【精选】北师大版八年级数学上册 轴对称解答题单元培优测试卷

【精选】北师大版八年级数学上册轴对称解答题单元培优测试卷
一、八年级数学轴对称解答题压轴题（难）
1．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点D，点E是BC延长线上的一点，且BD＝DE．点G是线段BC的中点，连结AG，交BD于点F，过点D作DH⊥BC，垂足为H．
（1）求证：△DCE为等腰三角形；
（2）若∠CDE＝22.5°，DC＝2，求GH的长；
（3）探究线段CE，GH的数量关系并用等式表示，并说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（22
；（3）CE＝2GH，理由见解析.
【解析】【分析】
（1）根据题意可得∠CBD＝1
2
∠ABC＝
1
2
∠ACB，，由BD=DE，可得∠DBC＝∠E＝
1 2∠ACB，根据三角形的外角性质可得∠CDE＝
1
2
∠ACB＝∠E，可证△DCE为等腰三角
形；
（2）根据题意可得CH=DH=1，△ABC是等腰直角三角形，由等腰三角形的性质可得BG=GC，2+1，即可求GH的值；
（3）CE=2GH，根据等腰三角形的性可得BG=GC，BH=HE，可得GH＝GC﹣HC＝GC﹣
（HE﹣CE）＝1
2
BC﹣
1
2
BE+CE＝
1
2
CE，即CE=2GH
【详解】
证明：（1）∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD＝1
2
∠ABC＝
1
2
∠ACB，
∵BD＝DE，
∴∠DBC＝∠E＝1
2
∠ACB，
∵∠ACB＝∠E+∠CDE，
∴∠CDE＝1
2
∠ACB＝∠E，
∴CD＝CE，
∴△DCE是等腰三角形
（2）
∵∠CDE＝22.5°，CD＝CE2，
∴∠DCH＝45°，且DH⊥BC，
∴∠HDC＝∠DCH＝45°
∴DH＝CH，
∵DH2+CH2＝DC2＝2，
∴DH＝CH＝1，
∵∠ABC＝∠DCH＝45°
∴△ABC是等腰直角三角形，
又∵点G是BC中点
∴AG⊥BC，AG＝GC＝BG，
∵BD＝DE，DH⊥BC
∴BH＝HE2+1
∵BH＝BG+GH＝CG+GH＝CH+GH+GH2+1∴1+2GH2+1
∴GH＝
2 2
（3）CE＝2GH
理由如下：∵AB＝CA，点G是BC的中点，∴BG＝GC，
∵BD＝DE，DH⊥BC，
∴BH＝HE，
∵GH＝GC﹣HC＝GC﹣（HE﹣CE）＝1
2
BC﹣
1
2
BE+CE＝
1
2
CE，
∴CE＝2GH
【点睛】
本题是三角形综合题，考查了角平分线的性质，等腰三角形的性质，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键.
2．如图1，△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝90º，D、E 分别在 BC、AC 边上，连接 AD、BE 相
交于点 F，且∠CAD＝1
2
∠ABE．
(1)求证：BF＝AC；
(2)如图2，连接 CF，若 EF＝EC，求∠CFD 的度数；
(3)如图3，在⑵的条件下，若 AE＝3，求 BF 的长.
【答案】（1）答案见详解；（2）45°，（3）4.
【解析】
【分析】
（1）设∠CAD=x，则∠ABE=2x，∠BAF=90°-x，∠AFB=180°-2x-(90°-x)= 90°-x，进而得到∠BAF =∠AFB，即可得到结论；
(2)由∠AEB=90°-2x，进而得到∠EFC=（90°-2x）÷2=45°-x，由BF＝AB，可得：
∠EFD=∠BFA=90°-x，根据∠CFD=∠EFD-∠EFC，即可求解；
(3)设EF＝EC=x，则AC=AE+EC=3+x，可得BE=BF+EF=3+x+x=3+2x，根据勾股定理列出方程，即可求解.
【详解】
（1）设∠CAD=x，
∵∠CAD＝1
2
∠ABE，∠BAC＝90º，
∴∠ABE=2x，∠BAF=90°-x，
∵∠ABE+∠BAF+∠AFB=180°，
∴∠AFB=180°-2x-(90°-x)= 90°-x，
∴∠BAF =∠AFB，
∴BF＝AB；
∵AB＝AC，
∴BF＝AC；
（2）由（1）可知：∠CAD=x，∠ABE=2x，∠BAC＝90º，∴∠AEB=90°-2x，
∵EF＝EC，
∴∠EFC=∠ECF，
∵∠EFC+∠ECF=∠AEB=90°-2x，
∴∠EFC=（90°-2x）÷2=45°-x，
∵BF＝AB,
∴∠BFA=∠BAF=(180°-∠ABE)÷2=(180°-2x)÷2=90°-x，
∴∠EFD=∠BFA=90°-x ，
∴∠CFD=∠EFD-∠EFC=(90°-x ）-(45°-x)=45°；
（3）由（2）可知：EF ＝EC ，
∴设EF ＝EC =x ，则AC=AE+EC=3+x ，
∴AB=BF=AC=3+x ，
∴BE=BF+EF=3+x+x=3+2x ，
∵∠BAC ＝90º，
∴222AB AE BE +=，
∴222
(3)3(32)x x ++=+，
解得：11x =，23x =-（不合题意，舍去）
∴BF=3+x=3+1=4.
【点睛】
本题主要考查等腰三角形的性质定理和勾股定理，用代数式表示角度和边长，把几何问题转化为代数和方程问题，是解题的关键.
3．（1）如图①，D 是等边△ABC 的边BA 上一动点（点D 与点B 不重合），连接DC ，以DC 为边，在BC 上方作等边△DCF ，连接AF ，你能发现AF 与BD 之间的数量关系吗？并证明你发现的结论；
（2）如图②，当动点D 运动至等边△ABC 边BA 的延长线时，其他作法与（1）相同，猜想AF 与BD 在（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；
（3）Ⅰ.如图③，当动点D 在等边△ABC 边BA 上运动时（点D 与B 不重合），连接DC ，以DC 为边在BC 上方和下方分别作等边△DCF 和等边△DCF ′，连接AF ，BF ′，探究AF ，BF ′与AB 有何数量关系？并证明你的探究的结论；
Ⅱ．如图④，当动点D 在等边△ABC 的边BA 的延长线上运动时，其他作法与图③相同，Ⅰ中的结论是否成立？若不成立，是否有新的结论？并证明你得出的结论．
【答案】（1）AF =BD ，理由见解析；（2）AF 与BD 在（1）中的结论成立，理由见解析；（3）Ⅰ. AF +BF ′=AB ，理由见解析，Ⅱ．Ⅰ中的结论不成立，新的结论是AF =AB +BF ′，理由见解析．
【解析】
【分析】
（1）由等边三角形的性质得BC =AC ，∠BCA =60°，DC =CF ，∠DCF =60°，从而得∠BCD =∠ACF ，根据SAS 证明△BCD ≌△ACF ，进而即可得到结论；
（2）根据SAS 证明△BCD ≌△ACF ，进而即可得到结论；
（3）Ⅰ．易证△BCD ≌△ACF （SAS ），△BCF ′≌△ACD （SAS ），进而即可得到结论；Ⅱ．证明△BCF ′≌△ACD ，结合AF =BD ，即可得到结论．
【详解】
（1）结论：AF =BD ，理由如下：
如图1中，∵△ABC 是等边三角形，
∴BC =AC ，∠BCA =60°，
同理知，DC =CF ，∠DCF =60°，
∴∠BCA -∠DCA =∠DCF -∠DCA ，即：∠BCD =∠ACF ，
在△BCD 和△ACF 中，
∵BC AC BCD ACF DC FC =∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩
，
∴△BCD ≌△ACF （SAS ），
∴BD =AF ；
（2）AF 与BD 在（1）中的结论成立，理由如下：
如图2中，∵△ABC 是等边三角形，
∴BC =AC ，∠BCA =60°，
同理知，DC =CF ，∠DCF =60°，
∴∠BCA +∠DCA =∠DCF +∠DCA ，即∠BCD =∠ACF ，
在△BCD 和△ACF 中，
∵BC AC BCD ACF DC FC =∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩
，
∴△BCD ≌△ACF （SAS ），
∴BD =AF ；
（3）Ⅰ．AF +BF ′=AB ，理由如下：
由（1）知，△BCD ≌△ACF （SAS ），则BD =AF ；
同理：△BCF ′≌△ACD （SAS ），则BF ′=AD ，
∴AF +BF ′=BD +AD =AB ；
Ⅱ．Ⅰ中的结论不成立，新的结论是AF =AB +BF ′，理由如下：
同理可得：BCF ACD ∠=∠′，F C DC =′，
在△BCF ′和△ACD 中，
BC AC BCF ACD F C DC =∠⎧⎪=∠=⎪⎨⎩
′
′， ∴△BCF ′≌△ACD （SAS ），
∴BF ′=AD ，
又由（2）知，AF =BD ，
∴AF =BD =AB +AD =AB +BF ′，即AF =AB +BF ′．
【点睛】
本题主要考查等边三角形的性质定理，三角形全等的判定和性质定理，熟练掌握三角形全等的判定和性质定理，是解题的关键．
4．如图，在等边ABC ∆中，线段AM 为BC 边上的中线．动点D 在直线AM 上时，以CD 为一边在CD 的下方作等边CDE ∆，连结BE ．
（1）求CAM ∠的度数；
（2）若点D 在线段AM 上时，求证：ADC BEC ∆≅∆；
（3）当动点D 在直线AM 上时，设直线BE 与直线AM 的交点为O ，试判断AOB ∠是否为定值？并说明理由．
【答案】（1）30°；（2）证明见解析；（3）AOB ∠是定值，60AOB ∠=︒.
【解析】
【分析】
（1）根据等边三角形的性质可以直接得出结论；
（2）根据等边三角形的性质就可以得出AC AC =，DC EC =，，
60ACB DCE ∠=∠=︒，由等式的性质就可以BCE ACD ∠=∠，根据SAS 就可以得出ADC BEC ∆≅∆；
（3）分情况讨论：当点D 在线段AM 上时，如图1，由（2）可知ACD BCE ≅∆∆，就可以求出结论；当点D 在线段AM 的延长线上时，如图2，可以得出ACD BCE ≅∆∆而有30CBE CAD ∠=∠=︒而得出结论；当点D 在线段MA 的延长线上时，如图3，通过得出ACD BCE ≅∆∆同样可以得出结论．
【详解】
（1）ABC ∆是等边三角形，
60BAC ∴∠=︒．
线段AM 为BC 边上的中线，
12
CAM BAC ∴∠=∠， 30CAM ∴∠=︒．
（2）ABC ∆与DEC ∆都是等边三角形，
AC BC ∴=，CD CE =，60ACB DCE ∠=∠=︒，
ACD DCB DCB BCE ∴∠+∠=∠+∠，
ACD BCE ∠∠∴=．
在ADC ∆和BEC ∆中
AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
()ACD BCE SAS ∴∆≅∆；
（3）AOB ∠是定值，60AOB ∠=︒，
理由如下：
①当点D 在线段AM 上时，如图1，
由（2）可知ACD BCE ≅∆∆，则30CBE CAD ∠=∠=︒，
又60ABC ∠=︒，
603090CBE ABC ∴∠+∠=︒+︒=︒，
ABC ∆是等边三角形，线段AM 为BC 边上的中线
AM ∴平分BAC ∠，即11603022
BAM BAC ∠=∠=⨯︒=︒ 903060BOA ∴∠=︒-︒=︒．
②当点D 在线段AM 的延长线上时，如图2，
ABC ∆与DEC ∆都是等边三角形，
AC BC ∴=，CD CE =，60ACB DCE ∠=∠=︒，
ACB DCB DCB DCE ∴∠+∠=∠+∠，
ACD BCE ∠∠∴=，
在ACD ∆和BCE ∆中
AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
()ACD BCE SAS ∴∆≅∆，
30CBE CAD ∴∠=∠=︒，
同理可得：30BAM ∠=︒，
903060BOA ∴∠=︒-︒=︒．
③当点D 在线段MA 的延长线上时，
ABC ∆与DEC ∆都是等边三角形，
AC BC ∴=，CD CE =，60ACB DCE ∠=∠=︒，
60ACD ACE BCE ACE ∴∠+∠=∠+∠=︒，
ACD BCE ∠∠∴=，
在ACD ∆和BCE ∆中
AC BC
ACD BCE
CD CE
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
()
ACD BCE SAS
∴∆≅∆，
CBE CAD
∴∠=∠，
同理可得：30
CAM
∠=︒
150
CBE CAD
∴∠=∠=︒
30
CBO
∴∠=︒，
∵
30
BAM
∠=︒，
903060
BOA
∴∠=︒-︒=︒．
综上，当动点D在直线AM上时，AOB
∠是定值，60
AOB
∠=︒．
【点睛】
此题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定及性质，等边三角形三线合一的性质，解题中注意分类讨论的思想解题.
5．在等边△ABC中，点D在BC边上，点E在AC的延长线上，DE=DA(如图1)．
(1)求证：∠BAD=∠EDC；
(2)若点E关于直线BC的对称点为M(如图2)，连接DM，AM．求证：DA=AM．
【答案】(1)见解析；(2)见解析
【解析】
【分析】
（1）根据等边三角形的性质，得出∠BAC=∠ACB=60°，然后根据三角形的内角和和外角性
质，进行计算即可.
（2）根据轴对称的性质，可得DM=DA ，然后结合（1）可得∠MDC =∠BAD ，然后根据三角形的内角和，求出∠ADM=60°即可.
【详解】
解：(1)如图1，
∵△ABC 是等边三角形，∴∠BAC =∠ACB =60°，
∴∠BAD =60°﹣∠DAE ，∠EDC =60°﹣∠E ，
又∵DE =DA ，
∴∠E =∠DAE ，
∴∠BAD =∠EDC ．
(2)由轴对称可得，DM =DE ，∠EDC =∠MDC ，
∵DE =DA ，
∴DM =DA ，
由(1)可得，∠BAD =∠EDC ，
∴∠MDC =∠BAD ，
∵△ABD 中，∠BAD +∠ADB =180°﹣∠B =120°，
∴∠MDC +∠ADB =120°，
∴∠ADM =60°，
∴△ADM 是等边三角形，
∴AD =AM ．
【点睛】
本题主要考察了轴对称和等边三角形的性质，解题的关键是熟练掌握这些性质.
6．如图，在等边ABC ∆中，点D ，E 分别是AC ，AB 上的动点，且AE CD =，BD 交CE 于点P ．
（1）如图1，求证120BPC ︒∠=；
（2）点M 是边BC 的中点，连接PA ，PM ．
①如图2，若点A ，P ，M 三点共线，则AP 与PM 的数量关系是 ； ②若点A ，P ，M 三点不共线，如图3，问①中的结论还成立吗？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由．
【答案】（1）证明过程见详解；（2）①2AP PM =；②结论成立，证明见详解
【解析】
【分析】
（1）先证明()AEC CDB SAS ≌，得出对应角相等，然后利用四边形的内角和和对顶角相等即可得出结论；
（2）①2AP PM =；由等边三角形的性质和已知条件得出AM ⊥BC ，∠CAP ＝30°，可得PB ＝PC ，由∠BPC ＝120°和等腰三角形的性质可得∠PCB ＝30°，进而可得AP ＝PC ，由30°角的直角三角形的性质可得PC ＝2PM ，于是可得结论；
②延长BP 至D ，使PD ＝PC ，连接AD 、CD ，根据SAS 可证△ACD ≌△BCP ，得出AD ＝BP ，∠ADC ＝∠BPC ＝120°，然后延长PM 至N ，使MN ＝MP ，连接CN ，易证△CMN ≌△BMP （SAS ），可得CN ＝BP ＝AD ，∠NCM ＝∠PBM ，最后再根据SAS 证明△ADP ≌△NCP ，即可证得结论．
【详解】
（1）证明：因为△ABC 为等边三角形，所以60A ACB ∠=∠=︒
∵AC BC A ACB AE CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，∴()AEC CDB SAS ≌ ，∴AEC CDB ∠=∠， 在四边形AEPD 中，∵360AEC EPD PDA A ∠+∠+∠+∠=︒，
∴18060360AEC EPD CDB ∠+∠+︒-∠+︒=︒，
∴120EPD ∠=︒，∴120BPC ∠=︒；
（2）①如图2，∵△ABC 是等边三角形，点M 是边BC 的中点，
∴∠BAC ＝∠ABC ＝∠ACB ＝60°，AM ⊥BC ，∠CAP ＝
12
∠BAC ＝30°，∴PB ＝PC ， ∵∠BPC ＝120°，∴∠PBC ＝∠PCB ＝30°，
∴PC ＝2PM ，∠ACP ＝60°﹣30°＝30°＝∠CAP ，
∴AP ＝PC ，∴AP ＝2PM ；
故答案为：2AP PM =；
②AP ＝2PM 成立，理由如下：
延长BP 至D ，使PD ＝PC ，连接AD 、CD ，如图4所示：则∠CPD ＝180°﹣∠BPC ＝60°， ∴△PCD 是等边三角形，
∴CD ＝PD ＝PC ，∠PDC ＝∠PCD ＝60°，
∵△ABC 是等边三角形，∴BC ＝AC ，∠ACB ＝60°＝∠PCD ，
∴∠BCP ＝∠ACD ，
∴△ACD ≌△BCP （SAS ），
∴AD ＝BP ，∠ADC ＝∠BPC ＝120°，
∴∠ADP ＝120°﹣60°＝60°，
延长PM 至N ，使MN ＝MP ，连接CN ，
∵点M 是边BC 的中点，∴CM ＝BM ，
∴△CMN ≌△BMP （SAS ），
∴CN ＝BP ＝AD ，∠NCM ＝∠PBM ，
∴CN ∥BP ，∴∠NCP +∠BPC ＝180°，
∴∠NCP ＝60°＝∠ADP ，
在△ADP 和△NCP 中，∵AD=NC ，∠ADP =∠NCP ，PD=PC ，
∴△ADP ≌△NCP （SAS ），
∴AP ＝PN ＝2CM ；
【点睛】
本题是三角形的综合题，主要考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
7．已知如图1，在ABC ∆中，AC BC =，90ACB ∠=，点D 是AB 的中点，点E 是AB 边上一点，直线BF 垂直于直线CE 于点F ，交CD 于点G .
（1）求证：AE CG =.
（2）如图2，直线AH 垂直于直线CE ，垂足为点H ，交CD 的延长线于点M ，求证：BE CM =.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【解析】
【分析】
（1）首先根据点D 是AB 中点，∠ACB =90°，可得出∠ACD =∠BCD =45°，判断出△AEC ≌△CGB ，即可得出AE =CG ；
（2）根据垂直的定义得出∠CMA +∠MCH =90°，∠BEC +∠MCH =90°，再根据AC =BC ，∠ACM =∠CBE =45°，得出△BCE ≌△CAM ，进而证明出BE =CM ．
【详解】
（1）∵点D 是AB 中点，AC =BC ，∠ACB =90°，∴CD ⊥AB ，∠ACD =∠BCD =45°，∴∠CAD =∠CBD =45°，∴∠CAE =∠BCG ．
又∵BF ⊥CE ，∴∠CBG +∠BCF =90°．
又∵∠ACE +∠BCF =90°，∴∠ACE =∠CBG ．
在△AEC 和△CGB 中，∵CAE BCG AC BC ACE CBG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
，∴△AEC ≌△CGB （ASA ），∴AE =CG ；
（2）∵CH ⊥HM ，CD ⊥ED ，∴∠CMA +∠MCH =90°，∠BEC +∠MCH =90°，
∴∠CMA =∠BEC ．
在△BCE 和△CAM 中，BEC CMA ACM CBE BC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，∴△BCE ≌△CAM （AAS ），∴BE =CM ．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
8．(1)问题发现:如图1, ABC 和ADE 均为等边三角形，点B D E 、、在同一直线上，连接.CE
①求证: BD CE =; ②求BEC ∠的度数.
(2)拓展探究:如图2, AB C 和ADE 均为等腰直角三角形，90BAC DAE ∠=∠=︒,点
B D E 、、在同一直线上AF ，为ADE 中DE 边上的高，连接.CE
①求BEC ∠的度数:
②判断线段AF BE CE 、、之间的数量关系(直接写出结果即可).
()3解决问题:如图3，AB 和ADE 均为等腰三角形，BAC DAE n ∠=∠=,点
B D E 、、在同一直线上，连接CE .求AE
C ∠的度数(用含n 的代数式表示，直接写出结果即可).
【答案】（1）①证明见解析；②60°；（2）①90°；②BE =CE+2AF ；（3）
∠AEC =90°+
12n ︒. 【解析】
【分析】
（1）根据等边三角形的性质得AB=AC,AD=AE, ∠DAE=∠BAC=60°,根据SAS 进一步证明△BAD ≌△CAE,依据其性质可得 BD CE =，再根据对应角相等求出BEC ∠的度数；
（2）根据等腰直角三角形的性质得AB=AC,AD=AE, ∠DAE=∠BAC=90°，根据SAS 进一步证明△BAD ≌△CAE ，根据对应角相等求出BEC ∠的度数；因为DE=2AF,BD=EC,结合线段的和差关系得出结论；
（3）根据等腰三角形的性质得AB=AC,AD=AE, ∠DAE=∠BAC=n °，根据SAS 进一步证明△BAD ≌△CAE ，根据对应角相等求出得出∠ADB=BEC ∠的度数,结合内角和用n 表示∠ADE 的度数，即可得出结论.
【详解】
（1）①∵△ABC和△ADE均为等边三角形(如图1)，
∴ AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，
∴∠BAD=∠CAE.
∴△BAD≌△CAE（SAS）
∴ BD=CE.
②由△CAE≌△BAD，
∴∠AEC=∠ADB=180°-∠ADE=120°.
∴∠BEC=∠AEC-∠AED=120°-60°=60°.
（2）①∵△ABC和△ADE均为等腰直角三角形(如图2)，∴ AB=AC，AD=AE，∠ADE=∠AED=45°，
∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，
∴∠BAD=∠CAE.
∴△BAD≌△CAE（SAS）.
∴ BD=CE，∠AEC=∠ADB=180°-∠ADE=135°.
∴∠BEC=∠AEC-∠AED=135°-45°=90°.
② BE=CE+2AF.
（3）如图3：∠AEC=90°+1
2
n ，理由如下，
∵△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∴ AB=AC，AD=AE，∠ADE=∠AED=n°，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，
∴∠BAD=∠CAE.
∴△BAD≌△CAE（SAS）.
∴ ∠AEC=∠ADB=180°-∠ADE=180°-180180
9022n n . ∴∠AEC=90°+12
n ︒.
【点睛】
本题考查等边三角形、等腰直角三角形的性质及旋转型三角形全等，掌握全等常见模型及由特殊到一般找出解题规律是解答此题的关键.
9．如图，在△ABC 中，AB =AC =2，∠B =40°，点D 在线段BC 上运动（D 不与B 、C 重合），连接AD ，作∠ADE =40°，DE 交线段AC 于E 点．
（1）当∠BDA =115°时，∠BAD =___°，∠DEC =___°；
（2）当DC 等于多少时，△ABD 与△DCE 全等？请说明理由；
（3）在点D 的运动过程中，△ADE 的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA 的度数；若不可以，请说明理由．
【答案】（1） 25，115；（2）当DC =2时，△ABD ≌△DCE ，理由见解析；（3）可以；当∠BDA 的度数为110°或80°时，△ADE 的形状是等腰三角形．
【解析】
【分析】
（1）根据三角形内角和定理，将已知数值代入即可求出BAD ∠，根据平角的定义，可求出EDC ∠的度数，根据三角形内和定理，即可求出DEC ∠．
（2）当AB DC =时，利用AAS 可证明ABD DCE ∆≅∆，即可得出2AB DC ==． （3）假设ADE ∆是等腰三角形，分为三种情况讨论：①当AD AE =时，
40ADE AED ∠=∠=︒，根据AED C ∠>∠，得出此时不符合；②当DA DE =时，求出70DAE DEA ∠=∠=︒，求出BAC ∠，根据三角形的内角和定理求出BAD ∠，根据三角形的内角和定理求出BDA ∠即可；③当EA ED =时，求出DAC ∠，求出BAD ∠，根据三角形的内角和定理求出ADB ∠．
【详解】
（1）在BAD 中，40B ∠= ，115BDA ∠=，
1801804011525BAD ABD BDA ∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，
1801801154025EDC ADB ADE ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒．
AB AC =，40B ∠=，40B C ∴∠=∠=，
1801804025115C E DC D E C ︒-∠-∠=︒-︒-︒=∠=︒．
故答案为：25，115；
（2）当2DC =时，ABD DCE ∆≅∆．理由如下：
40C ∠=，140EDC DEC ∴∠+∠=︒，又40ADE ∠=，140ADB EDC ∴∠+∠=︒，ADB DEC ∴∠=∠．
在ABD △和DCE ∆中，B C ∠=∠，ADB DEC ∠=∠，当AB DC =时，
()ABD DCE AAS ∆≅∆，2AB DC ∴==；
（3）
AB AC =，40B C ∴∠=∠=︒，分三种情况讨论：
①当AD AE =时，40ADE AED ∠=∠=︒，AED C ∠>∠，∴此时不符合； ②当DA DE =时，即1(18040)702
DAE DEA ∠=∠=︒-︒=︒，1804040100BAC ∠=︒-︒-︒=︒，1007030BAD ∴∠=︒-︒=︒；
1803040110BDA ∴∠=︒-︒-︒=︒；
③当EA ED =时，40ADE DAE ∠=∠=︒，1004060BAD ∴∠=︒-︒=︒，
180604080BDA ∴∠=︒-︒-︒=︒；
∴当110ADB ∠=︒或80︒时，ADE ∆是等腰三角形．
【点睛】
本题考查了学生对等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识点的理解和掌握，此题涉及到的知识点较多，综合性较强．
10．小明在学习了“等边三角形”后，激发了他的学习和探究的兴趣，就想考考他的朋友小崔，小明作了一个等边ABC ∆，如图1，并在边AC 上任意取了一点F （点F 不与点A 、点C 重合），过点F 作FH AB ⊥交AB 于点H ，延长CB 到G ，使得BG AF =，连接FG 交AB 于点l .
（1）若10AC =，求HI 的长度；
（2）如图2，延长BC 到D ，再延长BA 到E ，使得AE BD =，连接ED ，EC ，求证：ECD EDC ∠=∠.
【答案】（1）HI =5；(2)见解析.
【解析】
【分析】
（1）作FP ∥BC 交AB 于点P ，证明APF ∆是等边三角形得到AH=PH ， 再证明
PFI BGI ∆≅∆得到PI=BI ，于是可得HI =12
AB ，即可求解； （2）延长BD 至Q ，使DQ=AB ，连结EQ ，就可以得出BE=BQ ，得出△BEQ 是等边三角形，就可以得出BE=QE ，得出△BCE ≌△QDE 就可以得出结论．
【详解】
解：如图1，作FP ∥BC 交AB 于点P ，
∵ABC ∆是等边三角形,
∴∠ABC=∠A=60°,
∵FP ∥BC,
∴∠APF=∠ABC=60°, ∠PFI=∠BGI,
∴∠APF=∠A=60°,
∴APF ∆是等边三角形,
∴PF=AF,
∵FH AB ⊥，
∴AH=PH,
∵AF=BG,
∴PF=BG,
∴在PFI ∆和BGI ∆中，
PIF BIG
PFI BGI
PF BG
∠=∠
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
,
∴PFI BGI
∆≅∆,
∴PI=BI,
∴PI+PH=BI+AH=
1
2
AB,
∴HI=PI+PH =
1
2
AB=
1
10
2
⨯=5；
(2)如图2，延长BD至Q，使DQ=AB，连结EQ，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠B=60°．
∵AE=BD，DQ=AB，
∴AE+AB=BD+DQ，
∴BE=BQ．
∵∠B=60°，
∴△BEQ为等边三角形，
∴∠B=∠Q=60°，BE=QE．
∵DQ=AB，
∴BC=DQ．
∴在△BCE和△QDE中，
BC DQ
B Q
BE QE
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△BCE≌△QDE（SAS），
∴EC=ED．
∴∠ECD=∠EDC.
【点睛】
本题考查了等边三角形的判定及性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时作出相应辅助线构造全等三角形是关键．本题难度较大，需要有较强的综合能力.。