高考数学理一轮复习 4-6三角函数的性质 精品课件

(2) 求函数的单调区间的问题，可先用复合函数解三角 不等式，再用单位圆或三角函数图象增减性有关结论来求，
也可用数形结合的方法快速灵活来求．
(3) 定义域在数轴上关于原点对称，是函数具有奇偶性 的必要但不充分条件，所以判定函数的奇偶性时，应首先判
定函数的定义域在数轴上是否关于原点对称，当函数的定义
函数 y＝sinx y＝cosx y＝tanx
图象(1)
定义域 (2) 值域(3)
R {y||y|≤1}
R {y||y|≤1}
π {x|x≠kπ＋ ，k∈Z} 2 R
函数 周期性(4) 奇偶性(5) 递增区间 (6) 递减区间 (7) 对称轴(8) 对称中心 (9)
y＝cosx y＝tanx 最小正周期 T 最小正周期 T＝ π ＝2π 偶函数 奇函数 π π π (kπ－ ，kπ＋ 2 [2kπ－ ， 2kπ＋ ] [2kπ－π，2kπ] 2 2 π k∈Z k∈Z )k∈Z 2 π [2kπ＋ ，2kπ＋ [2kπ，2kπ＋π] 2 无 3π k∈Z ] k∈Z 2 π 无 x＝kπ＋ ，k∈Z x＝kπ，k∈Z 2 π kπ (kπ，0)k∈Z (kπ＋ ， 0)k∈Z ( ，0)k∈Z 2 2
sinx≥0 (2)由 2 16－x ≥0
sinx≥0 ，即 －4≤x≤4
.
如图
定义域为[－4，－π]∪[0，π].
题型二
思维提示
值域与最值问题
①正弦、余弦函数的有界性 ②求三角函数式值域的方法
例 2 已知函数 f(x)＝2cosx(sinx－cosx)＋1，x∈R. (1)求函数 f(x)的最小正周期； (2)求函数 f(x)的值域； π 3π (3)求函数 f(x)在区间[ ， ]上的最小值和最大值． 8
例 1 求下列函数的定义域： (1)y＝lg(2sinx－1)；(2)y＝ cosx＋ 16－x2.
[解]
(1)要使原函数有意义，必须有
1 2sinx－1＞0，即 sinx＞ . 2
作出单位圆中的三角函数线，由图①知， π 5π 原函数的定义域为(2kπ＋ ，2kπ＋ )(k∈Z)． 6 6
(2) 要 使 原 函 数 有 意 义 ， 必 须 有
第六节
三角函数的性质
知识自主· 梳理
最新考纲
高考热点
理解正弦函数、余弦函数、正切 函数的性质 1.三角函数的性质一直是高考的热 点，特别是它的周期性、奇偶性 、单调性和最值问题，更是重中 之重． 2．高考对三角函数性质的考查往 往是在与平面向量、解析几何、 数列、不等式等知识交汇处命题.
1.正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质.
域关于原点对称时，判断函数的奇偶性一般运用奇偶性的定 义． (4) 会熟练求解三角函数式的最值也是本讲的一个重要 内容．要注意换元法、配方法、方程思想以及基本三角函数
值的运用.
方法规律· 归纳
题型一
定义域问题 求三角函数的定义域一般等价转化为
思维提示 求不等式(组)的解集，可采用画数轴 、作三角函数线或画图象等方法
[ 规律总结 ]
(1) 将函数等价转化为 y ＝ Asin(ωx ＋ φ) ＋ B ，
y ＝ Acos(ωx ＋ φ) ＋ B 型或等价转化为关于 sinx( 或 cosx) 的二次
函数，利用换元法进行配方可有效解决值域问题．
(2)关于y＝ acos2x＋bcosx＋c(a≠0)或y＝asin2x＋bsinx＋ c(a≠0)型或可化为此型的三角函数求值，一般等价转化为二 次函数在闭区间上的值域问题，再利用数形结合、分类讨论 等思想方法解决，但切忌忽视函数自身的定义域.
(3)若函数是偶次根式函数，则被开方式非负． (4)若函数是形如y＝logaf(x)(a＞0，a≠1)的函数，则其定 义域由f(x)＞0确定． (5) 当函数是由实际问题确定时，其定义域不仅要使解
析式有意义，同时还要使实际问题有意义.
备选例题 1 原题变为： (1)y＝lg(2cosx－1)； (2)y＝ sinx ＋ 16－x2.定义域如何呢？
[解] f(x)＝2sinxcosx－2cos2x＋1 π ＝sin2x－cos2x＝ 2sin(2x－ )． 4 2π (1)f(x)的最小正周期为 T＝ ＝π. 2 π (2)∵sin(2x－ )∈[－1,1]， 4 ∴f(x)∈[－ 2， 2]．
π 3π π 5 (3)当 ≤x≤ 时，0≤2x－ ≤ π. 8 4 4 4 π 3 3 ∴f(x)在[ ， π]的最值 f(x)max＝f( π)＝ 2， 8 4 8 3 5 f(x)min＝f( π)＝ 2sin π＝－1. 4 4
cosx≥0 －4≤x≤4
cosx≥0 2 16 － x ≥0
⇒
，作出函数 y＝cosx 的图象，由图②知，原函数
π π 的定义域为[－ ， ]． 2 2
[规律总结] 确定三角函数的定义域的依据： (1)正、余弦函数和正、余切函数的定义域．
(2)若函数是分式函数，则分母不能为零．
y＝sinx 最小正周期 T＝ 2π 奇函数
2.周期函数． 对于函数 f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当x取定 义域内的每一个值时，都有 f(x＋T)＝f(x) ，那么函数f(x)就 叫做周期函数，T叫做这个函数的周期；由于 f(x)＝f(x＋T)＝ f[(x＋T)＋T]＝…＝f(x＋nT)，可见nT(n∈Z) 也是f(x)的周期， 若在f(x)的所有周期中，存在一个最小正数，这个最小正数叫 做f(x)的最小正周期．
3．函数的奇偶数性． sin(－x)＝－sinx，tan(－x)＝－tanx，正弦函数和正切函 数都是 奇函数 ，图象关于 原点 对称；cos(－x)＝cosx， 余弦函数是 偶函数 ，图象关于 y轴 对称．
重点 辨析
(1)函数的单调性是在给定的区间上考虑的，
只有属于同一个单调区间的同名函数的两个函 数值才能由它的单调性来比较大小．
备选例题 2
(2010· 湖北孝感模拟 ) 已知向量 a ＝ ( 3
cosx,0)，b＝(0，sinx)，记函数 f(x)＝(a＋b)2＋ 3sin2x. (1)求函数 f(x)的最小值及取最小值时 x 的集合； (2)若将函数 f(x)的图象按向量 d 平移后，得到的图象关 π 于坐标原点成中心对称，且在[0， ]上单调递减，求长度最 4 小的 d.