5反证法高二导学案

笫一章反证法导学案
学习目标：1. 结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法——反证法；
2. 了解反证法的思考过程、特点；
3. 会用反证法证明问题. 学习重点：会用反证法证明问题；了解反证法的思考过程 学习难点：根据问题的特点，选择适当的证明方法. 学习过程： 一、自主学习
问题1：已知A 为平面BCD 外的一点，直线AB 、CD 是异面直线吗?
问题2：A 、B 、C 三个人，A 说B 撒谎，B 说C 撒谎，C 说A 、B 都撒谎。

则C 必定是在撒谎，为什么？
上面的证明方法叫作用反证法
反证法的概念与步骤
1.概念:（1）在证明数学命题时，先假定命题结论的_____成立，在这个前题下，若推出的结果与__________________相矛盾，或与命题中的_____________相矛盾，或与_________相矛盾，从而说明命题结论的反面_________成立，由此断定命题的结论_______. 这种证明方法叫作___________. （2）反证法是一种________证明的方法。

2．反证法的证明步骤：（1）作出否定_______的假设；（2）进行推理，导出________； （3）否定假设（即假设不成立），肯定原命题的________成立.
二 合作学习
用反证法证题时，否定结论准确写出结论的反设词至关重要，也是一个难点，请同学在下表中写出一些常见结论词的反设词： 原结论词 是 都是 至少有一个
至少有n 个
至多有一个
至多有n 个
反设词
原结论词
只有一个
对所有x 成立 对任意x 不成立 >
<
p 或q p 且q
反设词
例1. 已知0,0x y >>，且2x y +>，试证：11,x y
y x
++中至少有一个小于2.
例2. 证明2不是有理数.
例3. 求证：1,2,3不可能是一个等差数列中的三项。

例4. 如图所示，直线a 平行于平面α，β是过直线a 的平面，平面α与β相交于直线b ，求证：直线a 平行于直线b 。

三、课堂检测
1. 用反证法证明命题“三角形的内角至少有一个不大于60︒”时，反设正确的是（ ）. A ．假设三内角都不大于60︒ B ．假设三内角都大于60︒
C ．假设三内角至多有一个大于60︒
D ．假设三内角至多有两个大于60︒
2. 设,,a b c 都是正数，则三个数111
,,a b c b c a
+++（ ）.
A.都大于2
B.至少有一个大于2
C.至少有一个不小于2
D.至少有一个不大于2 3. 设,a b 是两个实数,给出下列条件: ①1a b +>；②2a b +=；③2a b +>； ④222a b +>. 其中能推出“,a b 中至少有一个大于1”的条件是__________(填序号)
四、课后练习
1. 实数,,a b c 不全为0等价于为（ ）.
A ．,,a b c 均不为0
B ．,,a b c 中至多有一个为0
C ．,,a b c 中至少有一个为0
D ．,,a b c 中至少有一个不为0
2. 用反证法证明命题：若整系数一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有有理根，那么a b c ，，中至少有一个是偶数时，下列假设中正确的是（ ）
Ａ．假设a b c ，，都是偶数 Ｂ．假设a b c ，，都不是偶数
Ｃ．假设a b c ，，至多有一个是偶数 Ｄ．假设a b c ，，至多有两个是偶数
3. 用反证法证明命题“自然数,,a b c 中恰有一个偶数”的反设为___________________________..
4. 已知1004321>+++a a a a ，求证：4321a a a a ，，，中，至少有一个数大于2
5.
5. 已知直线,a b 和平面α，如果,a b αα⊄⊂，且||a b ，求证||a α。

6. 设二次函数q px x x f ++=2
)(， 求证：)3(,)2(,)1(f f f 中至少有一个不小于2
1.
7 设23
3
=+b a ，求证.2≤+b a
8．已知实数a b c d ，，，满足1a b c d +=+=，1ac bd +>，求证a b c d ，，，中至少有一个是负数．
答案
答：AB 、CD 一定是异面在线, 证明如下：假设AB 、CD 不是异面直线，则AB 、CD 共面，从而A 、B 、C 、D 四点共面, 这与A 为平面BCD 外的一点矛盾, 即假设不成立, 故直线AB 、CD 是异面直线。

证明如下： 假设C 没有撒谎, 则C 真.那么A 假且B 假;由A 假, 知B 真. 这与B 假矛盾.那么假设C 没有撒谎不成立， 则C 必定是在撒谎. 例
1.
证
明
：
假
设
结
论
不
成
立
，
即
112,2x y
y x
++≥≥⇒
12,12222x y y x x y x y +≥+≥⇒++≥+
2x y ⇒+≤ ，这与巳知矛盾，故原结论正确， 即
11,x y
y x
++中至少有一个小于2. 例2. 证明：若2是有理数，那么它就可以表示成两个整数之比， 设20q
p p
=
≠，，且p ，q 互素，则q p =2。

所以 222q p =. ① 故2
q 是偶数，q 也必然为偶数。

设2q k =，代入①式，则有2
2
42k p =，即2
2
2k p =， 所以2p 是偶数,从而p 也为偶数。

故p 和q 都是偶数，它们有公约数2，这与p ，q 互素相矛盾。

因此，假设不成立， 即2不是理数。

例 3. 证明：假设1,2,3是公差为d 的等差数列的笫,,p q r 项，则21(),31()q p d r p d -=--=-
212q p
r p
--⇒
=
-，而此式的左边是无理数，右边是有理数，两者不可能相等，推出矛盾， 所以1,2,3不可能是一个等差数列中的三项。

例4. 证明：假设命题的结论不成立，即“直线a 不平行于直线b ”。

由于直线a ，b 在同一平面β中，且直线a ，b 不平行。

故直线a ，b 相交，
设交点为A ，A 在直线b 上，故A 在平面α上。

所以，直线a 与平面α相交于A 。

这与条件“直线a 平行于平面α”矛盾。

因此，假设不成立，即“直线a 平行于直线b ”。

达标检测: 1. B , 2.C, 3. ③，
4. 证明:假设,,a b c 都不大于0. 即0,0,00a b c a b c ≤≤≤⇒++≤, 而222(1)(1)(1)330a b c x y z ππ++=-+-+-+-≥->, 这与0a b c ++≤矛盾 所以假设不成立， 故,,a b c 中至少有一个大于0.
课后练习: 1. D ，2. B ，3. 没有偶数或至少有两个偶数,， 4. 证明：假设命题的结论不成立，即4321a a a a ，，，均不大于25， 那么100252525254321=+++≤+++a a a a ，
这与已知条件相矛盾。

所以，4321a a a a ，，，中，至少有一个数大于25。

5. 证明: 假设直线a 与平面α有公共点P ，则P b αβ∈= ，即点P 是直线 a 与b 的
公共点，这与||a b 矛盾．所以 ||a α.
6. 证明：假设)3(,)2(,)1(f f f 都小于
2
1
， 则.2)3()2(2)1(<++f f f （1）
另一方面，由绝对值不等式的性质，有
(1)2(2)(3)(1)2(2)(3)(1)2(42)(93)2f f f f f f p q p q p q ++≥-+=++-+++++=
（2） （1）、（2）两式的结果矛盾，所以假设不成立， 故原来的结论正确。

7 证明：假设2>+b a ，则有b a ->2，从而33323(2)8126a b a b b b >-⇒>-+-
332261286(1)22a b b b b ⇒+>-+=-+≥, 即332a b +>, 这与题设条件2
3
3=+b a 矛盾，
所以假设不成立， 故2≤+b a 成立。

8. 证明:假设,,,a b c d 都为非负实数, 又因为1a b c d +=+=, 所以,,,[0,1]a b c d ∈,
所以,22a c b d ac ac bd bd ++≤≤
≤≤, 从而122
a c
b d
ac bd +++≤+=, 这与1
ac bd +>矛盾.
所以假设不成立, 故a b c d ，，，中至少有一个是负数．。