第五章第二节第一类换元法

同样可证
csc xdx ln csc x cot x C
或
x ln tan C 2
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tan xdx ln | cos x | C
新 公 式 排 名 榜
cot xdx ln | sin x | C 1 1 x a x dx a arctan a C .
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例12 . 求
1 cos 2 x 2 解: cos x (cos x) ( ) 2 2 1 ( 1 2 cos 2 x cos 2 x) 4
4 2 2
1 cos 4 x ) 1 ( 1 2 cos 2 x 4 2
3 2 cos 2 x 1 cos 4 x) 1 ( 4 2 2
1 ln 1 sin x ln 1 sin x C 2 1 1 sin x ln C 2 1 sin x
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解法 2
(sec x tan x) sec x tan x sec 2 x sec x tan x dx sec x tan x d (sec x tan x) sec x tan x
2
3x dx dx ;
2 3
e dx de
x
x
2 x sin x dx. x sin x dx. 3 x sin x dx . x sin x dx . e sin(e 1)dx e sin e dx .
2 2 3 2 3 x x
x x
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例1. 求
解: 令 u a x b , 则 d u adx , 故 原式 = u
m
1 1 1 m 1 du u C a a m 1
注意换回原变量
注: 当
时
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例2. 求
解:
1 dx 2 x 2 a 1 ( a ) x 1 令 u , 则 du d x a a 1 1 du arctan u C 2 a a 1 u
2 2
dx 1 ax a 2 x 2 2a ln | a x | c (a 0) dx 1 xa x 2 a 2 2a ln | x a | c (a 0)
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sec xdx ln | sec x tan x | C
csc xdx ln csc x cot x C
1 解 2 x 3dx 1 1 1 d (2 x 3) ln | 2 x 3 | C . 2 2x 3 2
1 x a dx ln | x a | c 1 1 a x dx a x d (a x) ln | a x | c
(tan 4 x 2 tan 2 x 1) dtan x
2 3 1 5 tan x tan x tan x C 3 5
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dx . 例9. 求 x 1 e 解法1 (1 e x ) e x d(1 e x ) dx dx x x 1 e 1 e x ln(1 e x ) C
(也称配元法 , 凑微分法)
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例* 求 sin 2 xdx .

1 等式dx d (2 x) 2 公式 sin xdx cos x C
1 1 解 sin 2 xdx sin 2 xd (2 x ) cos 2 x C 2 2
练习 由等式2xdx dx2 ;
解法2
e d(1 e ) dx x 1 e 1 e x ln(1 e x ) C
x
x
ln(1 e x ) ln[e x (e x 1)] 两法结果一样
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ex 1 e2 x dx x e 1 e x dx (1 x )e x 1 xe x dx
1 ln x a ln x a 2a
1 xa C C ln 2a x a
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常用的几种配元形式:
1 1) f (a x b) d x a 1 n n1 2) f ( x ) x d x n 1 n 1 3) f ( x ) d x n x
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例5. 求 解:
1 ( x a) ( x a) 1 1 1 1 ( ) 2 2 2a ( x a)( x a ) 2a x a x a x a
1 dx dx ∴ 原式 = 2a x a xa
d( x a ) 1 d( x a ) xa 2a x a

cos x dx
4 3 2
1 4
3 2 cos 2 x 1 cos 4 x ) dx ( 2 2
1 cos 4 x d ( 4 x) cos 2 x d( 2 x ) d x 8
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sin xdx; cos xdx; sin sin sin

提练上述方法

f ( x)dx [ g (u )du ]
第一类换元公式（凑微分法） 符合13个基本积分公式之一
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一、第一类换元法
定理1. 设 f (u ) 有原函数 , u ( x) 可导 , 则有换元
公式
f (u )du
即
u ( x)

f [ ( x)] ( x)dx f ( ( x))d ( x)
3 2
解

1 3x 2dx 3x 2d (3x 2) 3 3 1 2 (3x 2) 2 C 3 3
2
练习
2 x 1 x dx;
x
1 x dx;
2
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练习题
1. sin(2x 1)dx
1 2. dx 2 3x
3. 4 x 1dx 4. x cos x 2 dx 5. sin x cos xdx
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例4. 求 解:
sin x dcos x cos xdx cos x
类似
cos x dx d sin x sin x sin x
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1 例* 求 dx. 2x 3
1 等式dx d (2 x 3) 2
1 公式 dx ln | x | C x
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基本思路
设 F (u ) f (u ) , 可导, 则有
dF [ ( x)] f [ ( x)] ( x)dx F [ ( x)] C F (u ) C
f (u )du
u ( x )
u ( x )
第一类换元法 第二类换元法
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x x
dtan x
de
x
1 8) f (ln x) dx x
例6. 求
dln x
dln x 1 d(1 2 ln x) 解: 原式 = 1 2 ln x 2 1 2 ln x
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例* 求

3x 2dx
1 等式dx d (3 x 2) 3
公式 2 xdx x C 3
(10) (11)
sec x tan xdx sec x C csc x cot xdx csc x C
x x e d x e C
(12)
x a C (13) a x dx ln a
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第二节 换元积分法
一、第一类换元法 二、第二类换元法
2
xdx; xdx;
3
cos cos
5
2
xdx; xdx;
3
4 sin xdx; 2
4 cos xdx;
x cos xdx
sin 2x cos 5xdx
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4) 5)
d(a x b)
dx
n
1 n dx n x
万 能 凑 幂 法
f (sin x)cos x d x f (cos x)sin x d x
dsin x dcos x
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6) f (tan x) sec 2 xdx 7) f (e )e dx
(6) (7 )
cos xdx sin x C sin xdx cos x C
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dx 2 (8) sec xdx tan x C 2 cos x dx (9) 2 csc 2 xdx cot x C sin x
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例7. 求
e3
x
2 3 x 解: 原式 = 2 e d x e d(3 x ) 3 2 3 x e C 3
3 x
x
dx .
例8. 求 sec 6 xdx .
2 tan xd x 解: 原式 = (tan 2 x 1) 2 d sec
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一、第一类换元积分法
问题的提出: 对照公式 (6)
问
cos xdx sin x C ; cos 2 xdx sin 2 x C ,
1 1 分析:由 d (ax b) dx (a 0), 当然有dx d (2 x) a 2 1 1 解 cos 2 xdx cos 2 xd (2 x ) sin 2 du
arctan u C
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例3. 求
解:
a
dx 1 (
x 2 a)

d( ) 1 (
x 2 a)
x a
想到

du 1 u2
arcsin u C

f [ ( x)] ( x)dx
f ( ( x))d ( x)
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(直接配元)
4
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2x 6. dx 2 1 x 2 3x 8 x 5 7. 3 dx 2 x 4 x 5x 9 1 sin x 8. dx x cos x
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2x 4 9. 2 dx x 4x 5 1 10. 2 dx x 4x 5 x 1 11. 2 dx x 4x 5
1 e dx 2 1 x 2 arcsin x 1 x 2 dx
arctan x
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例10. 求 解法1
cos x d sin x dx 2 cos x 1 sin 2 x
1 1 1 d sin x 2 1 sin x 1 sin x
基本积分公式
(1) (2)
(3)
dx (4) arctan x C 2 1 x dx (5) arcsin x C 2 1 x
( k 为常数) k dx k x C 1 x 1 C ( 1) x d x 1 dx x ln x C