【步步高】(广东专用)2015届高考数学二轮复习 专题突破训练七 第3讲 统计与统计案例 理(含20

第3讲 统计与统计案例
考情解读 1.该部分常考内容：样本数字特征的计算、各种统计图表、线性回归方程、独立性检验等；有时也会在知识交汇点处命题，如概率与统计交汇等.2.从考查形式上来看，大部分为选择题、填空题，重在考查基础知识、基本技能，有时在知识交汇点处命题，也会出现解答题，都属于中、低档题．
1．随机抽样
(1)简单随机抽样特点是从总体中逐个抽取．适用X 围：总体中的个体较少．
(2)系统抽样特点是将总体均分成几部分，按事先确定的规则在各部分中抽取．适用X 围：总体中的个体数较多．
(3)分层抽样特点是将总体分成几层，分层进行抽取．适用X 围：总体由差异明显的几部分组成．
2．常用的统计图表 (1)频率分布直方图 ①小长方形的面积＝组距×
频率
组距
＝频率； ②各小长方形的面积之和等于1；
③小长方形的高＝频率组距，所有小长方形的高的和为1
组距.
(2)茎叶图
在样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好． 3．用样本的数字特征估计总体的数字特征 (1)众数、中位数、平均数
数字特征 样本数据 频率分布直方图
众数
出现次数最多的数据
取最高的小长方形底边中点的横坐标 中位数
将数据按大小依次排列，处在最中间位
置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)
把频率分布直方图划分左右两个面积相等的分界线与x 轴交点的横坐标 平均数
样本数据的算术平均数
每个小矩形的面积乘以小矩形底边中
点的横坐标之和
(2)方差：s 2＝1n
[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2
]．
标准差：
s ＝
1n
[
x 1－x
2
＋x 2－x
2
＋…＋x n －x
2
].
4．变量的相关性与最小二乘法
(1)相关关系的概念、正相关和负相关、相关系数．
(2)最小二乘法：对于给定的一组样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，通过求Q ＝ i ＝1
n
(y i －a －bx i )2
最小时，得到线性回归方程y ^
＝b ^
x ＋a ^
的方法叫做最小二乘法． 5．独立性检验
对于取值分别是{x 1，x 2}和{y 1，y 2}的分类变量X 和Y ，其样本频数列联表是
y 1 y 2 总计
x 1 a b a ＋b x 2
c d c ＋d 总计
a ＋c
b ＋d
n
则K 2
(χ2
)＝
n ad －bc 2a ＋b
c ＋
d a ＋c
b ＋d
(其中n ＝a ＋b ＋c ＋d 为样本容量)．
热点一 抽样方法
例1 (1)(2013·某某)某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1,2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481,720]的人数为( ) A ．11 B ．12 C ．13 D ．14
(2)(2014·某某高三调研)某学校共有师生3 200人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为160的样本，已知从学生中抽取的人数为150，那么该学校的教师人数是________．
思维启迪 (1)系统抽样时需要抽取几个个体，样本就分成几组，且抽取的间隔相同；(2)分层抽样最重要的是各层的比例． 答案 (1)B (2)200 解析 (1)由
840
42
＝20，即每20人抽取1人，所以抽取编号落入区间[481,720]的人数为
720－48020＝240
20
＝12. (2)本题属于分层抽样，设该学校的教师人数为x ，所以1603 200＝160－150x ，所以x ＝200.
思维升华 (1)随机抽样各种方法中，每个个体被抽到的概率都是相等的；(2)系统抽样又称“等距”抽样，被抽到的各个间隔相同；分层抽样满足：各层抽取的比例都等于样本容量在总体容量中的比例．
(1)某校高一、高二、高三分别有学生人数为495,493,482，现采用系统抽样方
法，抽取49人做问卷调查，将高一、高二、高三学生依次随机按1,2,3，…，1 470编号，若第1组有简单随机抽样方法抽取的为23，则高二应抽取的学生人数为( ) A ．15 B ．16 C ．17 D ．18
(2)(2014·某某)已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图①和图②所示．为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为( )
A ．200,20
B ．100,20
C ．200,10
D ．100,10 答案 (1)C (2)A
解析 (1)由系统抽样方法，知按编号依次每30个编号作为一组，共分49组，高二学生的编号为496到988，在第17组到第33组内，第17组抽取的编号为16×30＋23＝503，为高二学生，第33组抽取的编号为32×30＋23＝983，为高二学生，故共抽取高二学生人数为33－16＝17，故选C.
(2)该地区中、小学生总人数为3 500＋2 000＋4 500＝10 000，
则样本容量为10 000×2%＝200，其中抽取的高中生近视人数为2 000×2%×50%＝20，故选A.
热点二 用样本估计总体
例2 (1)(2014·某某)为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒X 压数据(单位：kPa)的分组区间为[12,13)，[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组，如图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为( )
A．6 B．8 C．12 D．18
(2)PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，如图是根据某地某日早7点至晚8点甲、乙两个PM2.5监测点统计的数据(单位：毫克/每立方米)列出的茎叶图，则甲、乙两地浓度的方差较小的是( )
A．甲 B．乙
C．甲乙相等 D．无法确定
甲乙
20.04123 6
930.059
6210.0629
3310.079
640.087
70.09246
思维启迪(1)根据第一组与第二组的人数和对应频率估计样本总数，然后利用第三组的频率和无疗效人数计算；(2)直接根据公式计算方差．
答案(1)C (2)A
解析(1)志愿者的总人数为
20
0.16＋0.24×1
＝50，
所以第三组人数为50×0.36＝18，
有疗效的人数为18－6＝12.
(2)x甲＝(0.042＋0.053＋0.059＋0.061＋0.062＋0.066＋0.071＋0.073＋0.073＋0.084＋0.086＋0.097)÷12≈0.068 9，
x乙＝(0.041＋0.042＋0.043＋0.046＋0.059＋0.062＋0.069＋0.079＋0.087＋0.092＋0.094＋0.096)÷12≈0.067 5，
s2＝1
12
[(0.042－0.068 9)2＋(0.053－0.068 9)2＋…＋(0.097－0.068 9)2]≈0.000 212.
s2＝1
12
[(0.041－0.067 5)2＋(0.042－0.067 5)2＋…＋(0.096－0.067 5)2]≈0.000 429.
所以甲、乙两地浓度的方差较小的是甲地．
思维升华(1)反映样本数据分布的主要方式：频率分布表、频率分布直方图、茎叶图．关于
频率分布直方图要明确每个小矩形的面积即为对应的频率，其高低能够描述频率的大小，高考中常常考查频率分布直方图的基本知识，同时考查借助频率分布直方图估计总体的概率分布和总体的特征数，具体问题中要能够根据公式求解数据的均值、众数和中位数、方差等． (2)由样本数据估计总体时，样本方差越小，数据越稳定，波动越小．
(1)某商场在庆元宵促销活动中，对元宵节9时至14时的销售额进行统计，其
频率分布直方图如图所示，已知9时至10时的销售额为2.5万元，则11时至12时的销售额为________万元．
(2)(2014·某某)设样本数据x 1，x 2，…，x 10的均值和方差分别为1和4，若y i ＝x i ＋a (a 为非零常数，i ＝1,2，…，10)，则y 1，y 2，…，y 10的均值和方差分别为( ) A ．1＋a,4 B ．1＋a,4＋a C ．1,4 D ．1,4＋a 答案 (1)10 (2)A
解析 (1)由频率分布直方图可知： 0.100.40＝2.5
x ，所以x ＝10. (2)
x 1＋x 2＋…＋x 10
10
＝1，y i ＝x i ＋a ，
所以y 1，y 2，…，y 10的均值为1＋a ，方差不变仍为4. 故选A.
热点三 统计案例
例3 (1)以下是某年2月某地区搜集到的新房屋的销售价格y 和房屋的面积x 的数据.
房屋面积x /m 2
115 110 80 135 105 销售价格y /万元
24.8
21.6
18.4
29.2
22
根据上表可得线性回归方程y ^
＝b ^
x ＋a ^
中的b ^
＝0.196 2，则面积为150 m 2
的房屋的销售价格约为________万元．
(2)(2014·某某)某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是( )
表1
表4
A.成绩 B ．视力 C 思维启迪 (1)回归直线过样本点中心(x ，y )； (2)根据列联表，计算K 2
的值 答案 (1)31.244 2 (2)D
解析 (1)由表格可知x ＝1
5
(115＋110＋80＋135＋105)＝109，
y ＝15
(24.8＋21.6＋18.4＋29.2＋22)＝23.2.
所以a ^
＝y －b ^
x ＝23.2－0.196 2×109＝1.814 2.
所以所求线性回归方程为y ^
＝0.196 2x ＋1.814 2.
故当x ＝150时，销售价格的估计值为y ^
＝0.196 2×150＋1.814 2＝31.244 2(万元)． (2)A 中，a ＝6，b ＝14，c ＝10，d ＝22，a ＋b ＝20，c ＋d ＝32，a ＋c ＝16，b ＋d ＝36，n ＝52， K 2
＝
52×6×22－14×102
20×32×16×36
＝131 440
. B 中，a ＝4，b ＝16，c ＝12，d ＝20，a ＋b ＝20，c ＋d ＝32，a ＋c ＝16，b ＋d ＝36，n ＝52， K 2
＝
52×4×20－16×122
20×32×16×36
＝637360
. C 中，a ＝8，b ＝12，c ＝8，d ＝24，a ＋b ＝20，c ＋d ＝32，a ＋c ＝16，b ＋d ＝36，n ＝52， K 2
＝
52×8×24－12×82
20×32×16×36
＝
1310
. D 中，a ＝14，b ＝6，c ＝2，d ＝30，a ＋b ＝20，c ＋d ＝32，a ＋c ＝16，b ＋d ＝36，n ＝52， K 2
＝
52×14×30－6×22
20×32×16×36
＝
3 757
160
. ∵
131 440<1310<637360<3 757
160
， ∴与性别有关联的可能性最大的变量是阅读量．
思维升华 (1)线性回归方程求解的关键在于准确求出样本点中心．回归系数的求解可直接把相应数据代入公式中求解，回归常数的确定则需要利用中心点在回归直线上建立方程求解；(2)独立性检验问题，要确定2×2列联表中的对应数据，然后代入K 2
(χ2
)计算公式求其值，根据K 2
(χ2
)取值X 围求解即可．
(1)已知x 、y 取值如下表：
x 0 1 4 5 6 8 y
1.3
1.8
5.6
6.1
7.4
9.3
从所得的散点图分析可知：y 与x 线性相关，且y ^
＝0.95x ＋a ^
，则a ^
等于( ) A ．1.30 B ．1.45 C ．1.65 D ．1.80
(2)某研究机构为了研究人的脚的大小与身高之间的关系，随机抽测了20人，若“身高大于175厘米”的为“高个”，“身高小于等于175厘米”的为“非高个”，“脚长大于42码”的为“大脚”，“脚长小于等于42码”的为“非大脚”．得以下2×2列联表：
高个 非高个 总计 大脚 5 2 7 非大脚 1 12 13 总计
6
14
20
(附：
P (K 2>k ) 0.05 0.01 0.001
k
3.841 6.635 10.828
)
答案 (1)B (2)0.01
解析 (1)依题意得，x ＝1
6
×(0＋1＋4＋5＋6＋8)＝4，
y ＝16
(1.3＋1.8＋5.6＋6.1＋7.4＋9.3)＝5.25；
又直线y ^
＝0.95x ＋a ^
必过样本点中心(x ，y )，即点(4，5.25)，于是有5.25＝0.95×4＋a ^
，
由此解得a ^
＝1.45. (2)由题意得
K 2
＝
20×5×12－1×22
6×14×7×13
≈8.802>6.635.
而K 2
>6.635的概率约为0.01，所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为人的脚的大小与身高之间有关系．
1．随机抽样的方法有三种，其中简单随机抽样适用于总体中的个体数量不多的情况，当总体中的个体数量明显较多时要使用系统抽样，当总体中的个体具有明显的层次时使用分层抽样．系统抽样最重要的特征是“等距”，分层抽样，最重要的是各层的“比例”． 2．用样本估计总体
(1)在频率分布直方图中，各小长方形的面积表示相应的频率，各小长方形的面积的和为1. (2)众数、中位数及平均数的异同：众数、中位数及平均数都是描述一组数据集中趋势的量，平均数是最重要的量．
(3)当总体的个体数较少时，可直接分析总体取值的频率分布规律而得到总体分布；当总体容量很大时，通常从总体中抽取一个样本，分析它的频率分布，以此估计总体分布． ①总体期望的估计，计算样本平均值x ＝1n ∑n i ＝1x i .②总体方差(标准差)的估计：方差＝1n
∑n i ＝1
(x i
－x )2
，标准差＝方差，方差(标准差)较小者较稳定．
3．线性回归方程y ^
＝b ^
x ＋a ^
过样本点中心(x ，y )，这为求线性回归方程带来很多方便． 4．独立性检验
(1)作出2×2列联表．(2)计算随机变量K 2
(χ2
)的值．(3)查临界值，检验作答．
真题感悟
1．(2014·某某)为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长(单位：cm)，所得数据均在区间[80,130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有________株树木的底部周长小于100 cm.
答案 24
解析 底部周长在[80,90)的频率为0.015×10＝0.15， 底部周长在[90,100)的频率为0.025×10＝0.25，
样本容量为60，所以树木的底部周长小于100 cm 的株数为(0.15＋0.25)×60＝24. 2．(2014·某某)已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本平均数x ＝3，y ＝3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是( )
A.y ^
＝0.4x ＋2.3 B.y ^
＝2x －2.4
C.y ^
＝－2x ＋9.5 D.y ^
＝－0.3x ＋4.4 答案 A
解析 因为变量x 和y 正相关，则回归直线的斜率为正，故可以排除选项C 和D.
因为样本点的中心在回归直线上，把点(3,3.5)的坐标分别代入选项A 和B 中的线性回归方程进行检验，可以排除B ，故选A. 押题精练
1．某地区对某路段公路上行驶的汽车速度实施监控，从中抽取50辆汽车进行测速分析，得到如图所示的时速的频率分布直方图，根据该图，时速在70 km/h 以下的汽车有________辆．
答案 20
解析 时速在70 km/h 以下的汽车所占的频率为0.01×10＋0.03×10＝0.4，共有0.4×50＝20(辆)．
2．某教育在高三期末考试结束后，从某市参与考试的考生中选取600名学生对在此期间购买教辅资料的情况进行调研，得到如下数据：
购买图书情况
只买试题类
只买讲解类
试题类和讲解类都买
人数
240
200
160
若该教育计划用分层抽样的方法从这600人中随机抽取60人进行座谈，则只买试题类的学生应抽取的人数为________． 答案 24
解析 只买试题类的学生应抽取的人数为60×240
600
＝24.
3．下表提供了某厂节能减排技术改造后在生产A 产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨)的几组对应数据：
x 3 4 5 6 y
2.5
t
4
4.5
根据上表提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程为y ^
＝0.7x ＋0.35，那么表中t 的值为________． 答案 3
解析 ∵样本点中心为⎝
⎛⎭⎪⎫4.5，11＋t 4，∴11＋t 4＝0.7×4.5＋0.35，解得t ＝3. 4．春节期间，“厉行节约，反对浪费”之风悄然吹开，某市通过随机询问100名性别不同的居民是否能做到“光盘”行动，得到如下的列联表：
做不到“光盘”
能做到“光盘”
男 45 10 女
30
15
附：
P (K 2≥k 0)
0.10 0.05 0.025 k 0
2.706
3.841
5.024
K 2
＝
n ad －bc 2
a ＋b
c ＋
d a ＋c
b ＋d
参照附表，得到的正确结论是( )
A ．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”
B ．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”
C ．有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”
D ．有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关” 答案 C
解析由公式可计算K2的观测值k＝
n ad－bc2
a＋b c＋d a＋c b＋d
＝
100×45×15－30×102
55×45×75×25
≈3.03>2.706，所以有90%以上的把握认为“该市民能否做到‘光盘’与性别有关”，故选C.
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一、选择题
1．(2014·某某)对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p1，p2，p3，则( )
A．p1＝p2<p3
B．p2＝p3<p1
C．p1＝p3<p2
D．p1＝p2＝p3
答案 D
解析由于三种抽样过程中，每个个体被抽到的概率都是相等的，因此p1＝p2＝p3.
2．某中学高中一年级有400人，高中二年级有320人，高中三年级有280人，现从中抽取一个容量为200人的样本，则高中二年级被抽取的人数为( )
A．28 B．32
C．40 D．64
答案 D
解析由已知，得样本容量为400＋320＋280＝1 000，
所以，高中二年级被抽取的人数为200
1 000
×320＝64，选D.
3．(2013·某某)总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为( )
78166572080263140702436997280198
32049234493582003623486969387481
A.08 B
C．02 D．01
答案 D
解析 从第1行第5列、第6列组成的数65开始由左到右依次选出的数为：08,02,14,07,01，所以第5个个体编号为01.
4．为了了解某城市今年准备报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图(如图)，已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1∶2∶3，第2小组的频数为120，则抽取的学生人数是( )
A ．240
B ．280
C ．320
D ．480 答案 D
解析 由频率分布直方图知：学生的体重在65～75 kg 的频率为(0.012 5＋0.037 5)×5＝0.25，
则学生的体重在50～65 kg 的频率为1－0.25＝0.75. 从左到右第2个小组的频率为0.75×2
6＝0.25.
所以抽取的学生人数是120÷0.25＝480.
5．某产品在某零售摊位上的零售价x (单位：元)与每天的销售量y (单位：个)的统计资料如下表所示：
x 16 17 18 19 y
50
34
41
31
由上表可得线性回归方程y ^
＝b x ＋a ^
中的b ^
＝－4，据此模型预计零售价定为15元时，每天的销售量为( ) A ．48个 B ．49个 C ．50个 D ．51个 答案 B
解析 由题意知x ＝17.5，y ＝39，代入线性回归方程得a ^
＝109,109－15×4＝49，故选B. 6．某校为了研究学生的性别和对待某一活动的态度(支持和不支持的两种态度)的关系，运用2×2列联表进行独立性检验，经计算K 2
＝7.069，则所得到的统计学结论是：有________的把握认为“学生性别与支持该活动有关系．”( ) 附：
P(K2≥k0)0.1000.0500.0250.0100.001
k0 2.706 3.841 5.024 6.63510.828
% B．1%
C．99% D．99.9%
答案 C
解析因为7.069与附表中的6.635最接近，所以得到的统计学结论是：有1－0.010＝0.99＝99%的把握认为“学生性别与支持该活动有关系”，选C.
7.某苗圃基地为了解基地内甲、乙两块地种植的同一种树苗的长势情
况，从两块地各随机抽取了10株树苗，用茎叶图表示上述两组数据，
对两块地抽取树苗的高度的平均数x甲，x乙和中位数y甲，y乙进行比
较，下面结论正确的是( )
A.x甲>x乙，y甲>y乙
B.x甲<x乙，y甲<y乙
C.x甲<x乙，y甲>y乙
D.x甲>x乙，y甲<y乙
答案 B
二、填空题
8．从某中学高一年级中随机抽取100名同学，将他们的成绩(单位：分)数据绘制成频率分布直方图(如图)．则这100名学生成绩的平均数、中位数分别为________．
答案125,124
解析由图可知(a＋a－0.005)×10＝1－(0.010＋0.015＋0.030)×10，解得a＝0.025，则x ＝105×0.1＋115×0.3＋125×0.25＋135×0.2＋145×0.15＝125.中位数在120～130之间，设为x，则0.01×10＋0.03×10＋0.025×(x－120)＝0.5，解得x＝124.
9.某校开展“爱我海西、爱我家乡”摄影比赛，9位评委为参赛作品A给
出的分数如茎叶图所示．记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得
平均分为91，复核员在复核时，发现有一个数字(茎叶图中的x)无法看清，若记分员计算无误，则数字x应该是__________．
答案 1
解析 当x ≥4时，89＋89＋92＋93＋92＋91＋947＝640
7≠91，
∴x <4，∴89＋89＋92＋93＋92＋91＋x ＋90
7＝91，
∴x ＝1.
10．某小学对学生的身高进行抽样调查，如图，是将他们的身高(单位：厘米)数据绘制的频率分布直方图．若要从身高在[120,130)，[130,140)，[140,150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人，则从身高在[140,150]内的学生中选取的人数应为________．
答案 3
解析 由图可知，身高在[100,110)，[110,120)，[120,130)，[130,140)，[140,150]这五组的频率分别是0.05、0.35、10α、0.2、0.1，因为五组频率之和应为1，所以10α＝0.3.根据分层抽样的知识，在[120,130)，[130,140)，[140,150]三组内的学生中取18人，则从身高在[140,150]内的学生中选取的人数应为18×0.1
0.3＋0.2＋0.1＝3.
三、解答题
11．(2014·课标全国Ⅱ)某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y (单位：千元)的数据如下表：
年份 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 年份代号t 1 2 3 4 5 6 7 人均纯收入y
2.9
3.3
3.6
4.4
4.8
5.2
5.9
(1)求y 关于t 的线性回归方程；
(2)利用(1)中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入． 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
b ^
＝
∑i ＝1
n
t i －t
y i －y
∑i ＝1
n
t i －t
2
，a ^
＝y －b ^
t .
解 (1)由所给数据计算得t ＝1
7
(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4，
y ＝17
(2.9＋3.3＋3.6＋4.4＋4.8＋5.2＋5.9)＝4.3，
∑i ＝17
＝(t i －t )2＝9＋4＋1＋0＋1＋4＋9＝28，
∑i ＝1
7
(t i －t
)(y i －y )＝(－3)×(－1.4)＋(－2)×(－1)＋(－1)×(－0.7)＋0×0.1＋
1×0.5＋2×0.9＋3×1.6＝14，
b ^
＝
∑i ＝1
7
t i －t
y i －y
∑i ＝1
7
t i －t
2
＝14
28
＝0.5， a ^
＝y －b ^
t ＝4.3－0.5×4＝2.3，
所求线性回归方程为y ^
＝0.5t ＋2.3.
(2)由(1)知，b ^
＝0.5>0，故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元．
将2015年的年份代号t ＝9代入(1)中的线性回归方程，得y ^
＝0.5×9＋2.3＝6.8， 故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元．
12．某城市随机抽取一年(365天)内100天的空气质量指数API 的监测数据，结果统计如下： API [0,50] (50，100] (100，150] (150，200] (200，250]
(250，300] >300
空气质量 优 良 轻微污染 轻度污染 中度污染
中重度污染 重度污染 天数
4
13
18
30
9
11
15
系式为：
S ＝⎩⎪⎨⎪
⎧
0， 0≤w ≤1004w －400，100<w ≤3002 000， w >300
，试估计在本年度内随机抽取一天，该天经济损失S 大于200
元且不超过600元的概率；
(2)若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有8天为重度污染．完成下面2×2列联
表，并判断能否有95%的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关？
非重度污染 重度污染 合计 供暖季 非供暖季 合计
100
附：
P (K 2≥k 0)
0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 0 1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
K 2
＝
n ad －bc 2a ＋b
c ＋
d a ＋c
b ＋d
.
解 (1)设“在本年内随机抽取一天，该天经济损失S 大于200元且不超过600元”为事件A ， 由200<S≤600，得150<w ≤250，频数为39， 所以P (A )＝39
100
.
(2)根据以上数据得到如下列联表：
非重度污染
重度污染
合计 供暖季 22 8 30 非供暖季 63 7 70 合计
85
15
100
K 2
的观测值k ＝
100×63×8－22×7
2
85×15×30×70
≈4.575>3.841.
所以有95%的把握认为空气重度污染与供暖有关．。