2018年秋高中数学 课时分层作业15 离散型随机变量的方差 新人教A版选修2-3

课时分层作业(十五) 离散型随机变量的方差
(建议用时：40分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．设随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝p k
(1－p )1－k
(k ＝0,1)，则E (X )和D (X )的值分别为( )
A ．0和1
B ．p 和p 2
C ．p 和1－p
D ．p 和(1－p )p
D [由题意知随机变量X 满足两点分布，∴
E (X )＝p ，D (X )＝(1－p )p .]
2．已知随机变量ξ满足P (ξ＝1)＝0.3，P (ξ＝2)＝0.7，则E (ξ)和D (ξ)的值分别为( )
【导学号：95032196】
A ．0.6和0.7
B ．1.7和0.09
C ．0.3和0.7
D ．1.7和0.21
D [
E (ξ)＝1×0.3＋2×0.7＝1.7，D (ξ)＝(1.7－1)2
×0.3＋(1.7－2)2
×0.7＝0.21.] 3．已知随机变量X 服从二项分布，即X ～B (n ，p )，且E (X )＝7，D (X )＝6，则p 等于( ) A.17 B.16 C.15
D.14
A [np ＝7且np (1－p )＝6，解得1－p ＝67，∴p ＝1
7
.]
4．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，不得分的概率为c ，且a ，b ，
c ∈(0,1)．已知他投篮一次得分的均值为2，则2a ＋1
3b
的最小值为( ) A.323 B.283 C.143
D.163
D [由题意，得3a ＋2b ＋0×c ＝2，即3a ＋2b ＝2，其中0＜a ＜23，0＜b ＜1.又2a ＋13b ＝3a ＋2b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫
2a ＋13b ＝3＋13＋2b a ＋a 2b ≥103＋2
2b a ·a 2b ＝163，当且仅当2b a ＝a 2b ，即a ＝2b 时取等号．又3a ＋2b ＝2，故当a ＝12，b ＝1
4时，2
a ＋1
3b 取得最小值，为16
3
.故选D.]
5．甲、乙两个运动员射击命中环数ξ、η的分布列如下表．表中射击比较稳定的运动员是( )
【导学号：95032197】
C ．一样
D ．无法比较
B [由题中分布列可得：
E (ξ)＝8×0.3＋9×0.2＋10×0.5＝9.2 E (η)＝8×0.2＋9×0.4＋10×0.4＝9.2
D (ξ)＝(8－9.2)2×0.3＋(9－9.2)2×0.2＋(10－9.2)2×0.5＝0.76 D (η)＝(8－9.2)2×0.2＋(9－9.2)2×0.4＋(10－9.2)2×0.4＝0.56
∵E (ξ)＝E (η)，D (ξ)＞D (η)
∴甲、乙两名运动员射击命中环数的平均数相等，而乙的成绩波动性较小，更稳定．] 二、填空题
6．一批产品中，次品率为1
3，现连续抽取4次，其次品数记为X ，则D (X )的值为________．
89 [由题意知X ～B ⎝ ⎛⎭
⎪⎫4，13，所以D (X )＝4×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＝89.] 7．若事件在一次试验中发生次数的方差等于0.25，则该事件在一次试验中发生的概率为________． 0．5 [在一次试验中发生次数记为ξ，则ξ服从两点分布，则D (ξ)＝p (1－p )，所以p (1－p )＝0.25，解得p ＝0.5.]
8．随机变量ξ的取值为0,1,2.若P (ξ＝0)＝1
5
，E (ξ)＝1，则D (ξ)＝________.
【导学号：95032198】
2
5
[设P (ξ＝1)＝a ，P (ξ＝2)＝b ， 则⎩⎨⎧
1
5
＋a ＋b ＝1，a ＋2b ＝1，
解得⎩
⎨⎧
a ＝35，
b ＝1
5
，
所以D (ξ)＝(0－1)2×15＋(1－1)2×35＋(2－1)2
×15＝25.]
三、解答题
9．已知随机变量X 的分布列为
若E (X )＝2
3.
(1)求D (X )的值；
(2)若Y ＝3X －2，求D (Y )的值．
[解] 由12＋13＋p ＝1，得p ＝1
6.
又E (X )＝0×12＋1×13＋16x ＝2
3，
所以x ＝2.
(1)D (X )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0－232
×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－232
×13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2－232
×16＝1527＝5
9
.
(2)因为Y ＝3X －2，所以D (Y )＝D (3X －2)＝9D (X )＝5.
10．有三张形状、大小、质地完全一致的卡片，在每张卡片上写上0,1,2，现从中任意抽取一张，将其上数字记作x ，然后放回，再抽取一张，其上数字记作y ，令X ＝x ·y .
求：(1)X 所取各值的概率； (2)随机变量X 的均值与方差.
【导学号：95032199】
[解] (1)P (X ＝0)＝
53×3＝59
； P (X ＝1)＝1×13×3＝1
9； P (X ＝2)＝1＋13×3＝2
9； P (X ＝4)＝
13×3＝19
. (2)X 的分布列如下：
所以E (X )＝0×59＋1×19＋2×29＋4×9
＝1.
D (X )＝(0－1)2×59＋(1－1)2×19＋(2－1)2×29＋(4－1)2×19＝169
.
[能力提升练]
一、选择题
1．已知随机变量ξ，η满足ξ＋η＝8，且ξ服从二项分布ξ～B (10,0.6)，则E (η)和D (η)的值分别是( )
A ．6和2.4
B ．2和2.4
C ．2和5.6
D ．6和5.6
B [由已知E (ξ)＝10×0.6＝6，D (ξ)＝10×0.6×0.4＝2.4. 因为ξ＋η＝8，所以η＝8－ξ.。