工程力学精华版,感谢勤劳的老师3

A
Me4
B
Me3
C Me2
Me1
D
2m
2.5m
2.5m
2、传动轴的转速为n1 = 500r/min，主动轮1输入功率N1 = 360千瓦。已知材 料的抗剪切弹性模量G = 80GPa，许用剪应力[ ] = 70MPa ，圆轴的许用单
位长度扭转角[ ] =10/m 。试确定AB段的直径d
二、计算题： 3、如图所示的圆轴，直径 D=100mm,l=500mm，M1=6kNm，M2=4kNm, 材料的剪切弹性模量G=80GPa。试求（1）绘出轴的扭矩图；（2）求 出最大剪应力；（3）求A截面和C截面间的相对扭转角。
Wp — 扭转截面系数（section modulus in
max
T Wp
torsion），几何量，单位：mm3或m3。
对于实心圆截面：
Wp I p R D3 16
Wp I p R D3 (1 4 ) 16
对于空心圆截面：
等直圆杆扭转时的变形
由公式
d T dx GI p
连接件的实用计算与圆轴扭转
连接件
铆钉连接
螺栓连接
平键连接
销轴连接
剪切(shearing)的实用计算
剪切面上的剪力： FS = F (b) (c) (b) (c) 图6-1 假设剪应力在剪切面（m-m截面）上是均匀分布的 图6-1 得剪应力（名义剪应力）计算公式：
F S A S
挤压（bearing）的实用计算
h F
3)实心圆轴扭转时，不发生屈服的极限扭矩为T0，若将其横截面面积 增加一倍，则极限扭矩为（ ） （A） 2T0 （B） 2T0 （C） 2 2T0 （D） 4T0 4)如图，欲在厚度为t的钢板上冲出直径为d的圆孔，则钢板的剪切面 积A= ( 2 （A） d t
4
)。
d2 （B）
2
dt
Ip A 2 dA
单位：mm4，m4。
④ 应力分布
（实心截面）
（空心截面）
工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻， 结构轻便，应用广泛。
⑤ 确定最大剪应力： 由
T Ip
max
知：当
R d , max
2

d T 2 T T (令 W I d ) p p d Wp 2 Ip Ip 2
（C） dt
（D）
dt
二、计算题： M 1、 图示圆轴上作用有四个外力偶矩 M e1 1 kN m ， e 2 0.6 kN m ， M e3 M e4 0.2 kN m 。 (1)试画出该轴的扭矩图，若为等截面轴，请指出危险面； (2)若圆轴的 70MPa， =10/m，G = 80GPa,按等截面设计轴的 直径。
则认为：
圆轴扭转时可视为许多薄壁筒镶套而成。
T —横截面上距圆心为处任一点剪应力计算公式。 Ip
公式讨论：
① 仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等直圆截面杆。 ② 式中：T—横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。
—该点到圆心的距离。
Ip—极惯性矩(polar moment of inertia of an area) ， 纯几何量，无物理意义。

O B
m
扭转变形特点：各横截面绕轴线发生相对转动，杆表面的纵向 线变成螺旋线。
扭转角（）：任意两截面绕轴线相对转动而发生的角位移。
剪应变（）：纵向线倾斜的角度（直角的改变量）。
A
m

m

O B
一、外力偶矩的计算
2 n 功率为力偶在单位时间内作的功，即：P m m 60
求：各段扭矩及画扭矩图。 m3 m2
m1
E
解： 2
D
5
C
B
3
A


单位: kN m
圆轴扭转时的应力与变形
等直圆杆扭转实验观察 各圆周线的形状、大小和间距均未改变，仅绕轴线作相对 转动；各纵向线均倾斜了同一微小角度 。
假设：
1. 横截面变形后仍为平面；只是刚性地绕杆轴线转动； 2. 轴向无伸缩；
4、实心等截面圆轴，已知直径 d 40 mm ，[]=50MPa， G=80GPa 。 （1）校核轴的强度；（2）试计算A、D两端面的相对扭转角。阶梯变截面 直杆及受力如图所示。
400Nm
A 1m
1000Nm
B 1m
600Nm
D
②|T|max值及其截面位置
强度计算（危险截面）。
T

x
5、 内力方程法求扭矩： T
Mi
截面上的扭矩T等于截面保留一侧所有扭转外 力偶矩的代数和，外力偶矩正负号用右手螺旋法 则确定：四个手指表示转向，大拇指代表方向与
保留侧端面外法线一致为负。
练习 已知：m1 3 kN m, m2 2kN m, m3 7kN m,
0 0 , 0 max 45 min , 45 0
45 max , 45 0
90 0 , 90 max
圆轴扭转时的破坏现象 低碳钢试件： 沿横截面断开。
铸铁试件：
[ ]称为单位长度的许用扭转角。
一、选择题
1)图示两板用圆锥销钉联接，则圆锥销的受剪面积为（ ） 2 1 1 2 2 D d （D） h 3d D （A） D （B） d （C） 4 4 4 4 2
D F h d
2)若将受扭实心圆轴的直径减小一半，其它条件保持不变，则其任意 一横截面上最大切应力是原来的（ ） (A) 2倍 (B) 4倍 (C) 8倍 (D) 16倍
轴所传递的功率、轴的转速与外力偶矩的关系为：
其中：P — 功率，千瓦（kW） P m 9.549 (kN m) n — 转速，转/分（rpm） n
P m 7.024 (kN m) n
其中：P — 功率，马力（PS）
n — 转速，转/分（rpm）
1PS=735.5N· , 1kW=1.36PS m/s
Fbs Fbs
实际挤压面
Fbs
计算挤压面
1、挤压力—Fbs：接触面上的合力 2、挤压面积：接触面在垂直Fbs方向上的投影面
Abs dt
Fbs bs Байду номын сангаас bs Abs
圆轴扭转的实例及计算模型
轴: 以扭转为主要变形的直杆称为轴．如：机器中的传动轴、
石油钻机中的钻杆等。
A B O
A m
二、扭矩及扭矩图
1、 扭矩(torque) ：构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记
作“T”。
2、 截面法求扭矩
M
x
0
m m
T m 0 T m
m
T
x
3、扭矩的符号规定：
右手螺旋法则
右手拇指指向外法线方向为 正(+),反之为 负(-)
4、扭矩图：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。 目 的 ①扭矩变化规律；
知：长为 l一段杆两截面间相对扭转角 为
d
l
0
T dx GI p
Tl (若T 值不变） GI p
单位长度扭转角 ：

或
d T dx GI p
(rad/m)
(/m)
d T 180 dx GI p
GIp反映了截面抵抗扭转变形的能力，称为截面的抗扭刚度 （torsional rigidity）。
d I p Wp 2
M
1. 点M的应力单元体如图(b)：
2. 斜截面上的应力；
(a)
取分离体如图：


x
´ ´ ´

n
由平衡方程：


x
´
sin 2 ; cos2
t
当 = 0°时， 当 = 45°时， 当 = – 45°时， 当 = 90°时，
沿与轴线约成45的 螺旋线断开。
圆轴扭转时的强度计算 强度条件：
max [ ]
Tmax [ ] WP
(rad/m)
或
对于等截面圆轴：
([] 称为许用剪应力。)
圆轴扭转时的刚度条件
max
T GI p
max
T 180 (/m) GI p