2019-2020学年新人教A版必修二 空间中的垂直关系 课时作业

1．(2015·安徽卷)已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是(D)
A．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行
B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行
C．若α，β不平行
．．．与β平行的直线
．．．，则在α内不存在
D．若m，n不平行
．．．，则m与n不可能
．．．垂直于同一平面
可以结合图形逐项判断．
A项，α，β可能相交，故错误；
B项，直线m，n的位置关系不确定，可能相交、平行或异面，故错误；
C项，若m⊂α，α∩β＝n，m∥n，则m∥β，故错误；
D项，假设m，n垂直于同一平面，则必有m∥n，所以原命题正确，故D项正确．
2．(2018·白银区校级月考)l，m，n是互不相同的直线，α，β是不重合的平面，则下列命题为真命题的是(C)
A．若α∥β，lα，nβ，则l∥n B．若α⊥β，lα，则l⊥β
C．若l⊥α，l∥β，则α⊥β D．若l⊥n，m⊥n，则l∥m
A选项中，α∥β，lα，nβ，则l与n还可能异面；
B选项中，α⊥β，lα，则l与β还可能斜交或平行；
C选项中，l⊥α，l∥β，所以β⊥α是正确的；
D选项中，l⊥n，m⊥n，则l与m还可能相交或异面，选C.
3．如图，ABCD是圆柱的轴截面，E是底面圆周上异于A，B的点，则下面结论中，错误的是(C)
A．AE⊥CE
B．BE⊥DE
C．DE⊥CE
D．平面ADE⊥平面BCE
因为BE⊥AE，BE⊥DA BE⊥平面ADE BE⊥ED，平面ADE⊥平面BCE.同理可证AE
⊥CE .故A ，B ，D 都为真命题．
对于C ，假设DE ⊥CE ，又DE ⊥BE DE ⊥平面BCE ，又AE ⊥平面BCE DE ∥AE ，这显然矛盾．故选C.
4．α，β，γ为不同平面，a ，b 为不同直线，给出下列条件：
①a ⊥α，β∥a; ②α⊥γ，β⊥γ；
③a ⊥α，b ⊥β，a ⊥b; ④a α，b β，a ⊥b .
其中能使α⊥β成立的条件的个数为(B)
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
根据面面垂直的定义与判定，只有①和③能使α⊥β，选B.
5．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l ，在l 上取AB ＝4，AC ⊂α，BD ⊂β，AC ⊥l ，BD ⊥l ，且AC ＝3，BD ＝12，则CD ＝ 13 .
连接AD ，则
CD ＝AC 2＋AD 2＝AC 2＋AB 2＋BD 2＝13.
6．已知正方形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，CD 的中点，将它沿AE ，AF 和EF 折起，使点B ，C ，D 重合为一点P ，则必有AP ⊥ 平面PEF .
折起后，有
⎭⎪⎬⎪⎫AP ⊥PF
AP ⊥PE PF ∩PE ＝P ⇒AP ⊥平面PEF .
7．(2018·北京卷)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA ⊥PD ，PA ＝PD ，E ，F 分别为AD ，PB 的中点．
(1)求证：PE ⊥BC ；
(2)求证：平面PAB ⊥平面PCD ；
(3)求证：EF ∥平面PCD .
(1)因为PA ＝PD ，E 为AD 的中点，
所以PE ⊥AD .
因为底面ABCD 为矩形，
所以BC ∥AD ，所以PE ⊥BC .
(2)因为底面ABCD 为矩形，
所以AB ⊥AD .
又因为平面PAD ⊥平面ABCD ，
所以AB ⊥平面PAD ，
所以AB ⊥PD .
又因为PA ⊥PD ，PA ∩AB ＝A ，
所以PD ⊥平面PAB .
又PD ⊂平面PCD ，所以平面PAB ⊥平面PCD .
(3)如图，取PC 的中点G ，连接FG ，DG .
因为F ，G 分别为PB ，PC 的中点，
所以FG ∥BC ，FG ＝12
BC . 因为四边形ABCD 为矩形，且E 为AD 的中点，
所以DE ∥BC ，DE ＝12
BC . 所以DE ∥FG ，DE ＝FG .
所以四边形DEFG 为平行四边形．
所以EF ∥DG .
又因为EF ⊄平面PCD ，DG ⊂平面PCD ，
所以EF ∥平面PCD .
8．(2017·全国卷Ⅲ)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为棱CD 的中点，则(C)
A ．A 1E ⊥DC 1
B ．A 1E ⊥BD
C ．A 1E ⊥BC 1
D ．A 1
E ⊥AC
因为A 1E 在平面ABCD 上的投影为AE ，而AE 不与AC ，BD 垂直，所以B ，D 错； 因为A 1E 在平面BCC 1B 1上的投影为B 1C ，且B 1C ⊥BC 1，
所以A 1E ⊥BC 1，故C 正确；
(证明：由条件易知，BC 1⊥B 1C ，BC 1⊥CE ，又CE ∩B 1C ＝C ，所以BC 1⊥平面CEA 1B 1.又A 1E ⊂平面CEA 1B 1，所以A 1E ⊥BC 1)
因为A 1E 在平面DCC 1D 1上的投影为D 1E ，而D 1E 不与DC 1垂直，故A 错．
故选C.
9．(2017·全国卷Ⅰ)已知三棱锥S －ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径．若平面SCA ⊥平面SCB ，SA ＝AC ，SB ＝BC ，三棱锥S －ABC 的体积为9，则球O 的表面积为 36π .
如图，连接OA ，OB .
由SA ＝AC ，SB ＝BC ，SC 为球O 的直径，知OA ⊥SC ，OB ⊥SC .
由平面SCA ⊥平面SCB ，平面SCA ∩平面SCB ＝SC ，OA ⊥SC ，知OA ⊥平面SCB .
设球O 的半径为r ，则OA ＝OB ＝r ，SC ＝2r ，
所以三棱锥S －ABC 的体积
V ＝13×(12SC ·OB )·OA ＝r 33
， 即r 33
＝9，所以r ＝3，所以S 球表＝4πr 2
＝36π. 10．(2017·全国卷Ⅰ)如图，在四棱锥P －ABCD 中，AB ∥CD ，且∠BAP ＝∠CDP ＝90°.
(1)证明：平面PAB ⊥平面PAD ；
(2)若PA ＝PD ＝AB ＝DC ，∠APD ＝90°，且四棱锥P －ABCD 的体积为83
，求该四棱锥的侧面积．
(1)证明：由已知∠BAP ＝∠CDP ＝90°，
得AB ⊥AP ，CD ⊥PD .
由于AB ∥CD ，故AB ⊥PD ，PD ∩AP ＝P ，
从而AB ⊥平面PAD .
又AB ⊂平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PAD .
(2)如图，在平面PAD 内作PE ⊥AD ，垂足为E .
由(1)知，AB ⊥平面PAD ，故AB ⊥PE ，AB ⊥AD ，
可得PE ⊥平面ABCD .
设AB ＝x ，则由已知可得AD ＝2x ，PE ＝
22
x . 故四棱锥P －ABCD 的体积 V P －ABCD ＝13AB ·AD ·PE ＝13x 3. 由题设得13x 3＝83
，故x ＝2. 从而结合已知可得PA ＝PD ＝AB ＝DC ＝2，AD ＝BC ＝22，PB ＝PC ＝2 2.
可得四棱锥P －ABCD 的侧面积为
12PA ·PD ＋12PA ·AB ＋12PD ·DC ＋12
BC 2sin 60°＝6＋2 3.。