管理运筹学两阶段法和大M法

两阶段法和大M法
阶段Ⅱ 求解原问题 以阶段Ⅰ的最优基B作为原问题的初始可行基，求解 原问题，得到原问题的最优基和最优解。 例1 求解以下线性规划问题。
两阶段法和大M法
引进松弛变量x3，x4，x50，得到
增加人工变量x6，x7≥0，构造辅助问题，并进入第一阶段求解。
两阶段法和大M法
标准化并写出辅助问题的系数矩阵表：
x2 3 D 2 C B 1 A O 0 1 2
x1
基迭代路线
两阶段法和大M法
大M法的基本步骤如下：
（1）引进松弛变量，使约束条件成为等式；
（2）如果约束条件的系数矩阵中不存在一个单位矩 阵，则引进人工变量；
（3）在原目标函数中，加上人工变量，每个人工变量
的系数为一个充分大的正数M； （4）用单纯形表求解以上问题，如果这个问题的最优 解中有人工变量是基变量，则原问题无可行解。如果最优 解中所有人工变量都离基，则得到原问题的最优解。
第二节 单纯形法 总结
• • • • •
LP的标准形式 LP的解的各种概念与形式 单纯形法的原理 单纯形法求解LP问题的步骤 最终解的判别
将LP问题转化为标准形式 单纯形表格法求解LP问题
下周见！
引进变量X4,X5
基中不包含单位矩阵，因此无法直接获得初始可行基。
• 人工变量法有两种方法：两阶段法和大M法。
两阶段法和大M法
引进人工变量 Xa=(xn+1,xn+2,…, xn+m)T
X=(x1,x2,…,xn)T
基础可行解 X=0,Xa=b
两阶段法和大M法
基本思想：
人造解 X0 不是原LP问题的基本可行解。 但若能通过单纯形法的迭代步骤，将虚拟 的人工变量都替换出去，都变为非基变量（即 人工变量xn+1 = xn+2 = … = xn+m = 0），则X0的 前n个分量就构成原LP问题的一个基本可行解。
消去目标函数中基变量x6、x7的系数，得到初始单纯形表并进行单纯形变换： Cj 0 0 0 0 0 1 1
x2进基
2 /1
[
]
1/1
X7 离 基
3 /1
两阶段法和大M法
Cj 0 0 0 0 0 1 1
x1进基 [ ]
X6 离 基
1/ 2

2 /1
-
-
第一阶 段最优， z’’=0
两阶段法和大M法
在第一阶段最优单纯形表换入原问题的目标函数，去掉人工变量x6、x7以及相应的 列，得到第二阶段的系数矩阵表：
x4进基
消去基变量x1、x2在目标函数中的系数，得到第二阶段问题的单纯形表： Cj -1 2 0 0 0
[
]
X1 离 基
1/ 2 1/ 2

3/ 2 1/ 2
两阶段法和大M法
Cj -1 2 0 0 0
x3进基

[
]
X5 离 基

1/1
问题的最优解为 X=(x1,x2,x3,x4,x5)T =(0,3,1,2,0)T， max z’=6 ，即 min z=-6。
两阶段法和大M法
第一阶段：在原问 题的可行域外部进行基 变换，第一阶段结束后 进入可行域
第二阶段：从可 行域内部的的一个极点B （原问题的一个可行基） 开始，在可行域内部进 行基变换
x3进基
[
]
X7 离 基
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两阶段法和大M法
Cj -2 -3 -1 0 0 -M -M
已获得最优解，最优解为：
（x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7）
＝(8，0，16，0，0，0，0)，
max z’=-32，即min z=32
退化和循环
定义2-6 设B是线性规划的一个可行基， XB=B-1b=(xB1,xB2,…,xBi,…,xBm)T 是这个基础解中的基变量。如果其中至少有一个分量 xBi=0(i=1,2,…,m)，则称此基础可行解是退化的。 退化的结构对单纯形迭代会有不利的影响。当迭代进入 一个退化极点时，可能出现以下情况： (1)进行进基、离基变换后，虽然改变了基，但没有改变 极点，目标函数当然也不会改进。进行若干次基变换后，才 脱离退化极点，进入其他极点。这种情况会增加叠代次数， 使单纯形法收敛的速度减慢。 (2)在十分特殊的情况下，退化会出现基的循环，一旦出 现这样的情况，单纯形叠代将永远停留在同一极点上，因而 无法求得最优解。
Simplex Method
第二节
单纯形法
一、单纯形法原理及步骤 二、用向量矩阵描述单纯形法原理
三、单纯形表
四、两阶段法和大M法 五、退化和循环
两阶段法和大M法
• 当不能通过转化标准形式使约束方程系数矩阵中出现单位 矩阵时，此时可以通过添加人工变量的方法，人为地使系 数矩阵中出现一个单位矩阵，以它作为初始可行基。 • 例如: 设一线性规划问题的约束为
两阶段法和大M法
例2 求解以下线性规划问题。
引进松弛变量x4，x5并标准化
两阶段法和大M法
引进人工变量x6，x70，在目标函数中增加人工变量
列出系数矩阵表
两阶段法和大M法
消去基变量x6、x7在目标函数中的系数
Cj -2 -3 -1 0 0 -M -M
x1进基
[
]
X6 离 基
16 / 4 24 / 1
退化和循环
对此，Bland提出了一个避免循环的方法，在选择进
基变量和离基变量时作了Байду номын сангаас下规定：
（1）在选择进基变量时，在所有检验数zj-cj>0的非基 变量中选取下标最小的进基；
（2）当有多个变量同时可作为离基变量时，选择下标
最小的那个变量离基。这样就可以避免出现循环。 当然，用Bland的方法，由于选取进基变量时不再考虑 检验数zj-cj绝对值的大小，将会导致收敛速度的降低。
反之，若经过迭代，不能把人工变量都变
为非基变量，则表明原LP问题无可行解。
两阶段法和大M法
两阶段法
阶段Ⅰ 求解辅助问题
构造 辅助问题
(1)若辅助问题的最优基B全部在A中，即Xa全部 是非基变量（min z’=0），则B为原问题的一个可行 基。转阶段Ⅱ; (2)若辅助问题的最优目标函数值min z’>0，则至 少有一个人工变量留在第一阶段问题最优解的基变量 中，这时原问题无可行解。