沈阳二中2008—2009学年度下学期3月月考高一(2011届)数学试题

沈阳二中2008—2009学年度下学期3月月考
高一（11届）数学试题
说明：1.测试时间：120分钟 总分：150分
2.客观题涂在答题卡上，主观题答在答题纸上
第Ⅰ卷
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知α是第三象限角，则
2
α
所在象限是（ ） A ．第一或第二象限 B ．第二或第三象限 C ．第一或第三象限 D ．第二或第四象限 2.已知sin cos 1αα+=，则sin cos n
n αα+等于（ ）
A ．1
B ．0
C ．
1
1
2
n - D ．不能确定 3．如果函数sin 2cos 2y x a x =+的图象关于8
x π
=-对称，那么a 等于( )
A ．2
B ．2-
C ．1
D ．－1 4．函数),2
,0)(sin(R x x A y ∈π
<
ϕ>ωϕ+ω=的部分图象如图所示，则函数表达式为（ ）
A ．)48sin(4π+π-=x y
B ．)48sin(4π-π=x y
C ．)48sin(4π-π-=x y
D ．)4
8sin(4π
+π=x y
5．若△ABC 的内角A 满足3
2
2sin =A ，则sin cos A A +=（ ）
A.
315
B. 315-
C. 35
D. 3
5
- 6.已知△ABC 是锐角三角形，sin sin P A B =+，cos cos Q A B =+，则( ) A ．P<Q B ．P>Q C ．P=Q D ．P 与Q 大小不能确定
7．设实数,,,a b x y 满足2
2
2
6a b x +=2
，+y =24，则ax by +能取到的最大值是( ) A ．12 B ．15 C ．24 D ．30
8. 已知函数()sin()(0)f x x ωϕωϕπ=+≤≤＞，0是R 上的偶函数，其图象关于点
3(
0)4M π，对称，且在区间[02
π，]上是单调函数，则ω和ϕ的值分别为. Ａ．3πϕ=,23ω=或2 Ｂ． 2πϕ=，2
3ω=
Ｃ．3πϕ=，2ω= Ｄ．2πϕ=，2
3ω=或2
9．动直线x a =与函数()sin f x x =和()cos g x x =的图像分别交于M N ，两点，则MN 的最大值为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．2
10．．在△ABC 中，若4cos 5A =
，5
cos 13B =，则cos C 的值是( ) A ．1665- B ．5665 C ．16566565或 D ．
16
65
11.已知,[,],44x y a R ππ
∈-∈且33sin 20
4sin cos 0
x x a y y y a ⎧+-=⎨++=⎩则cos(2)x y +的值（ ）
A ．
12 B ． 1
2
- C ． 1 D ．-1 12.设0x π<<，则函数2cos sin x
y x
-=的最小值是（ ）
A ．3 B. 2 C 3 D. 23-
第Ⅱ卷
二．填空题：本大题共4小题，每小题4分共16分。

13.15
tan(arcsin )213
= 14.已知tan
2
α
=2，则
6sin cos 3sin 2cos αα
αα
+-= ___________
15．ABC ∆的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，)(OC OB OA m OH ++=，则实数m =
16．给出四个命题：（１）2
2
cos 70sin 103sin 20cos80︒+︒+︒︒=
14
（2）ABC ∆中，若A ＞Ｂ则B A sin sin >． （３）直线8
π=
x 是)4
52sin(π
+
=x y 的一条对称轴．
（４）ABC ∆中，若 B A 2sin 2sin =，则一定是等腰三角形，正确的是___________
三、解答题：本大题共6小题共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．(本题12分)
已知10,sin cos 5
x x x π<<+=. （I ）求2sin 3cos x x -的值；
（Ⅱ）求2
23sin 2sin cos 2cos 2222tan cot x x x x x x
-++的值.
18．(本题12分)
已知函数2
()(cos sin cos )f x a x x x b =++.
（1）当0a >时，求()f x 的单调递增区间；
（2）当0a <且[0 ]2
x π
∈，时，()f x 的值域是[3,4]，求a b 、的值.
19． (本题12分)
在ABC ∆中，已知2
2cos cos()cos y C A B C =+--。

（1） 若任意调换,,A B C 的位置，y 的值是否变化。

证明你的结论。

（2） 求y 的最大值 20. (本题12分)
已知,αβ是方程cos sin a x b x c +=在(0,2)π内的两相异实根， （1）求tan
2
αβ
+
（2）求2cos 2
αβ-
21. (本题12分)
任给7个实数，证明：其中必存在两个实数,x y ，满足3
013
x y xy -≤<
+ 22. (本题14分)
已知ABC ∆中，AC CB ⊥，||,||,||AC b AB c BC a ===u u u v u u u v u u u v
（1） 求sin sin A B +的取值范围
(2)是否存在实数k ，使不等式2
2
2
()()()a b c b a c c b a kabc +++++≥对任意,,a b c 都成立？若存在求k 的取值范围；若不存在，说明理由。

沈阳二中2008──2009学年度下学期3月阶段测试
高一数学试题答案
一．选择题
20．（1）
b
a
…………………………6分 （2）2
22
c a b +…………………………………12分
21．简证：设7个实数为tan ,1,2,3,7
i i θ=L 把(,)22
ππ
-
平均分成6个间隔相等的区间。

其中必有两个属于同一个区间。

不妨设
[0,)6
i j π
θθ-∈则
tan ()i j θθ-∈……………………………………12分
22. （1）2]…………………………………6分
（2）（Ⅱ）在直角△ABC中，a＝c sin A，b＝c cos A．
若a2(b＋c)＋b2(c＋a)＋c2(a＋b)≥kabc，对任意的a、b、c都成立，
则有a2(b＋c)＋b2(c＋a)＋c2(a＋b)
abc
≥k，对任意的a、b、c都成立，
∵a2(b＋c)＋b2(c＋a)＋c2(a＋b)
abc
＝
1
c3sin A cos A[c
2sin2A(c cos A＋c)＋c2cos2A(c sin A＋c)＋c2(c sin A＋c cos A)] ＝
1
sin A cos A[ sin
2A cos A＋cos2A sin A＋1＋cos A＋sin A]
＝cos A＋sin A＋
1＋cos A＋sin A
sin A cos A
令t＝sin A＋cos A，t∈
(1,2]，
设f(t)＝a2(b＋c)＋b2(c＋a)＋c2(a＋b)
abc＝t＋
1＋t
t2－1
2
＝t＋
2
t－1
＝t－1＋
2
t－1
＋1．
f(t)＝t－1＋
2
t－1
＋1，当t－1∈(0,21]
上时f(t)为单调递减函数，
∴当t＝2时取得最小值，最小值为2＋32，即k≤2＋32，
所以k的取值范围为（－∞，2＋32）．………………………………………14分。