人教版九年级数学中考等腰三角形专项练习及参考答案

∵EF⊥AC,∴∠BDE=∠CEF=30°,
1
1
2
∴BE=2BD,即 BE=3BC,CE=3BC,
√3
2
∵EF=EC·sin60°=3BC· 2 =
△
∴
△
2
)

=(
√3
2
√3
BC,
3
1
=( ) = .
3
3
8
三、解答题
5.
7
如图,等边三角形 ABC 中,点 D,E,F 分别同时从点 A,B,C 出发,以相同的速度在 AB,BC,CA 上运动,连
接 DE,EF,DF.
(1)证明:△DEF 是等边三角形;
△
(2)在运动过程中,当△CEF 是直角三角形时,试求
的值.
△
(1)证明∵△ABC 是等边三角形,∴∠A=∠B=∠C=60°,AB=BC=CA,
①若腰为 2,底为 4,此时不能构成三角形,舍去,
②若腰为 4,底为 2,则周长为 4+4+2=10.故选 B.
2.(2018 山东淄博)如图,在 Rt△ABC 中,CM 平分∠ACB 交 AB 于点 M,过点 M 作 MN∥BC 交 AC 于点 N,
且 MN 平分∠AMC,若 AN=1,则 BC 的长为(
A.4
B.6
C.4√3
D.8
)
答案 B
解析 ∵在 Rt△ABC 中,CM 平分∠ACB 交 AB 于点 M,过点 M 作 MN∥BC 交 AC 于点 N,且 MN 平分∠AMC,
∴∠AMN=∠NMC=∠B,∠NCM=∠BCM=∠NMC,
∴∠ACB=2∠B,NM=NC,
∴∠B=30°,
∵AN=1,
∴MN=2,
∵AD=BE=CF,∴BD=EC=AF,
在△ADF,△BED 和△CFE 中
= = ,
{∠ = ∠ = ∠,
= = ,
∴△ADF≌△BED≌△CFE,
∴DE=EF=FD,∴△DEF 是等边三角形.
(2)解∵△ABC 和△DEF 是等边三角形,
∴△DEF∽△ABC,
8
答案 5
5
.
解析连接 AD.
∵PQ 垂直平分线段 AB,
∴DA=DB,
设 DA=DB=x,
2
2
2
在 Rt△ACD 中,∠C=90°,AD =AC +CD ,
∴x2=32+(5-x)2,
17
解得 x= 5 ,
17
8
∴CD=BC-DB=5- 5 = 5,
8
故答案为5.
3.(2018 黑龙江)如图,已知等边三角形 ABC 的边长是 2,以 BC 边上的高 AB1 为边作等边三角形,得到
一、选择题
1.(2018 浙江湖州)如图,AD,CE 分别是△ABC 的中线和角平分线.若 AB=AC,∠CAD=20°,则∠ACE 的
度数是(
)
A.20°
B.35°
C.40°
D.70°
答案 B
解析 ∵AD 是△ABC 的中线,
AB=AC,∠CAD=20°,
∴∠CAB=2∠CAD=40°,
1
∠B=∠ACB= (180°-∠CAB)=70°.
求证△PQC 为等边三角形.
证明在等边三角形 ABC 和等边三角形 DCE 中,
BC=AC,DC=EC,∠ACB=∠DCE=60°,
所以∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD,
即∠BCD=∠ACE,
= ,
在△BCD 和△ACE 中,{∠ = ∠,
= ,
所以△BCD≌△ACE(SAS),所以∠1=∠2,
人教版九年级数学中考等腰三角形专项练习
基础达标
一、选择题
1.(2018 四川达州)若实数 m,n 满足|m-2|+√-4=0,且 m,n 恰好是等腰三角形 ABC 的两条边的边长,
则△ABC 的周长是(
)
A.12
B.10
C.8
D.6
答案 B
解析由题意得 m-2=0,n-4=0,∴m=2,n=4,
又∵m,n 恰好是等腰三角形 ABC 的两条边的边长,
4
因为∠ACB=∠DCE=60°,
所以∠ACD=180°-∠ACB-∠DCE=60°,
所以∠BCQ=∠ACP,在△BCQ 和△ACP 中,
∠1 = ∠2,
{ = ,
∠ = ∠,
所以△BCQ≌△ACP,所以 CQ=CP,
又因为∠QCP=60°,所以△PQC 为等边三角形.
能力提升
第一个等边三角形 AB1C1;再以等边三角形 AB1C1 的 B1C1 边上的高 AB2 为边作等边三角形,得到第二个
等边三角形 AB2C2;再以等边三角形 AB2C2 的 B2C2 边上的高 AB3 为边作等边三角形,得到第三个等边三
角形 AB3C3;……,记三角形 B1CB2 的面积为 S1,三角形 B2C1B3 的面积为 S2,三角形 B3C2B4 的面积为 S3,如
6
34Biblioteka 1;3根据勾股定理得 AB2=2,
√3
∴第二个等边三角形 AB2C2 的面积为 4 ×
3
2
3
2
=√3
依此类推,第 n 个等边三角形 ABnCn 的面积为√3
2
;
4
3
4
n
.
4.
(2018 四川南充)如图,在△ABC 中,DE∥BC,BF 平分∠ABC,交 DE 的延长线于点 F.若 AD=1,BD=2,BC=4,
则 EF=
.
2
答案 3
解析 ∵DE∥BC,
∴∠F=∠FBC,
∵BF 平分∠ABC,
∴∠DBF=∠FBC,
∴∠F=∠DBF,
∴DB=DF,
∵DE∥BC,
∴△ADE∽△ABC,


1
∴+ = ,即1+2 =

4
,
4
解得 DE= ,
3
∵DF=DB=2,
4
2
∴EF=DF-DE=2-3 = 3.
1
∴S△ABC=2S△ABD=2×2AB·DE
=AB·DE=3AB,
1
∵S△ABC=2AC·BF,
1
∴2AC·BF=3AB,
∵AC=AB,
1
∴2BF=3,
∴BF=6.
二、解答题
8.(2018 江苏徐州)已知如图,四边形 ABCD 中,AB=BC,AD=CD,求证:∠A=∠C.
3
证明连接 AC,
∵AB=BC,AD=CD,
CAD+∠C=90°,∵BE⊥AC,∴∠CBE+∠C=90°,∴∠CBE=∠CAD,∴∠CBE=∠BAD.
证法 2:∵AB=AC,∴∠ABC=∠C,又∵AD 是 BC 边上的中线,∴AD⊥BC,∴∠BAD+∠ABC=90°,∵BE
⊥AC,∴∠CBE+∠C=90°,
∴∠CBE=∠BAD.
10.
如图所示,等边三角形 ABC 和等边三角形 DCE 在直线 BCE 的同一侧,AE 交 CD 于点 P,BD 交 AC 于点 Q,
∴∠BCD=∠A.
∵CE 平分∠ACD,
∴∠ACE=∠DCE.
又∵∠BEC=∠A+∠ACE,
∠BCE=∠BCD+∠DCE,
∴∠BEC=∠BCE,
∴BC=BE.
4.(2018 湖南常德)如图,已知 BD 是△ABC 的角平分线,ED 是 BC 的垂直平分线,∠BAC=90°,AD=3,则
CE 的长为(
)
A.有一个内角是 60°
B.有一个外角是 120°
C.有两个角相等
D.腰与底边相等
答案 C
二、填空题
6.(2018 江苏徐州)边长为 a 的正三角形的面积等于
2
.
√3
4
答案 a
2
解析过点 A 作 AD⊥BC 于点 D,
∵AD⊥BC,
1
∴BD=CD=2a,
∴AD=√2 -2 =
1
√3
2
√3
)
A.6
B.5
C.4
D.3√3
答案 D
解析 ∵ED 是 BC 的垂直平分线,
∴DB=DC,
∴∠C=∠DBC,
∵BD 是△ABC 的角平分线,
∴∠ABD=∠DBC,
∴∠C=∠DBC=∠ABD=30°,
∴BD=2AD=6,
∴CE=CD×cosC=3√3,
故选 D.
5.等腰三角形补充下列条件后,仍不一定成为等边三角形的是(
∴AC=AN+NC=3,
∴BC=6.
3.(2018 江苏扬州)在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,CD⊥AB 于点 D,CE 平分∠ACD 交 AB 于点 E,则下列结
论一定成立的是(
)
A.BC=EC
B.EC=BE
1
C.BC=BE
D.AE=EC
答案 C
解析 ∵∠ACB=90°,CD⊥AB,
∴∠ACD+∠BCD=90°,∠ACD+∠A=90°,
2
∵CE 是△ABC 的角平分线,
1
∴∠ACE=2∠ACB=35°.
故选 B.
二、填空题
1
2.(2018 江苏淮安)如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=3,BC=5,分别以点 A,B 为圆心,大于2AB 的长为
半径画弧,两弧交点分别为点 P,Q,过 P,Q 两点作直线交 BC 于点 D,则 CD 的长是
∴∠BAC=∠BCA,∠DAC=∠DCA,
∴∠BAC+∠DAC=∠BCA+∠DCA,
即∠A=∠C.
9.
如图,在△ABC 中,AB=AC,AD 是 BC 边上的中线,BE⊥AC 于点 E.
求证:∠CBE=∠BAD.
证明证法 1:∵AB=AC,∴△ABC 是等腰三角形,∵AD 是 BC 边上的中线,∴AD⊥BC,∠BAD=∠CAD,∴∠
此下去,则 Sn=
答案√3
3
.
n
4
解析 ∵等边三角形 ABC 的边长为 2,AB1⊥BC,
∴BB1=1,AB=2,
根据勾股定理得 AB1=√3,
√3
∴第一个等边三角形 AB1C1 的面积为 4 ×(√3)2=√3
∵等边三角形 AB1C1 的边长为√3,AB2⊥B1C1,
√3
∴B1B2= 2 ,AB1=√3,
4
√3
a,
2
2
面积则是: a· a= a .
2
7.(2018 湖南娄底)如图,在△ABC 中,AB=AC,AD⊥BC 于点 D,DE⊥AB 于点 E,BF⊥AC 于点 F,DE=3cm,
则 BF=
cm.
答案 6
解析在 Rt△ADB 与 Rt△ADC 中,
= ,
= ,
{
∴Rt△ADB≌Rt△ADC,