泉州市第一中学2013-2014学年高二下学期期末考试(理)数学试题及答案

时间120分钟 满分150分
参考公式:
（1）回归直线：ˆˆˆy
bx a =+，其中1
1
2
22
1
1
()()
ˆˆ()n
n
i i
i
i i i n n
i i
i i x y
nx y
x
x y y b a
y bx x nx x
x ====---==---∑∑∑∑ =
， （2）卡方统计量：,)
)()()(()(2
2
d b c a d c b a bc ad n K ++++-=其中d c b a n +++=为样本容量。

（3）独立性检验临界值表
小题5分，满分50分.请将答案填写在Ⅱ卷上．．．．．．．．．．
) 1．若222C A 42n =，则3
n C 的值为（ C ）
A.6
B.7
C.35
D.20 2．设实b a ,满足0<ab ，则下列不等式成立的是（ B ）
A ．b a b a ->+
B ．b a b a -<+
C ．||||a b a b -<-
D ．b a b a +<- 3．已知某一随机变量ξ的概率分布列如下，且
E (ξ)＝6.3，则a 的值为( A )。

A 、4
B 、5
C 、6
D 、7
4. 测得四组),(y x 的值)2,1()3,2()4,3()5,4(则y 与x 之间的回归直线方程为（ A ）
A.1+=x y
B.2+=x y
C. 12+=x y
D. 1-=x y 5．⎪⎪⎭⎫
⎝⎛4231⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛-4011结果是( ) A. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--182131 B. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-218213 C. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-132182 D. ⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛-213218 6．设随机变量~(0,1N ξ，记)()(x P x <=Φξ，则(11)P ξ-<<等于
（ C ）
A ．
(1)(1)
2
Φ+Φ- B ．2(1)1Φ-- C ．2(1)1Φ- D ．(1)(1)Φ+Φ-
7．已知某射击运动员，每次击中目标的概率都是0.8．现采用随机模拟的方法估计该运动员射击4次至少击中3次的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1表示没有击中目标，2，3，4，5，6，7，8，9表示击中目标；因为射击4次，故以每4
个随机数为一组，代表射击4次的结果．经随机模拟产生了20组随机数： 5727 0293 7140 9857 0347 4373 8636 9647 1417 4698
0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 6710 4281 据此估计，该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为（ D ） A.0.85 B.0.8192 C.0.8 D.0.75
8. 一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，不得分的概率为c （a 、b 、(0,1)c ∈），已知他投篮一次得分的数学期望为2（不计其它得分情况），则ab 的最大值为（ D ） A.
1
48
B.
124
C.
112
D.
16
9．学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级:“优秀”“合格”“不合格”.若学生甲的语文、数学成绩都不低于乙，且至少有一门成绩高于乙，则称“甲比乙成绩好”.如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同，数学成绩也相同的两位学生.那么这组学生最多有（ B ）
A ．2人
B ．3人
C ．4人
D ．5人 10. 以下四个命题，正确的是（ B ）
①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每20分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测 ，这样的抽样是分层抽样。

②两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1
③在回归直线方程122.0ˆ+=x y
中，当解释变量x 每增加一个单位时，预报变量y ˆ平均增加0.2单位
④对分类变量X 与Y ，它们的随机变量K 2
的观测值k 来说，k 越小，“X 与Y 有关系”的把握程度越大
A ．①④
B ．②③
C ．①③
D ．②④
二、填空题(本题共有5小题．请把结果直接填写在Ⅱ卷上．．．．．．．．．．．．，每题填对得4分，否则一律是零分．本题满分20分.) 11．二项式10)211(x -
的展开式中含51x
的项的系数是 863
- 12．在实数范围内，不等式|2x-1|+|2x+1|≤6的解集为___________。

【答案】}2
3
23{≤≤-
=x x A 13．把一枚硬币任意抛掷三次，事件A=“至少一次出现反面”，事件B=“恰有一次出现正面”，
求P(B|A)=
73
14
．行列式
34
-的最大值是 5
15．甲、乙两队各有n 个队员，已知甲队的每个队员分别与乙队的每个队员各握手一次 （同
队的队员之间不握手），从这n2次的握手中任意取两次．记事件A：两次握手中恰有3个队
员参与．若事件A发生的概率P＜
1
10
，则n的最小值是__________20___．
三、解答题（本题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，并请
．．
将答案写在
．．．．．Ⅱ卷上
．．．）
16、（本小题满分13分）为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老人，结果如下：
（Ⅰ）估计该地区老年人中，需要志愿提供帮助的老年人的比例；
（Ⅱ）能否在犯错误的概率不超过1%的前提下认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？
（Ⅲ）根据（Ⅱ）的结论，能否提出更好的调查办法来估计该地区的老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例？说明理由。

解：（1）调查的500位老年人中有75位需要志愿者提供帮助,因此该地区老年人中需要帮助的老年人的比例的估计值为
75
15%
500
=. …………………………………………………………………………4分
(2)
2
2
500(5022525200)500
6.635
2502507542551
K
⨯⨯-⨯
==>
⨯⨯⨯
………………………9分
所以在犯错误的概率不超过1%的前提下认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关.……11分
（3）由于（2）的结论知，该地区的老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异,因此在调查时,先确定该地区老年人中男,女的比例，再把老年人分成男,女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好. …………………13分
17、（本小题满分13分）我国政府对PM2．5采用如下标准
某市环保局从180天的市区PM2．5监测数据中，随机抽取l0天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示(十位为茎，个位为叶)． (I)求这10天数据的中位数.
(II)从这l0天的数据中任取3天的数据，记ξ表示空气质量达到一级的天数，求ξ的分布列；
(III) 以这10天的PM2．5日均值来估计这180天的空气质量情况，记η为这180天空气质量达到一级的天数，求η的均值．
解:(I)10天的中位数为（38+44）/2=41（微克/立方米）…………………………………………………2分 (II)由 10,4,3N M n === ,ξ的可能值为0，1，2，3
利用346
3
10
()k k C C P k C ξ-⋅== )3 , 2 , 1 , 0(=k 即得分布列：
…………………………10分 (III)一年中每天空气质量达到一级的概率为
52，由η～2180,5B ⎛
⎫ ⎪⎝
⎭ , 得到2
180725
E η=⨯
=(天) ， 一年中空气质量达到一级的天数为72天. …………………………………………………13分 18、（本小题满分13分）选修4-2：矩阵与变换 已知矩阵11A ⎡=⎢
-⎣ 24⎤
⎥⎦
． (Ⅰ) 求A 的逆矩阵1A -； (Ⅱ)求矩阵A 的特征值1λ、2λ和对应的特征向量1α
、2α．
解：(Ⅰ)
12
det 6014A =
=≠-, …………………………2分
∴
1
21331166A -⎡⎤
-⎢⎥=⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. ……………………………5分
(Ⅱ) 矩阵A 的特征多项式为1
()1f λλ-=
2
4
λ--256=-+λλ，……………8分
令()0f =λ，得122,3λλ==, ………………………………………10分 当12=λ时，得121⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦α,
当23=λ时，得211⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
α. ……………………………………………13分
19．（本小题满分13分）某电视台举办猜歌曲的娱乐节目：随机播放歌曲片段，选手猜出歌曲名称可以赢取奖金. 曲库中歌曲足够多，不重复抽取. 比赛共分7关：前4关播放常见歌曲；第5,6关播放常见或罕见歌曲，曲库中常见歌曲与罕见歌曲数量比为1：4；第7关播放罕见歌曲.通过关卡与对应的奖金如右表所示.选手在通过每一关（最后一关除外）之后可以自主决定退出比赛或继续闯关；若退出比赛，则可获得已经通过关卡对应奖金之和；若继续闯关但闯关失败，则不获得任何奖金.
（Ⅰ）选手甲准备参赛，在家进行自我测试：50首常见歌曲，甲能猜对40首；40首罕见歌曲，甲只能猜对2首，以他猜对常见歌曲与罕见歌
曲的频率为概率.
①若比赛中，甲已顺利通过前5关，求他闯过第6
关的概率是多少？
②在比赛前，甲计划若能通过第1,2,3关的任意一
关，则继续；
若能通过第4关，则退出，求这种情况下甲获得奖
金的数学期望；
（Ⅱ）设选手乙猜对罕见歌曲的概率为p ，且他已
经顺利通过前6关，当p 满足什么条件时，他选择继续闯第7关更有利？ 解
：（
1
）
①
他
能
闯
过
第
6
关
的
概
率
是
1404215505405
∙+∙= ……………………………4分 ②设甲获得的奖金为X 元，其分布列为
44
440110*********EX ⎡⎤⎛⎫⎛⎫
∴=⨯-+⨯=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦
……………………………9分
（Ⅱ）若他通过前6关退出比赛可获奖金30000元
设他继续闯第7关，可获奖金Y 元，则Y 的分布列为
50000EY p ∴= ……………………………11分
令5000030000EY p ∴=>，解得3
5
p >
即3
5
p >
时，他选择继续闯第7关更有利 ……………………………13分 20、（本小题满分14分）选修4-5：不等式选讲
(1) 已知函数()221f x x x =-++，若不等式233()m m m f x ++-≥∙对任意m R ∈且0m ≠恒成立，求x 的取值范围．
(2)对于x ∈R ，不等式|x －1|+|x －2|≥a 2+b 2+c 2
恒成立，试求a +2b +3c 的最大值。

解：（1）不等式233()m m m g x ++-≥⋅对任意m R ∈且0m ≠恒成立转化为
|23||3|
()||
m m g x m ++-≤
对任意m R ∈且0m ≠恒成立。

……………………… 2分
因为|23||3||3|m m m ++-≥|23||3|
3||
m m m ++-⇒
≥ 所以()3g x ≤……………… 4分
所以解不等式：|2||21|3x x -++≤
122(21)3x x x ⎧<-⎪⎨⎪--+≤⎩，或1
2
22(21)3
x x x ⎧-≤<⎪⎨⎪-++≤⎩，或22(21)3x x x ≥⎧⎨
-++≤⎩ ………… 6分 得2,03x ⎡⎤
∈-
⎢⎥⎣⎦
……………………… 7分 (2)|x －1|+|x －2|=|x －1|+|2－x |≥|x －1+2－x |=1 , …………………… 9分
当且仅当（x －1）（2－x ）≥0取等号，故a 2
+b 2
+c 2
≤1. ……………… 10分 由柯西不等式
(a +2b +3c )2
≤(12
+22
+32
)( a 2
+b 2
+c 2
) ≤14. …………………………12分
由 2221231a b
c a b c ⎧==⎪⎨⎪+
+≤⎩
⇒ 22,
31
14b a c a
a ==⎧⎪⎨≤⎪⎩,
即取14a =
，b 7=，14
c =时等号成立.故(a +2b +3)max ………… 14分
21.（本小题满分14分） 已知函数2()ln 1f x x ax =+-； （Ⅰ）若2
3
a =
，且函数()f x 的定义域为()1,-+∞，求函数()f x 的单调递增区间； （Ⅱ）若0a =，求证：()11f x x ≤+-；
（Ⅲ）若函数()y f x =的图像在原点O 处的切线为l ，试探究：是否存在实数a ，使得函数()y f x =的图像上存在点在直线l 的上方？若存在，试求a 的取值范围；若不存在，请说明理由。

1)
(1,)-+∞，使得
当1x >-时，2()ln(1)g x x ax x =+--,1
'()211g x ax x =--+， 当1x <-时，2()ln(1)g x x ax x =----,1
'()211
g x ax x =
--+， 所以，对(,1)
(1,)x ∈-∞--+∞，都有
2
1
2(1)
2(21)2'()11
ax x ax a x
a g x x x -++
--+==
++. ……11分
令'()0g x =，解得0x =或21
2a x a
+=-.
①当0a >时，21
1
a +-<-，(),'()g x g x 随x 的变化情况如下表： 又因为(1)ln ,(0)0224g a g a a a
--
=+-=， 所以，为使命题“存在(,1)(1,)x ∈-∞--+∞，
使得
()0g x >.”成立，只需
111(1)ln 0224g a a a a --
=+->. 令12t a =
，则111
(1)ln 222g t t a t
--
=+-， 令11
()ln (0)22h t t t t t =-+>，
因为2111
'()022h t t t =++>，所以()h t 在(0,)+∞上为增函数，
又注意到(1)0h =， 所以当且仅当112t a =
>，即1
02
a <<时，()0h t >， 故关于a 的不等式11ln
024a a a +->的解集为102a a ⎧⎫
<<⎨⎬⎩
⎭；…………13分 ②当0a ≤时，因为存在1x e =--使得2(1)2(1)0g e e a e --=+-+>恒成立，。