高三下学期第二次联考数学理试题(解析版)

2022-2023学年江西省景德镇一中第二次联考
数学（理）试题
命题：景德镇一中
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合{}(){}
2
2|4,|log 12A x x B x x =<=+<，则A ∩B ＝（ ）
A . （－2，3）
B . （－2，2）
C ． （－1，2）
D . （0，3）
【解析】由24x <得：22x -<<，即()2,2A =-；由()2log 12x +<得：13x -<<，即()1,3B =-； ∴()1,2A B ⋂=-．故选：C ．
2. 已知复数1Z i =+，z 是z 的共轭复数，则
1
z z z
=⋅-（ ）
A .1i +
B .122i +
C .1i -
D .122
i
- 【解析】因为1Z i =+，则2z z ⋅=，所以
111122
i
z z z i ==+⋅--，故选：B ． 3. 设n S 是等差数列{n a }的前n 项和，373,14a S ==，则公差d ＝（ ） A . －1
B . －
12
C .
12
D . 1
【解析】∵74714S a ==，∴42a =，∴431d a a =-=-．故选：A ．
4. 若实数x ，y 满足约束条件10240230y x y x y +≥⎧⎪
+-≤⎨⎪-+≥⎩
，则3z y x =-勺最大值为（ ）
A . －
12
B . 2
C . 5
D . 8
【解析】画出可行域如下图所示，由图可知，
由230240x y x y -+=⎧⎨+-=⎩解得12x y =⎧⎨=⎩
，设A （1，2），
目标函数3z y x =-在点A （1，2）处取得最大值3215z =⨯-=，故选：C ．
5.“1a =”是“函数())f x ax =为奇函数”的（ ） A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充要条件
D . 既不充分也不必要条件
【解析】1a =±时，f （x ）为奇函数，故选：A ．
6.双曲线C 222:1(0)4
x y m m m m -=>-+的离心率最小时，C 的渐近线方程为（ ）
A .20x y ±=
B .20x y ±=
C 0y ±=
D .0x ±=
解：由已知：2
2
2
,4a m b m m ==-+，离心率222
244
14b m e m a m m
+=+==+≥，
当且仅当4m m =
，即2(0)m m =>时等号成立，此时b
a
=C ． 7.将函数()22
sin 2cos sin 6x f x x x π⎛
⎫
=-+- ⎪⎝
⎭
的图象向右平移(0)ϕϕ>个单位长度后得到函数g （x ）的图象．函数g （x ）在3
x π
=处取得极值，则ϕ的最小值为（ ） A .
6
π B .
4π
C .
3
π D .
512
π 【解析】由()22
sin 2cos sin sin 266f x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()sin 226g x x πϕ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭
．
又3
x π
=
是函数g （x ）的一个极值点，所以()223
6
2
k k Z π
π
π
ϕπ⨯
+
-=+
∈，
得()2
6
k k Z π
π
ϕ=-⋅
+
∈．当0k =时，所以6
π
ϕ=
．故选：A ．
8. 设函数()2
1
1(1)1
f x a x x x =++>-，在区间（0，2）随机抽取两个实数分别记为a ，b ，则()2f x b >恒成立的概率是（ ） A .
18
B .
14
C .
34
D .
78
【解析】()()()2
2
2221111121111
f x a x a x a a a a x x =++=-+++≥++=+-- 当且仅当111x a
=
+>时，取“＝”，所以f ()()2min 1x a =+，于是()2f x b >恒成立就转化为()22
1a b +>成立；因为若(),0,2a b ∈，所以等价于1a b +>，由几何概型，其概率为
1
72148
-=．故选：D ． 9. 如图，一个棱长1分米的正方体型封闭容器中盛有V 升的水，若将该容器任意放置均不能使水平面呈三角形，则V 的取值范围是（ ）
A . （
16，5
6
） B . 1(3，
2
3
） C .1(2，
2
3
）
D . 1(
6，12
） 解析：将该容器任意放置均不能使水平面呈三角形，则如图，水最少的临界情况为，水面为面1A BD ，水最多的临界情况为多面体111ABCDA B D ，水面为11BC D ， 因为1111111326
A A BD V -=
⨯⨯⨯⨯=，
1111111111115
1111326
ABCDA B D ABCD A B C D C B C D V V V --=-=-⨯⨯⨯⨯=
所以1566V <<，即15
(,)66
V ∈． 故选：A ．
10. 已知斜率为k 的直线l 过抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点，且与抛物线C 交于,A B 两点，抛物线C 的准线上一点M （－1，－1）满足0MA MB ⋅=，则|AB |＝（ ） A .
B .
C . 5
D . 6
【解析】易知2p =，设A （1x ，1y ），B （2x ，2y ），则()1212111,4,1,1x x y y MA x y ==-=++，
22(1,1)MB x y =++，∵0MA MB ⋅=，∴（()()()12121)1110x x y y +++++=，
化简得12121x x y y +++=，设A ，B 中点坐标为（0x ，0y ），则001
2
x y +=
① 又由直线的斜率公式得
0121222
121210204,144
2
AB y y y y y y k k k y y x x y y x --==
====-+-- ∴
00021
y y x =-，即()2
0021y x =-②
由①、②解得032
x =
∴12025AB x x p x p =++=+=，答案选C ．
11. 若()1
ln 1,1,a e b c e
=+=
+= ） A .a b c >> B .c b a >> C .c a b >> D .b a c >>
解析：令()()()ln 1(0),01x
f x x x x f x x
-=+->=<+'，所以()f x 在()0,+∞上单调递减，又()00f =，所以()ln 10x x +-<，即()ln 1x x +<．
令1x e =，则11ln 1e e ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，则11ln 111e e ⎛⎫
++<+ ⎪
⎝⎭
，即()1ln 11e e +<+， 所以a b <．由11ln 1e e ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，得11
21
1e e e e
+<<，所以b c <，
综上c b a >>． 故选：B ．
12.伯努利双纽线（简称双纽线）是瑞土数学家伯努利（1654~1705）在1694年提出的．伯努利将椭圆的定义作了类比处理，指出是到两个定点距离之积的点的轨迹是双纽线；曲线的形状类似打横的阿拉伯数字8，或者
无穷大的符号∞．在平面直角坐标系xOy 中，到定点A （－a ，0），B （a ，0）的距离之积为2
(0)a a >的点
的轨迹C 就是伯努利双纽线，若点P （0x ，0y ）是轨迹C 上一点，则下列说法正确的是（ ） ①曲线C 关于原点中心对称；
②[]02,2x a a ∈-；
③直线y x =与曲线C 只有一个交点；
④曲线C 上不存在点P ，使得PA PB =． A . ①②
B . ①③
C . ②④
D ． ③④
【解析】由定义：曲线C ：()
()
2
22
2222x y a x y +=-，如图所示：所以①正确，④错误；
令0y =，解得0x =或x =，得0x ⎡⎤∈⎣⎦，所以②错误；
根据曲线(
)
2
22
222:2(C x y
a x y +=-，可知22x y ≥，
可得直线y x =与曲线C 只有一个交点，所以③正确，故选：B ．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知向量,a b 的夹角为56
π
，且3,2a b ==，则()()
2a b a b +⋅-=___．
解：()(
)
2
2
522cos 324262a b a b a b a b π⎛⎫
+⋅-=--⋅=-⨯--=- ⎪ ⎪⎝⎭
； 【答案】－2
14. 已知函数()5
21,1
()2,1
x x f x x x ⎧+>⎪=⎨+≤⎪⎩则当01x <<时，f （f （x ））的展开式中A x 的系数为___．
解析：01x <<时，()()2
22,3f x x =+∈，()()()()
5
2223f
f x f x x =+=+， 展开式第1r +项()
52
153r
r
r r T C x -+=，故3r =时，3434
453270T C x x ==，
∴x 4
的系数270． 【答案】270
15.某软件研发公司对某软件进行升级，主要是软件程序中的某序列{}123,,,
A a a a =重新编辑，编辑新序列
为*
324123,,,a a a A a a a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭
，它的第n 项为1n n a a +，若序列()*
*A 的所有项都是2，且451,32a a ==，则1a ＝___．
解析：*A 的第1n +项为21n n a a ++，故2122112n n n n n n n a a a a a a a +++++÷==，即2
1
2
2n n n a a a ++= 因为451,32a a ==，所以24352213216a a a ===，232421128a a a ==，2
21321
512
a a a ==． 【答案】
1
512
． 16. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1,1,2,3AC BC AC AA AB ⊥===，点E ，F 分别是棱1AA ，AB 上的动点，当11C E EF FB ++最小时，三棱锥11B C EF -外接球的表面积为___．
【解析】如图：把侧面1
1AAC C 沿1AA 展开到平面11AAC C
''与平面11AB B B 共面的位置．延长1B B 到1B '，使得11B B BB '=
当1C '，E ，F ，1B '四点共线时，11C E EF FB ++的长度最小，
此时，11111C E EF FB B C B E =====所以1111,EF FB B C C E ⊥⊥，所以三棱锥11B C EF -
外接球的直径为1B E =2
R =，表面积为2410R ππ=． 【答案】10π．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．
17.已知△ABC 的内角,,A B C 的对边分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S ，2222a b c S +-=． （1）求cos C ；
（2） 若cos sin a B b A c +=，a =，求b ． 解：（1）由已知()
22211
sin 22
S a b c ab C =
+-=，由余弦定理2222cos a b c ab C +-=， 得sin 2cos C C =，．．．．．．．．．．．．．．．．．3分
得tan 20C =>，所以0,
2C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos 5
C =．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 （2）由正弦定理得()sin cos sin sin sin sin sin cos cos sin A B B A C A B A B A B +==+=+，
sin cos A A =，．．．．．．．．．．．．．．．．．8分
所以4
A π
=
，由cos C =
，得sin C =，．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
所以()sin sin B A C =+=
sin 3sin a B b A =
=．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 18.如图，四棱锥E ABCD -中，除EC 以外的其余各棱长均为2
（1）证明：平面BDE ⊥平面ACE ；
（2）若平面ADE ⊥平面ABE ，求直线DE 与平面BCE 所成角的正弦值． 解：（1）证明：由已知四边形ABCD 为菱形；所以AC BD ⊥， 设AE 的中点为O ，连结OB ，OD ，因为,BA BE DA DE ==，
所以,,OB AE OD AE OB OD O ⊥⊥⋂=，所以AE ⊥平面OBD ，．．．．．．．．．．．．．．．．．3分 又BD ⊂平面OBD ，所以AE BD ⊥，又AE AC A ⋂=，所以BD ⊥平面ACE ，
又BD ⊂平面BDE ，所以平面BDE ⊥平面ACE ；．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 （2）因为平面ADE ⊥平面ABE ，平面ADE ∩平面ABE AE =，DO DE ⊥，
所以DO ⊥平面ABE ，且DO =7分 以O 为原点，,,OB OE OD 分别为x ，y ，Z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则(0,A －1，0），B 0，0），D （0，0E （0，1，0）
所以()()(0,1,3,3,1,0,0,1,BC AD BE DE ===-= 设直线DE 与平面BCE 所成角为θ，
平面BCE 的法向量(),,n x y z =，
则30,30n BC y z n BE x y ⋅=+=⋅=-+=，取1x =， 得()
1,3,1n =-
则sin cos ,5
n DE θ=<=
>为所求． ．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 19.文具盒里装有7支规格一致的圆珠笔，其中4支黑笔，3支红笔．某学校甲、乙、丙三位教师共需取出3支红笔批阅试卷，每次从文具盒中随机取出一支笔，若取出的是红笔，则不放回；若取出的是黑笔，则放回文具盒，继续抽取，直至将3支红笔全部抽出．
（1）在第2次取出黑笔的前提下，求第1次取出红笔的概率；
（2）抽取3次后，记取出红笔的数量为X ，求随机变量X 的分布列；
（3） 因学校临时工作安排，甲教师不再参与阅卷，记恰好在第n 次抽取中抽出第2支红笔的概率为n P ，求n P 的通项公式．
解析：（1）记事件A ：第1次取出红笔；事件B ：第2次取出黑笔．则
()344430767749P B =⨯+⨯=，()342
767
P AB =⨯=
所以，()()()
7
|15
P AB P A B P B =
=
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分
（2）随机变量X 可取0，1，2，3.．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分
所以，()3
46407343
P X ⎛⎫
=== ⎪⎝⎭，
()344434443508
17667767771029P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，
()324342432214
2765766776735P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，
()3211
376535
P X ==⨯⨯=．
所以X 分布列为：
8分 （3）由题意知：前n －1次取了1次红笔，第n 次取红笔．则
23
2
3443443276776776
n n n n p ---⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=⨯+⨯⨯+
+⨯⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎢⎥⎣
⎦ 23
2
322424763737n n n ---⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=⨯+⨯++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭⎝⎭
⎢⎥⎣⎦
2
22
12434343173727272n n --⎡⎤⎛⎫
⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=⨯⨯+⨯+⨯+⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎢⎥⎣
⎦
()1
22
1611226712,6733717
n n n n n n N ----+⎛⎫
- ⎪⎡⎤
⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭==-∈⎢⎥ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎢⎥⎣⎦
-…
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
20.设,,A B C 为椭圆E ：2
221(1)x
y a a
+=>上的三点，且点,A C 关于原点对称，12AB BC k k ⋅=-．
（1）求椭圆E 的方程；
（2）若点B 关于原点的对称点为D ，且1
2
AC BD k k ⋅=-
，证明：四边形ABCD 的面积为定值． 解：（1）设A （1x ，1y ），B （2x ，2y ），则()22
22
12111222,,1,1x x C x y y y a a --+=+=，
两式相减，得22222
22222
2121212121222
22
2110X x x x y y y y y y a a x x a ---+-=⇒-=-⇒=--，
又因为2
2212121222
212121112
AB BC
y y y y y y k k x x x x x x a -+-⋅=⋅==-=--+-，所以22a =， 所以椭圆E 的方程为2
212
x y +=．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分
（2）由对称性，四边形ABCD 为平行四边形，所以4ABCD
OAB S
S ∆=，
设直线AB 的方程为y kx m =+，联立2
212
x y +=，消去y 得：
()2
2
2
124220k x kmx m +++-=，则2121222422
,1212km m x x x x k k -+=-⋅=++，
且(
)(
)()22
2
2
2
216811208120k m m k
k
m ∆=--+>⇒+->，．．．．．．．．．．．．．．．．．7分
由12AC BD
k k ⋅=-得12
12
12y y x x ⋅=-，
()()()()221212121221220221220y y x x kx m kx m x x k xx km x x m +=⇒+++=++++=
(
)
222
222
2
8222012212k m m m k m k
--+=⇒+=+
12AB x =-=
=
．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
原点到直线直线AB
的距离d =
所以1
442
ABCD
OAB S
S AB d ∆==⨯
=12分 21. 已知函数()()1ln 2x
f x ax x e
-=--．
（1） 当1a =-时，求曲线()y f x =在（1，f （1））处的切线方程； （2） 若f （x ）存在最小值m ，且30m a +≤，求a 的取值范围． 解析：（1）当1a =-时，()12ln x
f x x x x e
-=--，()11ln x
f x x e
-'=-+，
()()12,11k f f ='==，所以曲线()y f x =在（1，f （1））处的切线方程为21y x =-．．．．．．．．．．．．．．．
3分
（2）()1ln .x
f x a x e
a -=+-'
当0a =时，()0f x '>，此时()f x 在()0,+∞递增，f （x ）无最小值，不符题意；
当0a <时，()f x '在()0,+∞单调递减，且()11
110,10a a a f a f e e -⎛⎫=->'=-⎪⎝⎭
'<
所以，10
)(1,a a
x e
-∃∈有()00f x '=，此时f （x ）在（0，0x ）递增，在（0x ，＋∞）递减，f （x ）无最小值，
不符题意； ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． ．．．．．．．．．．．．．5分
当0a >时，令()()g x f x ='，则()11x
x
a a xe g x e x x
---=-='，
设()1x
t x a xe
-=-，则()()11x
t x x e
-=-'，令()0t x '=得1x =，
所以t （x ）在（0，1）递减，在()1,+∞递增，()min 1t x a =-．．．．．．．．．．．． ．．．．．6分 （i ）若1a >，则()0t x >，即()0g x '>，()g x 在()0,+∞递增，即()f x '在（0,＋∞）递增． 又()()1110,0e
f a f e e -'=-<=>'，所以()11,x e ∃∈有()10f x '=，
即()1
1
1111
ln 101ln x x e a x e
a x ---+=⇒=-，且f （x ）在（0，1x ）递减，在（1x ，＋∞）递增，
此时()()1
1111111
ln 21ln x x e m f x x x e x --==
---， ()()()1111
111111111111
11213ln 23
ln 1ln 1ln 1ln 1x x x x x e x e e m a x x e x x x x x ----⎡⎤
+-+=-+-=⋅-⎢⎥---+⎣
⎦，
设()()21ln 1x h x x x -=-+，则()()
()()2
2
114011x h x x x x x -'=-=≥++，所以()h x 在()0,+∞递增． 由于()()111,10x e h x h <<>=，此时30m a +>，30m a +≤不成立；．．． ．．．．．8分 （ii ） 当1a =时，由上分析易知：f （x ）在（0，1）递减，在()1,+∞递增，
()()min 13m f x f ===-，此时30m a +=符合题意；．．．．．．．．．．．．．． ．．．．9分
（iii ） 当01a <<时，由于()110t a =-<，110,20a
e
a t a e t e a -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=->+> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，
所以存在1,1,1,2a e a ξη⎛⎫⎛
⎫∈∈+
⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭有()()0f f ξη''=='．
所以()f x '在()0,ξ递增，在(,)ξη递减，在(,)η∞+递增．
又因为()()11ln ln 1f a a e e n ηηηηηη--=-+=-+'，
设()ln 1,1k n ηηηη=-+>，求导易知()0k η>．由于0c a f e -⎛⎫'< ⎪⎝⎭
，
故存在()20,x ξ∈，有()20f x '=．则()f x 在2(0,)x 递减，在()2,x +∞递增．
此时()()()()22
2112
212222222121ln 2,3ln 1ln 1ln 1x x x x e x e m f x x x e m a x x x x ---⎡⎤+-==--+=⋅-⎢⎥--+⎣⎦
， 由于()()2201,11x l h x h <<<=，此时30m a +≤成立． ．．．．．．．．．．11分
综上，a 的取值范围是（0，1]．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． ．．．．． ．．．．．．．．．12分
（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22.[选修4－4：坐标系与参数方程]
已知在平面直角坐标系xOy 中，直线l
的参数方程为12x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴非负半
轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22cos 20ρρθ--=，点P
的极坐标是，23π）． （1）求直线l 的极坐标方程及点P 到直线l 的距离；
（2）若直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，求△PMN 的面积． 解：（1
）由12x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
消去t
，得y =，∴3πθ=，所以直线l 的极坐标方程为()3R πθρ=∈．
点2(
33π）到直线l
的距离为2sin 33d ππ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭
．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 （2）由22203cos ρρθπθ⎧--=⎪⎨=⎪⎩
，得220ρρ--=，所以12121,2ρρρρ+=⋅=-， 所以
123MN ρρ=-==， 则△PMN
的面积为11322PMN S MN d ∆=⨯=⨯=．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
23.[选修4－5：不等式选讲]已知函数()121,f x mx x m R =++-∈． （1）当3m =时，求不等式()4f x >的解集；
（2）若02m <<，且对任意()3,2x R f x m
∈≥恒成立，求m 的最小值． 解：（1）当3m =时，()3121f x x x =++-，
原不等式()4f x >等价于1354x x ⎧<-⎪⎨⎪->⎩或113224
x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪+>⎩或1254x x ⎧>⎪⎨⎪>⎩， 解得：45x <-或无解或45x >，所以()4f x >的解集为44,,55⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．5分
（2）∵1102,,20,202
m m m m <<∴-<+>-<． 则1(2),,11()|1||21|(2)2,,21(2),2m x x m f x mx x m x x m m x x ⎧-+<-⎪⎪⎪=++-=-+-≤≤⎨⎪⎪+>⎪⎩
所以函数f （x ）在1,m ⎛
⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，在[－1m ，12]上单调递减，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
上单调递增． 所以()min 1122m f x f ⎛⎫==+
⎪⎝⎭． 因为对任意()3,2x R f x m ∈≥恒成立， 所以()min 3122m f x m
=+≥．又因为0m >，所以2230m m +-≥， 解得1m ≥（3m ≤-不合题意）．所以m 的最小值为1.．．．．．．．．．．．．．．．．10分。