山东省日照市莒县长岭中学2020-2021学年高一数学理月考试卷含解析

山东省日照市莒县长岭中学2020-2021学年高一数学理月考试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知偶函数在区间单调递减，则满足的取值范围是（）
参考答案：
C
略
2. 下列四组函数中表示同一函数的是（）
A．与 B．与
C．与 D．与
参考答案：
C
试题分析：A项,与的解析式不同,不是同一函数；B项,的定义域为,的定义域为,不是同一函数；C项,与
定义域都是,且解析式相同,是同一函数；D项,的定义域为,
的定义域为,不是同一函数.故选C.
考点：函数的三要素.
【易错点晴】本题考查学生对函数三要素的掌握,属于易错题目.函数的三要素是函数的定义域,值域和对应法则,因此在判断两个函数是否是同一函数时,首先要看定义域是否相等,即要满足“定义域优先”的原则,再看解析式是否可以化简为同一个式子,如果定义域与解析式均相同,则函数的值域必然也相同,若其中任一个不一致,则不是同一函数.
3. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A. B.
C. D.
参考答案：
A
略
4. 在下列四个正方体中，能得出异面直线AB⊥CD的是( )
参考答案：
A
5. 若函数的图像与x轴有两个交点，则实数a的取值范围是
A．0<a<10 B．1<a<10 C．0<a<1 D．0<a<1或1<a<10
参考答案：
D
6. 今有一组实验数据，如表：
A．y=2x﹣1+1 B．y=log2x C．y=x2－D．y=﹣2x﹣2
参考答案：
C
【考点】函数模型的选择与应用．
【分析】把（x，y）的值分别代入A，B，C，D中，能够找到拟合最好的函数模型．
【解答】解：把（x，y）的值分别代入y=2x﹣1+1中，不成立，故A不是拟合最好的函数模型；
把（x，y）的值分别代入中，不成立，故B不是拟合最好的函数模型；
把（x，y）的值分别代入中，基本成立，故C是拟合最好的函数模型；
把（x，y）的值分别代入y=﹣2x﹣2中，不成立，故D不是拟合最好的函数模型．
故选：C．
7. 已知函数f（x）=是R上的增函数，则a的取值范围是（）
A．﹣3≤a＜0 B．﹣3≤a≤﹣2 C．a≤﹣2 D．a＜0
参考答案：
B
【考点】函数单调性的性质；二次函数的性质．
【分析】由函数f（x）上R上的增函数可得函数，设g（x）=﹣x2﹣ax﹣5，h（x）=，则可知函数g（x）在x≤1时单调递增，函数h（x）在（1，+∞）单调递增，且g（1）≤h（1），从而可求
【解答】解：∵函数是R上的增函数
设g（x）=﹣x2﹣ax﹣5（x≤1），h（x）=（x＞1）
由分段函数的性质可知，函数g（x）=﹣x2﹣ax﹣5在（﹣∞，1]单调递增，函数h（x）=在（1，+∞）单调递增，且g（1）≤h（1）∴
∴
解可得，﹣3≤a≤﹣2
故选B
8. 将函数y=sin（x+）图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为（）
A．x=﹣B．x=﹣C．x=D．x=
参考答案：
B
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【分析】根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，可得结论．
【解答】解：将函数y=sin（x+）图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），可得函数y=sin（2x+）的图象，
再向右平移个单位，那么所得图象对应的函数解析式为y=sin[2（x﹣）+]=sin（2x﹣）=﹣cos2x，
故最后所得函数的图象的一条对称轴方程为2x=kπ，即x=，k∈z，
结合所给的选项可得只有B满足条件，
故选：B．
9. 已知a=log5，b=log23，c=1，d=3﹣0.6，那么（）
A．a＜c＜b＜d B．a＜d＜c＜b C．a＜b＜c＜d D．a＜c＜d＜b
参考答案：
B
【考点】对数值大小的比较．
【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】利用对数函数、指数数的性质求解．
【解答】解：∵a=log5＜=﹣2，
b=log23＞log22=1，c=1，
0＜d=3﹣0.6＜30=1，
∴a＜d＜c＜b．
故选：B．
【点评】本题考查四个数的大小的比较，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数、指数数的性质的合理运用．
10. 已知函数f（x）=，若关于x的方程f（x）=k有三个不同的实根，则实数k的取值范围是（）
A．（﹣1，0）B．（0，1）C．（﹣1，+∞）D．（﹣∞，0）
参考答案：
A
【考点】根的存在性及根的个数判断．
【专题】数形结合；数形结合法；函数的性质及应用．
【分析】令y=k，画出函数y=f（x）和y=k的图象，通过图象观察即可得到所求k的范围．
【解答】解：画出函数f（x）的图象（红色曲线），
如图所示：
令y=k，由图象可以读出：﹣1＜k＜0时，
y=k和y=f（x）的图象有3个交点，
即方程f（x）=k有三个不同的实根，
故选A．【点评】本题考查根的存在性问题，渗透了函数方程的转化思想和数形结合思想，是一道中档题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 函数的图像向左平移个单位，再将图像上的每个点的横坐标压缩到原来的
后，所得函数图像的解析式是
参考答案：
12. 在区间[－5,5]上随机地取一个数
x，则事件“”发生的概率为。

参考答案：
0.6
解不等式，
得或．
又，
∴或．
根据几何概型可得所求概率为．
13. 已知为原点，点的坐标分别为其中常数，点在线段上，且
，则的最大值为▲．
参考答案：
14. 下列各组中的两个函数是同一函数的是．（填序号）
① y 1 =，y 2 = x －5； ② y 1 =，y 2 =
；
③ y 1 = x ，y 2 =
；④ y 1 = x ，y 2 =
；⑤ y 1 = (
)2
，y 2 = 2x －5；
⑥ y 1 = x 2
－2x －1，y 2 = t 2
－2t －1. 参考答案： ④⑥
15. 下列函数：y=
；
y = x2; y= |x| －1；其中有2个零点的函数的序号是_________.
参考答案：
略
16. 已知函数f （x ）=
，则f （lg2）+f （lg ）
= ．
参考答案：
2
【考点】函数的值．
【分析】利用对数函数
F （x ）=是奇函数以及对数值，直接化简求解即可． 【解答】解：函数f （x ）=
，
则f （lg2）+f （lg ）=f （lg2）+f （﹣lg2） 令F （x ）=， F （﹣x ）=
，
∴F（x ）+F （（﹣x ）=0 ∴F（x ）=
=f （x ）﹣1是奇函数， ∴f（lg2）﹣1+f （﹣lg2）﹣1=0 ∴f（lg2）+f （﹣lg2）=2，
即f （lg2）+f （lg ）=2
故答案为：2
17. 已知，若有，，则的取值范围是 ▲ 。

参考答案：
略
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知f （x ）=sin 2
（2x ﹣）﹣2t?sin （2x ﹣）+t 2
﹣6t+1（x∈[
，]）其最小值为g
（t ）．
（1）求g （t ）的表达式；
（2）当﹣≤t≤1时，要使关于t 的方程g （t ）=kt 有一个实根，求实数k 的取值范围．
参考答案：
【考点】GL ：三角函数中的恒等变换应用；HW ：三角函数的最值． 【分析】（1）利用x 的范围确定sin （2x ﹣
），对函数解析式化简整理，对t 进行分类讨论，利
用抛物线的性质求得每种情况的g （t ）的解析式，最后综合． （2）根据（1）中获得当
时g （t ）的解析式，令h （t ）=g （t ）﹣kt ，要使g （t ）=kt 有
一个实根需h （﹣）和h （1）异号即可． 【解答】解：（1）∵x∈[，
]，
∴sin（2x ﹣
）∈[﹣，1]，
∴f（x ）=[sin （2x ﹣
﹣t]2﹣6t+1，
当t ＜﹣时，则当sinx=﹣时，f （x ）min =；
当﹣≤t≤1时，当sinx=t 时，f （x ）min =﹣6t+1；
当t＞1时，当sinx=1时，f（x）min=t2﹣8t+2；
∴g（t）=
（2）当时，g（t）=﹣6t+1．令h（t）=g（t）﹣kt．
欲使g（t）=kt有一个实根，则只需使或即可．
解得k≤﹣8或k≥﹣5．
【点评】本题主要考查了抛物线的基本性质，分类讨论思想，分段函数等知识．注意运用数形结合和分类讨论的思想．
19. 已知函数且此函数图象过点
(1)．求实数的值；（2）．判断的奇偶性；
参考答案：
解：（1）依题意知
即
（2）
又20. ；
参考答案：
略
21. 已知，
（1）求函数的解析式；
（2）求函数在区间上的值域.
参考答案：
（1）解：则
即
（2）在区间单调递减，在区间单调递增（可定义证明）
，值域为
略
22. 如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AD⊥平面A1BC，其垂足D落在直线A1B上．
（Ⅰ）求证：BC⊥A1B；
（Ⅱ）若P是线段AC上一点，，AB=BC=2，三棱锥A1﹣PBC的体积为，求的值．
参考答案：
【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LO：空间中直线与直线之间的位置关系．
【分析】（I）由AD⊥平面A1BC得BC⊥AD，由AA1⊥平面ABC得BC⊥AA1，故BC⊥平面A1AB，所以BC⊥A1B；
（II）设PC=x，用x表示出棱锥A1﹣BPC的体积，列出方程解出x，得到AP和PC的值．
【解答】（Ⅰ）证明∵AD⊥平面A1BC，BC?平面A1BC，
∴AD⊥BC．
∵AA1⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴AA1⊥BC．
又∵AA1∩AD=A，AA1?平面AA1B，AD?平面AA1B，
∴BC⊥平面AA1B，∵A1B?平面AA1B，
∴BC⊥A1B．
（Ⅱ）解：设PC=x，过点B作BE⊥AC于点E．
由（Ⅰ）知BC⊥平面AA1B1B，∴BC⊥AB，
∵AB=BC=2，∴，．
∴，
∵AD⊥平面A1BC，其垂足D落在直线A1B上，
∴AD⊥A1B．∴BD==1，又∵AA1⊥AB，
∴Rt△ABD∽Rt△A1BA，∴，
∴．
∴=．
解得：，∴．∴．。