广东省-北京师范大学东莞石竹附属学校2016-2017学年高

2016-2017学年度第二学期暑假作业高二文科数学（三）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.
1．已知集合M ＝{x|－3＜x ＜1}，N ＝{－3，－2，－1,0,1}，则M ∩N＝( )．
A ．{－2，－1,0,1}
B ．{－3，－2，－1,0}
C ．{－2，－1,0}
D ．{－3，－2，－1} 2．
2
1i
+＝( )． A
． B ．2 C
D ．1
3．设x ，y 满足约束条件10,10,3,x y x y x -+≥⎧⎪
+-≥⎨⎪≤⎩
则z ＝2x －3y 的最小值是( )．
A ．－7
B ．－6
C ．－5
D ．－3 4．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b ＝2，π6
B =
，π
4C =，则
△ABC 的面积为( )．
A
． B
C
．2 D
1
5．设椭圆C ：22
22=1x y a b
+(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的点，
PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为( )． A
．
6 B ．13 C ．12 D
．3
6．已知sin 2α＝
23，则2πcos 4α⎛⎫+ ⎪⎝
⎭＝( )．
A ．
16 B ．13 C ．12 D ．2
3
7．执行下面的程序框图，如果输入的N ＝4，那么输出的S ＝( )．
A ．1111+234++
B ．111
1+232432
++⨯⨯⨯ C ．11111+
2345+++ D ．11111+2324325432
+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 8．设a ＝log 32，b ＝log 52，c ＝log 23，则( )．
A ．a ＞c ＞b
B ．b ＞c ＞a
C ．c ＞b ＞a
D ．c ＞a ＞b
9．一个四面体的顶点在空间直角坐标系O －xyz 中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到的正视图可以为( )．
10．设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线l 过F 且与C 交于A ，B 两点．若|AF|＝3|BF|，则l 的方程为( )．
A ．y ＝x －1或y ＝－x ＋1
B ．y 1)x -或y ＝1)x -
C ．y ＝
(1)3x -或y ＝1)3x -- D ．y ＝1)2x -或y ＝(1)2
x -- 11．已知函数f(x)＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，下列结论中错误的是( )．
A ．∃x0∈R ，f(x0)＝0
B ．函数y ＝f(x)的图像是中心对称图形
C ．若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(－∞，x0)单调递减
D ．若x0是f(x)的极值点，则f′(x0)＝0
12．若存在正数x 使2x (x －a)＜1成立，则a 的取值范围是( )．
A ．(－∞，＋∞) B．(－2，＋∞) C ．(0，＋∞) D．(－1，＋∞)
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是__________．
14．已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE BD ⋅
＝__________.
15．已知正四棱锥O －ABCD 的体积为
2
O 为球心，OA 为半径的球的表面积为__________．
16．函数y ＝cos(2x ＋φ)(－π≤φ＜π)的图像向右平移
π2个单位后，与函数y ＝πsin 23x ⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭的图像重合，则φ＝__________.
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分12分)已知等差数列{a n }的公差不为零，a 1＝25，且a 1，a 11，a 13成等比数列．
(1)求{a n }的通项公式； (2)求a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 3n －2.
18．(本小题满分12分)如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别是AB ，BB 1的中点． （1）证明：1//BC 平面11ACD ；
（2）设12AA AC CB ===，AB =，求三棱锥1C A DE -的体积。

19．(本小题满分12分)经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1 t该产品获利润500元，未售出的产品，每1 t亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130 t该农产品．以X(单位：t,100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．
(1)将T表示为X的函数；
(2)根据直方图估计利润T不少于57 000元的概率．
20．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为
y轴上截得线段长为
(1)求圆心P的轨迹方程；
(2)若P点到直线y＝x，求圆P的方程．
21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x2e－x.
(1)求f(x)的极小值和极大值；
(2)当曲线y＝f(x)的切线l的斜率为负数时，求l在x轴上截距的取值范围．22．(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程
已知动点P，Q都在曲线C：
2cos,
2sin
x t
y t
=
⎧
⎨
=
⎩
(t为参数)上，对应参数分别为t＝α与t＝2α
(0＜α＜2π)，M为PQ的中点．
(1)求M的轨迹的参数方程；
(2)将M到坐标原点的距离d表示为α的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点．
23．(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲 设a ，b ，c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1.证明： (1)ab ＋bc ＋ca≤
13
； (2)
222
a b c b c a
++≥1.
2016-2017学年度第二学期暑假作业高二文科数学（三）
参考答案
一、选择题
二、填空题： 13、
15； 14、 2 ； 15、24π； 16、56
π. 三、解答题
17、解：(1)设{a n }的公差为d.
由题意，2
11113a a a =， 即(a 1＋10d)2＝a 1(a 1＋12d)．
于是d(2a 1＋25d)＝0.
又a 1＝25，所以d ＝0(舍去)，d ＝－2. 故a n ＝－2n ＋27.
(2)令S n ＝a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 3n －2.
由(1)知a 3n －2＝－6n ＋31，故{a 3n －2}是首项为25，公差为－6的等差数列． 从而S n ＝
2n (a 1＋a 3n －2)＝2
n
(－6n ＋56)＝－3n 2＋28n.
18． 解：(1)连结AC 1交A 1C 于点F ，则F 为AC 1中点．
又D 是AB 中点，连结DF ，则BC 1∥DF. 因为DF ⊂平面A 1CD ，BC 1平面A 1CD ，
所以BC 1∥平面A 1CD.
(2)因为ABC －A 1B 1C 1是直三棱柱，所以AA 1⊥CD.
由已知AC ＝CB ，D 为AB 的中点，所以CD ⊥AB. 又AA 1∩AB＝A ，于是CD ⊥平面ABB 1A 1.
由AA 1＝AC ＝CB ＝2，AB =ACB ＝90°，CD =1
A D =DE ，
A 1E ＝3，
故A 1D 2＋DE 2＝A 1E 2，即DE ⊥A 1D.
所以VC －A 1DE ＝11
32
⨯ 1.
19．解：(1)当X ∈[100,130)时，T ＝500X －300(130－X)＝800X －39 000.
当X ∈[130,150]时，T ＝500×130＝65 000. 所以80039000,100130,
65000,130150.X X T X -≤<⎧=⎨
≤≤⎩
(2)由(1)知利润T 不少于57 000元当且仅当120≤X≤150.
由直方图知需求量X ∈[120,150]的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T 不少于57 000元的概率的估计值为0.7.
20．解：(1)设P(x ，y)，圆P 的半径为r.
由题设y 2＋2＝r 2，x 2＋3＝r 2. 从而y 2＋2＝x 2＋3.
故P 点的轨迹方程为y 2－x 2＝1. (2)设P(x 0，y 0)
=. 又P 点在双曲线y 2－x 2＝1上，
从而得0022
1
0||1,
1.x y y x -=⎧⎨-=⎩ 由0022
001,1x y y x -=⎧⎨
-=⎩得000,
1.
x y =⎧⎨=-⎩ 此时，圆P 的半径r ＝
3.
由0022
001,1x y y x -=-⎧⎨-=⎩得00
0,1.x y =⎧⎨=⎩ 此时，圆P
的半径r =故圆P 的方程为x 2＋(y －1)2＝3或x 2＋(y ＋1)2＝3.
21．解：(1)f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，
f′(x)＝－e －x x(x －2)．①
当x ∈(－∞，0)或x ∈(2，＋∞)时，f′(x)＜0； 当x ∈(0,2)时，f′(x)＞0.
所以f(x)在(－∞，0)，(2，＋∞)单调递减，在(0,2)单调递增． 故当x ＝0时，f(x)取得极小值，极小值为f(0)＝0；
当x ＝2时，f(x)取得极大值，极大值为f(2)＝4e －2. (2)设切点为(t ，f(t))，
则l 的方程为y ＝f′(t)(x－t)＋f(t)． 所以l 在x 轴上的截距为m(t)＝()2
23'()22
f t t t t t f t t t -
=+=-++--. 由已知和①得t ∈(－∞，0)∪(2，＋∞)．
令h(x)＝2
x x
+
(x≠0)，则当x ∈(0，＋∞)时，h(x)的取值范围为[ 当x ∈(－∞，－2)时，h(x)的取值范围是(－∞，－3)．
所以当t ∈(－∞，0)∪(2，＋∞)时，m(t)的取值范围是(－∞，0)∪[3，＋∞)．
综上，l 在x 轴上的截距的取值范围是(－∞，0)∪[3，＋∞)．
22．解：(1)依题意有P(2cos α，2sin α)，Q(2cos 2α，2sin 2α)，
因此M(cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α)． M 的轨迹的参数方程为cos cos 2,
sin sin 2,
x y αααα=+⎧⎨=+⎩(α为参数，0＜α＜2π)．
(2)M 点到坐标原点的距离
d =
＜α＜2π)．
当α＝π时，d ＝0，故M 的轨迹过坐标原点．
23．解：(1)由a 2＋b 2≥2ab，b 2＋c 2≥2bc，c 2＋a 2≥2ca，
得a 2＋b 2＋c 2≥ab＋bc ＋ca.
由题设得(a ＋b ＋c)2＝1，即a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝1. 所以3(ab ＋bc ＋ca)≤1，即ab ＋bc ＋ca≤
13
. (2)因为22a b a b +≥，22b c b c +≥，2
2c a c a
+≥，
故
222
()
a b c
a b c
b c a
+++++≥2(a＋b＋c)，
即
222
a b c
b c a
++≥a＋b＋c.
所以
222
a b c
b c a
++≥1.。