江苏省江阴市青阳中学高一数学下学期期中试题

江阴市青阳中学2015-2016学年度第二学期期中考试试卷
高一数学
一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 不需写出解答过程．请把答案直接填写在答题．．纸．相应位置上．．．．．． 1.直线310x y ++=的倾斜角为 ▲ ．
2.在∆ABC 中，60A ︒∠=，3AC =，2AB =，那么BC 的长度为 ▲ ．
3.数列{}n a 的前n 项和2
23(N*)n S n n n =-∈，则4a = ▲ ．
4.若两点(1,3)(4,2)A B --、在直线20x y m ++=的两侧，则m 的取值范围是 ▲ ．
5.在平面直角坐标系xOy 中，直线(1)2x m y m ++=-与直线28mx y +=-互相垂直，则实数m = ▲ ．
6.数列{}n a 满足)(51
1,
31
1++∈=-
=N n a a a n
n 则=n a ▲ ． 7.若数列{}n a 的通项公式为1
(1)n n a n +=-，n S 是其前n 项的和，则100S = ▲ ．
8.已知62=+y x ，则24x y
+的最小值为 ▲ ．
9.在ABC ∆中，角A B C 、、的对边分别是a b c 、、，若0
sin 3sin ,30,2A C B b ===，则ABC ∆的面积是 ▲ ．
10.若公比不为1的等比数列}{n a 满足13)(log 13212=⋯a a a ，等差数列}{n b 满足77a b =，则
1321b b b +⋯++的值为 ▲ ．
11.设,x y 满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≥≥+-≤--0,002063y x y x y x ，若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为12，则
23
a b
+的最小值为 ▲ ． 12.ABC ∆中，若3sin()5A π-=，12
tan()5
B π+=，则cos
C = ▲ ．
13.对于正项数列{}n a ，定义12323n n
n
H a a a na =++++L 为{}n a 的“光阴”值，现知某数列的
“光阴”值为2
2
n H n =
+，则数列{}n a 的通项公式为 ▲ ． 14.设{}n a 是等比数列，公比2q =
n S 为{}n a 的前n 项和．记21
17n n
n n S S T a +-=
，n +∈N ，设0
n
T 为数列{}n T 的最大项，则0n = ▲ .
二、解答题:本大题共6小题，共90分．请在答题．．纸．指定区域内．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. (本小题满分14分)设不等式452-≤x x 的解集为A . （1）求集合A ；
（2）设关于x 的不等式02)2(2
≤++-a x a x 的解集为M ，若A M ⊆，求实数a 的取值范围.
16. (本小题满分14分)
在ABC ∆中，,,A B C ∠∠∠所对的边分别为,,a b c ，且错误!未找到引用源。

． （1）求A ∠的大小；
（2）若2,3b a ==，求边c 的大小；
（3）若3a =，求ABC ∆面积的最大值．
17. (本小题满分14分)[
已知直线1:3210l x y +-=和2:5210l x y ++=的交点为A (1)若直线01)1(:23=-+-ay x a l 与1l 平行，求实数a 的值； (2)求经过点A ，且在两坐标轴上截距相等的直线l 的方程.
18. (本小题满分16分)
设数列{}n a 的前n 项和为,n S 且满足2n n S a =-. (1)求数列{}n a 的通项公式；
(2)若数列{}n b 满足111,n n n b b b a +==+，求数列{}n b 的通项公式； (3)设(3)n n c n b =-，求数列n c 的前n 项和n T .
19. (本小题满分16分)
如图，墙上有一壁画，最高点A 离地面4米，最低点B 离地面2米，观察者从距离墙(1)x x >米，离地面高(12)a a ≤≤米的C 处观赏该壁画，设观赏视角ACB θ∠=.
（1）若 1.5a =，问：观察者离墙多远时，视角θ最大？ （2）若1
tan 2
θ=
，当a 变化时，求x 的取值范围。

20. (本小题满分16分) 已知数列{}n a 满足112n n a a t +=
+，112
a =（t 为常数，且1
4t ≠）． （1）证明：{}2n a t -为等比数列； （2）当1
8
t =-
时，求数列{}n a 的前几项和最大？ （3）当0t =时，设41n n c a =+，数列{}n c 的前n 项和为n T ，若不等式12274n
k
n n T ≥-+-对任意的
*n N ∈恒成立，求实数k 的取值范围．
江阴市青阳中学2015-2016学年度第二学期期中考试试卷
高一数学答案
1. 56π
2. 7
3. 11
4. ()5,10-
5. 23-
6. 3
1514n a n =
- 7.50- 8. 16 9.3 10.91 11.
256 12.16
65
13.
21
2n n a n +=
14. 4
15. 解：
（1）0)4)(1(452≤--=+-x x x x ，所以41≤≤x -----------------------------------------3分 所以不等式的解集}41|{≤≤=x x A
------------------------------------------------------4分 （2）不等式等价于0)2)((≤--x a x
------------------------------------------------------6分 若2<a ，则]2,[a M =，要A M ⊆，只需21<≤a ---------------------------------------8分
若2>a ，则],2[a M =，要A M ⊆，只需42≤<a ------------------------------------10分
若2=a ，则}2{=M ，符合A M ⊆ -------------------------------------12分 16.(1)由 2
22c b bc a +=+得：222b c a bc +-=
2221
cos 222
b c a bc A bc bc +-===， …………………2分
0A π<<Q 3
A π
∴=
…………………………4分
（不注明角A 的范围扣1分）
(2)由2
22c b bc a +=+得：
2324c c +=+，1c ∴= …………………………7分 （3）由余弦定理得：222232cos b c bc A b c bc bc =+-=+-≥ …… 10分 当且仅当b c =时取等号， …………………………11分
11333
sin 32224
ABC S bc A ∆∴=≤⨯⨯= …………………………13分
ABC ∴∆面积的最大值为33
4
…………………………14分 17. （1）)1(23//2
31-=a a l l ，得由 …………2分
2
1
2-==a a 或 …………4分
重合，不合题意，舍去与时，当13,0123:2l y x l a =-+=
综上所述，a 的取值范围为]4,1[． -----------------------------14分
平行，合题意与时，当13,0423:21l y x l a =++-= 2
1
-=∴a …………6分 （多一解扣1分）
（2）)21(0
1250
123，得由-⎩⎨⎧=++=-+A y x y x …………7分
)1(20+=-x k y l l 方程为，设的斜率存在且不为由题知直线…………8分
12
0,20--==+==k
x y k y x 得令得令
12
2--=+∴k
k
21-=-=k k 或解得 …………12分 x y x y l 21-=+-=∴或的方程为 …………14分（用截距式做漏解扣3分） 18. （1）当1n =时，111112,1a S a a a +=+=∴=.………1分
因为2n n S a =-，即112,2n n n n a S a S +++=∴+=. 两式相减得：12n n a a +=，………2分
因为0n a ≠，所以*11
()2
n n a n N a +=∈.………3分 所以数列{}n a 是首项11a =，公比为1
2
的等比数列，
所以11
()2
n n a -=.………4分
（2）因为1111
,()2
n n n n n n b b a b b -++=+∴-=，………5分
利用累加得：
1
22
111
1()111
121()()22()1222
212
n n n n b b -----=++++==--K .………7分
又因为11b =，所以1132()2n n b -=-.………9分
（3）因为11
(3)2()2
n n n C n b n -=-=，………10分
所以01211111
2[()2()3()()]2222
n n T n -=++++K .
12311111
2[()2()3()()]22222
n n T n =++++K . ………11分 由-，得：0121111111
2[()()()()]2()222222n n n T n -=++++-K .………13分
故11()18184244()84()81222212
n
n n n n n n T n n -+=-=--=--………16分 19. （1）当 1.5a =时，过C 作AB 的垂线，垂足为D ，
则0.5BD =，且ACD BCD θ=∠-∠， 由已知观察者离墙x 米，且1x >，
则0.5 2.5
tan ,tan BCD ACD x x
∠=∠=
，…………2分 所以，2
22.50.522225tan tan() 2.50.5 1.25 1.25551124
x x x ACD BCD x x x x θ-
=∠-∠====
⨯+++≤， 当且仅当5
12
x =
>时，取“=”．……………………………………………6分 又因为tan θ在(0,)2
π
上单调增，
所以，当观察者离墙5
2
米时，视角θ最大．…………………………………8分
(不指明单调性，扣1分）
（2）由题意得，24tan ,tan a a
BCD ACD x x
--∠=
∠=
，又1tan 2θ=， 所以2
21
tan tan()(2)(4)2
x ACD BCD x a a θ=∠-∠==+-⋅-，…………………10分 所以22684a a x x -+=-+，
当12a ≤≤时，20683a a -+≤≤，所以2043x x -+≤≤，
即2240430x x x x ⎧-⎨-+⎩
≤≥，解得01x ≤≤或34x ≤≤， ……………………14分
又因为1x >，所以34x ≤≤，
所以x 的取值范围为[3,4]．………………………………………………………16分
20. （1）由112n n a a t +=
+，得11
2(2)2
n n a t a t +-=-……………………2分 120a t -≠Q
121(22
n n a t a t +-∴=-常数）
{}2n a t ∴-成等比数列； ……………………3分 （2）111
2(2)()22
n n a t t --=-
当18t =-时，1131
()442n n a =+=， ……………………4分
由1311
()0424n n a -=->，得
1
1123n -⎛⎫
> ⎪
⎝⎭
……………………5分 112n n c -⎛⎫= ⎪
⎝⎭Q 单调递减， 12
1111,2324⎛⎫⎛⎫>< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 11
n ∴-≤
……………………6分
∴数列{}n a 的前2项和最大 ……………………7分
（3）当
t =时，，，
……………………9分 由不等式恒成立，得
，
………………11分 由，
当时，
，当
时，， …………………13分
而
()5max 3
32n d d ∴==
……………………15分 ，
……………………16分
2n ∴≤。