2022上海高二数学考试满分攻略(沪教版2020第一册)第17讲 数学归纳法(核心考点讲与练)解析

第17讲 数学归纳法(核心考点讲与练)
一、数学归纳法的定义
定义：对于某些与自然数n 有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当n 取第一个值0n 时命题成立；然后假设当n k =(*
k N ∈，k ≥0n )时命题成立，证明当1n k =+命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法.
二、数学归纳法的基本思想
基本思想：数学归纳法是完全归纳法的一种.它是一种归纳——演绎的推理方法.数学归纳法的理论依据是“自然数归纳原理”：设A (n )表示关于自然数n 的一命题，如果满足条件：(i)A （1）正确；(ii)假设A (k )成立，推断A (k +1)也成立、那么A (n )对一切自然数n 都成立.其中第(i)是验证，它是证明的基础；第(ii)是以假设A (k )成立，通过演绎推理，推证出A (k +1)也正确.即先验证使结论有意义的最小的正整数0n ，如果当0n n =时，命题成立，再假设当n k =(*
k N ∈，k ≥0n )时，命题成立.(这时命题是否成立不是确定的)，根据这个假设，如能推出
当1n k =+时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于0n 的正整数01n +，
02n +，…，命题都成立.
三、用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤： 1.证明：当n 取第一个值0n 结论正确；
2.假设：假设当n k =(*
k N ∈，k ≥0n )时结论正确，证明当1n k =+时结论也正确. 3.得出结论：由1，2可知，命题对于从0n 开始的所有正整数n 都正确. <注意点> 递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉.
用数学归纳法证题时，两步缺一不可；（2）证题时要注意两凑：一凑归纳假设，
二凑目标.
<重点> 数学归纳法大致可分为两个步骤，第一步，验证命题对某个自然数n=0n 成立，（n ∈N ），一般取0n =1，第二步假设n=k （k ∈N ，k≥0n ）的时候，命题成立，证明当n=k+1时命题也成立.至此就可以得到结论，命题对于0n 和比0n 大的所有自然数都成立.
如果将证明数学命题用建筑高楼来比喻，这两步中，第一部可以看作是奠基部分，第二步可以看作是建设部分，整个命题的基础就在第一步，如果忽略第一步，或者是第一步错误的话，那么不管第二步的证明有多巧妙和精彩，都如大厦建在沙子上一样，是不稳固的；而整个命题的递推过程在于第二步，如果递推过程出现了问题或者瑕疵，那么就如同建筑中的“烂尾楼”一般，得不到一个圆满的结局.由此可见，这两步都非常重要，缺一不可.
注：数学归纳法是证明有递推性或可转化为递推性命题的有效手段，它的思路明晰，形式优美，但也要看到它的局限性，那就是并不具有普遍性，在无法转化为递推形式的命题中，数学归纳法一般是没有用武之地的.
四、用数学归纳法证题的类型：
1.用数学归纳法证明与正整数有关的恒等式；
对于证明恒等的问题，在由证等式也成立时，应及时把结论和推导过程对比，也就是我们通常所说的两边凑的方法，以减小计算的复杂程度，从而发现所要证明的式子，使问题的证明有目的性．
2.用数学归纳法证明与正整数有关的整除性问题；
用数学归纳法证明整除问题时，由到时，首先要从要证的式子中拼凑出假设成立的式子，然后证明剩余的式子也能被某式（数）整除，这是数学归纳法证明问题的一大技巧。

3.用数学归纳法证明与正整数有关的几何问题；
数学归纳法在高考试题中常与数列、平面几何、解析几何等知识相结合来考查，对于此类问题解决的关键往往在于抓住对问题的所划分标准，例如在平面几何中要抓住线段、平面、空间的个数与交点、交线间的关系等．
4.用数学归纳法证明与正整数有关的不等式.
用数学归纳法证明一些与n 有关的不等式时，推导“n＝k ＋1”时成立，有时要进行一些简单的放缩，有时还要用到一些其他的证明不等式的方法，如比较法、综合法、分析法、反证法等等．
5.用数学归纳法证明与数列有关的命题.
由有限个特殊事例进行归纳、猜想、，从而得出一般性的结论，然后加以证明是科学研究的重要思想方法．在研究与正整数有关的数学命题中，此思想方法尤其重要．
n n n
n
一、对数学归纳法的两个步骤的认识
【例1】 对一切n∈N*，试比较2n 与n 2
的大小．
【思路点拨】在证明与正整数有关的命题时，主要侧重考查“起点”是否为1这个易误点。

【解析】 当n=1时，21
＞12
，即2n
>n 2
； 当n=2时，22=22，即2n =n 2； 当n=3时，23＜32，即2n ＜n 2； 当n=4时，24
=42
，即2n
=n 2
； 当n=5时，25
＞52
，即2n
＞n 2
；
当n=6时，26＞62，即2n ＞n 2； ……
猜想：当n≥5，2n ＞n 2．下面用数学归纳法证明猜想成立． （1）当n=5时，由上可知猜想成立．
（2）假设当n=k （k≥5）时，命题成立，即2n
＞n 2
．那么当n=k+1时，2k+1
=2·2k
＞2k 2=k 2+k 2＞k 2+(2k+1)=(k+1)2，即当n=k+1时，猜想成立． 根据（1）、（2）可知，当n≥5时，2n
＞n 2
都成立．
所以n=2或4时，2n =n 2；n=3时，2n ＜n 2；n=1或n≥5时，2n ＞n 2．
【总结升华】本例是先用归纳推理设出猜想，再用数学归纳法证明猜想．在用数学归纳法证明时，要注意2n 与n 2的大小关系只有在n≥5时才稳定下来，故起点n=5．另一个易错点在假设n=k 时要带上限制条件k≥5．
【例2】用数学归纳法证明等式：
【思路点拨】本题是一个与正整数n （取无限多个值）有关的数学命题，故可考虑用数学归纳法进行证明.
【解析】 (1)当时，1=
·1·2·3，结论成立. (2)假设时结论成立，即
()()()()()()1
1213223121126
n n n n n n n n n ⋅+⋅-+⋅-++-⋅+-⋅+⋅=
++n 1n =6
1
n k =()()()()()()1213223121
1
126
k k k k k k k k k ⋅+⋅-+⋅-++-⋅+-⋅+⋅=++
当时，则
说明当时结论也成立.
综合上述，可知结论对一切都成立.
【总结升华】 在利用归纳假设论证n=k+1时等式也成立时，应注意分析n=k 和n=k+1时两个等式的差别。

【例3】用数学归纳法证明“1+
++…+＜n （n ∈N *，n ＞1）”时，由n=k （k ＞1）不等式成立，推证n=k+1时，左边应增加的项数是（ ）
A 2
k －1
B 2k
－1
C 2k
D 2k
+1
【答案】C 。

左边的特点：分母逐渐增加1，末项为
;由n=k ，末项为到n=k+1，末项为
=
，∴应增加的项数为2k
【例4】用数学归纳法证明：（n+1）（n+2）·…·（n+n ）=·1·3…（2n －1）（n∈N*）． 【答案】
（1）当n=1时，左边=1+1=2，右边=21
·1=2，等式成立．
（2）假设n=k 时，（k+1）·（k+2）·…·（k+k ）=2k·1·3·…·（2n －1）成立．
则当n=k+1时，左边=
．
所以当n=k+1时等式成立．
根据（1）、（2）可知，等式对任意的n∈N*都成立．
1n k =+()()()()()()()()()()()()()()1123113211
121121123111
1212621
1236
k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k ⋅++⋅+⋅-++-⋅+⋅++⋅=⋅+⋅-+
+-⋅+⋅++++
+++⎡⎤⎣⎦
=+++++=+++1n k =+n N ∈21311
21-n 1
21-n 121
-k 12
11-+k k
k 2
121+-2n 1(1)(2)()(21)(22)1
k k k k k k k +⋅+⋅
⋅+⋅+⋅+⋅
+(1)(2)()2(21)213(21)2(21)k k k k k k k k =+⋅+⋅⋅+⋅+=⋅⋅⋅
⋅-⋅+1213[2(1)1]k k +=⋅⋅⋅
⋅+-
二、利用数学归纳法证明等式
【例1】用数学归纳法证明： 当n≥2，n∈N*时，．
【解析】
（1）当n=2时，左边，右边， ∴n=2时等式成立．
（2）假设当n=k （n≥2，n∈N*）时等式成立，
即． 那么当n=k+1时，
． ∴当n=k+1时，等式也成立．
根据（1）和（2）知，对任意n≥2，n∈N*等式都成立．
【总结升华】
①数学归纳法常常用来证明与非零自然数有关的命题；
②在证明过程中，应用归纳假设，只有通过归纳假设的使用，才达到由n=k 的情况递推到n=k+1的情况，保证了命题的传递性；
③用数学归纳法证明时，要注意从时的情形到时的情形是怎样过渡的，即要证明时等式成立，应如何利用时等式成立这一假设.显然，分清等式两边的构成情况是解决这一问题的关键；
【例2】用数学归纳法证明：12-22+32-42+……+(2n -1)2-(2n)2 = -n(2n+1)( ) 【答案】
(1)当n=1时，左＝12
－22
＝－3，右＝-1×(2×1+1)=-3，命题成立. (2)假设n=k()时命题成立即
211112111149162n n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎛
⎫---⋅⋅-= ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
13144=-=213
224
+==⨯211111111149162k k k
+⎛
⎫⎛⎫⎛⎫
⎛⎫-
---= ⎪⎪⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2211111111114916(1)k k ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛
⎫⎛
⎫----- ⎪⎪⎪ ⎪⎢⎥
+⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎣⎦
21112(1)k k k ⎡⎤+=⋅-⎢⎥
+⎣⎦2(1)1
2(1)12(1)2(1)2(1)
k k k k k k k +-+++===+++n k =1n k =+1n k =+n k =n N *∈k N *∈
12-22+32-42+……+(2k -1)2-(2k)2
=-k(2k+1) 则当n=k+1时，
左边＝ 12-22+32-42+……+(2k -1)2-(2k)2+(2k+1)2-(2k+2)2
＝-k(2k+1)+(2k+1)2-(2k+2)2 ＝-(2k 2
+5k+3) ＝-(k+1)(2k+3) ＝-(k+1)[2(k+1)+1] ∴当n=k+1时命题成立.
综上由(1)(2)命题对都成立. 【例3】对任意正偶数n ，求证：
． 【思路点拨】注意由n=k 到n=k+1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项． 【解析】（1）当n=2时，等式左边， 等式右边， ∴左边=右边，等式成立．
（2）假设n=2k （k∈N*）时等式成立，即
成立．
当n=2k+2（k∈N*）时，
．
∴对n=2k+2（n∈N*）等式成立．
由（1）、（2）知，对一切正偶数n=2k （k∈N*）等式成立．
【总结升华】 （1）此题为用数学归纳法证明问题的一种新题型，传统问题都是论证
n N *∈1111111112234
1242n n n n n ⎛⎫
-
+-++
-=+++
⎪-++⎝
⎭
11122=-
=112222
⨯=⨯111
1111
112234
21222242(2)k k k k k ⎡⎤
-+-++
-=+++
⎢⎥-++⎣
⎦
111
1211
1234
2122122
k k k k -+-++
-+-
-++1
1111
2222442122
k k k k k ⎛⎫=++++- ⎪
++++⎝⎭1
111122211
22426442442242442122
k k k k k k k k k k ⎛⎫=++
+
+++--+- ⎪
+++++++++⎝
⎭111
2(22)2(22)42(22)k k k ⎡⎤=++
+
⎢⎥++-++⎣
⎦
对连续的正整数成立，而这里变成对连续的正偶数成立．归纳假设为n=2k ，与它连续的是n=2k+2，相当于由n=k 到n=k+1，应注意体会数学归纳法的这种变形使用，并把它用活．
（2）本题亦可假设n=k （k 为正偶数）时等式成立，证明n=k+2时等式成立． 【例4】用数学归纳法证明：对任意的n N *,1-+-+…+-
=
++…+
.
【答案】
（1）当n=1时，左边=1-==
=右边，∴等式成立.
（2）假设当n=k(k≥1,k∈N *)时，等式成立，即1-+-+…+
-
=
++…+
.
则当n=k+1时, 1-+-+…+-
+
-
=
++…+
+
-
=
+
+…+
+
+(
-)=
+
+…+
+
+
,
即当n=k+1时，等式也成立，所以由（1）（2）知对任意的n∈N *
等式成立.
三、用数学归纳法证明不等式
【例1】用数学归纳法证明不等式：． 【解析】
①当n=1时，左式，右式
左式＞右式，所以结论成立． ②假设n=k 时结论成立，
即
则当n=k+1时，
． 要证当n=k+1时结论成立，
，即证
∈2131411
21-n n
2111+n 2
1+n n
212
12
11
11+2
13
14
11
21-k k
2111+k 2
1
+k k
212131411
21-k k
211
21+k 2
21+k 11+k 2
1+k k
211
21+k 221+k 111++k 2
11
++k k
211
21+k 11+k 2
21
+k 111++k 2
11
++k k
211
21+k )
12(1+k 2144
21
24
2n n
+++⋅⋅⋅
>3
2
=
=2144
21
24
2k k
+++⋅⋅⋅
>2144
21232324
22(1)2(1)k k k k k k +++++⋅⋅⋅
⋅>=++≥232k +≥
由均值不等式知，
成立，
所以，当n=k+l时，结论成立．
由①②可知，对任意的n∈N*，不等式
【总结升华】（1）数学归纳法证明命题，格式严谨，必须严格按步骤进行；
（2）归纳递推是证明的难点，应看准“目标”进行变形；
（3）由k推导到k+1时，有时可以“套”用其它证明方法，如：比较法、分析法、放缩法等，表现出数学归纳法“灵活”的一面
【例2】用数学归纳法证明不等式
【答案】（1）当n=1时，左=，右=2，不等式成立
（2）假设当n=k时等式成立，即
则
当n=k+1时，不等式也成立
综合（1）（2），等式对所有正整数都成立
【例3】已知，求证：n>1时，.
【答案】（1) n=2时，左式=, 右式=，∵，∴左式>右式，不等式成立，
n=3时，左式=,
23(1)(2)
22
k k k
++++
=≥
≥
12
12
1
11
n
n
b
b b
b b b
+
++
⋅⋅⋅>
2
)1
(
2
1
)1
(
3
2
2
1+
<
+
+
+
⋅
+
⋅n
n
n
2
2
)1
(
2
1
)1
(
3
2
2
1+
<
+
+
+
⋅
+
⋅k
k
k
)2
)(
1
(
)1
(
2
1
)2
)(
1
(
)1
(
3
2
2
12+
+
+
+
<
+
+
+
+
+
+
⋅
+
⋅k
k
k
k
k
k
k
2
)2
(
)1
(
)2
)(1
(
2
)2
(
)2
)(1
(
)1
(
2
12
2<
+
+
+
-
+
+
=
+
-
+
+
+
+
k
k
k
k
k
k
k
k
2
]1
)1
[(
2
1
)2
)(
1
(
)1
(
3
2
2
1+
+
<
+
+
+
+
+
+
⋅
+
⋅
∴k
k
k
k
k
∴
)
(
1
4
1
3
1
2
1
1
)
(N
n
n
n
f∈
+
+
+
+
+
=
2
2
)
2(
+
>
n
f n
12
25
4
1
3
1
2
1
1
)4(
)
2(2=
+
+
+
=
=f
f2
2
2
2
=
+
2
12
25
>
8
1
4
1
3
1
2
1
1
)8(
)
2(3+
+
+
+
+
=
=
f
f
右式=
， 左式-右式=，左式>右式，不等式成立. （2)假设n=k(, k≥3)时不等式成立， 即， 当n=k+1时，
即n=k+1时，不等式也成立.
由（1）（2）可知，n>1, n∈N时，都有. 【例4】设数列{a n }满足a 1=2，a n+1=a n +
（n=1，2，…）. 证明a n ＞对一切正整数n 都成立； 【答案】
证法一：当n=1时，a 1=2＞，不等式成立. 假设n=k 时，a k ＞成立， 当n=k+1时，a k+12
=a k 2
+
+2＞2k+3+
＞2（k+1）+1，
∴当n=k+1时，a k+1＞成立.
综上，由数学归纳法可知，a n ＞对一切正整数成立. 证法二：当n=1时，a 1=2＞=结论成立. 假设n=k 时结论成立，即a k ＞，
25223=+08
1
7151>-+k N *∈22
2
14131211)2(+>
+++++=k f k k 22)1(232
22221
21212221
221121)2(21221221121214131211)2(121
1121
11++=
+=++=+++++>++++++=++++++++++++++
=+++++++k k k k f f k k k k k k k k k k k k k k k k k
项
项
2
2
)2(+>
n f n n
a 1
12+n 112+⨯12+k 2
1k
a 2
1k
a 1)1(2++k 12+n 3112+⨯12+k
当n=k+1时，由函数f （x ）=x+
（x ＞1）的单调递增性和归纳假设有 a k+1=a k +＞+ ===＞
=.
∴当n=k+1时，结论成立.
因此，a n ＞对一切正整数n 均成立.
四、用数学归纳法证明与数列有关的命题
【例1】 已知数列
中，，.
(Ⅰ)求的值；
(Ⅱ)推测数列的通项公式，并证明.
【思路点拨】观察、归纳、猜想、证明，是经常应用的综合性数学方法；观察是解决问题的前提条件，合理的实验和归纳，提出合理的猜想，然后证明.
【解析】 (Ⅰ)， ∵， ∵ ，即
++， ∵ ，即+++，∴ ， (Ⅱ)猜想.证明如下：
（1）当时，，结论成立. 假设时成立，即.
即 由 得=， x
1
k a 112+k 121+k 12112+++k k 1222++k k 1
24
842+++k k k 12)12)(32(+++k k k 32+k 12+n {}n a 112
a =()2n n S n a n N +=∈234,,a a a {}n a 112a =
2222211
44,26S a a a a =∴+=∴=339S a =21613331
9,12a a a =∴=4416S a =21611214416a a =4120
a =1
n(n 1)
n a =
+1n =11
2
a =
n k =1
k(k 1)
k a =+121111
k k k
S a a a k k =++
+=-
=
++()()2
2
111111k k k k k S k a S a k a ++++=+⋅∴+=+⋅12
k 2k k
k S a +=
+2)
1)(k (k 1++
说明当时，结论也成立. 综合上述，可知对一切n∈N，都有
【总结升华】用数学归纳法证明与递推关系有关的命题时依归纳假设证明时命题也成立时，除了用上假设外，一定还得用上递推关系，否则假设也没法用.这是用数学归纳法证明递推关系时值得注意的地方.
【例2】在数列{a n }中,a 1=1,S n 是它的前n 项和,当n≥2时, (1)求的值,并推测{a n }的通项公式. (2)用数学归纳法证明所得的结论. 【答案】
（1）∵S 2=a 1＋a 2=1＋a 2, ∴2(1＋a 2)2
=2a 2·(1＋a 2)－a 2,解得. 这时S 2=,S 3=S 2＋a 3=＋a 3,∴2(＋a 3)2
=2a 3(＋a 3)－a 3,解得 . 这时S 3=
,S 4=S 3＋a 4=＋a 4,∴2(＋a 4)2=2a 4(＋a 4)－a 4,解得. 由,,，猜想： n≥2时,,
∴数列{a n }的通项公式是 下面用数学归纳法证明： 1)当n=1，n=2时结论成立.
2)假设当n=k(k≥2)时结论成立,即,
这时S k =a 1＋a 2＋…＋a k =
, 1n k =+1
n(n 1)
n a =
+1n k =+2
22n
n n n S a S a =-234,,a a a 22
3
a =-313131313215a =-515151514235a =-2213a =-
⨯3235a =-⨯41
57
a =-⨯2
(23)(21)
n a n n =-
--1
(1)2
(2)(23)(21)n n a n n n =⎧⎪
=⎨-≥⎪--⎩
2
(23)(21)k a k k =---222
11335
(23)(21)
k k -
---
⨯⨯--111
111
11335
232121
k k k =-+-+-
-
+=
---
当n=k ＋1时,由得
得, ∴,
∴n=k＋1时结论成立.
由1)、2)可知对n N 时结论都成立.
五、用数学归纳法证明整除性问题
【例1】是否存在正整数m ，使得f （n ）=（2n+7）·3n
+9对任意自然数n 都能被m 整除?若存在，求出最大的m 值，并证明你的结论;若不存在，请说明理由.
【思路点拨】，证明一个多项式或指数幂形式能被某数或某式子整除，也属于与正整数n 有关的命题．常用数学归纳法
【解析】由f （n ）=（2n+7）·3n
+9，得f （1）=36， f （2）=3×36， f （3）=10×36， f （4）=
34×36，由此猜想m=36. 下面用数学归纳法证明： （1）当n=1时，显然成立.
（2）假设n=k 时， f （k ）能被36整除，即f （k ）=（2k+7）·3k
+9能被36整除;当n=k+1时，［2（k+1）+7］·3k+1
+9=3［（2k+7）·3k
+9］+18（3k －1
－1），
由于3k －1
－1是2的倍数，故18（3
k －1
－1）能被36整除.这就是说，当n=k+1时，f （n ）也能被36
整除.
由（1）（2）可知对一切正整数n 都有f （n ）=（2n+7）·3n
+9能被36整除，m 的最大值为36.
【总结升华】
用数学归纳法证明整除问题时，关键是把n=k+1时的式子分成两部分，其中一部分应用归纳假设，另一部分经过变形处理，确定其能被某数（某式）整除.
【例2】当n 为正奇数时，求证x n +y n 被x+y 整除，当第二步假设n=2k －1时命题为真，进而需验证________，命题为真。

解：当n 为正奇数时，求证x n +y n 被x+y 整除 【答案】当n 为正奇数时，求证x n +y n 被x+y 整除
1111
21
k k k k S S a a k +++=+=
+-2111122k k k k S a S a ++++=⋅-2111111
2(
)2()2121
k k k k a a a a k k +++++=⋅+---2
1)12(21212--=-++k a k k k 12
(21)(21)
k a k k +=-
-+∈
用数学归纳法证明时候，第二步假设n=2k －1时命题为真，进而需要验证n=2k+1。

故答案为2k+1。

【例3】用数学归纳法证明(n∈N)能被14整除. 【答案】
(1)当n=0时，能被14整除 ∴命题成立
(2) 假设n=k （k≥0）时命题成立，即（k≥0）能被14整除
则当n=k+1时，
∵能被14整除，56能被14整除
∴能被14整除 即当n=k+1时命题也成立， 综上由(1)(2)得，命题对n∈N成立. 六、用数学归纳法证明几何问题
【例1】用数学归纳法证明：凸n 边形的对角线的条数是
n(n －3)（n≥3，n∈N*）． 【解析】 （1）当n=3时，
n(n －3)=0，这就是说，三角形没有对角线，故结论正确． （2）假设n=k （k≥3，k∈N*）时结论正确，即凸k 边形的对角线有
(k －3)条，那么当，n=k+1时，凸（k+1）边形A 1A 2 A 3…A k －1的对角线的条数由下列三部分的条数相加而得： 由归纳假设，凸k 边形A 1A 2A 3…A k 的对角线的条数为
k(k －3)；对角线A 1A k 是一条；而顶点A k+1与另外（k －2）个顶点A 2、A 3、…、A k －1可画出（k －2）条对角线，所以凸（k+1）边形的对角线的条数是：
k(k －3)+1+(k －2)=(k+1)(k －2)=(+1)·[(k+1)－3]．- 422135n n +++422121353514n n +++=+=1k 22
k 453+++4(1)22(1)1
42421242
21
42
42
422142
35335525(3
5
)253
813
25(35)563k k k k k k k k k k k ++++++++++++++=⋅+⋅=+-⨯+⨯=++⨯1k 22
k 453
+++4(1)22(1)135k k +++++1
2
1
2
1
2
1
2
12121
2
这就是说，当n=k+1时结论也正确．
由（1）、（2）知，结论对n≥3的所有自然数都成立．
【总结升华】 用数学归纳法证明几何问题的关键是“找项”，即几何元素从k 个变成（k+1）个时，所证的几何量将增加多少．一般地，证明二步时，常用的方法是加1法，即在原来k 的基础上，再增加1个，当然我们也可以从（k+1）个中分出1个来，剩下的k 个利用假设．几何问题的证明一要注意数形结合，二要注意要有必要的文字说明． 【例2】在平面内有n 条直线，其中每两条直线相交于一点，并且每三条直线都不相交于同一点．
求证：这n 条直线将它们所在的平面分成n 2
＋n ＋22个区域．
【答案】
(1)n ＝2时，两条直线相交把平面分成4个区域，命题成立．
(2)假设当n ＝k(k≥2)时，k 条直线将平面分成k 2＋k ＋22块不同的区域，命题成立． 当n ＝k ＋1时，设其中的一条直线为l ，其余k 条直线将平面分成k 2
＋k ＋22块区域，直线l 与其余k 条直线相交，得到k 个不同的交点，这k 个点将l 分成k ＋1段，每段都将它所在的区域分成两部分，故新增区域k ＋1块．
从而k ＋1条直线将平面分成k 2
＋k ＋22＋k ＋1＝(k ＋1)2＋(k ＋1)＋22块区域． 所以n ＝k ＋1时命题也成立． 由(1)(2)可知，原命题成立．
一、单选题
1．（2022·上海·高三专题练习）用数学归纳法证明
()()()1351211n n
n n -+-+⋅⋅⋅+--=-，*n N ∈成立.那么，“当1n =时，命题成立”是“对
*n N ∈时，命题成立”的（ ）
A ．充分不必要
B ．必要不充分
C ．充要
D ．既不充分也不必要
【答案】B 【分析】
根据必要不充分条件的定义可得结论. 【详解】
“当1n =时，命题成立”不能推出“对*n N ∈时，命题成立”，
“对*n N ∈时，命题成立”可以推出“当1n =时，命题成立”，
所以“当1n =时，命题成立”是“对*n N ∈时，命题成立”的必要不充分/ 故选：B 【点睛】
本题考查了必要不充分条件的概念，关键是掌握必要不充分条件的概念，属于基础题. 2．（2021·上海交大附中高一开学考试）用数学归纳法证明“对任意偶数n ，n n a b -能被
-a b 整除时，其第二步论证应该是（ ）
A ．假设n k =（k 为正整数）时命题成立，再证1n k =+时命题也成立
B ．假设2n k =（k 为正整数）时命题成立，再证21n k =+时命题也成立
C ．假设n k =（k 为正整数）时命题成立，再证21n k =+时命题也成立
D ．假设2n k =（k 为正整数）时命题成立，再证2(1)n k =+时命题也成立 【答案】D 【分析】
根据题意可得n 为偶数，结合数学归纳法的证明步骤即可得出答案. 【详解】
因为n 为正偶数，所以第二步的假设应写为：假设2n k =（k 为正整数）时命题成立，再证2(1)n k =+时命题也成立，
即当2n k =（k 为正整数）时，22k k a b -能被-a b 整除，再证2(1)n k =+时，()
()2121k k a b ++-能
被-a b 整除. 故选：D.
3．（2020·上海·高二课时练习）用数学归纳法证明命题“当n 为奇数时，n n x y +能被x y +整除”，在证明1n =正确后，归纳假设应写成（ ）．A ．假设()*n k k N =∈时
命题成立
B ．假设()*
n k k N ∈时命题成立
C ．假设()*
21n k k N =+∈时命题成立
D ．假设()*
21n k k N =-∈时命题成立
【答案】D 【分析】
在第一步中已验证了1n =时等式成立，根据数学归纳法的证题步骤要求，第二步所取的值
的范围应从1n =开始取值所有奇数，即()*
21n k k N =-∈．
【详解】
解：此题所成立的数是所有的正奇数，根据数学归纳法的证题步骤要求，第二步所取的值的范围应从1n =开始取值所有奇数，即()*
21n k k N =-∈．
故选：D ． 【点睛】
本题考查了用数学归纳法证明的原理，归纳假设要含已验证的第一个取值，推理才有基础和依据，属于容易题.
4．（2020·上海·高二课时练习）在用数学归纳法求证：
(1)(2)
()2135
(21)n n n n n n +++=⋅⋅⋅⋅-的过程中，n N ∈从“k 到1k +”左边需增乘的代
数式为（ ）．A ．22k + B ．(21)(22)k k ++ C ．
221
k k ++
D ．2(21)k +
【答案】D 【分析】
根据题意，分别得到n k =和1n k =+时，左边对应的式子，两式作商，即可得出结果. 【详解】
当n k =时，左边(1)(2)
()(1)(2)
(2)A k k k k k k k =+++=++，
当1n k =+时，左边(1)(2)(11)(2)(3)
(22)B k k k k k k k =+++++=+++，
则
(2)(3)(2)(21)(22)(21)(22)2(21)(1)(2)(2)1
B k k k k k k k k A k k k k ++++++===++++. 故选：D. 【点睛】
本题主要考查数学归纳法的应用，属于基础题型.
5．（2020·上海市新场中学高二阶段练习）用数学归纳法证明等式
()
2
2
1
*111,1n n a a a a
a n N a
++-+++
+=≠∈-时，当1n =时，左边等于（ ） A ．1 B ．1a +
C ．21a a ++
D ．2a
【答案】C 【解析】
根据题意，将1n =直接代入，即可求出结果. 【详解】
用数学归纳法证明：()22
1
1111n n a a a a
a a
++-++++=≠-， 在验证1n =时，
令1n =代入左边的代数式，得到左边11211+=++=++a a a a . 故选：C
6．（2020·上海市嘉定区第一中学高二期中）用数学归纳法证明
24
2
123,2
n n n n N *++++⋅⋅⋅+=∈，则当1n k =+时，左端应在n k =的基础上加上
（ ） A ．21k +
B ．()2
1k + C ．()()()2
2
2
121k k k +++⋅⋅⋅++
D ．(
)()2
4
112
k k +++
【答案】C 【分析】
分别确定n k =和1n k =+时等式左端的式子，由此可得结果. 【详解】
当n k =时，等式左端为2123k +++⋅⋅⋅+，
当1n k =+时，等式左端为()()()2
222
123121k k k k +++⋅⋅⋅++++++⋅⋅⋅++，
∴左端应在n k =的基础上加上()()
()2
22121k k k ++++⋅⋅⋅++.
故选：C.
7．（2020·上海市行知中学高二阶段练习）某个与正整数有关的命题：如果当
()
*n k k N =∈时命题成立，则可以推出当1n k =+时该命题也成立.现已知 5n =时命题不成
立，那么可以推得（ ） A ．当6n =时命题成立 B ．当6n =时命题不成立 C ．当4n =时命题成立 D ．当4n =时命题不成立
【答案】D 【分析】
利用原命题与它的逆否命题的真假性相同，结合数学归纳法可得结论
解：由于原命题与它的逆否命题的真假性相同，
因为当4n =时命题成立，则可以推出当5n =时该命题也成立， 所以当5n =时命题不成立，则可以得到当4n =时命题不成立， 故选：D
8．（2019·上海·上外附中高二期中）对于不等式n ＋1(n ∈N *)，某同学用数学归纳法的证明过程如下：
（1）当n ＝1时，1＋1，不等式成立．
（2）假设当n ＝k (k ∈N *)时，不等式成立，即k ＋1，则当n ＝k ＋1时，
(k ＋1)＋1，
∴n ＝k ＋1时，不等式成立，则上述证法（ ） A ．过程全部正确 B ．n ＝1验得不正确 C ．归纳假设不正确
D ．从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理不正确 【答案】D 【分析】
根据数学归纳法的定义即可判断答案. 【详解】
在n ＝k ＋1时，没有应用n ＝k 时的归纳假设. 故选:D.
9．（2020·上海·曹杨二中高二期中）用数学归纳法证明不等式：
11113
12
14
n n n n +++
>+++，从k 到1k +，不等式左边需要（ ） A ．增加一项1
2(1)
k +
B ．增加两项1
21k +、12(1)
k + C ．增加
12(1)k +，且减少一项1
1k +
D ．增加
1
21k +、12(1)k +，且减少一项11
k + 【答案】D 【解析】
理解数学归纳法n k =到1n k =+步骤，结合不等式的差异确定增减项即可.
由数学归纳法知：若n k =时，不等式成立，则有：11113
12
14
k k k k +++
>+++成立， 那么1n k =+时，有：11
11113
1112
1111114
k k k k k k k k ++
+
++>++++++-+++++，
∴
111111323
2212(1)14
k k k k k +++
++>++++， 综上知：不等式左边需要增加1
21k +、12(1)k +，且减少一项11
k + 故选：D
10．（2020·上海·格致中学高二期中）用数学归纳法证明： ()()
*11
1
123
2
n f n n N =+++
+
∈的过程中，从n k =到1n k =+时，()1f k +比()f k 共增加了（ ） A ．1项 B ．21k -项 C ．12k +项 D ．2k 项
【答案】D 【解析】
n k =时，最后一项为
1
2k ，1n k =+时，最后一项为112
k +，由此可得由n k =变到1n k =+时，左边增加的项. 【详解】
由题意，n k =时，最后一项为
1
2k ，1n k =+时，最后一项为1
11122222k
k k k +⨯+== 所以由n k =变到1n k =+时，左边增加的项为111212222
k k k k ++⋯++++，增加了2k 项 故选：D
11．（2018·上海市七宝中学高二期中）用数学归纳法证明
()11
1
1N ,223
21
n
n n n *++++
<∈≥-时，第一步需要验证的不等式是（ ） A ．1122
+< B ．111223
++< C ．11132
3
++<
D ．111132
3
4
+++<
【分析】
令2
n=即可得第一步需要验证的不等式，进而可得正确答案. 【详解】
因为2
n≥，
由数学归纳法可知：第一步需要证明2
n=时该不等式成立，
所以第一步需要验证的不等式是
11
12
23
++<，
故选：B.
12．（2020·上海市大同中学高二期中）用数学归纳法证明“当n为正奇数时，x n+y n能被x+y整除”，第二步归纳假设应写成
A．假设n=2k+1（k∈N*）正确，再推n=2k+3正确
B．假设n=2k﹣1（k∈N*）正确，再推n=2k+1正确
C．假设n=k（k∈N*）正确，再推n=k+1正确
D．假设n=k（k≥1）正确，再推n=k+2正确
【答案】B
【详解】
试题分析：注意n为正奇数，观察第一步取到1，即可推出第二步的假设．
解：根据数学归纳法的证明步骤，注意n为奇数，所以第二步归纳假设应写成：假设n=2k ﹣1（k∈N*）正确，再推n=2k+1正确；故选B．
点评：本题是基础题，不仅注意第二步的假设，还要使n=2k﹣1能取到1，是解好本题的关键．
13．（2020·上海市三林中学高二期末）设f(n)＝1＋1
2＋
1
3
＋…＋
1
31
n-
(n∈N*)，那么
f(n＋1)－f(n)等于( )
A．
1
32
n+
B．
1
3n
＋
1
31
n+
C．
1
31
n+
＋
1
32
n+
D．
1
3n
＋
1
31
n+
＋
1
32
n+
【答案】D 【详解】
由题意可得：
()()
()1111111112331123
31111.33132
f n f n n n n n n +-⎡⎤⎛⎫
=++++-+++
+⎢⎥ ⎪+--⎝⎭⎢⎥⎣⎦=++++
本题选择D 选项.
二、填空题
14．（2021·上海市复兴高级中学高二阶段练习）用数学归纳法证明
1111(2321
n n n N +++⋯+<∈-且1)n >，第一步要证的不等式是_________． 【答案】
【详解】
试题分析：式子的左边应是分母从1，依次增加1，直到221-，所以答案为1
11223
++<． 考点：本题主要考查数学归纳法的概念及方法步骤． 点评：简单题，理解式子的结构特点，计算要细心．
15．（2020·上海·上外附中高二阶段练习）用数学归纳法证明：()1
2
*111,1n n
a a a a a n N a
+-+++
+=≠∈-，在验证1n =时，等式左边为________. 【答案】1a + 【分析】
将1n =代入左边的式子，即可得出结果. 【详解】
当1n =时，等式左边为1a +. 故答案为：1a +. 【点睛】
本题主要考查数学归纳法，属于基础题型.
16．（2020·上海·高二课时练习）凸n 边形的对角线的条数为()f n ，则凸1n +边形有对角线条数(1)f n +为______. 【答案】()1f n n +-
【解析】
在凸n 边形的一边外加一点，此点与该边的两点连接可得到凸1n +边形，由此可得对称线增加的情形． 【详解】
在凸n 边形的一边外加一点，此点与该边的两点连接可得到凸1n +边形，因此原凸n 边形的这条边变为对角线，增加的第1n +个顶点与原来凸n 边形的2n -顶点的连线也是增加的对角线，共增加了211n n -+=-条，所以(1)()1f n f n n +=+-． 故答案为：()1f n n +-． 【点睛】
本题考查数学归纳法，掌握数学归纳法中从k 到1k +的变化是解题关键．
17．（2020·上海·上外浦东附中高二阶段练习）用数学归纳法证明：
21427310(31)(1)n n n n ⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++=+，从n k =到1n k =+，等式左边需增加的代数式为
________
【答案】(1)(34)k k ++ 【解析】
根据等式的结构，分别写出n k =和1n k =+时，等式的左边，对比即可求解. 【详解】
当n k =时，等式的左边为：1427310(31)k k ⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++，
当1n k =+，等式的左边为：1427310(31)(1)(34)k k k k ⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+++++， 所以从n k =到1n k =+，等式左边需增加的代数式为(1)(34)k k ++. 故答案为：(1)(34)k k ++. 【点睛】
本题主要考查了数学归纳法及其应用，其中根据等式的结构，分别写出n k =和1n k =+时，等式的左边是解答的关键，着重考查运算能力.
18．（2021·上海·曹杨二中高二期末）用数学归纳法证明()2
511222n n N -*+++
+∈能
被31整除时，从k 到1k +添加的项数共有__________________项（填多少项即可）． 【答案】5 【解析】
分别写出n k =和1n k =+时的对应的结果，再比较差异，得到答案. 【详解】
当n k =时，原式为：251122...2k -++++，
当1n k =+时，原式为251551525354122...222222k k k k k k -+++++++++++++， 比较后可知多了55152535422222k k k k k ++++++++，共5项. 故答案为：5
19．（2020·上海·高二课时练习）用数学归纳法证明“11
1
123
21
n +++
+
-＜n （n ∈N *，n ＞1）”时，由n ＝k （k ＞1）不等式成立，推证n ＝k +1时，则不等式左边增加的项数共
___项． 【答案】2k ． 【分析】
写出n k =和1n k =+时的式子，比较可得． 【详解】
n k =时，不等式为1
1
12
21
k k ++
+
<-，1n k =+时，不等式为11111221
k k ++++
<+-，
右边增加
1
11
1221
2
1
k k k ++++
+-，项数有121(21)2k k k +---=．
故答案为：2k ．
20．（2020·上海·高二课时练习）对一切自然数*n N ∈，猜出使2n t n >成立的最小自然数t =_______. 【答案】3 【解析】
运用数学归纳法证明当3t =时，23n n >对一切自然数*n N ∈成立,可得答案. 【详解】
当1t =时，21n n >对一切自然数*n N ∈不成立；
当2t =时，22n n >对一切自然数*n N ∈不成立（如2n =时，22n n =）； 当3t =时，23n n >对一切自然数*n N ∈成立,理由如下： 当1n =时，2131>成立，假设当n k =时成立，即23k k >， 当+1n k =时，2
+1
3
33>3k k
k =⨯⨯，而()()2
2
2
3321+2102,2k k k k N k ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭-=-≥≥∈，所以
23n n >对一切自然数*n N ∈成立.
故答案为：3. 【点睛】
本题考查数学猜想和数学归纳法证明不等式，关键在于证明当+1n k =时不等式成立，属于中档题.
三、解答题
21．（2020·上海·高二课时练习）在证明
11111111123421232n n n n n
-
+-+⋯-=+++⋯++++，由n k =到1n k =+的变化过程中，左边增加的部分是什么，右边增加的部分是什么？ 【答案】
112122k k -++；111
12122
k k k -+++++ 【分析】
观察首项，末项，中间的变化规律，并写出当n k =和1n k =+时的式子，对比得到左边增加的部分，右边增加的部分. 【详解】
n k =时，左边为1111
12342k
-+-+⋯-，
1n k =+时，变为111112342k -+-+⋯-
112122
k k +-++， 故由n k =到1n k =+的变化过程中，左边增加的都分是11
2122
k k -++； n k =时，右边为
11111232k k k k
+++⋯++++， 1n k =+时，变为
111111
23422122
k k k k k k +++⋯++++++++， 右边增加的部分是111
12122
k k k -+++++. 故答案为：112122k k -++；111
12122
k k k -+++++. 【点睛】
本题考查了数学归纳法中由n k =到1n k =+时式子的变化规律，观察首项，末项，中间的变化规律,并分别写出n k =和1n k =+时的式子是解题的关键. 22．（2020·上海·高二课时练习）用数学归纳法证明：
2
333
3
*
(1)123,2n n n n N +⎡⎤+++
+=∈⎢⎥⎣⎦
．
【分析】
根据数学归纳法证明的过程，先证明当1n =时等式成立，再假设当()*
,1n k k N k =∈时等
式成立，代入化简得1n k =+时成立即可. 【详解】
证明：①当1n =时，左边1=，右边2
1212⨯⎛⎫
== ⎪⎝⎭
，等式成立．
②假设当()*
,1n k k N k =∈时等式成立，即
2
333
3
*
(1)123,2k k k k N +⎡⎤+++
+=∈⎢⎥⎣⎦
．
那么当1n k =+时，
33333123(1)k k +++
+++
2
3
(1)(1)2k k k +⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦
22
2
2(2)(1)1(1)44k k k k k ⎛⎫+=+⋅++=+⋅ ⎪⎝⎭
2
(1)(2)2k k ++⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
，等式也成立． 根据①和②，可知2
333
3
(1)1232n n n +⎡⎤
++++=⎢⎥⎣⎦
对任何*n N ∈都成立． 原等式得证. 【点睛】
本题考查了数学归纳法在证明数列等式中的应用，应用“当n k =时等式成立”这个假设条件，确定1n k =+时的等式形式，是数学归纳法第②步证明中的要点，属于中档题．
23．（2018·上海市七宝中学高二期中）证明：当*n N ∈时，()22
389n f n n +=--能被64整
除. 【分析】
根据数学归纳法的步骤和证明原则，即可证明. 【详解】
（1）当1n =时，()4
138964f =--=能被64整除.
（2）假设当()*1,n k k k =≥∈N 时，()22
389k f k k +=--能被64整除，
则当1n k =+时，
()(
)()()212
2222138199381793896464k k k f k k k k k +++++=-+-=⨯--=⨯--++.
故()1f k +也能被64整除.
综合（1）（2），知当*n ∈N 时，()22
389n f n n +=--能被64整除.
24．（2022·上海·高三专题练习）求证：()()()()122213521n n n n n ++=⋅⋅⋅⋅-.
【分析】
首先验证1n =时，等式成立，再假设n k =时等式成立，最后再验证1n k =+时等式成立即可. 【详解】
当1n =时，左边2=，右边2=，等式成立. 假设n k =时等式成立，即
()()()()12221321k k k k k ++=⋅⋅⋅
⋅-.
那么当1n k =+时， 左边()()()111221k k k =+++++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦
()()
()()()2322122k k k k k =+++⋅+
()()()()122212k k k k =++⋅+⋅
()()213521212k k k =⋅⋅⋅⋅-⋅+⋅
()()1213521211k k k +=⋅⋅⋅⋅
⋅-⋅+-=⎡⎤⎣⎦右边.
这就是说，当1n k =+时等式仍成立. 综上可知，对一切*n ∈N ，等式成立. 【点睛】
本题主要考查数学归纳法，熟练掌握数学归纳法的步骤为解题的关键，属于中档题.。