七下数学培优第10讲轴对称

（3）线段AB与A′B′,CD与C′D′有什么 关系？
（4）∠1与∠2有什么关系？∠3与∠4呢？
轴对称的性质 m
m
A
o
F
P C
D
B
E
Q
综合以上问题，你能得到什么结论？
1.对应点所连的线段被对称轴垂直平分； 2.对应线段相等,对应角相等.
知识点3、简单的轴对称图形 （一）线段的垂直平分线
线段的垂直平分线
探索发现
如图：将一张长方形形的纸对折，然后 用笔尖扎出“14”这个数字，将纸打开 后铺平：
A
D B
C
1
3
F
E
C'
2
4
F'
E'
A'
D' B'
打开
A
C
1
C'
A'
2
3
4
D
F F'
D'
B
E
E'
B'
（1）两个“14”有什么关系？ （2）设折痕所在直线为l，连结点E和E′
的线段和l有什么关系？点F和F′呢？
4．轴对称图形沿对称轴对折后，对称轴 两旁的部分（ A ）
A．完全重合 C．两者都有
B．不完全重合 D. 不确定
A
5、如图，
D
∵ OC是∠AOB的平分线，
C
P
又 _P_D__⊥__O__A_，___P_E__⊥_ OB
O
E
∴PD=PE
B
( 角平分线上的点到这个角两边的距离相等 )
6、如图,OC是∠AOB的平分线,点P在 OC上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D、
的平分线的交点就
是所求作的点P，
如图示
B
ApΒιβλιοθήκη C因为AD是∠BAC的平分线
所以∠BAD=∠CAD（角平分线定义）
在△ABD与△ACD中
AB=AC（已知） ∠BAD=∠CAD（已证）
B DC
AD=AD（已知）
所以 △ABD≌△ACD（SAS） 你还能得到哪些结论？ BD=CD， ∠ADB=∠ADC=90°， AD⊥BC
等腰三角形顶角的 平分线、底边上的 中线、底边上的高 重合（也称为“三 线合一”）
PD ⊥OA ，PE ⊥OB
∴PD=PE
(角平分线上的点到这个
角两边的距离相等)
O
A D
P
EB
3、等腰三角形与“三线合一”定理
等腰三角形顶是轴 对称图形吗？对称 轴是什么？
如图：等腰△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分
线，△ABD≌△ACD吗？为什么？
A
解：△ABD≌△ACD，理由如下：
等腰三角形三线合一几何语言 A
(1)∵AB=AC,AD⊥BC（高线） ∴∠ B__A_D_= ∠_C_A__D_;_B__D_=__C_D_ (2) ∵AB=AC,AD是中线
∴__A_D_⊥_B__C_; ∠_B_A__D_= ∠_C_A__D_ B D C
(3) ∵AB=AC ,AD是角平分线 ∵__A_D_ ⊥_B__C_;__B__D_=_C__D_
10、如图，在△ABC 中，AB=AC=16cm， AB的垂直平分线交 AC于D，如果 BC=10cm，那么 △BCD的周长是 __2_6____cm.
A
E
D
B
C
11.在△ABC中，BC=10，边BC的垂 直平分线分别交AB，BC于点E，D， BE=6，求△BCE的周长． 解：因为DE是线段BC的
C
P
O
E
B
2、猜想:
角平分线上的点到这个角的两边的距 离相等。
3、验证猜想：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，
PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D，E。 说明：PD=PE
解：∵ PD⊥OA，PE⊥OB（已知）
∴∠PDO=∠PEO=90（垂直的定义） 在△PDO和△PEO中
这是一种怎样的美呢? 请你谈谈你的感想？
轴对称图形的概念
如果一个图形沿某条直线对折后，直线两旁的 部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称 图形。
这条直线叫这个图形的对称轴。
1、你能找出下面五角星的对称轴吗？先想一 想，然后画一画,最多能画几条？
2、猜一猜,圆有几条对称轴?
啊!无数条!
有的图形的对称轴这么多哇！ 以后找对称轴我可得好好想想呀！
垂直平分线
所以EC=EB=6
所以△BCE的周长 =EB+EC+BC=6+6+10=22
12、在直线AB上找一点P，使点P到M、 N两点的距离相等。
解：如图：
作线段MN的垂直A 平分线，
交直线AB于点
P，
M
点P即为
所求点。
B P
N
13、草原上两个居民点A、B在河流的同旁.一 汽车从点A出发到B，途中需要到河边加水.汽 车在哪一点加水，可使行驶的路程最短？
（二）角平分线 1、 利用对折找角平分线
A
C
O
B
（对折）
角是轴对称图形吗？ 对称轴是什么？
A
C O
B
角是轴对称图形，对称轴是角 平分线所在的直线.
将∠AOB的角平分线OC上任取一点P， 再过A点作PD⊥PA于D、PE⊥PB于E，PD和 PE有什么关系？
A D
·C P
O
EB
角平分线的性质
A D
∠ PDO= ∠ PEO
∠ AOC= ∠ BOC
OP=OP
O
∴ △ PDO≌ △ PEO（AAS）
A D
C
P
EB
∴ PD=PE（全等三角形对应边相等）
角平分线的性质
定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离 相等。
用符号语言表示为：
推理的条件有三个， 必须写完整，任何 一个都不能少。
∵ ∠AOP=∠BOP，
第10讲 轴对称
知识要点
1、轴对称图形与轴对称；
2、轴对称的性质；
3、简单的轴对称图形 （1）角平分线及其性质定理； （2）线段的垂直平分线及其性质定理； （3）等腰三角形与“三线合一”定理.
4、利用轴对称进行图案设计.
知识点1、轴对称图形与轴对称
脸谱艺术
剪纸艺术
面对生活中这些美丽的图片， 你是否强烈地感受到美就在我们身边！
下列图形是轴对称图形吗？如果是，说出它们 各有几条对称轴。
（1）角 （2） 三角形
想一想
1、在0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这 10个数字中是轴对称图形的是_0_、__3_和__8__
2、下列汉字是轴对称图形吗？它们 有几条对称轴？
草木
水
中
观察下图中的每组图案，你发现了什么？
对于两个图形，如果沿一条直线对折 后，它们能完全重合，那么称这两个 图形成轴对称，这条直线叫做这两个图 形的对称轴。
轴对称和轴对称图形关系:
区别： 轴对称图形是一个图形。 成轴对称是两个图形之间的关系。
联系： （1）都是沿一条直线折叠后能够互相重合； （2）如果把两个成轴对称的图形看成一个整
体，那么它就是一个轴对称图形；反之如把轴对 称图形看成是沿对称轴分成的两部分，那么这两 部分就是关于这条直线成轴对称
知识点2、轴对称的性质
作法：①作点 A′
A关于CD的对称
点A’
EM C
②连结A’B交
CD于点
A
M则点M即为
所求的点．
河
D
B
14、求作一点P，使它和已△ABC的三个 顶点距离相等.
解：作三角形两边
垂直平分线的交点
就是所求作的点P，
如图示
B
A
p
C
PA=PB=PC
15、求作一点P，使它和已△ABC的三边的 距离相等.
解：作三角形两角
巩 固 练习
1. 如果两个图形关于某条直线对称，那么 对应点所连的线段被 对称轴 垂直平分。
2. 下图是轴对称图形，相等的线段
是 AB=DC，BE=CE
，
相等的角 ∠B=∠C 。 A
E
D
B
C
3．两个图形关于某直线对称，对称点一 定在 ( D )
A．这直线的两旁 B．这直线的同旁 C．这直线上 D．这直线两旁或这直线上。
E,PD=4cm,则PE=____4______cm.
A
C
D
P
B
E
O
7、已知△ABC中, ∠C=900,AD平分 ∠CAB,且BC=8,BD=5,AB=10，求△ABD是 多少？
C
D
你会吗？
A
EB
8.线段的对称轴是它
A
的 垂直平分线 。
9.如图，△ABC中，AD B D C 垂直平分边BC，AB＝5， 那么AC＝ 5 .
1 垂直且平分一条线段的直线叫做这 条线段的垂直平分线。
2 线段的对称轴是 这条线段的 垂直平 分线
A
O B
线段的垂直平分线
3垂直平分线的性质：垂直 平分线上的任意点到这条线
M
段两个端点的距离相等。
用几何语言表达
A
∵ AO=BO,MO⊥AB (已知)
O B
∴ MA=MB
(线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点 的距离相等)