2025届北京市东城五中高三下学期第六次检测数学试卷含解析

2025届北京市东城五中高三下学期第六次检测数学试卷
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积等于（ ）cm 3
A ．243
π+
B ．342
π+
C ．263
π+
D ．362
π+
2．已知集合{}1,0,1,2A =-，()(){}
120B x x x =+-<，则集合A B 的真子集的个数是（ ）
A ．8
B ．7
C ．4
D ．3
3．复数z 满足()11z z i -=+ (i 为虚数单位),则z 的值是( ) A ．1i +
B ．1i -
C ．i
D ．i -
4． “2a =”是“直线210ax y +-=与(1)20x a y +-+=互相平行”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
5．已知直三棱柱中111ABC A B C -，120ABC ∠=︒，2AB =，11BC CC ==，则异面直线1AB 与1BC 所成的角的正弦值为（ ）． A 3
B 10
C 15
D 6 6．已知A ，B 是函数()2,0
ln ,0x x a x f x x x a x ⎧++≤=⎨->⎩
图像上不同的两点，若曲线()y f x =在点A ，B 处的切线重合，则
实数a 的最小值是（ ）
A ．1-
B ．12
-
C ．
12
D ．1
7．在复平面内，复数z a bi =+（a ，b R ∈）对应向量OZ （O 为坐标原点），设OZ r =，以射线Ox 为始边，OZ 为终边旋转的角为θ，则()cos sin z r i θθ=+，法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理：()1111cos sin z r i θθ=+，
()2222cos sin z r i θθ=+，则()()12121212cos sin z z rr i θθθθ=+++⎡⎤⎣⎦，由棣莫弗定理可以导出复数乘方公式：
()()cos sin cos sin n
n
r i r n i n θθθθ+=+⎡⎤⎣⎦，已知(
)
4
3z i =
+，则z =（ ）
A ．23
B ．4
C ．83
D ．16
8．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点M 为棱1DD 的中点，则平面ACM 截该正方体的内切球所得截面面积为（ ） A ．
3
π
B ．
23
π C ．π
D ．
43
π 9．5
()(2)x y x y +-的展开式中3
3
x y 的系数为( ) A ．－30 B ．－40
C ．40
D ．50
10．
中，如果
，则
的形状是（ ）
A ．等边三角形
B ．直角三角形
C ．等腰三角形
D ．等腰直角三角形
11．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1512,90a S ==，则等差数列{}n a 公差d =（ ） A ．2
B ．
32
C ．3
D ．4
12．设平面α与平面β相交于直线m ，直线a 在平面α内，直线b 在平面β内，且b m ⊥则“αβ⊥”是“a b ⊥”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．即不充分不必要条件
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．设复数z 满足(1i)42i +=-z ，其中i 是虚数单位，若z 是z 的共轭复数，则z =____________．
14．我国古代数学名著《九章算术》对立体几何有深入的研究，从其中一些数学用语可见，譬如“憋臑”意指四个面都是直角三角形的三棱锥.某“憋臑”的三视图（图中网格纸上每个小正方形的边长为1）如图所示，已知几何体高为22则该几何体外接球的表面积为__________．
15．现有5人要排成一排照相，其中甲与乙两人不相邻，且甲不站在两端，则不同的排法有____种.（用数字作答）
16．已知实数x ，y 满足430260y x x y x y ≤⎧⎪
--≤⎨⎪+-≤⎩
，则目标函数21z x y =+-的最小值为__________．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）如图，矩形CDEF 和梯形ABCD 所在的平面互相垂直，90BAD ADC ∠=∠=，1
2
AB AD CD ==
，BE DF ⊥.
（1）若M 为EA 的中点，求证：//AC 平面MDF ； （2）若2AB =，求四棱锥E ABCD -的体积.
18．（12分）已知函数2
()ln 23f x x x ax x a =-+-，a Z ∈.
（1）当1a =时，判断1x =是否是函数()f x 的极值点，并说明理由； （2）当0x >时，不等式()0f x ≤恒成立，求整数a 的最小值.
19．（12分）已知函数4()1,()1()x a f x e g x a R x x ⎛⎫=-=-∈ ⎪⎝
⎭（e 是自然对数的底数， 2.718e ≈⋅⋅⋅）.
（1）求函数()f x 的图象在1x =处的切线方程； （2）若函数()
()
f x y
g x =
在区间[]
4,5上单调递增，求实数a 的取值范围； （3）若函数()()()h x f x x =+在区间(0,)+∞上有两个极值点()1212,x x x x <，且()1h x m <恒成立，求满足条件的m 的最小值（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）.
20．（12分）某健身馆为响应十九届四中全会提出的“聚焦增强人民体质，健全促进全民健身制度性举措”，提高广大市民对全民健身运动的参与程度，推出了健身促销活动，收费标准如下：健身时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为20元（不足l 小时的部分按1小时计算）.现有甲、乙两人各自独立地来该健身馆健身，设甲、
乙健身时间不超过1小时的概率分别为14，16
，健身时间1小时以上且不超过2小时的概率分别为12，2
3，且两人健
身时间都不会超过3小时.
（1）设甲、乙两人所付的健身费用之和为随机变量ξ（单位：元），求ξ的分布列与数学期望()E ξ；
（2）此促销活动推出后，健身馆预计每天约有300人来参与健身活动，以这两人健身费用之和的数学期望为依据，预测此次促销活动后健身馆每天的营业额.
21．（12分）已知函数()x
f x e ax =+，()ln x
g x e x =.
（1）若对于任意实数0x ≥，()0f x >恒成立，求实数a 的范围；
（2）当1a =-时，是否存在实数[]01,x e ∈，使曲线C ：()()y g x f x =-在点0x 处的切线与y 轴垂直？若存在，求出0x 的值；若不存在，说明理由.
22．（10分）在如图所示的几何体中，面CDEF 为正方形，平面ABCD 为等腰梯形，AB //CD ，AB =2BC ，点Q 为AE 的中点.
（1）求证：AC //平面DQF ；
（2）若∠ABC =60°，AC ⊥FB ，求BC 与平面DQF 所成角的正弦值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、D 【解析】
解：根据几何体的三视图知，该几何体是三棱柱与半圆柱体的组合体，
结合图中数据，计算它的体积为： V=V 三棱柱+V 半圆柱=×2×2×1+1
2
•π•12×1=（6+1.5π）cm 1． 故答案为6+1.5π．
点睛：根据几何体的三视图知该几何体是三棱柱与半圆柱体的组合体，结合图中数据计算它的体积即可． 2、D 【解析】 转化条件得{}0,1A B =，利用元素个数为n 的集合真子集个数为21n -个即可得解.
【详解】
由题意得()(){}{
}
12012B x x x x x =+-<=-<<，
∴{}0,1A B =，∴集合A B 的真子集的个数为2213-=个.
故选：D. 【点睛】
本题考查了集合的化简和运算，考查了集合真子集个数问题，属于基础题. 3、C 【解析】
直接利用复数的除法的运算法则化简求解即可． 【详解】
由()11z z i -=+得：()()()
2
11111i i z i i i i ++=
==-+- 本题正确选项：C 【点睛】
本题考查复数的除法的运算法则的应用，考查计算能力． 4、A 【解析】
利用两条直线互相平行的条件进行判定 【详解】
当2a =时，直线方程为2210x y +-=与20x y ++=，可得两直线平行；
若直线210ax y +-=与()120x a y +-+=互相平行，则()12a a -=，解得12a =，
21a =-，则“2a =”是“直线210ax y +-=与()120x a y +-+=互相平行”的充分不必要条件，故选A
【点睛】
本题主要考查了两直线平行的条件和性质，充分条件，必要条件的定义和判断方法，属于基础题． 5、C 【解析】
设M,N,P 分别为1,AB BB 和11B C 的中点，得出
11
,AB BC 的夹角为MN 和NP 夹角或其补角，根据中位线定理，
结合余弦定理求出,,AC MQ MP 和MNP ∠的余弦值再求其正弦值即可. 【详解】
根据题意画出图形:
设M,N,P 分别为1,AB BB 和11B C 的中点，
则
11
,AB BC 的夹角为MN 和NP 夹角或其补角
可知115
22
MN AB =
=
，11222NP BC ==. 作BC 中点Q ，则PQM 为直角三角形；
1
1,2
PQ MQ AC ==
ABC 中，由余弦定理得
22212cos 4122172AC AB BC AB BC ABC ⎛⎫
=+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭
AC ∴=
2
MQ =
在MQP △
中，2
MP =
=
在PMN 中，由余弦定理得
222
222
cos 2MN NP PM MNP MH NP +-+-∠====⋅⋅
所以sin MNP ∠===故选：C 【点睛】
此题考查异面直线夹角，关键点通过平移将异面直线夹角转化为同一平面内的夹角，属于较易题目. 6、B 【解析】
先根据导数的几何意义写出()f x 在,A B 两点处的切线方程，再利用两直线斜率相等且纵截距相等，列出关系树，从而得出()122112x a x e =-，令函数()()()221
02
x g x x e x =-≤ ，结合导数求出最小值，即可选出正确答案. 【详解】
解：当0x ≤ 时，()2
f x x x a =++，则()'21f x x =+;当0x >时，()ln x x a f x =-
则()'ln 1f x x =+.设()()()()
1122,,,A x f x B x f x 为函数图像上的两点， 当120x x << 或120x x <<时，()()12''f x f x ≠，不符合题意，故120x x <<. 则()f x 在A 处的切线方程为()
()()2
111121y x x a x x x -++=+-；
()f x 在B 处的切线方程为()()2222ln ln 1y x x a x x x -+=+-.由两切线重合可知
212
2
1ln 121x x x a a x +=+⎧⎨--=-⎩ ，整理得()()12211102x a x e x =-≤.不妨设()()()22102x
g x x e x =-≤ 则()()22',''12x
x
g x x e g x e =-=- ，由()''0g x = 可得11
ln 22
x =
则当11ln 22x =
时，()'g x 的最大值为11111
'ln ln 022222g ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭. 则()()2212x g x x e =-在(],0-∞ 上单调递减，则()1
02
a g ≥=-. 故选:B. 【点睛】
本题考查了导数的几何意义，考查了推理论证能力，考查了函数与方程、分类与整合、转化与化归等思想方法.本题的难点是求出a 和x 的函数关系式.本题的易错点是计算. 7、D 【解析】
根据复数乘方公式：()()cos sin cos sin n
n
r i r n i n θθθθ+=+⎡⎤⎣⎦，直接求解即可.
【详解】
)
4
4
4
1216cos sin 2266z i
i i ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=
=+=+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦
16cos 4sin 4866i ππ⎡⎤
⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎣⎦，
16z =
=.
故选：D 【点睛】
本题考查了复数的新定义题目、同时考查了复数模的求法，解题的关键是理解棣莫弗定理，将复数化为棣莫弗定理形式，属于基础题. 8、A 【解析】
根据球的特点可知截面是一个圆，根据等体积法计算出球心到平面ACM 的距离，由此求解出截面圆的半径，从而截面面积可求. 【详解】
如图所示：
设内切球球心为O ，O 到平面ACM 的距离为d ，截面圆的半径为r ， 因为内切球的半径等于正方体棱长的一半，所以球的半径为1， 又因为O AMC M AOC V V --=，所以123
3
AMC
AOC
d S
S ⨯⨯=
⨯，
又因为()()
2
2
1
1
225
2
6,22122
2
AMC
AOC
S
S
=⨯⨯-==⨯⨯=， 所以1263
3d ⨯=
，所以6d =， 所以截面圆的半径22
31r d =-=2
333S ππ⎛=⋅= ⎝⎭
. 故选：A. 【点睛】
本题考查正方体的内切球的特点以及球的截面面积的计算，难度一般.任何一个平面去截球，得到的截面一定是圆面，截面圆的半径可通过球的半径以及球心到截面的距离去计算. 9、C 【解析】
先写出()5
2x y -的通项公式，再根据3
3
x y 的产生过程，即可求得.
【详解】
对二项式()5
2x y -，
其通项公式为()
()
()555155221r
r
r
r
r r
r r r T C x y C x y ---+=-=-
5()(2)x y x y +-的展开式中33x y 的系数
是()5
2x y -展开式中23x y 的系数与32
x y 的系数之和.
令3r =，可得2
3
x y 的系数为()3
32
52140C -=-；
令2r =，可得32x y 的系数为()2
23
52180C -=；
故5()(2)x y x y +-的展开式中33
x y 的系数为804040-=. 故选：C. 【点睛】
本题考查二项展开式中某一项系数的求解，关键是对通项公式的熟练使用，属基础题. 10、B 【解析】 化简得lg cos A ＝lg ＝﹣lg 2，即
，结合
， 可求
，得
代入sinC ＝sinB ，从而可求
C ，B ，进而可判断. 【详解】 由，可得lg cos A ＝＝﹣lg 2，∴
，
∵，∴
，
，∴sin C ＝sin B ＝
＝
，∴tanC ＝，C ＝，B ＝.
故选：B 【点睛】
本题主要考查了对数的运算性质的应用，两角差的正弦公式的应用，解题的关键是灵活利用基本公式，属于基础题． 11、C 【解析】
根据等差数列的求和公式即可得出． 【详解】 ∵a 1=12，S 5=90， ∴5×12+
54
2
⨯ d=90， 解得d=1． 故选C ． 【点睛】
本题主要考查了等差数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 12、A 【解析】
试题分析：α⊥β， b ⊥m 又直线a 在平面α内，所以a ⊥b ，但直线
不一定相交，所以“α⊥β”是“a ⊥b”
的充分不必要条件，故选A.
考点：充分条件、必要条件.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、13i +
【解析】 由于42i (42i)(1i)13i 1i 2
---===-+z ，则13i =+z ． 14、12π
【解析】
三视图还原如下图：22,2,2AB BD CD BC ====，由于每个面是直角，显然外接球球心O 在AC 的中点.所以3R =，2412S R ππ==，填12π。

【点睛】三视图还原，当出现三个尖点在一个位置时，我们常用“揪尖法”。

外接球球心到各个顶点的距离相等，而直角三角形斜边上的中点到各顶点的距离相等，所以本题的球心为AC 中点。

15、36
【解析】
先优先考虑甲、乙两人不相邻的排法，在此条件下，计算甲不排在两端的排法，最后相减即可得到结果.
【详解】
由题意得5人排成一排，甲、乙两人不相邻，有3234A A 种排法，其中甲排在两端，有31
332A A 种排法，则6人排成一排，
甲、乙两人不相邻，且甲不排在两端，共有32313433362A A A A -=（种）排法. 所以本题答案为36.
【点睛】
排列、组合问题由于其思想方法独特，计算量庞大，对结果的检验困难，所以在解决这类问题时就要遵循一定的解题原则，如特殊元素、位置优先原则、先取后排原则、先分组后分配原则、正难则反原则等，只有这样我们才能有明确的解题方向.同时解答组合问题时必须心思细腻、考虑周全，这样才能做到不重不漏，正确解题.
16、-1
【解析】
作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z 的最大值．
【详解】
作出实数x ，y 满足430260y x x y x y ≤⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩
，，，对应的平面区域如图阴影所示；
由z ＝x +2y ﹣1，得y 12=-x 122z ++， 平移直线y 12=-x 122z ++，由图象可知当直线y 12=-x 122
z ++经过点A 时， 直线y 12=-x 122z ++的纵截距最小，此时z 最小． 由430y x x y =⎧⎨--=⎩
，得A （﹣1，﹣1）， 此时z 的最小值为z ＝﹣1﹣2﹣1＝﹣1，
故答案为﹣1．
【点睛】
本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法，是基础题
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、 (1)见解析(2) 42E ABCD V -=
【解析】
（1）设EC 与DF 交于点N ，连结MN ，由中位线定理可得MN ∥AC ，故AC ∥平面MDF ； （2）取CD 中点为G ，连结BG ，EG ，则可证四边形ABGD 是矩形，由面面垂直的性质得出BG ⊥平面CDEF ，故BG ⊥DF ，又DF ⊥BE 得出DF ⊥平面BEG ，从而得出DF ⊥EG ，得出Rt △DEG ～Rt △EFD ，
列出比例式求出DE ，代入体积公式即可计算出体积．
【详解】
（1）证明：设EC 与DF 交于点N ，连接MN ，
在矩形CDEF 中，点N 为EC 中点，
∵M 为EA 的中点，∴//MN AC ，
又∵AC ⊄平面MDF ，MN ⊂平面MDF ，
∴//AC 平面MDF .
（2）取CD 中点为G ，连接BG ，EG ，
平面CDEF ⊥平面ABCD ，
平面CDEF ⋂平面ABCD CD =，
AD ⊂平面ABCD ，AD CD ⊥，
∴AD ⊥平面CDEF ，同理ED ⊥平面ABCD ，
∴ED 的长即为四棱锥E ABCD -的高，
在梯形ABCD 中12
AB CD DG ==，//AB DG ， ∴四边形ABGD 是平行四边形，//BG AD ，
∴BG ⊥平面CDEF ，
又∵DF ⊂平面CDEF ，∴BG DF ⊥，
又BE DF ⊥，BE BG B ⋂=，
∴DF ⊥平面BEG ，DF EG ⊥.
注意到Rt DEG Rt EFD ∽，
∴28DE DG EF =⋅=，22DE = ∴1423
E ABCD ABCD V S ED -=
⋅=. 【点睛】
求锥体的体积要充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解，注意求体积的一些特殊
方法——分割法、补形法、等体积法. ①割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决．②等积法：等积法包括等面积法和等体积法．等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值．
18、（1）1x =是函数()f x 的极大值点，理由详见解析；（2）1.
【解析】
（1）将1a =直接代入，对()f x 求导得()'ln 44f x x x =-+，由于函数单调性不好判断，故而构造函数，继续求导，
判断导函数()f x '在1x =左右两边的正负情况，最后得出，1x =是函数()f x 的极大值点；
（2）利用题目已有条件得1a ≥，再证明1a =时，不等式()0f x ≤ 恒成立，即证1ln 230x x x -+-
≤，从而可知整数a 的最小值为1.
【详解】
解:（1）当1a =时，()'ln 44f x x x =-+.
令()()'ln 44F x f x x x ==-+，则()114'4x F x x x -=
-= 当14
x >时，()0F x '<. 即()'f x 在1,4⎛⎫+∞
⎪⎝⎭内为减函数，且()'10f = ∴当1,14x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
时，()'0f x >;当(1,)x ∈+∞时，()'0f x <. ∴()f x 在1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
内是增函数，在(1,)+∞内是减函数. 综上，1x =是函数()f x 的极大值点.
（2）由题意，得()10f ≤，即1a ≥.
现证明当1a =时，不等式()0f x ≤成立，即2ln 2310x x x x -+-≤. 即证1ln 230x x x
-+-≤ 令()1ln 23g x x x x =-+-
则()()()22222111121'2x x x x g x x x x x
-+--++=-+== ∴当)1(0x ∈，
时，()'0g x >;当(1,)x ∈+∞时，()'0g x <. ∴()g x 在()0,1内单调递增，在(1,)+∞内单调递减，
()g x 的最大值为()10g =.
∴当0x >时，1ln 230x x x
-+-≤. 即当0x >时，不等式()0f x ≤成立.
综上，整数a 的最小值为1.
【点睛】
本题考查学生利用导数处理函数的极值，最值，判断函数的单调性，由此来求解函数中的参数的取值范围，对学生要求较高，然后需要学生能构造新函数处理恒成立问题，为难题
19、（1）4y ex e =-；（2）(5,)+∞；（3）4-.
【解析】
（1）利用导数的几何意义计算即可；
（2）2'2(4)340()x x a x a e
y a x ⎡⎤--+++⎣⎦=≥-在[]4,5上恒成立，只需2(4)340x a x a -+++，注意到[4,5]a ∉；
（3）()2440x x x e a -+-=在(0,)+∞上有两根，令()
2()44x m x x x e a =-+-，求导可得()m x 在()0,2上单调递减，在(2,)+∞上单调递增，所以(0)40(2)0m a m a =->⎧⎨
=-<⎩且()12111(0,2),44x x x x e a ∈-+=，2(2,3)x ∈，()()1
1131x h x x e =--，求出()1h x 的范围即可.
【详解】 （1）因为4()1x f x e x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以'244()1x f x e x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝
⎭， 当1x =时，'(1)3,(1)f e f e =-=，
所以切线方程为(3)(1)y e e x --=-，即4y ex e =-.
（2）()(4)()x
f x x e y
g x a x -==-，2'2
(4)34()x x a x a e y a x ⎡⎤--+++⎣⎦=-.
因为函数()()f x y g x =在区间[]
4,5上单调递增，所以[4,5]a ∉，且'0y ≥恒成立， 即2(4)340x a x a -+++，
所以224(4)43405(4)5340a a a a ⎧-+⨯++≤⎨-+⨯++≤⎩，即492a a ≥⎧⎪⎨≥⎪⎩
，又(,4)(5,)a ∈-∞+∞， 故5a >，所以实数a 的取值范围是(5,)+∞.
（3）()2'244(4)()()()(),()x x x x e a x e a x h x f x g x h x x x
-+--+-=+==. 因为函数()()()h x f x g x =+在区间(0,)+∞上有两个极值点，
所以方程()'0h x =在(0,)+∞上有两不等实根，即()
2440x x x e a -+-=. 令()2()44x m x x x e a =-+-，则()'2()2x m x x x e =-，由()0m x '
>，得2x >， 所以()m x 在()0,2上单调递减，在(2,)+∞上单调递增，
所以(0)40(2)0m a m a =->⎧⎨=-<⎩，解得04a <<且()1
2111(0,2),44x x x x e a ∈-+=. 又由33(3)280m e a a a =->-=->，所以2(2,3)x ∈，
且当()10,x x ∈和()2,x +∞时，()()0h x h x '
>，单调递增， 当()12,x x x ∈时，()()'0h x h x <，单调递减，12,x x 是极值点，
此时()()()()()111121111111111444431x x x x x e x x e x x e a x h x x e x x -+-+--+-===--
令()(3)1((0,2))x n x x e x =--∈，则'()(2)0x n x x e =-<，
所以()n x 在()0,2上单调递减，所以()1(0)4h x h <=-.
因为()1h x m <恒成立，所以4m ≥-.
若124m -<<-，取114
m x =--，则14 4m x =--， 所以()()1111343x h x m x e x -=-++.
令()(3)43(0)x H x x e x x =-++>，则'()(2)4x H x x e =-+，''()(1)x H x x e =-.
当(0,1)x ∈时，()''0H x <；当(1,)x ∈+∞时，()''0H x >.
所以''min ()(1)40H x H e ==-+>，
所以()(-3)43x H x x e x =++在(0,)+∞上单调递增，所以()()00H x H >=， 即存在114
m x =--使得()1h x m >，不合题意. 满足条件的m 的最小值为-4.
【点睛】
本题考查导数的综合应用，涉及到导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性、极值点，不等式恒成立等知识，是一道难题.
20、（1）见解析，40元（2）6000元
【解析】
（1）甲、乙两人所付的健身费用都是0元、20元、40元三种情况，因此甲、乙两人所付的健身费用之和共有9种情况，分情况计算即可
（2）根据（1）结果求均值.
【详解】
解：（1）由题设知ξ可能取值为0，20，40，60，80，则
()11104624
P ξ==⨯=； ()121112043624
P ξ==⨯+⨯=； ()11121154046236412
P ξ==⨯+⨯+⨯=； ()111216026434
P ξ==⨯+⨯=； ()111804624
P ξ==⨯=. 故ξ的分布列为：
所以数学期望()10204060804024412424
E ξ=⨯
+⨯+⨯+⨯+⨯=（元） （2）此次促销活动后健身馆每天的营业额预计为：14030060002⨯⨯=（元） 【点睛】
考查离散型随机变量的分布列及其期望的求法，中档题.
21、（1）(),e -+∞；（2）不存在实数[]01,x e ∈，使曲线()y M x =在点0x x =处的切线与y 轴垂直.
【解析】
（1）分类0x =时，恒成立，0x ≠时，分离参数为x
e a x >-，引入新函数()x e H x x
=-，利用导数求得函数最值即可；
（2）()()()ln x x
M x f x g x e x e x =-=-+，导出导函数()M x '，问题转化为()0M x '=在[1,]e 上有解．再用导数研究()M x 的性质可得．
【详解】
解：（1）因为当0x ≥时，()0x
f x e ax =+>恒成立， 所以，若0x =，a 为任意实数，()0x
f x e ax =+>恒成立. 若0x >，()0x
f x e ax =+>恒成立， 即当0x >时，x
e a x
>-， 设()x e H x x =-，()()221'x x x x e e x e H x x x
--=-=， 当()0,1x ∈时，()'0H x >，则()H x 在()0,1上单调递增，
当()1,x ∈+∞时，()'0H x <，则()H x 在()1,+∞上单调递减，
所以当1x =时，()H x 取得最大值.
()()max 1H x H e ==-，
所以，要使0x ≥时，()0f x >恒成立，a 的取值范围为(),e -+∞.
（2）由题意，曲线C 为：ln x x y e x e x =-+.
令()ln x x
M x e x e x =-+， 所以()1'ln 1ln 11x x x x e M x e x e x e x x ⎛⎫=+-+=+-+ ⎪⎝⎭
， 设()1ln 1h x x x =+-，则()22111'x h x x x x
-=-+=，
当[]1,x e ∈时，()'0h x ≥，
故()h x 在[]1,e 上为增函数，因此()h x 在区间[]1,e 上的最小值()1ln10h ==，
所以()1ln 10h x x x
=+-≥， 当[]01,x e ∈时，00x e >，
001ln 10x x +-≥， 所以()00001'ln 110x M x x e x ⎛⎫=+-+> ⎪⎝⎭
， 曲线ln x x y e x e x =-+在点0x x =处的切线与y 轴垂直等价于方程()0'0M x =在[]
1,x e ∈上有实数解. 而()0'0M x >，即方程()0'0M x =无实数解.
故不存在实数[]01,x e ∈，使曲线()y M x =在点0x x =处的切线与y 轴垂直.
【点睛】
本题考查不等式恒成立，考查用导数的几何意义，由导数几何把问题进行转化是解题关键．本题属于困难题．
22、（1）见解析（2）
255 【解析】
（1）连接CE 交DF 于点M ，连接QM ，通过证明//QM AC ，证得//AC 平面PQF .
（2）建立空间直角坐标系，利用直线BC 的方向向量和平面DQF 的法向量，计算出线面角的正弦值.
【详解】
（1）证明：连接CE 交DF 于点M ，连接QM ，因为四边形CDEF 为正方形，所以点M 为CE 的中点，又因为Q 为AE 的中点，所以//QM AC ；
QM ⊂平面,DQF AC ⊄平面DQF ，
//AC ∴平面DQF .
（2）解：2AB BC =，设1BC =，则2AB =，在ABC 中，60ABC ︒∠=，由余弦定理得：22221221cos603AC ︒=+-⨯⨯⨯=，
222,AC BC AB AC BC ∴+=∴⊥．
又,AC FB CB BF B ⊥⋂=，AC ∴⊥平面FBC ．AC FC ∴⊥．
,CD FC FC ⊥∴⊥平面ABCD ．
如图建立的空间直角坐标系D xyz -．
在等腰梯形ABCD 中，可得1CD CB ==． 3133(,,0),(0,0,1),(,,0),(0,1,0),(0,1,1)2222A E B C F ∴-则311(,,)442
Q -． 那么31311(,,0),(,,),(0,1,1)22442BC DQ DF =-
-=-= 设平面DQF 的法向量为(,,)n x y z =，
则有00n DQ n DF ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即31104420x y z y z ⎧-+=⎪⎨⎪+=⎩
，取1y =，得(3,1,1)n =-． 设BC 与平面DQF 所成的角为θ，则||25|sin |cos ,|5||||
CB CB CB n n n θ⋅=<>=
=⋅． 所以BC 与平面DQF 所成角的正弦值为255．
【点睛】
本小题主要考查线面平行的证明，考查线面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.。