丰富的图形世界(二)

第二讲丰富的图形世界
生活中的立体图形
知识点1、几何图形
从实物中抽象出来的各种图形，包括立体图形和平面图形。

立体图形：图形的各个部分不在同一平面内。

平面图形：图形的各个部分都在同一平面内。

球体
圆柱
柱体
生活中的立体图形棱柱：三棱柱、四棱柱（长方体、正方体）、五棱柱、……
(按名称分) 圆锥
锥体
棱锥：三棱锥、四棱锥（长方体、正方体）、五棱锥、……
【例1】下面几种图形：①三角形；②正方形；③正方体；④圆；⑤圆锥；⑥圆柱.其中属于立体图形的是( )
A、③⑤⑥
B、①②③
C、③⑥
D、④⑤
练习：如图所示为8个立体图形．
其中，是柱体的序号为，（①②⑤⑦⑧）是锥体的序号为，（④⑥）；是球的序号为。

（③）．
知识点2、点、线、面、体
（1）几何图形的组成
点：线和线相交的地方是点，它是几何图形中最基本的图形。

线：面和面相交的地方是线，分为直线和曲线。

面：包围着体的是面，分为平面和曲面。

体：几何体也简称体。

（2）点动成线，线动成面，面动成体。

【例1】：汽车的雨刷把玻璃上的雨水刷干净属于的实际应用是（）。

A、点动成线
B、线动成面
C、面动成体
D、以上答案都不对
答案详解B
练习：假如我们把笔尖看作一个点，当笔尖在纸上移动时，就能画出线，说明了________ ______，时钟秒针旋转时，形成一个圆面，这说明了_______________，三角板绕它的一条直角边旋转一周，形成一个圆锥体，这说明了___________________；
答案详解点动成线，线动成面，面动成体
【例2】圆柱是由长方形绕着它的一边所在直线旋转一周得到的，那么图所示的图形是以下四个图中的哪一个绕着直线旋转一周得到的（）
答案此题答案为：A.
练习：如图把一个圆绕虚线旋转一周，得到的几何体是（）
A、B、C、D、
答案正确答案（B）
知识点3、棱柱的特征
（1）、棱柱及其有关概念：
棱：在棱柱中，任何相邻两个面的交线，都叫做棱。

侧棱：相邻两个侧面的交线叫做侧棱。

n棱柱有个底面，个侧面，共个面；条棱，条侧棱；个顶点。

n棱柱底面数（个）侧面数（个）总面数（个）棱数（条）侧棱数（条）顶点数（个）三棱柱 2 3 （）( ) 3 6
四棱柱（）（） 6 （） 4 （）五棱柱（） 5 （）15 （）（）六棱柱 2 （）8 （）（）12 …………………
n棱柱（）（）（）（）（）（）
三棱柱四棱柱五棱柱六棱柱
（2）、常见的几何体及其特点：
长方体：有8个顶点，12条棱，6个面，且各面都是长方形，正方体是特殊的长方体。

棱柱：上下两个面称为棱柱的底面，其他各面称为侧面，长方体是四棱柱。

棱锥：一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形。

圆柱：有上下两个底面和一个侧面（曲面），两个底面是半径相等的圆。

圆柱的表面展开图是由两个相同的圆形和一个长方形连成。

圆锥：有一个底面和一个侧面（曲面）。

侧面展开图是扇形，底面是圆。

球：有一个面（曲面）围成的几何体。

【例1】下列说法正确的是（ ）
A 、三棱柱有九条棱
B 、正方体不是四棱柱
C 、五棱柱只有五个
D 、六棱柱有六个顶点 答案A
练习1：一个六棱柱共有 条棱,如果六棱柱的底面边长都是cm 2,侧棱长都是cm 4,那么它所有棱长的和是 cm 。

答案详解18，48
练习2：如图所示的几何体是由一个正方体截去
4
1
后而形成的,这个几何体是由 个面围成的,其中正方形有 个,长方形有 个。

答案详解8，2，4
展开与折叠
立体几何图形的展开图
立体图形是由面围成的，设想沿着立体图形的一些棱将它剪开，可以把立体图形展开成一个平面图形，同一个立体图形，按不同的方式展开得到的平面展开图是不一样的。

知识点1、正方体的平面展开图：11种
1-4-1型（6种）
2-3-1型（3种） 2-2-2型 3-3型
【例1】下列图形中为正方体的平面展开图的是（ ）
A 、
B 、
C 、
D 、
答案C
练习：下列平面图形不能围成正方体的是（ ）
答案C
【例2】一个无盖的正方体盒子的平面展开图可以是下列图形中的 （ ） A 、只有图① B 、图①、图② C 、图②、图③ D 、图①、图③ 答案详解D
练习：下图是无盖长方体盒子的表面展开图(重叠部分不计),则盒子的容积为 。

答案详解6
知识点2、识别正方体表面展开图中的相对面
【例1】小亮为今年参加中考的好友小杰制作了一个正方体礼品盒（如图），六个面上各有一个字，连起来就是“预祝中考成功”，其中“预”的对面是“中”，“成”的对面是“功”，则它的平面展开图可能是（ ）。

A 、
B 、
C 、
D 、
答案详解C
练习：若要使得图中平面展开图折叠成正方体后，相对面上的两个数之和为5，则z y x ++的值为 。

答案详解4
【例2】如图，有一个正方体纸盒，在它的三个侧面分别画有三角形、正方形和圆，现用一把剪刀沿着它的棱剪开成一个平面图形，则展开图可以是（ ）。

A B C D
答案详解C
练习：如图，有一个正方体纸巾盒，它的平面展开图是（）
A、B、C、D、
答案详解B
知识点3、棱柱的展开图
棱柱的表面展开图是两个完全相同的多边形（作底面）和几个长方形（作侧面）。

【例1】下列图形中，能通过折叠围成一个三棱柱的是（）
答案B.
练习：下列图形经过折叠不能围成一个棱柱的是( )
A.、B、C、D、
答案B
知识点4、圆柱、圆锥的展开图
（1）圆柱的表面展开图是两个圆（作底面）和一个长方形（作侧面）。

（2）圆锥的表面展开图是一个圆（作底面）和一个扇形（作侧面）。

【例1】如图所示，圆柱体的表面展开后得到的平面图形是图中的（）
A、 B、 C、 D、
练习：如图是一个圆锥，下列平面图形是它的侧面展开图的是（）
A、B、C、D、
答案详解C．
截一个几何体
知识点：
1、用一个平面去截一个正方体，截出的面可能是三角形，四边形，五边形，六边形。

三角形正方形长方形梯形五边形六边形
注意：○1正方体只有六个面，所以截面最多有六条边，即截面边数最多的图形是六边形。

○2长方体、棱柱的截面与正方体的截面有相似之处。

2、用平面截圆柱体，可以出现以下几种情况（还有其他截面初中不予研究）。

3、用平面截圆锥，能截出圆和三角形两种截面（还有其他截面初中不予研究）。

4、用平面去截球体，只能出现一种截面：圆。

长方形（正方形）圆（椭圆）圆三角形圆
5、需要记住的要点：
【例1】下面几何体中，截面图形不可能是圆（）
A、圆柱
B、圆锥
C、球
D、正方体
答案D
练习：一个四边形切掉一个角后变成( )
A、四边形
B、四边形和五边形
C、五边形
D、三角形或四边形或五边形
答案D
【例2】如下图所示，用一个平面去截一个圆柱，则截得的形状应为( ).
A B C D
答案B
练习：用平面截几何体可得到平面图形，在下图中表示几何体的字母后填上它可截出的平面图形的号码.
A B C D E
如A（1,5,6）则B（），C（），D（），E（）。

答案
解：A圆锥，截面有可能是（①、⑤、⑥）；
B三棱锥，截面有可能是（①、③、④）；
C正方体，截面有可能是（①、②、③、④）；
D球体，截面只可能是（⑤）；
E圆柱体，截面有可能是（③、⑤、⑥）.
从三个方向看物体的形状
物体的三视图指主视图、俯视图、左视图。

主视图：从正面看到的图，叫做主视图。

左视图：从左面看到的图，叫做左视图。

俯视图：从上面看到的图，叫做俯视图。

知识点1：从三个方向看物体的形状
【例1】如图，从正面看到的平面图形是（）
从正面看
答案：D.
练习：如图是由一个圆柱体和一个长方体组成的几何体，其左视图是（）
答案详解A.
【例2】如图所示，电视台的摄像机1、2、3、4在不同位置拍摄了四幅画面，则A图象是______号摄像机所拍，B图象是______号摄像机所拍，C图象是______号摄像机所拍，D 图象是______号摄像机所拍.
【解答】1、如果以3号机为正面，那么3号机拍的是主视图，1号机拍的是左视图，4号机拍的是右视图，2号机拍的是后视图，
所以A图象是4号机拍的，B图象是3号机拍的，C图象是1号机拍的，D图象是2号机拍的.
练习：如图，桌子上放着一个圆锥和一个圆柱，请写出下面三幅图是从哪个方向看到的？
(1) (2) (3)
答案故答案为：(1)左视图(2)俯视图(3)主视图
知识点2：画从三个方向看到几何体的形状
【例1】如图所示的几何体是由6个相同的小立方块搭成的，请在方格纸上分别画出从正面、左面、上面看到的该几何体的形状图.
答案
如图所示：
练习：如图，是由7个完全相同的小立方块搭成的几何体，请在图中画出从正面、左面和上面观察该几何体得到的形状图.
答案
解：该几何体的三视图如图所示：
知识点3：由从不同方向看到的几何体的形状图确定小立方体的个数
【例1】图表示从上面看一个由相同小立方块搭成的几何体得到的平面图形，小正方形中的数字表示该位置上小立方块的个数，则该从正面看该几何体得到的平面图形为（）
A、B、C、D、
答案详解C
练习：在一个仓库里堆积着正方体的货箱若
干,要搬运这些箱子很困难,可是仓库管理员
要落实一下箱子的数量,于是就想出一个办
法:将这堆货物的三种视图画了出来,如图,你
能根据三视图,帮他清点一下箱子的数量吗?
答案
解:从图可得小正方体的个数有10个,如图:
【例2】用小立方块搭一个几何体,使得它的主视图和俯视图如图所示,这样的几何体只有一种吗?它最少需要多少个小立方块?最多需要多少个小立方块?
答案：最少要10个小立方块，最多要16个小立方块.
练习：如图,已知一个由小正方体组成的几何体的左视图和俯视图.
(1)该几何体最少需要几块小正方体?
(2)最多可以有几块小正方体?
答案详解
解:俯视图中有4个正方形,那么组合几何体的最底层有4个正方体,
(1)由左视图第二层有1个正方形可得组合几何体的第二层最少有1个正方体,
所以该几何体最少需要块小正方体;
(2)俯视图从上边数第一行的第二层最多可有3个正方体,
所以该几何体最多需要块小正方体.
【例3】如图是一个几何体的三视图，根据图中标注的数据可求出这个几何体的体积为．
答案
考点：由三视图判断几何体．
分析：易得此几何体为圆柱，圆柱的体积=底面积×高，把相关数值代入即可求解．
解答：解：此几何体为圆柱，体积为π×22×6=24π．
练习：如图,是一个几何体的两个视图,求该几何体的体积.(π取3.14)
答案
由题图知,该几何体由圆柱和长方体组合而成.圆柱的底面半径为 20 2 =10cm,高为32cm.长方体的长、宽、高分别为30cm,25cm,40cm.故该几何体的体积为V= V圆柱+ V长方体=
π 20 2 2 ×32+30×25×40=40048cm3.
课后作业：
1、如图，把下列物体和与其相似的图形连接起来．
2、黑板擦在黑板上擦出一片干净的区域，用数学知识解释为。

3、如图是由（）图形饶虚线旋转一周形成的．
A、B、C、D、
答案A
4、如果一个棱柱是由12个面围成的，那么这个棱柱是棱柱.
答案十．
5、一个正方体的表面展开图如图所示，则原正方体的“建”字所在的面的对
面所标的字是（）
A、设
B、福
C、茂
D、名
答案D
6、如图,把左边的图形折叠起来,它会变为（）
A、B、C、D、
答案详解B
7、用一个平面去截○1圆锥○2圆柱○3球○4五棱柱能得到截面是圆的几何体是
(填序号)。

答案(1)(2)(3)
8、一个物体的外形是圆柱，但不清楚它的内部结构，为探明其内部结构，给其做“CT”，用一组水平的平面去截这个物体，从上至下的五个截面形状依次如下图所示，则这个物体可能是().
答案B.
9、如图是由六个完全相同的小立方块堆成的物体，则这一物体从正面看到的图形是（）
答案A.
10、下列几何体中，从正面看和从上面看得到的形状图都为矩形的是（）
答案B.
11、新年晚会,是我们最欢乐的时候.会场上,悬挂着五彩缤纷的小装饰,其中有各种各样的立体图形.
正方体
正八面体
正十二面体
正二十面体12 20 30
(2)观察表中数据,猜想多面体的顶点数(V)、棱数(E)和面数(F)之间的关系.
(3)伟大的数学家欧拉证明了这一令人惊叹的关系式,即欧拉公式.
若已知一个多面体的顶点数,棱的条数.请你用欧拉公式求这个多面体
的面数.
答案详解
正方体8 6 12
正八面体 6 8 12
正十二面体20 12 30
(2),,,,
,;
(3)由,即:,.
这是一个100面体.
12、如图是山五块积木搭成，这几块积木都是相同的正方体，请画出这个图形的主视图、左视图和俯视图.
答案
13、如图所示是从上面看由几个小立方块所搭几何体得到的平面图形,小正方形内的数字表
示该位置上小立方块的个数.请画出从正面、左面看这个几何体得到的平面图形.
答案
解:作图如下:
14、在一个仓库里堆积着正方体的货箱若干，要搬运这些箱子很困难，可是仓库管理员要核实一下箱子的数量，于是就想出一个办法：将这堆货物从三个方向看的图形画了出来，你能根据所画的三幅图，帮他清点一下箱子的数量吗？
答案
解：从图可得小正方体的个数有8个，如图：
故答案为：8个.
15、如图所示,是由几个小立方块所搭几何体的俯视图,小立方块中的数字表示在该位置小立
方块的个数.请画出从正面和从左面看到的这个几何体的形状图.
答案
解:如图所示:。