最新高中必修一数学上期末第一次模拟试卷(带答案)

最新高中必修一数学上期末第一次模拟试卷(带答案)
一、选择题
1．已知函数1
()log ()(011
a f x a a x =>≠+且）的定义域和值域都是[0，1]，则a=（ ） A ．
12
B ．2
C ．
22
D ．2
2．已知函数()()2,2
11,2
2x
a x x f x x ⎧-≥⎪=⎨⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭
⎩, 满足对任意的实数x 1≠x 2都有()()1212f x f x x x --＜0
成立，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，2) B ．13,
8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦
C ．(－∞，2]
D ．13,28⎡⎫
⎪⎢
⎣⎭
3．设23a log =，3b =，
2
3
c e =，则a b c ，，的大小关系是（ ） A ．a b c <<
B ．b a c <<
C ．b c a <<
D ． a c b <<
4．已知二次函数()f x 的二次项系数为a ，且不等式()2f x x >-的解集为()1,3，若方程
()60f x a +=，有两个相等的根，则实数a =（ ）
A ．－
15
B ．1
C ．1或－
15
D ．1-或－
15
5．已知13
1log 4a =，154
b
=，136c =，则（ ） A ．a b c >>
B ．a c b >>
C ．c a b >>
D ．b c a >>
6．已知函数ln ()x
f x x
=，若(2)a f =，(3)b f =，(5)c f =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．b c a <<
B ．b a c <<
C ．a c b <<
D ．c a b <<
7．已知定义域R 的奇函数()f x 的图像关于直线1x =对称，且当01x ≤≤时，
3()f x x =，则212f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
（ ）
A ．278
-
B ．18
-
C ．
18
D ．
278
8．函数()f x 的反函数图像向右平移1个单位，得到函数图像C ，函数()g x 的图像与函数图像C 关于y x =成轴对称，那么()g x =（ ）
A ．(1)f x +
B ．(1)f x -
C ．()1f x +
D ．()1f x -
9．函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象关于直线x ＝－对称．据此可推测，对任意的非零实数a ，b ，c ，m ，n ，p ，关于x 的方程m [f (x )]2＋nf (x )＋p ＝0的解集都不可能是( )
A ．{1,2}
B ．{1,4}
C ．{1,2,3,4}
D ．{1,4,16,64}
10．函数21
y x x =-+
+的定义域是( ) A ．（-1，2]
B ．[-1,2]
C ．（-1 ，2）
D ．[-1,2)
11．已知()y f x =是以π为周期的偶函数，且0,
2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，()1sin f x x =-，则当5,32x ππ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，()f x =（ ） A ．1sin x + B ．1sin x - C ．1sin x -- D ．1sin x -+ 12．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题
13．定义在R 上的奇函数f （x ）在（0，+∞）上单调递增，且f （4）=0，则不等式f （x ）≥0的解集是___．
14．已知函数24
1,(4)
()log ,(04)
x f x x
x x ⎧+≥⎪=⎨⎪<<⎩．若关于x 的方程，()f x k =有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是____________．
15．对于函数f （x ），若存在x 0∈R ，使f （x 0）=x 0，则称x 0是f （x ）的一个不动点，已知f （x ）=x 2+ax +4在[1，3]恒有两个不同的不动点，则实数a 的取值范围______. 16．已知()f x 为奇函数，且在[)0,+∞上是减函数，若不等式()()12f ax f x -≤-在
[]1,2x ∈上都成立，则实数a 的取值范围是___________.
17．函数()()25sin f x x
g x x =--=，,若1202n x x x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，，……，，,使得()()12f x f x ++…
()()()()()()1121n n n n f x g x g x g x g x f x --++=++++…,则正整数n 的最大值为
___________.
18．设,,x y z R +
∈，满足236x y z ==，则11
2x z y
+
-的最小值为__________. 19．若存在实数(),m n m n <，使得[],x m n ∈时，函数()(
)2log x
a f x a
t =+的值域也为
[],m n ，其中0a >且1a ≠，则实数t 的取值范围是______.
20．已知sin ()(1)x f x f x π⎧=⎨-⎩(0)(0)x x <>则1111
()()66f f -+为_____
三、解答题
21．已知函数1
3
2
()log 2ax f x x
-=-的图象关于原点对称，其中a 为常数. （1）求a 的值；
（2）若当(7,)x ∈+∞时，
13
()log (2)f x x m +-<恒成立.求实数m 的取值范围. 22．已知函数22
()21
x x a f x ⋅+=-是奇函数.
(1)求a 的值;
(2)求解不等式()4f x ≥;
(3)当(1,3]x ∈时，()2
(1)0f tx
f x +->恒成立，求实数t 的取值范围.
23．已知函数()()()log 1log 1a a f x x x =+--(0a >，1a ≠)，且()31f =. (1)求a 的值，并判定()f x 在定义域内的单调性，请说明理由； (2)对于[]2,6x ∈，()()()log 17a
m
f x x x >--恒成立，求实数m 的取值范围.
24．已知函数2()log (421)x x
f x a a =+⋅++，x ∈R ．
（Ⅰ）若1a =，求方程()3f x =的解集；
（Ⅱ）若方程()f x x =有两个不同的实数根，求实数a 的取值范围．
25．已知()()1
22x x f x a a R +-=+∈.
（1）若()f x 是奇函数，求a 的值，并判断()f x 的单调性（不用证明）； （2）若函数()5y f x =-在区间(0,1)上有两个不同的零点，求a 的取值范围.
26．若()221
x x a
f x +=-是奇函数.
（1）求a 的值；
（2）若对任意()0,x ∈+∞都有()2
2f x m m ≥-，求实数m 的取值范围.
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．A 解析：A 【解析】 【分析】
由函数()1
log (
)=0,1
a f x x =+(0,1)a a >≠的定义域和值域都是[0，1]，可得f(x)为增
函数，但在[0，1]上为减函数，得0<a<1，把x=1代入即可求出a 的值．
【详解】
由函数()1
log ()=0,1
a f x x =+(0,1)a a >≠的定义域和值域都是[0，1]，可得f(x)为增函数， 但
在[0，1]上为减函数，∴0<a<1，
当x=1时，1
(1)log (
)=-log 2=111
a a f =+, 解得1=
2
a ， 故选A ．
本题考查了函数的值与及定义域的求法，属于基础题，关键是先判断出函数的单调性． 点评：做此题时要仔细观察、分析，分析出(0)=0f ，这样避免了讨论．不然的话，需要讨论函数的单调性.
2．B
解析：B 【解析】 【分析】 【详解】
试题分析：由题意有,函数()f x 在R 上为减函数,所以有220
{1
(2)2()1
2a a -<-⨯≤-,解出13
8
a ≤,选B. 考点：分段函数的单调性. 【易错点晴】
本题主要考查分段函数的单调性,属于易错题. 从题目中对任意的实数12x x ≠，都有
()()
1212
0f x f x x x -<-成立，得出函数()f x 在R 上为减函数,减函数图象特征:从左向右看,图
象逐渐下降,故在分界点2x =处,有2
1(2)2()12
a -⨯≤-,解出13
8
a ≤. 本题容易出错的地方是容易漏掉分界点2x =处的情况.
3．A
解析：A 【解析】 【分析】
根据指数幂与对数式的化简运算,结合函数图像即可比较大小.
【详解】 因为23a log =,3b =
,
23
c e = 令()2f x log x =,()g x x =
函数图像如下图所示:
则()2442f log ==,()442g == 所以当3x =时23log 3>,即a b <
3b =23
c e = 则6
63
27b =
=,6
26443 2.753.1c e e ⎛⎫
⎪==>≈ ⎪⎝⎭
所以66b c <,即b c < 综上可知, a b c << 故选:A 【点睛】
本题考查了指数函数、对数函数与幂函数大小的比较,因为函数值都大于1,需借助函数图像及不等式性质比较大小,属于中档题.
4．A
解析：A 【解析】 【分析】
设()2
f x ax bx c =++，可知1、3为方程()20f x x +=的两根，且0a <，利用韦达定
理可将b 、c 用a 表示，再由方程()60f x a +=有两个相等的根，由0∆=求出实数a 的值. 【详解】
由于不等式()2f x x >-的解集为()1,3，
即关于x 的二次不等式()2
20ax b x c +++>的解集为()1,3，则0a <.
由题意可知，1、3为关于x 的二次方程()2
20ax b x c +++=的两根，
由韦达定理得2134b a +-
=+=，133c
a
=⨯=，42b a ∴=--，3c a =， ()()2423f x ax a x a ∴=-++，
由题意知，关于x 的二次方程()60f x a +=有两相等的根， 即关于x 的二次方程()2
4290ax a x a -++=有两相等的根，
则()()()2
24236102220a a a a ∆=+-=+-=，0a <，解得1
5
a =-，故选：A.
【点睛】
本题考查二次不等式、二次方程相关知识，考查二次不等式解集与方程之间的关系，解题的关键就是将问题中涉及的知识点进行等价处理，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
5．C
解析：C 【解析】 【分析】
首先将b 表示为对数的形式，判断出0b <，然后利用中间值以及对数、指数函数的单调性
比较32与,a c 的大小，即可得到,,a b c 的大小关系. 【详解】
因为154b
=
，所以551
log log 104
b =<=，
又因为(1
3333
1log log 4log 3,log 4a ==∈，所以31,2a ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
， 又因为131133336,82c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪
=∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪
⎝⎭
，所以3,22c ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 所以c a b >>. 故选：C. 【点睛】
本题考查利用指、对数函数的单调性比较大小，难度一般.利用指、对数函数的单调性比较大小时，注意数值的正负，对于同为正或者负的情况可利用中间值进行比较.
6．D
解析：D 【解析】 【分析】
可以得出11
ln 32,ln 251010
a c =
=，从而得出c ＜a ，同样的方法得出a ＜b ，从而得出a ，b ，c 的大小关系． 【详解】
()ln 2ln 322210a f ==
=
, ()1ln 25
5ln 5510
c f ===,根据对数函数的单调性得到a>c, ()ln 333b f ==
,又因为()ln 2ln8226a f ===，()ln 3ln 9336
b f ===，再由对数函数的单调性得到a<b,∴
c ＜a ，且a ＜b ；∴c ＜a ＜b ． 故选D ． 【点睛】 考查对数的运算性质，对数函数的单调性．比较两数的大小常见方法有：做差和0比较，做商和1比较，或者构造函数利用函数的单调性得到结果.
7．B
解析：B 【解析】 【分析】
利用题意得到，()()f x f x -=-和2
421
D k
x k =
+，再利用换元法得到()()4f x f x =+，进而得到()f x 的周期，最后利用赋值法得到132
2f
f
18
=，331228f f ⎛⎫
⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
，最后利用周期性求解即可. 【详解】
()f x 为定义域R 的奇函数，得到()()f x f x -=-①；
又由()f x 的图像关于直线1x =对称，得到2421
D k
x k =
+②； 在②式中，用1x -替代x 得到()()2f x f x -=，又由②得()()22f x f x -=--； 再利用①式，()()()
213f x f x -=+-()()
()134f x f x =--=-()4f x =--
()()()24f x f x f x ∴=-=-③
对③式，用4x +替代x 得到()()4f x f x =+，则()f x 是周期为4的周期函数；
当01x ≤≤时，3
()f x x =，得1128
f ⎛⎫=
⎪⎝⎭ 11122f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭13122f f ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1
8
=，331228f f ⎛⎫
⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
， 由于()f x 是周期为4的周期函数，331222f f ⎛⎫⎛⎫∴-
=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21128f ⎛⎫
==- ⎪⎝⎭
，
答案选B 【点睛】
本题考查函数的奇偶性，单调性和周期性，以及考查函数的赋值求解问题，属于中档题
8．D
解析：D 【解析】 【分析】
首先设出()y g x =图象上任意一点的坐标为(,)x y ，求得其关于直线y x =的对称点为
(,)y x ，根据图象变换，得到函数()f x 的图象上的点为(,1)x y +，之后应用点在函数图象
上的条件，求得对应的函数解析式，得到结果. 【详解】
设()y g x =图象上任意一点的坐标为(,)x y ， 则其关于直线y x =的对称点为(,)y x ， 再将点(,)y x 向左平移一个单位，得到(1,)y x +， 其关于直线y x =的对称点为(,1)x y +， 该点在函数()f x 的图象上，所以有1()y f x +=， 所以有()1y f x =-，即()()1g x f x =-， 故选：D. 【点睛】
该题考查的是有关函数解析式的求解问题，涉及到的知识点有点关于直线的对称点的求法，两个会反函数的函数图象关于直线y x =对称，属于简单题目.
9．D
解析：D 【解析】 【分析】
方程()()2
0mf x nf x p ++=不同的解的个数可为0,1,2,3,4.若有4个不同解，则可根据二次函数的图像的对称性知道4个不同的解中，有两个的解的和与余下两个解的和相等，故可得正确的选项. 【详解】
设关于()f x 的方程()()2
0mf
x nf x p ++=有两根，即()1f x t =或()2f x t =.
而()2f x ax bx c =++的图象关于2b
x a
=-对称，因而()1f x t =或()2f x t =的两根也关于2b x a =-对称．而选项D 中416164
22
++≠.故选D .
【点睛】
对于形如()0f g x =⎡⎤⎣⎦的方程（常称为复合方程），通过的解法是令()t x g =，从而得
到方程组()()
0f t g x t ⎧=⎪
⎨
=⎪⎩，考虑这个方程组的解即可得到原方程的解，注意原方程的解的特征
取决于两个函数的图像特征.
10．A
解析：A 【解析】 【分析】
根据二次根式的性质求出函数的定义域即可． 【详解】
由题意得：20
10
x x -≥⎧⎨
+>⎩ 解得：﹣1＜x≤2，
故函数的定义域是（﹣1，2]， 故选A ． 【点睛】
本题考查了求函数的定义域问题，考查二次根式的性质，是一道基础题．常见的求定义域的类型有：对数，要求真数大于0即可；偶次根式，要求被开方数大于等于0；分式，要求分母不等于0，零次幂，要求底数不为0;多项式要求每一部分的定义域取交集.
11．B
解析：B 【解析】 【分析】 【详解】
因为()y f x =是以π为周期，所以当5,32x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
时，()()3πf x f x =-， 此时13,02x -π∈-
π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
,又因为偶函数，所以有()()3π3πf x f x -=-, 3π0,2x π⎡⎤
-∈⎢⎥⎣⎦
,所以()()3π1sin 3π1sin f x x x -=--=-,
故()1sin f x x =-，故选B.
12．A
解析：A 【解析】 由选项可知，
项均不是偶函数，故排除
，
项是偶函数，但项与轴没有交点，
即项的函数不存在零点，故选A. 考点：1.函数的奇偶性；2.函数零点的概念.
二、填空题
13．-40∪4+∞）【解析】【分析】由奇函数的性质可得f （0）=0由函数单调性可得在（04）上f （x ）＜0在（4+∞）上f （x ）＞0结合函数的奇偶性可得在（-40）上的函数值的情况从而可得答案【详解】根
解析： [-4，0]∪[4，+∞） 【解析】 【分析】
由奇函数的性质可得f （0）=0，由函数单调性可得在（0，4）上，f （x ）＜0，在（4，+∞）上，f （x ）＞0，结合函数的奇偶性可得在（-4，0）上的函数值的情况，从而可得答案. 【详解】
根据题意，函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，则f （0）=0，
又由f （x ）在区间（0，+∞）上单调递增，且f （4）=0，则在（0，4）上，f （x ）＜0，在（4，+∞）上，f （x ）＞0，
又由函数f （x ）为奇函数，则在（-4，0）上，f （x ）＞0，在（-∞，-4）上，f （x ）＜0， 若f （x ）≥0，则有-4≤x≤0或x≥4， 则不等式f （x ）≥0的解集是[-4，0]∪[4，+∞）； 故答案为：[-4，0]∪[4，+∞）． 【点睛】
本题考查函数的单调性和奇偶性的综合应用，属于基础题．
14．【解析】作出函数的图象如图所示当时单调递减且当时单调递增且所以函数的图象与直线有两个交点时有 解析：(1,2)
【解析】
作出函数()f x 的图象，如图所示，
当4x ≥时，4()1f x x =+
单调递减，且4
112x
<+≤，当04x <<时，2()log f x x =单调递增，且2()log 2f x x =<，所以函数()f x 的图象与直线y k =有两个交点时，有12k <<．
15．【解析】【分析】不动点实际上就是方程f （x0）=x0的实数根二次函数f
（x ）=x2+ax+4有不动点是指方程x=x2+ax+4有实根即方程x=x2+ax+4有两个不同实根然后根据根列出不等式解答即可
解析：10
,33⎡⎫
--⎪⎢⎣⎭
【解析】 【分析】
不动点实际上就是方程f （x 0）=x 0的实数根，二次函数f （x ）=x 2+ax +4有不动点，是指方程x =x 2+ax +4有实根，即方程x =x 2+ax +4有两个不同实根，然后根据根列出不等式解答即可． 【详解】
解：根据题意，f （x ）=x 2+ax +4在[1，3]恒有两个不同的不动点，得x =x 2+ax +4在[1，3]有两个实数根，
即x 2+（a ﹣1）x +4=0在[1，3]有两个不同实数根，令g （x ）=x 2+（a ﹣1）x +4在[1，3]有两个不同交点，
∴2(1)0(3)01132(1)160g g a a ≥⎧⎪≥⎪⎪⎨-<<⎪⎪-->⎪⎩，即24031001132(1)160
a a a a +≥⎧⎪+≥⎪⎪⎨-<<⎪⎪-->⎪⎩， 解得：a ∈10,33⎡⎫
-
-⎪⎢⎣⎭； 故答案为：10,33⎡⎫
--⎪⎢⎣⎭
． 【点睛】
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、函数与方程的综合运用，属于中档题．
16．【解析】【分析】根据为奇函数且在上是减函数可知即令根据函数在上单调递增求解的取值范围即可【详解】为奇函数且在上是减函数在上是减函数∴即令则在上单调递增若使得不等式在上都成立则需故答案为：【点睛】本题 解析：0a ≤
【解析】 【分析】
根据()f x 为奇函数，且在[)0,+∞上是减函数，可知12ax x -≤-，即1
1a x
≤-
，令11y x =-
，根据函数1
1y x
=-在[]1,2x ∈上单调递增，求解a 的取值范围，即可. 【详解】
()f x 为奇函数，且在[)0,+∞上是减函数
∴()f x 在R 上是减函数.
∴12ax x -≤-，即11a x
≤-. 令11y x =-
，则1
1y x
=-在[]1,2x ∈上单调递增. 若使得不等式()()12f ax f x -≤-在[]
1,2x ∈上都成立. 则需min
111101a x ⎛⎫≤-=-= ⎪
⎝⎭. 故答案为：0a ≤ 【点睛】
本题考查函数的单调性与奇偶性的应用，属于中档题.
17．6【解析】【分析】由题意可得由正弦函数和一次函数的单调性可得的范围是将已知等式整理变形结合不等式的性质可得所求最大值【详解】解：函数可得由可得递增则的范围是即为即即由可得即而可得的最大值为6故答案为
解析：6 【解析】 【分析】
由题意可得()()sin 52g x f x x x -=++，由正弦函数和一次函数的单调性可得
()()2sin 5g x f x x x --=+的范围是50,12π⎡
⎤+⎢⎥⎣
⎦，将已知等式整理变形，结合不等式的
性质，可得所求最大值n .
【详解】
解：函数()25=--f x x ，()sin g x x =，可得()()sin 52g x f x x x -=++，
由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，可得sin ,5y x y x ==递增， 则()()2sin 5g x f x x x --=+的范围是50,12π⎡
⎤
+
⎢⎥⎣
⎦
， ()()()()()()()()121121n n n n f x f x f x g x g x g x g x f x --++++=++++……，
即为()()()()(()()()112211)n n n n g x f x g x f x g x f x g x f x --⎡⎤⎡⎤⎡⎤-+-+⋯+-=-⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 即()()()112211sin 5sin 5sin 52(1)sin 52n n n n x x x x x x n x x --++++⋯+++-=++，
即()()(112211sin 5sin 5sin 5)2(2)sin 5n n n n x x x x x x n x x --++++⋯+++-=+， 由5sin 50,12n n x x π⎡⎤+∈+⎢⎥⎣
⎦，可得52(2)12
n π
-≤+， 即5524n π≤
+，而55(6,7)24π
+∈， 可得n 的最大值为6. 故答案为：6. 【点睛】
本题考查函数的单调性和应用，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题.
18．【解析】【分析】令将用表示转化为求关于函数的最值【详解】令则当且仅当时等号成立故答案为:【点睛】本题考查指对数间的关系以及对数换底公式注意基本不等式的应用属于中档题
解析：【解析】 【分析】
令236x y z t ===，将,,x y z 用t 表示，转化为求关于t 函数的最值. 【详解】
,,x y z R +∈，令1236x y z t ==>=，
则236log ,log ,log ,x t y t z t ===
11
log 3,log 6t t y z
==，
211
22log log 2t x t z y
+-=+≥
当且仅当2
x =
时等号成立.
故答案为: 【点睛】
本题考查指对数间的关系，以及对数换底公式，注意基本不等式的应用，属于中档题.
19．【解析】【分析】由已知可构造有两不同实数根利用二次方程解出的范围即可【详解】为增函数且时函数的值域也为相当于方程有两不同实数根有两不同实根即有两解整理得：令有两个不同的正数根只需即可解得故答案为：【
解析：10,4⎛⎫
⎪⎝⎭
【解析】 【分析】
由已知可构造(
)2log x
a a
t x +=有两不同实数根，利用二次方程解出t 的范围即可.
【详解】
()
2()log x a f x a t =+为增函数，
且[],x m n ∈时，函数()(
)2log x
a f x a
t =+的值域也为[],m n ，
(),()f m m f n n ∴==，
∴相当于方程()f x x =有两不同实数根,
()2log x a a t x ∴+=有两不同实根，
即2x x a a t =+有两解， 整理得：20x x a a t -+=， 令,0x
m a m => ，
20m m t ∴-+=有两个不同的正数根，
∴只需1400t t ∆=->⎧⎨>⎩
即可，
解得1
04t <<
， 故答案为：10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭
【点睛】
本题主要考查了对数函数的单调性，对数方程，一元二次方程有两正根，属于中档题.
20．0【解析】【分析】根据分段函数的解析式代入求值即可求解【详解】因为则所以【点睛】本题主要考查了分段函数求值属于中档题
解析：0 【解析】 【分析】
根据分段函数的解析式，代入求值即可求解. 【详解】
因为sin ()(1)x f x f x π⎧=⎨
-⎩
(0)(0)x x <> 则11111
()sin()sin 6662
f ππ-
=-==, 11511()()()sin()66662
f f f π==-=-=-, 所以1111
()()066
f f -+=.
【点睛】
本题主要考查了分段函数求值，属于中档题.
三、解答题
21．（1）1a =-（2）2m ≥- 【解析】 【分析】
（1）根据奇函数性质()()f x f x -=-和对数的运算性质即可解得； （2）根据对数函数的单调性即可求出. 【详解】
解：（1）∵函数()f x 的图象关于原点对称， ∴函数()f x 为奇函数， ∴()()f x f x -=-， 即1
113
33
222log log log 222ax ax x
x x ax ----=-=+--， 2222ax x x ax ---∴=+-，即
22
2
414a x x
解得：1a =-或1a =， 当1a =时，()1
13
3
2
()log log 21x f x x -==--，不合题意； 故1a =-；
（2）11
113
3
33
2()log (2)log log (2)log (2)2x
f x x x x x ++-=+-=+-， ∵函数
13
log (2)y x =+为减函数，
∴当7x >时，
113
3
log (2)log (27)2x +<+=-，
∵(7,)x ∈+∞时，13
()log (2)f x x m +-<恒成立，
∴2m ≥-. 【点睛】
本题主要考查函数的奇偶性和单调性，函数恒成立的问题，属于中档题. 22．(1)2a =;(2)}{
20log 3x x <≤;(3)1,4t ⎛⎫
∈-∞-
⎪⎝⎭
【解析】 【分析】
(1)由奇函数的性质得出a 的值；
(2)结合()f x 的解析式可将()4f x ≥化为32
021x
x -≥-，解不等式即可得出答案；
(3)利用函数()f x 在(1,3]x ∈上的单调性以及奇偶性将()
2
(1)0f tx f x +->化为
21tx x <-，分离参数t 结合二次函数的性质得出实数t 的取值范围.
【详解】
(1)根据题意，函数222222
()()211212x x x x x x
a a a f x f x --⋅++⋅⋅+-===-=
--- ∴2a =.
(2)222()421x x f x ⋅+=≥-，即21
221
x x +≥-，即2132202121x x x x +--=≥--
即()()
32210210
x x
x ⎧--≥⎪⎨-≠⎪⎩，解得：132x <≤，得20log 3x <≤.
(3)22222244()2212121
x x x x x f x ⋅+⋅-+===+
--- 故()f x 在(1,3]x ∈上为减函数
2()(1)0f tx f x +->，即2()(1)(1)f tx f x f x >--=-
即21tx x <-，2
211111
24
t x x x ⎛⎫<-=-- ⎪⎝⎭
又(1,3]x ∈，
11,13x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，故14t <- 综上1,4t ⎛
⎫∈-∞- ⎪⎝
⎭
. 【点睛】
本题主要考查了由函数的奇偶性求解析式以及利用单调性解不等式，属于中档题. 23．(1)2a =，单调递减，理由见解析；(2) 07m << 【解析】 【分析】
（1）代入(3)1f =解得a ，可由复合函数单调性得出函数的单调性，也可用定义证明； （2）由对数函数的单调性化简不等式，再由分母为正可直接去分母变为整式不等式，从而转化为求函数的最值． 【详解】
(1)由()3log 4log 2log 21a a a f =-==，所以2a =. 函数()f x 的定义域为()1,+∞，
()()()222
212log 1log 1log log 111x f x x x x x +⎛
⎫=+--==+ ⎪--⎝⎭
. 因为2
11
y x =+
-在()1,+∞上是单调递减， (注:未用定义法证明不扣分)
所以函数()f x 在定义域()1,+∞上为单调递减函数.
(2)由(1)可知()()()2
21log log 117x m
f x x x x +=>---，[]2,6x ∈，
所以
()()
10117x m
x x x +>>---. 所以()()()2
201767316m x x x x x <<+-=-++=--+在[]2,6x ∈恒成立.
当[]2,6x ∈时，函数()2
316y x =--+的最小值min 7y =.
所以07m <<. 【点睛】
本题考查对数函数的性质，考查不等式恒成立，解题关键是问题的转化．由对数不等式转化为整式不等式，再转化为求函数最值． 24．（Ⅰ）{}1
（Ⅱ）13a -<<-【解析】 【分析】
（Ⅰ）将1a =代入直接求解即可；
（Ⅱ）设2x t =，得到()()2
110t a t a +-++=在()0,+∞有两个不同的解，利用二次函
数的性质列不等式组求解即可. 【详解】
（Ⅰ）当1a =时，()()
2log 4223x
x
f x =++=，
所以34222x x ++=， 所以4260x x +-=，
因此(
)(
)
23220x
x
+-=，得22x = 解得1x =， 所以解集为{}1．
（Ⅱ）因为方程(
)
2log 421x x
a a x +⋅++=有两个不同的实数根， 即4212x x x a a +⋅++=，
设2x t =，()()2
110t a t a +-++=在()0,+∞有两个不同的解，
令()()()2
11f t t a t a =+-++，由已知可得()()()2001021410f a a a ⎧>⎪
-⎪->⎨⎪
⎪=--+>⎩
解得13a -<<- 【点睛】
本题主要考查了对数函数与指数函数的复合函数的处理方式，考查了函数与方程的思想，属于中档题.
25．(1)答案见解析；(2)253,8⎛⎫ ⎪⎝⎭
. 【解析】 试题分析：
(1)函数为奇函数，则()()0f x f x -+=，据此可得2a =-，且函数()f x 在R 上单调递增；
(2)原问题等价于22252x x a =-⋅+⋅在区间(0,1)上有两个不同的根，换元令2x t =，结合二次函数的性质可得a 的取值范围是253,8⎛⎫ ⎪⎝⎭
. 试题解析： （1）因为
是奇函数，
所以()()()()
1
122222220x x x x x x f x f x a a a -++---+=+⋅++⋅=++=，
所以；
在
上是单调递增函数;
(2) 在区间(0,1)上有两个不同的零点，
等价于方程在区间(0,1)上有两个不同的根，
即方程在区间(0,1)上有两个不同的根， 所以方程在区间
上有两个不同的根，
画出函数
在(1,2)上的图象,如下图,
由图知,当直线y =a 与函数的图象有2个交点时,
所以的取值范围为
.
点睛：函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围，若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围，若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用． 26．（1）1a = （2）1
12
m -≤≤ 【解析】
【分析】
（1）根据函数的奇偶性，可得结果.
（2）根据（1）的条件使用分离常数方法，化简函数()f x ，可知()f x 的值域，结合不等式计算，可得结果. 【详解】 （1）
()2121a f +=-，()121112
a
f +-=-
因为()221
x x a
f x +=-是奇函数.
所以()()11f f =--，得1a =； 经检验1a =满足题意
（2）根据（1）可知()21
21
x x f x +=-
化简可得()2
121
x f x =+- 所以可知()2
121
x f x =+
- 当()0,x ∈+∞时，所以()1f x > 对任意()0,x ∈+∞都有()2
2f x m m ≥- 所以212m m ≥-， 即1
12
m -≤≤ 【点睛】
本题考查根据函数的奇偶性求参数，还考查了恒成立问题，对存在性，恒成立问题一般转化为最值问题，细心计算，属中档题.。