数学模型与数学建模 第3章 b 汽车的汽油里程

考虑阻力，汽车在高速公路上速率运动， 考虑阻力，汽车在高速公路上速率运动，与空气阻力 相比， 假设摩擦力很小是合理的。 相，3. 假设摩擦力很小是合理的。 阻力子模型选取为： 阻力子模型选取为： Fr ∝ S v2 S是垂直于汽车运动方向的汽车的横截面面积，在此为 是垂直于汽车运动方向的汽车的横截面面积， 是垂直于汽车运动方向的汽车的横截面面积 常数。 常数。所以 Fr ∝ v2 再由条件 Fp = Fr 及（1）式得 ） Cr /v ∝ v2 化简得 Cr ∝ v2
（3） ）
尽管（ ）式表明速度越快单位时间内用掉更多燃油。 尽管（3）式表明速度越快单位时间内用掉更多燃油。 但汽车开得也更快了。 但汽车开得也更快了。 回顾燃油里程的定义： 燃油里程= 回顾燃油里程的定义： 燃油里程 距离/油耗 距离= vt 油耗= Cr t
燃油里程 ∝ v -2 因此，燃油里程与速度的平方成反比。 因此，燃油里程与速度的平方成反比。
限制问题的识别
对于一位特定的司机来说， 对于一位特定的司机来说，某一天驾驶着汽车在平坦的高速公 路上， 路上，为了节省燃油而在最优速率附近以不变的高速公路速率行驶 这个事实就提供了一个定性的解释， 这个事实就提供了一个定性的解释，解释了速率的微小的增加燃油 的开支的变化。 的开支的变化。 在此限制问题下（化简了问题假设） 在此限制问题下（化简了问题假设） 1.空气的温度、空气湿度、道路状况等类似环境条件都不变。 空气的温度、空气湿度、道路状况等类似环境条件都不变。 空气的温度 2.车与司机已确定 车与司机已确定-------车胎状况、车形状和表面、燃油类型不变。 车胎状况、 车与司机已确定 车胎状况 车形状和表面、燃油类型不变。 3.限制车速在最优车速附近 限制车速在最优车速附近-------发动机效率、齿轮比等不变。 发动机效率、 限制车速在最优车速附近 发动机效率 齿轮比等不变。
摘录说的是“车速” 摘录说的是“车速”与“油耗”的问题。所谓 油耗”的问题。 “最佳油效”是指行驶相同的距离尽量使得耗油 最佳油效” 量最少。 量最少。 在深入研究之前， 在深入研究之前，我们需要引入一个衡量油效的 科学指标！ 科学指标！
燃油里程：一加仑燃油能行驶的英里数。 燃油里程：一加仑燃油能行驶的英里数。 该摘录试图告诉人们燃油开支是怎样因车速而 变化的。低速率和低排挡行驶时， 变化的。低速率和低排挡行驶时，汽车转换能量 的效率相对不高； 的效率相对不高；而高速行驶时作用在汽车的阻 力会迅速增加。 力会迅速增加。于是我们期望认为存在某些个速 率，使得汽车以这些速率行驶时会产生最优的燃 油里程。 油里程。 如果确实如此，车速超过或低于该最优速率， 如果确实如此，车速超过或低于该最优速率， 燃油里程就会减少。 燃油里程就会减少。了解这种减少怎样产生的会 很有益处。此外，这种减少会显著吗？ 很有益处。此外，这种减少会显著吗？ 特别注意对于时速超过50英里 小时 特别注意对于时速超过 英里/小时，每增加 英里 小时， 5英里 小时就要损失一英里所消耗的加仑燃油。 英里/小时就要损失一英里所消耗的加仑燃油 英里 小时就要损失一英里所消耗的加仑燃油。 这个一般法则有什么好处？ 这个一般法则有什么好处？
说说每小时55英里的全国高速公路限速。时速超过50 说说每小时 英里的全国高速公路限速。时速超过 英里的全国高速公路限速 英里/小时后 每增加5英里 小时后， 英里/小时就要损失行驶一英里所 英里 小时后，每增加 英里 小时就要损失行驶一英里所 消耗的汽油。在弗罗里达州Jacksonville的Ryder货车公 消耗的汽油。在弗罗里达州 的 货车公 那些坚持以每小时55英里速度行驶的司机已经减少 司，那些坚持以每小时55英里速度行驶的司机已经减少 的油耗----每年节省 每年节省631000加仑的燃油。一般认 加仑的燃油。 了12%的油耗 的油耗 每年节省 加仑的燃油 为驾驶的最佳油效在每小时35~45英里之间。 英里之间。 为驾驶的最佳油效在每小时 英里之间
燃油里程f推进力阻力驾驶习惯等等限制问题的识别对于一位特定的司机来说某一天驾驶着汽车在平坦的高速公路上为了节省燃油而在最优速率附近以不变的高速公路速率行驶这个事实就提供了一个定性的解释解释了速率的微小的增加燃油的开支的变化
第二节
汽车的汽油里程
------识别问题过程 识别问题过程
一、 背景介绍 考虑以下报刊文章的摘录： 考虑以下报刊文章的摘录：
假设与建模
1. 汽车常速行驶，加速度为零 汽车常速行驶，
Fp = Fr
Fp表示推力，Fr表示阻力 表示推力， 表示阻力 表示推力 先考虑推力 ： K-------每加仑汽油包含的热能 每加仑汽油包含的热能 Cr------单位时间内燃烧掉的燃油的量 单位时间内燃烧掉的燃油的量 对常力而言，功率等于力乘速度。 对常力而言，功率等于力乘速度。 Fp ∝ Cr K/v 2. 转化为能量的比率 不变 转化为能量的比率K不变 Fp ∝ Cr/v (1)
通过限制原问题来获得容易处理的模型是强有力的方法！ 通过限制原问题来获得容易处理的模型是强有力的方法！
用图形表示报刊文章的经验法则： 用图形表示报刊文章的经验法则：
损 失 汽 油 的 英 里 数 速率减50（英里 小时 小时） 速率减 （英里/小时）
图形是一条过原点的直线，是线性图形。 图形是一条过原点的直线，是线性图形。
识别问题
影 响 燃 油 里 程 因 素
车 推 进 力 前 进 阻 力
燃油类型
齿轮比
空气湿度
发动机燃油转化效率…… 发动机燃油转化效率 摩擦效应、车重、车胎类型、路面、气候 摩擦效应、车重、车胎类型、路面、气候… … 空气阻力 车速、车辆表面积、形状、 车速、车辆表面积、形状、风……
司机驾驶习惯、常速驾驶、非常速驾驶 司机驾驶习惯、常速驾驶、非常速驾驶…… 燃油里程=F（推进力，阻力，驾驶习惯，等等） 燃油里程 （推进力，阻力，驾驶习惯，等等）