天津市红桥区普通中学2019届初三数学中考复习实数专题练习题教师版含答案

天津市红桥区普通中学2019届初三数学中考复习 实数 专题练习题
1．下列各数中，最小的数是( A )
A ．－3
B ．|－2|
C ．(－3)2
D ．2×105
2．(下列说法正确的是( D )
A ．一个数的绝对值一定比0大
B ．一个数的相反数一定比它本身小
C ．绝对值等于它本身的数一定是正数
D ．最小的正整数是1
3．现在网购越来越多地成为人们的一种消费方式，在2019年的“双11”网上促销活动中天猫和淘宝的支付交易额突破57000000000元，将数字57000000000用科学记数法表示为( B )
A ．5.7×109
B ．5.7×1010
C ．5.7×10
11 D ．57×109
4．若a 与1互为相反数，则|a ＋1|等于( B )
A ．－1
B ．0
C ．1
D ．2
5．将一组数3，6，3，23，15，…，310，按下面的方式进行排列：
3，6，3，23，15； 32，21，26，33，30；
…
若23的位置记为(1，4)，26的位置记为(2，3)，则这组数中最大的有理数的位置记为( C )
A ．(5，2)
B ．(5，3)
C ．(6，2)
D ．(6，5)
6．计算：|3－4|－(12
)－2＝． 7．已知(a ＋6)2＋b 2－2b －3＝0，则2b 2－4b －a 的值为__12__．
8．将实数5，π，0，－6由小到大用“＜”号连起来，可表示为．
9．按照如图所示的操作步骤，若输入的值为3，则输出的值为__55__．
10．按一定规律排列的一列数：21，22，23，25，28，213，…，若x ，y ，z 表示这列数中的连续三个数，猜想x ，y ，z 满足的关系式是__xy ＝z__．
11．计算：
(1)327＋|5－2|－(13
)－2＋(tan60°－1)0； 解：原式＝3＋5－2－9＋1＝5－7
(2) (－1)2019－9 ＋(3－π)0＋|3－3|＋(tan30°)－1
. 解：原式＝－1－3＋1＋3－3＋3＝0
12．用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放：
(1)第5个图形有多少个黑色棋子？
(2)第几个图形有2019个黑色棋子？请说明理由．
解：(1)18个(2)设第n个图形中有2019颗黑色棋子，则有3＋3n＝2019，n＝671，答：第671个图形中有2019颗黑色棋子
13．已知数14的小数部分是b，求b4＋12b3＋37b2＋6b－20的值．
分析：因为无理数是无限不循环小数，所以不可能把一个无理数的小数部分一位一位确定下来，这种涉及无理数小数部分的计算题，往往是先估计它的整数部分(这是容易确定的)，然后再寻求其小数部分的表示方法
解：因为9＜14＜16，即3＜14＜4，所以14的整数部分为3.设14＝3＋b，两边平方得14＝9＋6b＋b2，所以b2＋6b＝5.b4＋12b3＋37b2＋6b－20＝(b4＋2·6b3＋36b2)＋(b2＋6b)－20＝(b2＋6b)2＋(b2＋6b)－20＝25＋5－20＝10
14．观察下列关于自然数的等式：
(1)32－4×12＝5 ①
(2)52－4×22＝9 ②
(3)72－4×32＝13 ③
…
根据上述规律解决下列问题：
(1)完成第四个等式：92－4×( 4 )2＝( 17 )；
(2)写出你猜想的第n个等式(用含n的式子表示)，并验证其正确性．
解：(2)第n个等式为(2n＋1)2－4n2＝4n＋1.∵左边＝4n2＋4n＋1－4n2＝4n＋1＝右边，∴第n个等式成立
15．如果把一个自然数各数位上的数字从最高位到个位依次排出的一串数字，与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同，那么我们把这样的自然数叫做“和谐数”．例如：自然数64746从最高位到个位排出的一串数字是6，4，7，4，6，从个位到最高位排出的一串数字也是：6，4，7，4，6，所以64746是“和谐数”．再如：33，181，212，4664，…，都是“和谐数”．
(1)请你直接写出3个四位“和谐数”，猜想任意一个四位“和谐数”能否被11整除，并说明理由；
(2)已知一个能被11整除的三位“和谐数”，设个位上的数字为x(1≤x≤4，x为自然数)，十位上的数字为y，求y与x的函数关系式．
解：(1)四位“和谐数”：1221，1331，1111，6666；任意一个四位“和谐数”都能被11整数，理由如下：设任意四位“和谐数”形式为：abba(a，b为自然数)，则a×103＋b×102＋b×10＋a＝1001a＋
110b ，∵1001a ＋110b 11
＝91a ＋10b ，∴四位“和谐数”abba 能被11整除；∴任意四位“和谐数”都可以被11整除
(2)设能被11整除的三位“和谐数”为：xyx ，则x·102＋y·10＋x ＝101x ＋10y ，101x ＋10y 11
＝9x ＋y ＋2x －y 11
，∵1≤x ≤4，101x ＋10y 能被11整除，∴2x －y ＝0，∴y ＝2x(1≤x≤4)
2019-2020学年数学中考模拟试卷
一、选择题
1
在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ） A.1x >- B.1x <- C.1x ≥- D.1x ≥-且0x ≠
2．某游客为爬上3千米高的山顶看日出，先用1小时爬了1千米，休息0.5小时后，再用1.5小时爬上山顶．游客爬山所用时间l 与山高h 间的函数关系用图形表示是（ ）
A. B.
C. D.
3．如图，在扇形AOB 中，∠AOB ＝90°，OA ＝2，点C 、D 分别为OA 、OB 的中点，分别以C 、D 为圆心，以OA 、OB 为直径作半圆，两半圆交于点E ，则阴影部分的面积为（ ）
A.142π-
B.
12π- C.184π- D.142π+ 4．已知二次函数y ＝ax 2+bx 的图象经过点A （﹣1，1），则ab 有（ ）
A.最小值0
B.最大值1
C.最大值2
D.有最小值﹣
5．如图，点O 是△ABC 的内心，M 、N 是AC 上的点，且CM ＝CB ，AN ＝AB ，若∠B ＝100°，则∠MON ＝（ ）
A ．60°
B ．70°
C ．80°
D ．100°
6．在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝2，AC ＝1，则cosA 的值是（ ）
A ．12
B
C
D 7．如图，在△ABC 中，CA=CB ，∠C=90°，点D 是BC 的中点，将△ABC 沿着直线EF 折叠，使点A 与点D
重合，折痕交AB 于点E ，交AC 于点F ，那么sin ∠BED 的值为（ ）．
A ．35
B ．53
C ．512
D ．12
8．下列汽车标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
9．若一个圆锥的母线长为6cm ，它的侧面展开图是半圆，则这个圆锥的底面半径为（ ）
A ．1cm
B ．2cm
C ．3cm
D ．6cm 10．已知抛物线2y ax bx c =++的对称轴为2x =，且经过点()3,0，则a b c ++的值（ ）
A ．等于0
B ．等于1
C ．等于1-
D ．不能确定
11．下列运算正确的是（ ）
A ．2a 2b ﹣ba 2＝a 2b
B ．a 6÷a 2＝a 3
C ．（ab 2）3＝a 2b 5
D ．（a+2）2＝a 2
+4 12．计算22
m n m n n m
+--的结果为( ) A.22m n +
B.m n +
C.m n -
D.n m - 二、填空题
13．如图,正方形ABCD 的边长为2,点E 为边AB 上一动点,连接CE 并将其绕点C 顺时针旋转90°得到CF,连接DF,以CE 、CF 为邻边作矩形CFGE,GE 与AD 、AC 分别交于点H 、M,GF 交CD 的延长线于点N.
现有以下结论:①△DCF ≌△BCE;②BE·AH=AE·DN;③若MN ∥EF,则④当AE=1时,DH 取得最小值32
.其中正确的结论是__.(填写所有正确结论的序号)
14．如图，△ABC 的中线AD ，BE 相交于点F ．若△ABF 的面积是4，则四边形CEFD 的面积是_____．
15．已知代数式x 2﹣4x ﹣2的值为3，则代数式2x 2﹣8x ﹣5的值为_____．
16．如图所示，已知：点A(0，0)，B ，0），C （0，1）在△ABC 内依次作等边三角形，使一边在x
轴上，另一个顶点在BC边上，作出的等边三角形分别是第1个△AA1B1，第2个△B1A2B2，第3个△B2A3B3，…，则第n个等边三角形的边长等于__________．
17．已知A（x1，y1），B（x2，y2）在二次函数y＝x2﹣6x+4的图象上，若x1＜x2＜3，则y1_____y2（填“＞”、“＝”或“＜”）．
18．如图，已知直线AB∥CD，∠GEB的平分线EF交CD于点F，∠1=46°，则∠2=______．
三、解答题
19．解方程：
11
1
2
x x
x x
-+
-=．
20．全球已经进入大数据时代，大数据（bigdata），是指数据规模巨大，类型多样且信息传播速度快的数据库体系．大数据在推动经济发展，改善公共服务等方面日益显示出巨大的价值．为创建大数据应用示范城市，我市某机构针对市民最关心的四类生活信息进行了民意调查（被调查者每人限选一项），下面是部分四类生活信息关注度统计图表，请根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）本次参与调查的人数是多少？
（2）关注城市医疗信息的有多少人？并补全条形统计图：
（3）扇形统计图中，D部分的圆心角的度数是多少？
（4）写出两条你从统计图中获取的信息．
21．计算：(1
3
﹣π)0+4cos60°﹣|﹣3|+(
1
2
)﹣1．
22．图1、图2是两张形状和大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段AB的两个端点均在小正方形的顶点上．
⑴在图1中画出一个以AB为一边面积为 5的等腰RtABC，且点C在小正方形顶点上；
⑵在图2中画出一个以AB为一边面积为 4的平行四边形ABDE，且点D和点E均在小正方形的顶点上；写
出所画四边形周长= .
23．如图，在平面直角坐标系xOy 第一象限中有正方形OABC ，(40)A ，
，点(0)P m ，是x 轴上一动点(04)m ＜＜，将ABP △沿直线BP 翻折后，点A 落在点E 处。

在OC 上有一点(0)M t ，，使得将OMP △沿直线MP 翻折后，点O 落在直线PE 上的点F 处，直线PE 交OC 于点N ，连接BN .
I.求证：BP PM ⊥；
Ⅱ.求t 与m 的函数关系式，并求出t 的最大值；
Ⅲ.当ABP CBN ≅△△时，直接写出m 的值.
24．如图，某学校甲楼的高度AB 是18.6m ，在甲楼楼底A 处测得乙楼楼顶D 处的仰角为40，在甲楼楼顶B 处测得乙楼楼顶D 的仰角为19，求乙楼的高度DC 及甲乙两楼之间的距离AC （结果取整数）.参考数据：cos190.95≈，tan190.34≈，cos400.77≈，tan 400.84≈.
25．（初步认识）
（1）如图，将△ABO 绕点O 顺时针旋转90°得到△MNO ，连接AM 、BM ，
求证△AOM ∽△BON ．
（拓展延伸）
（2）如图，在等边△ABC中，点E在△ABC内部，且满足AE2＝BE2＋CE2，用直尺和圆规作出所有的点E（保留作图的痕迹，不写作法）．
【参考答案】***
一、选择题
二、填空题
13．①②④
14．4
15．5
16．
2n
17．＞
18．157°
三、解答题
19．x＝﹣3
【解析】
【分析】
两边都乘以2x化分式方程为整式方程，解整式方程求得x的值，最后代入最简公分母检验即可得；
【详解】
解：方程两边都乘以2x，得
2（x﹣1）﹣（x+1）＝2x
2x﹣2﹣x﹣1＝2x
﹣x＝3
x＝﹣3
检验：把x＝﹣3代入2x＝﹣6≠0，
∴原方程的解为：x＝﹣3．
【点睛】
本题主要考查解分式方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程的基本步骤．
20．（1）本次参与调查的人数是1000人；（2）关注城市医疗信息的有150人，补全条形统计图见解析；
（3）扇形统计图中，D 部分的圆心角的度数是144°；（4）由扇形统计图知，关注交通信息的人数最多；由条形统计图知，关注交通信息的人数是关于政府服务信息与关注教育资源人数和（答案不唯一，合理即可）．
【解析】
【分析】
（1）用关注教育资源人数除以其所占的百分比可得被抽查的总人数；
（2）根据各类别的人数之和等于总人数可得B 类别人数，据此继而可补全条形图；
（3）用360°乘以样本中D 类别人数所占比例即可得；
（4）根据扇形统计图和条形统计图得出合理信息即可，答案不唯一．
【详解】
解：（1）本次参与调查的人数是200÷20%＝1000（人）；
（2）关注城市医疗信息的有1000﹣（250+200+400）＝150（人），
补全条形统计图如下：
（3）360°×4001000
＝144°， 答：扇形统计图中，D 部分的圆心角的度数是144°；
（4）由扇形统计图知，关注交通信息的人数最多；
由条形统计图知，关注交通信息的人数是关于政府服务信息与关注教育资源人数和（答案不唯一，合理即可）．
【点睛】
本题考查了条形统计图与扇形统计图，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
21．【解析】
【分析】
直接利用负指数幂的性质、零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值分别化简得出答案．
【详解】 (13﹣π)0+4cos60°﹣|﹣3|+(12
)﹣1 ＝1+4×
12﹣3+2， ＝1+2﹣3+2，
＝2．
【点睛】
此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
22．（1）详见解析；（2）2
. 【解析】
【分析】
（1）直接利用网格结合勾股定理得出符合题意的答案；
（2）直接利用网格结合平行四边形的性质以及勾股定理得出答案．
【详解】
（1）如图1所示：三角形ABC 即为所求，
；
（2）如图2所示：四边形ABDE 即为所求．
四边形ABDE 的周长为：2
2= 【点睛】 此题主要考查了平行四边形的性质、勾股定理等知识，正确应用勾股定理是解题关键．
23．I.见解析；Ⅱ.21(2)14
t m =-
--，(04)m ＜＜，当2m =时，t 的最大值为1；Ⅲ.8m =-【解析】
【分析】
I.根据邻补角的定义和角平分线的定义可得出BPM 90∠=︒，从而证出BP PM ⊥；
Ⅱ.结合I 中结论和直角三角形的两锐角互余得出OPM ABP ∠∠=，从而得出OPM ABP ∽，得到比例式得到t 和m 之间的函数关系式，根据配方法求出t 的最大值.
Ⅲ. 先根据HL 得出CBN EBN ≅，证出ABP CBN 22.5∠∠==︒，在AB 上取一点Q ，使得BQ=PQ ，根据AQ QB AB +=，列出方程即可解决问题．
【详解】
解：I.证明：∵APB EPB ∠∠=，MPO MPN ∠∠=，OPN NPA 180∠∠+=︒，
∴MPN NPB 90∠∠+=︒.
∴BPM 90∠=︒，即BP PM ⊥.
Ⅱ.∵OPM APB 90∠∠+=︒，APB ABP 90∠∠+=︒，
∴OPM ABP ∠∠=.
∵四边形OABC 是正方形，OM t =，OP m =，
∴AB OA 4==，COA OAB 90∠∠==︒，AP 4m =-.
∴OPM ABP ∽. ∴
OM AP OP AB
=. ∴()()211t m 4m m 2144
=-=---，()0m 4＜＜. ∴当m 2=时，t 的最大值为1. Ⅲ.如图，∵ABP CBN ≅，∴BC=AB,
∵ABP EBP ≅，∴BE=AB,
∴BC=BE,又∵BN=BN
∴()CBN EBN HL ≅，
∴ABP CBN 22.5∠∠==︒.
在AB 上取一点Q 使得BQ PQ =，
∴QBP QPB 22.5∠∠==︒.
∴AQP QBP QPB 45∠∠∠=+=︒.
∴APQ 45∠=︒.
∴AQ AP 4m ==-，)QP QB 4m ==-，
∵)AQ QB 4m 4m 4+=--=，
∴m 8=-【点睛】
本题考查相似形综合题、正方形的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会添加常用辅助线，属于中考压轴题．
24．乙楼的高度DC 约为31m ，甲乙两楼之间的距离AC 约为37m.
【解析】
【分析】
过点B 作BE CD ⊥，垂足为点E ，从而判定四边形ABEC 是矩形，得到AB CE =，AC BE =
设甲乙两楼之间的距离为x m,在直角三角形BDE 与直角三角形DAC 中，利用三角函数即可用x 表示出DE
与DC ，根据DC DE CE -=，列出方程解之即可．
【详解】
解：过点B 作BE CD ⊥，垂足为点E ，
可知BAC ACE BEC 90∠∠∠===︒.
∴四边形ACEB 是矩形.
∴AB CE =，AC BE =.
设甲乙两楼之间的距离为x m.
则BE AC x ==，
在Rt DBE 中，DBE 19∠=︒，DE tan DBE BE
∠=
. ∴DE BE tan DBE x tan19∠=⋅=⋅︒. 在Rt DAC 中，DAC 40∠=︒，DC tan DAC AC
∠=
. ∴DC AC tan DAC x tan DAC x tan40∠∠=⋅=⋅=⋅︒. ∵DC DE CE -=，
∴x tan40x tan1918.6⋅︒-⋅︒=.
∴0.84x 0.34x 18.6-≈.
解得x 37.2≈.
∴AC 37≈.
DE x tan4037.2.8431=⋅︒≈⨯≈.
答：乙楼的高度DC 约为31m ，甲乙两楼之间的距离AC 约为37m.
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是从复杂的实际问题中整理出直角三角形并选择合适的边角关系列出方程．
25．（1）详见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）利用旋转的性质可也得到AO ＝OM ，BO ＝ON ，∠AOM ＝∠BON ＝90°，即可解答
（2）根据题意以AB,AC 作为半径做圆，使得B,C 两点落在圆上，点E 在弧BC 上（不包括B,C 两点）
【详解】
（1）证明：∵△ABO 绕点O 顺时针旋转90°得到△MNO ，
∴AO ＝OM ，
BO ＝ON ，
∠AOM＝∠BON＝90°．
∵AO MO BO NO
，
∴△AOM∽△BON．
（2）画图正确
∴点E在弧BC上（不包括B,C两点）
理由要点：（1）将△ACE旋转60°；则∠FAE=60°，AE=AF=EF,EC=FB.
（2）∠BEC＝150°．则可得旋转后∠FBE=90°，则有FB2+EB2=EF2.
【点睛】
此题考查了三角形相似，图形的旋转，和尺规作图，解题关键在于熟练掌握相似三角形的证明
2019-2020学年数学中考模拟试卷
一、选择题
1．如图，边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转45°后得到正方形AB 1C 1D 1，边B 1C 1与CD 交于点O ，则四边形AB 1OD 的面积是（ ）
A ．34
B ．12
C 1
D ．12．不等式组214(1)x x x x -⎧⎨
--⎩的解集为（ ） A ．x ＞0 B ．x ＞1 C ．无解 D ．0＜x ＜1
3（ ）
A ．①②
B ．③④⑤
C ．②③
D ．只有④
4．若一组数据9、6、x 、7、5的平均数是2x ，则这组数据的中位数是（ ）
A ．5
B ．6
C ．7
D ．9 5．如图，已知二次函数的图象与轴交于点，顶点坐标为，与轴的交点在和之间（不包括端点）．有下列结论：①当时，；②；③；④．其中正确的结论有（ ）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
6．下列运算中，错误的是（ ）
A ．x y y x x y y x --=-++
B ．1a b a b
--=-+
C a =
D 1=-
7．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 平分∠BAD ，若AC ＝12，BD ＝16，则对边之间的距离为( )
A.125
B.245
C.485
D.965
8．抛物线2y ax bx c =++的部分图象如图所示，则当y 0>时，x 的取值范围是( )
A ．x 1>-
B ．x 1≥-
C ．1x 3-≤≤
D ．1x 3-<<
9．如图，在矩形ABCD 中，E 是AB 边的中点，沿EC 折叠矩形ABCD ，使点B 落在点P 处，折痕为EC ，连结AP 并延长AP 交CD 于F 点，连结CP 并延长交AD 于点Q ．给出以下结论：①四边形AECF 为平行四边形；②∠PBA ＝∠APQ ；③△FPC 为等腰三角形；④△APB ≌△EPC ．其中正确结论为（ ）
A ．①②
B ．①②③
C ．①③④
D ．②③
10．如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=BC=3cm ，动点P 从点A cm/s 的速度沿AB 方向运动到点B ，动点Q 同时从点A 出发，以1cm/s 的速度沿折线AC→CB 方向运动到点B ，先到达点B 的点保持与点B 重合，待另一个点到达点B 后同时停止运动。

设△APQ 的面积为y （cm 2），运动时间为x （s ），则下列图象能反映y 与x 之题图间关系的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
11．华为手机Mate X 在5G 网络下能达的理论下载速度为603 000 000B/s ，3秒钟内就能下载好1GB 的电影，将603 000 000用科学计数法表示为（ ）
A ．603×610
B ．6.03×810
C ．60.3×710
D ．0.603×910
12．下列命题中正确的是（）
A．平行四边形的对角线相等
B．对顶角相等
C．两条腰对应相等的两个等腰三角形全等
D．同旁内角相等，两直线平行
二、填空题
13．正六边形的外接圆的半径与内切圆的半径之比为_____．
14．如果样本x1，x2，x3，…，x n的平均数为5，那么样本x1+2，x2+2，x3+2，…x n+2的平均数是_____ 15．分解因式：mx2﹣2mx+m＝_____．
16．如果实数a，b满足a+b＝6，ab＝8，那么a2+b2＝_____．
17．如图，直线AB，CD分别经过线段MN两端点，∠BMN＝100°，∠MNC＝70°，则AB，CD相交所成的锐角大小是_____．
18．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，M为AD上一点，将△ABM沿BM翻折至△EBM，ME和BE分别与CD相交于O，F两点，且OE＝OD，则AM的长为_____．
三、解答题
19．如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点D、E分别在边AB、AC上，AD＝AE，连接DC，点F、P、G分别为DE、DC、BC的中点．
（1）观察猜想：图1中，线段PF与PG的数量关系是，∠FPG＝（用含α的代数式表示）（2）探究证明：当△ADE绕点A旋转到如图2所示的位置时，小新猜想（1）中的结论仍然成立，请你证明小新的猜想．
（3）拓展延伸：把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝2，AB＝6，请直接写出PF的最大值．
20．某市某生态示范园计划种植一批梨树，原计划总产值30万千克，为了满足市场需求，现决定改良梨树品种，改良后平均每亩产量是原来的1.5倍，总产量比原计划增加了6万千克，种植亩数减少了10亩，
则原来平均每亩产量是多少万千克？
21．如图，在▱ABCD 中，CF ⊥AB 于点F ，过点D 作DE ⊥BC 的延长线于点E ，且CF ＝DE ．
（1）求证：△BFC ≌△CED ；
（2）若∠B ＝60°，AF ＝5，求BC 的长．
22．对于平面直角坐标系xOy 中的图形M 及以点C 为圆心，1为半径的⊙C ，给出如下定义：P 为图形M 上任意一点，Q 为⊙C 上任意一点，如果P ，Q 两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M 到⊙C 的“圆距离”，记作d （M ﹣C ）．
（1）点C 在原点O 时.
①记点A （4，3）为图形M ，则d （M ﹣O ）＝ ；
②点B 与点A 关于x 轴对称，记线段AB 为图形M ，则d （M ﹣O ）＝ ；
③记函数y ＝kx+4（k ＞0）的图象为图形M ，且d （M ﹣O ）≤1，直接写出k 的取值范围；
（2）点C 坐标为（t ，0）时，点A ，B 与（1）中相同，记∠AOB 为图形M ，且d （M ﹣C ）＝1，直接写出t 的值．
23．计算：（﹣1）2019﹣|121()
3+-． 24．“足球运球”是中考体育必考项目之一兰州市某学校为了解今年九年级学生足球运球的掌握情况，随机抽取部分九年级学生足球运球的测试成绩作为一个样本，按A ，B ，C ，D 四个等级进行统计，制成了如下不完整的统计图．
（1）本次一共抽取了几名九年级学生？
（2）补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，C 对应的扇形的圆心角是几度？
（4）该校九年级有300名学生，请估计足球运球测试成绩达到A 级的学生有多少人？
25．如图，△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径的⊙O 交BC 于点D ，交AC 于点E ，过点D 作FG ⊥AC 于点F ，交AB 的延长线于点G ．
（1）求证：GD为⊙O切线；
（2）求证：DE2=EF·AC；
（3）若tan∠C=2，AB=5，求AE的长．
【参考答案】***
一、选择题
二、填空题
13．2
14．7
15．m（x﹣1）2
16．20
17．30°
18．8
三、解答题
19．（1）PF＝PG，180°﹣α；（2）∠FPG＝180°﹣α；证明见解析；（3）PF的最大值为4．【解析】
【分析】
（1）根据等腰三角形的性质和三角形的中位线定理解答即可；
（2）连接BD，CE，利用全等三角形的判定和性质以及三角形中位线定理解答；
（3）当EC最大时，FP最大，进而解答即可．
【详解】
（1）如图1，∵在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点D、E分别在边AB、AC上，AD＝AE，∴AB﹣AD＝AC﹣AE，
即DB＝CE，
∵点F、P、G分别为DE、DC、BC的中点，
∴PF＝1
2
CE，PG＝
1
2
BD，
∴PF＝PG，
∵点F、P、G分别为DE、DC、BC的中点，
∴PG∥BD，PF∥CE，
∴∠PGC＝∠DBC，∠DPF＝∠DCE，
∴∠FPG＝∠DPF+∠DPG
＝∠DCE+∠PGC+∠DCB
＝∠ACD+∠ACE+∠DBC+∠DCB
＝∠ACD+∠ABD+∠DBC+∠DCB
＝∠ABC+∠ACB，
∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC
∴∠FPG＝180°﹣α；
故答案为：PF＝PG，180°﹣α；
（2）如图2，连接BD，CE，由题意知AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，AD＝AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，
∵点F、P、G分别为DE、DC、BC的中点，
∴PF，PG分别是△CDE和△CDB的中位线，
∴PG∥BD，PF∥CE，
∴∠PGC＝∠DBC，∠DPF＝∠DCE，
∴∠FPG＝∠DPF+∠DPG
＝∠DCE+∠PGC+∠DCB
＝∠ACD+∠ACE+∠DBC+∠DCB
＝∠ACD+∠ABD+∠DBC+∠DCB
＝∠ABC+∠ACB，
∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC
∴∠FPG＝180°﹣α；
（3）当EC最大时，FP最大，EC的最大值为AE+AC＝8，
∴PF＝1
2
EC，即PF的最大值为4．
【点睛】
此题属于几何变换综合题，关键是根据三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判断和性质，直角三角形的性质进行解答．
20．原来平均每亩产量是3
5
万千克
【解析】
【分析】
根据题意可得等量关系：原计划种植的亩数-改良后种植的亩数=10亩，根据等量关系列出方程即可．【详解】
设原来平均每亩产量是x万千克
根据题意得：3036
10
1.5
x x
-=
解得：
3
5 x=
经检验，
3
5
x=是原方程的解，
答：原来平均每亩产量是3
5
万千克；
【点睛】
此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．21．（1）详见解析；（2）BC＝10．
【解析】
【分析】
（1）由平行四边形的性质可得AB∥CD，可得∠B＝∠DCE，由“AAS”可证△BFC≌△CED；
（2）设BC＝CD＝AB＝x，由直角三角形的性质可得（x﹣5）＝1
2
x，可求x的值，即可求BC的长．
【详解】
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB∥CD，AB＝CD
∴∠B＝∠DCE
∵CF⊥AB，DE⊥BC，
∴∠CFB＝∠DEC＝90°，且CF＝DE，∠B＝∠DCE ∴△BFC≌△CED （AAS）
（2）∵△BFC≌△CED
∴BC＝DC＝AB
设BC＝x，
∴CD＝AB＝x
在Rt△BCF中，∠B＝60°
∴∠BCF＝30°
∴FB＝1
2
BC
∴（x﹣5）＝1
2
x
解得x＝10 ∴BC＝10．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，平行四边形的性质，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．
22．（1）① 4，② 3，③k （2）t＝2或10
3
．
【解析】
【分析】
（1）①点A（4，3），则OA＝5，d（M﹣O）＝AQ，即可求解；②由题意得：d（M﹣O）＝PQ；③P′Q′＝2为临界点的情况，OD＝4，则∠P′DO＝30°，即可求解,
（2）①分点为角的顶点O（P）、点P在射线OA两种情况，分别求解即可．
【详解】
解：（1）①如图1，点A（4，3），则OA＝5，
d（M﹣O）＝AQ＝5﹣1＝4，
故答案为4,
②如图1，由题意得：d（M﹣O）＝PQ＝4﹣1＝3，
③如图1，过点O作OP′⊥直线l于点P′，直线l与y轴交于点D，
则d（M﹣O）＝P′Q′，
当P′Q′＝2为临界点的情况，OD＝4，
∴∠P′DO＝30°，
∴k
故
（2）①如图2，当点为角的顶点O（P）时，
则PQ＝1，则OC＝2，
即：t＝2，
②如图3，当点P在射线OA时，
tan∠AOC＝3
4
，则sin∠AOC＝
3
5
，
CP＝CQ+PQ＝1+1＝2，
t＝OC＝
sin CP
AOC
∠
＝
10
3
，
故：t＝2或10
3
．
【点睛】
本题为新定义类型的题目，涉及到一次函数、解直角三角形的知识，通常按照题设的顺序，逐次求解即可．
23．1
9
．
【解析】
【分析】
直接利用绝对值的性质以及二次根式的性质分别化简得出答案．【详解】
原式＝
1 11)1
9 --+
＝11
9
．
【点睛】
此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
24．（1）40；（2）补图见解析；（3）117；（4）30人
【解析】
【分析】
（1）先根据B 等级人数及其百分比求得总人数；
（2）求出C 组人数即可补全图形；
（3）总人数减去其他等级人数求得C 等级人数，继而用360°乘以C 等级人数所占比例即可得；
（4）总人数乘以样本中A 等级人数所占比例可得．
【详解】
解：（1）总人数为18÷45%＝40人，
故答案为40．
（2）C 等级人数为40﹣（4+18+5）＝13人，
补全条形图如下：
（3）则C 对应的扇形的圆心角是360°×
1340
＝117°， 故答案为：117； （4）估计足球运球测试成绩达到A 级的学生有300×
1340＝30人． 【点睛】
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
25．（1）见解析；（2）见解析；（3）AE=3.
【解析】
【分析】
(1)欲证明FG 是⊙O 的切线，只要证明OD ⊥FG ；
(2) 连接AD ，然后求证Rt △CDF ∽Rt △CAD,即可解答;
（3）由题意得出∠ABC=∠C ，tan ∠ABC=tan ∠C=
2AD BD
，根据直角三角形的三角函数得出CF=1，即可解答.
【详解】
解：（1）如答图1，连接OD ，
∵OD=OB ，
∴∠ODB=∠OBD ，
∵AB=AC ，
∴∠ABC=∠C ，
∴∠ODB=∠C ，
∴OD ∥AC ，
∵DG ⊥AC ，
∴OD ⊥DF ，
∴GD 为⊙O 切线；
（2）如答图2，连接AD ，
∵AB 为直径，
∴∠ADB=90°，即AD ⊥BC ，
∵AB=AC ，
∴CD=BD ，∠EAD=∠BAD ，
∴BD=DE=CD ，
∵DF ⊥AC ，
∴CF=EF ，
∵Rt △CDF ∽Rt △CAD ， ∴CD CF AC CD
=，即CD 2=CF·AC， ∴DE 2=EF·AC；
（3）如答图2，∵AB=AC ，
∴∠ABC=∠C ，tan ∠ABC=tan ∠C=
2AD BD
=，∵AB=5，
∴Rt △CDF 中，
∵tan ∠C=2，∴CF=1，由（2）知,，EF=CF ，
∴EF=CF=1，CE=2，所以AE=AC-CE=AB-CE=5-2=3．
答图1 答图2
【点睛】
此题考查切线的判定，相似三角形的判定与性质，三角函数值的应用，解题关键在于作辅助线.。