16.
综上，a ＝8或a ＝－16. 选修4­5：不等式选讲
已知函数f (x )＝－x 2
＋ax ＋4，g (x )＝|x ＋1|＋|x －1|.
(1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥g (x )的解集；
(2)若不等式f (x )≥g (x )的解集包含[－1,1]，求a 的取值范围． [解] (1)当a ＝1时，不等式f (x )≥g (x )等价于
x 2－x ＋|x ＋1|＋|x －1|－4≤0.
①
当x <－1时，①式化为x 2
－3x －4≤0，无解； 当－1≤x ≤1时，①式化为x 2
－x －2≤0， 从而－1≤x ≤1；
当x >1时，①式化为x 2
＋x －4≤0， 从而1＜x ≤－1＋17
2
.
所以f (x )≥g (x )的解集为⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
x ⎪
⎪⎪
－1≤x ≤
－1＋17
2. (2)当x ∈[－1,1]时，g (x )＝2，
所以f (x )≥g (x )的解集包含[－1,1]等价于当x ∈[－1,1]时，f (x )≥2. 又f (x )在[－1,1]的最小值必为f (－1)与f (1)之一， 所以f (－1)≥2且f (1)≥2，得－1≤a ≤1. 所以a 的取值范围为[－1,1]．
2．(2017·山西五月模拟)选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参
数方程为⎩⎨
⎧
x ＝2＋t cos φ，
y ＝3＋t sin φ
(t 为参数，φ∈⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π3)，以坐标原点O 为极点，x 轴的非负
半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C 的圆心C 的极坐标为⎝
⎛⎭⎪⎫2，π3，半径为2，直线l 与圆C
交于M ，N 两点．
(1)求圆C 的极坐标方程；
(2)当φ变化时，求弦长|MN |的取值范围．
[解] 由已知，得圆心C 的直角坐标为(1，3)，半径为2， ∴圆C 的直角坐标方程为(x －1)2
＋(y －3)2
＝4， 即x 2
＋y 2
－2x －23y ＝0， ∵x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， ∴ρ2－2ρcos θ－23ρsin θ＝0，
故圆C 的极坐标方程为ρ＝4cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3－θ.
(2)由(1)知，圆C 的直角坐标方程为x 2
＋y 2
－2x －23y ＝0， 将直线的参数方程代入圆的直角坐标方程中得，
(2＋t cos φ)2＋(3＋t sin φ)2
－2(2＋t cos φ)－23(3＋t sin φ)＝0， 整理得，t 2
＋2t cos φ－3＝0， 设M ，N 两点对应的参数分别为t 1，t 2， 则t 1＋t 2＝－2cos φ，t 1·t 2＝－3， ∴|MN |＝|t 1－t 2|＝
t 1＋t 2
2
－4t 1·t 2＝4cos 2
φ＋12，
∵φ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3，∴cos φ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12，1，∴|MN |∈[13，4]．
(2017·郑州第一次质量预测)选修4－5：不等式选讲 已知a >0，b >0，函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －b |的最小值为4. (1)求a ＋b 的值； (2)求14a 2＋19
b 2
的最小值．
[解] (1)因为|x ＋a |＋|x －b |≥|a ＋b |，
所以f (x )≥|a ＋b |，当且仅当(x ＋a )(x －b )<0时，等号成立， 又a >0，b >0，
所以|a ＋b |＝a ＋b ，所以f (x )的最小值为a ＋b ， 所以a ＋b ＝4.
(2)由(1)知a ＋b ＝4，b ＝4－a ， 14a 2＋19b 2＝14a 2＋19(4－a )2＝1336a 2－89a ＋169 ＝1336⎝
⎛⎭⎪⎫a －16132＋1613，
当且仅当a ＝1613，b ＝3613时，14a 2＋19b 2取到最小值为16
13
.
3.(2016·全国Ⅰ卷)选修4­4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数
方程为⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝a cos t ，
y ＝1＋a sin t ，(t 为参数，a >0)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为
极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ.
(1)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；
(2)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a .
【导学号：07804138】
[解] (1)消去参数t 得到C 1的普通方程为x 2
＋(y －1)2
＝a 2
，则C 1是以(0,1)为圆心，a 为半径的圆．
将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入C 1的普通方程中，得到C 1的极坐标方程为ρ2
－2ρsin
θ＋1－a 2＝0.
(2)曲线C 1，C 2的公共点的极坐标满足方程组
⎩⎪⎨⎪⎧
ρ2
－2ρsin θ＋1－a 2
＝0，ρ＝4cos θ.
若ρ≠0，由方程组得16cos 2
θ－8sin θcos θ＋1－a 2
＝0， 由已知tan θ＝2，可得16cos 2
θ－8sin θcos θ＝0， 从而1－a 2
＝0，解得a ＝－1(舍去)或a ＝1. 当a ＝1时，极点也为C 1，C 2的公共点，且在C 3上． 所以a ＝1.
(2016·全国Ⅰ卷)选修4­5：不等式选讲 已知函数f (x )＝|x ＋1|－|2x －3|. (1)画出y ＝f (x )的图象； (2)求不等式|f (x )|>1的解集．
图23­1
[解] (1)由题意得f (x )＝⎩⎪⎨
⎪⎧
x －4，x ≤－1，
3x －2，－1＜x
≤32，
－x ＋4，x ＞3
2
，
故y ＝f (x )的图象如图所示．
(2)由f (x )的函数表达式及图象可知， 当f (x )＝1时，可得x ＝1或x ＝3； 当f (x )＝－1时，可得x ＝1
3
或x ＝5.
故f (x )＞1的解集为{x |1＜x ＜3}，
f (x )＜－1的解集为⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪⎪⎪
x ＜1
3或x ＞5
. 所以|f (x )|＞1的解集为
⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪
⎪⎪
x ＜1
3或1＜x ＜3或x ＞5
. 4．(2017·石家庄一模)选修4－4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，将曲线C 1上的每一个点的横坐标保持不变，纵坐标缩短为原来的1
2，
得到曲线C 2.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C 1的极坐标方程为ρ＝2. (1)求曲线C 2的参数方程；
(2)过坐标原点O 且关于y 轴对称的两条直线l 1与l 2分别交曲线C 2于A ，C 和B ，D ，且点
A 在第一象限，当四边形ABCD 的周长最大时，求直线l 1的普通方程．
[解](1)由ρ＝2，得ρ2
＝4，因为ρ2
＝x 2
＋y 2
，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以曲线
C 1的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4.
由题可得曲线C 2的方程为x 2
4
＋y 2
＝1.
所以曲线C 2的参数方程为⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝2cos θ
y ＝sin θ(θ为参数)．
(2)设四边形ABCD 的周长为l ，点A (2cos θ，sin θ)，
则l ＝8cos θ＋4sin θ＝45⎝ ⎛⎭
⎪⎫
25cos θ＋15sin θ
＝45sin (θ＋φ)， 其中cos φ＝
15
，sin φ＝
25
.
所以当θ＋φ＝2k π＋π
2(k ∈Z )时，l 取得最大值，最大值为4 5.
此时θ＝2k π＋π
2－φ(k ∈Z )，
所以2cos θ＝2sin φ＝
45
，sin θ＝cos φ＝
15，
此时A ⎝ ⎛⎭⎪⎫45
，15.
所以直线l 1的普通方程为y ＝1
4
x .
(2017·全国Ⅱ卷)选修4­5：不等式选讲 已知a >0，b >0，a 3
＋b 3
＝2.证明： (1)(a ＋b )(a 5
＋b 5)≥4， (2)a ＋b ≤2.
[证明] (1)(a ＋b )(a 5
＋b 5
)＝a 6
＋ab 5
＋a 5
b ＋b 6
＝(a 3
＋b 3)2
－2a 3b 3
＋ab (a 4
＋b 4
)＝4＋ab (a 2
－b 2)2
≥4. (2)因为(a ＋b )3
＝a 3
＋3a 2
b ＋3ab 2
＋b 3
＝2＋3ab (a ＋b ) ≤2＋
3a ＋b
2
4
(a ＋b )＝2＋
3
a ＋b
3
4
，
所以(a ＋b )3
≤8， 因此a ＋b ≤2.。