自动控制原理第三章

yf (t) Cfi e +y p (t)
i t
i 1
yp (t)是强迫响应， fi 由输入信号决定。 C
零输入响应是系统的输入为零时，系统的 初始状态所引起的响应。 零输入响应表示为：
y x (t) Cxi e
i 1
n
i t
C xi 由初始状态决定。
两种分解方法的关系是：
二阶系统的单位阶跃响应
2 n Y (s) 2 R( s) 2 s 2 n s n 2 n 2 s ( s 2 2 n s n ) 1 s 2 n 2 Yss ( s ) Yt ( s ) 2 s s 2 n s n
有响应。但齐次解中各固有运动模态的系数则
由初始条件和输入信号共同决定。
当系统的特征根都位于左半 S 平面时，各 固有运动模态都将随着时间的推移而衰减到零，
齐次解也就衰减到零。这种情况下，齐次解表
现为系统响应的动态分量。
自动控制系统中描述暂态响应的性能指 标为：快速性和平稳性。
特解的形式与激励信号的形式有关，称 为系统的强迫相应,取决于输入函数和系统的 特性。当系统的特征根都位于左半 S 平面时，
（5）正弦函数
r t A sint
A R( s ) L A sint 2 s 2
四.阶跃响应的时域性能指标
一个控制系统的时间相应分为两部分：瞬态响应及稳态响应
c(t) = ct(t) + css(t) = 瞬态响应 + 稳态响应 1. 瞬态响应性能指标
图3－1
1．上升时间 tr ：阶跃响应曲线从t=0开始第一次 上升到稳态值所需要的时间。一般从稳态值的 10%上升到90%所需的时间 2. 峰值时间tp： 阶跃响应曲线从t=0开始上升到第一个峰值所需要 的时间. 3. 最大超调量Mp： 阶跃响应曲线的最大峰值与稳态值之差与稳态值之 比，即
又由其特征参数
2

与ωn的关系是非常重要的。
s1, 2 n jn 1 2 的实部σ=-ξωn=-α，α=ξωn称 复数极点
为阻尼因数，是极点离虚轴的距离；虚轴ω为 1 2n d 称作阻 尼振荡频率，是极点和实轴的距离。它和虚轴的夹角 的正弦 值为 ，或者说 arcsin 。当 const 时，极点将总在与虚 轴夹角为 arcsin 的半射线上，这条线叫等 线。
ess lim e(t ) T
t
在稳态时，系统的输入、输出信号的变化率完全相等，但由于 系统存在惯性，当x0（t）从0上升到1时，对应的数值上要滞后 于输入信号一个常量T，这就是稳态误差产生的原因。
3.单位脉冲响应 [R(s)=1]
h(t)
1 C ( s) Ts 1
1/T 0.368/T
c(t)
稳态分量（跟踪 项+常值）
T
c(t) = t ﹣T + Te﹣t/T
0
t T
稳态响应是一个与输入斜坡函数斜率相同但在时间上
迟后了一个时间常数T的斜坡函数。 c()
t T
因为
e(t ) xi (t ) x0 (t ) T (1 e )

t T
因为一阶系统跟踪单位斜坡信号的稳态误差为
1 L[t 1( t )] 2 s
0
f(t)
t
考查系统对匀速信号的跟踪能力
3. 抛物线函数（等加速度函数）
1 2 At t0 r (t ) 2 0 t0
A=1，称单位抛物线函数,记为
1 2 t 1( t ) 2
f(t)
1 1 2 R( s ) L t 1t 3 s 2
R(s)
+
R(s)
1 Ts+1
C(s)
﹣
1 Ts
C(s)
1.单位阶跃响应
当输入信号r(t)=1(t)时，系统的响应c(t)称作其单位阶跃响应。
1 1 1 C ( s ) ( s ) R( s ) Ts 1 s s
c(t)
1 1 s T
c(t) 1 e

t T
t 0
e ss lim e( t )
t
五. 一阶系统的时域分析
凡是可用一阶微分方程描述的系统，称为一阶系统。
dc( t ) T c( t ) r ( t ) dt T＝RC，时间常数。
r(t)
R
C
c(t)
其典型传递函数及结构图为： C ( s) 1 ( s) R( s ) Ts 1
1. 阶 跃 函 数 （ 位 置 函 数 ） A r(t) 0 记 为 1(t) t0 t0
f(t) 1
令 A 1 称单位阶跃函数，
1 R(s) L1(t) s
0
t
2. 斜坡函数 （等速度函数）
At t 0 r (t ) 0 t0
A=1，称单位斜坡函数,记为 t· 1(t)
y(t) Ci e y p (t) i 1 强迫响应
i t
n
C xi e Cfi e +y p (t) i 1 i 1
i t i t
零输入响应 零状态响应
自由响应 n
n
其中：
C e
i 1 i
n
i t
随着时间的推移，齐次解衰减为零，因此，
特解是系统在时间 t→∞ 时的输出，即系统
响应的稳态分量； 自动控制系统的稳态性能指标为：稳 态误差。
2）零状态响应和零输入响应
完全响应 = 零状态响应 + 零输入响应 零状态响应是系统的初始状态为零时，系 统对输入信号的响应。采用微分方程的经典解 法，零状态响应是方程在初始状态为零的条件 下的全解，其齐次解是系统的自然响应，其特 解是系统的受迫响应。 零状态响应表示为： n
它恰是系统的闭环传函，这 时输出称为脉冲（冲激）响应 函数，以h(t)标志。 t 1 T h( t ) C脉冲 ( t ) e T
0.135/T 0.05/T 0 T 2T 3T
t
求系统闭环传函提供了实验方法，以单位脉冲输入信号作用于 系统，测定出系统的单位脉冲响应，可以得到闭环传函。
六. 二阶系统的时域分析
此时系统称为欠阻尼系统。 3. 临界阻尼(=1)情况
s1,2 n
此时系统称为临界阻尼系统。 4. 过阻尼(>1)情况
s1, 2 n n j 2 1
此时系统称为过阻尼系统。
只来分析欠阻尼(0<<1)情况
2 n 系统的两个复数极点为 H ( s) 2 2 s 2n s n
k k k f n 令 ，则 n ，又令 2 n ，并代入 ， m m m m
2 n
则 f / 2 mk。上式可写成
Hale Waihona Puke 1 n H ( s) 2 k s 2 2n s n
2
极点在s平面的位置决定了响应的形式，而复数极点
s1, 2 n jn 1
所谓标准二阶系统是指其传递函数具有如下标准形式的系统
2 n H ( s) 2 2 s 2n s n
式中，参数ζ称为阻尼比；ωn称为无阻尼自然频率（rad/s)。
1. 无阻尼(=0)情况
s1, 2 jn
此时系统称为无阻尼系统。
2. 欠阻尼(0<<1)情况
s1, 2 n n j 1 2
０
T
2T
3T
4T
一阶系统的瞬态响应指标调整时间ts 定义：︱c(ts) 1 ︱=
＝e
ts T
( 取5%或2%)
t s 3T ( 5%) t s 4T ( 2%)
2. 单位斜坡响应 [ r(t) = t ]
1 1 1 T T C ( s) 2 2 Ts 1 s s s s 1 T c(t ) t T Te t / T (t 0)
i t
自由响应
n
y1(t)——对应齐次微分方程的通解（齐次解） y2(t)——非齐次微分方程的一个特解 齐次解是齐次微分方程的通解。对于线性 定常系统而言，它是系统的自由响应。
齐次解是系统固有运动模态的线性组合，
而系统的固有运动模态由系统的特征根决定，
因此，齐次解的形式只与系统本身的特性有关，
与输入信号和初始状态无关，称之为系统的固
Mp
c(t p ) c() c ( )
100%
4. 调整时间ts：
阶跃响应曲线进入允许的误差带(一般取稳态 值的±5%或±2%的区域作为误差带)并不再超出 该误差带的最小时间，称为调整时间(或过渡过 程时间)。
5. 振荡次数： 在调整时间ts内响应曲线振荡的次数。
2. 稳态性能指标 稳态误差ess：稳定系统误差的终值。即
对于自动控制系统而言，求解系统的响应并 不是我们最为关心的事情，分析响应特性比 求解相应更为重要。因为这样做不仅能够使 我们能够了解系统动态响应的特点，而且使 我们能够看出为何有这些特点，设计者可以 怎样改变系统，以按照人们的希望的方向修 改相应，使之符合要求。
（1）齐次解和特解
y(t) y1 (t) y 2 (t) Cie y p (t) i 1 强迫响应
响应曲线在[0，）
1.0 0.865 0.95 0.982
0.632
的时间区间中始终不会
超过其稳态值，把这样 的响应称为非周期响应。 t 无振荡
０
T
2T
3T
4T
c(t)
1.0 0.865
c(t) 1 e

t T
t 0
0.95 0.982
0.632
一阶系统响应具备两个重 要的特点： ①可以用时间常数T去度量 系统输出量的数值。 ②响应曲线的初始斜率等于 1/T。 t T反映了系统的 惯性。 T越小惯性越小， 响应快！ T越大，惯性越 大，响应慢。
s1, 2 n jn 1 2
上章研究过的质量弹簧阻尼器系统的传递函数
H s X ( s) 1 2 F ( s) m s fs k
简单的代数变形后得到
1 k /m H ( s) k s2 f s k m m
当极点位于右半s平面
0增幅振荡 0幅值单调增大
0 （虚数极点）等幅振荡 当极点位于虚轴上 0 应 （极点在原点）恒值响
当极点位于左半s平面上
0衰减振荡 0单调衰减
总之，极点的实部为正（极点位于右半平面），自然响应随时 间增长，系统是不稳定的。如果极点的实部为负（极点在左半 平面），自然响应随时间衰减，系统是稳定的。如果实部为零， 自然响应既不增长又不衰减，系统叫做临界稳定的，实际工作 中，常规与不稳定的范围。
（3） 愈大，即对虚轴的垂直 距离愈大，增大或衰减 愈快
控制系统的输入信号是多种多样的，既有确定性的输入，又有随 机性的输入，由于输入信号的形式与系统结构特点无关，同时， 对于不同的输入，系统又有不同的输出，一般称为响应特性。为 了便于研究，通常选用几种确定函数作为典型输入信号。 典型输入信号。条件：1 能反映实际输入；2 在形式上尽可能简单， 便于分析；3 使系统运行在最不利的工作状态。
0
t
考查系统的机动跟踪能力
4. 脉冲函数
并 有 t 0 t 0 t 0
及
t dt 1

(t)
R( s) L (t ) 1
0
t
考查系统在脉冲扰动下的恢复情况
各函数间关系：
t
积 分 求导 1t 积 分 求导 t 1t 积 分 1 2 求导 t 2 1t
Cxi e Cfi e
i t
i 1 i 1
n
n
i t
位于不同未知的实数极点和共轭复数极点，以及和它们对应的 自然相应形式表示如下图
σ
—— 闭环极点
———
的共轭极点
（1）系统自然响应的形式取决于传递函数的极点。任何一阶实 t 数极点s=α，相应的对于初始条件的自然相应具有形式 e 。一 对复数极点s=σ±jω，代表一个二阶振荡系统，相应的自然相应 具有形式2Aeσtcos（ωt+θ）。各响应分量的幅值则由极点和零 点共同确定。 （2）系统的自然响应衰减与否取决于极点位于左半s平面还是右 半s平面。或者说，取决于极点的实部为正、为负还是为零。