风险资产的定价

风险资产的定价 Document number：PBGCG-0857-BTDO-0089-PTT1998
风险资产的定价
风险资产的定价是投资学的核心内容之一。

本章将在上一章的基础上详细讨论风险资产的定价方法，特别是资本资产定价模型。

第一节有效集和最优投资组合
根据上一章介绍过的马科维茨证券组合理论，投资者必须根据自己的风险-收益偏好和各种证券和证券组合的风险、收益特性来选择最优的投资组合。

然而，现实生活中证券种类繁多，这些证券更可组成无数种证券组合，如果投资者必须对所有这些组合进行评估的话，那将是难以想象的。

幸运的是，根据马科维茨的有效集定理，投资者无须对所有组合进行一一评估。

本节将按马科维茨的方法，由浅入深地介绍确定最优投资组合的方法。

一、可行集
为了说明有效集定理，我们有必要引入可行集（Feasible Set）的概念。

可行集指的是由N种证券所形成的所有组合的集合，它包括了现实生活中所有可能的组合。

也就是说，所有可能的组合将位于可行集的边界上或内部。

一般来说，可行集的形状象伞形，如图8-1中由A、N、B、H所围的区域所示。

在现实生活中，由于各种证券的特性千差万别。

因此可行集的位置也许比图8-1中的更左或更左，更高或更低，更胖或更瘦，但它们的基本形状大多如此。

R B
P
H
可行集
N
A
P
图8-1 可行集与有效集
二、有效集
（一）有效集的定义
对于一个理性投资者而言，他们都是厌恶风险而偏好收益的。

对于同样的风险水平，他们将会选择能提供最大预期收益率的组合；对于同样的预期收益率，他们将会选择风险最小的组合。

能同时满足这两个条件的投资组合的集合就是有效集（Efficient Set，又称有效边界Efficient Frontier）。

处于有效边界上的组合称为有效组合（Efficient Portfolio）。

（二）有效集的位置
可见，有效集是可行集的一个子集，它包含于可行集中。

那么如何确定有效集的位置呢
我们先考虑第一个条件。

在图8-1中，没有哪一个组合的风险小于组合N，这是因为如果过N点画一条垂直线，则可行集都在这条线的右边。

N点所代表的组合称为最小方差组合（Minimum Variance Portfolio）。

同样，没有哪个组合的风险大于H。

由此可以看出，对于各种风险水平而言，能提供最大预期收益率的组合集是可行集中介于N和H之间的上方边界上的组合集。

我们再考虑第二个条件，在图8-1中，各种组合的预期收益率都介于组合A 和组合B之间。

由此可见，对于各种预期收益率水平而言，能提供最小风险水
平的组合集是可行集中介于A、B之间的左边边界上的组合集,我们把这个集合称为最小方差边界（Minimum Variance Frontier）。

由于有效集必须同时满足上述两个条件，因此N、B两点之间上方边界上的可行集就是有效集。

所有其他可行组合都是无效的组合，投资者可以忽略它们。

这样，投资者的评估范围就大大缩小了。

（三）有效集的形状
从图8-1可以看出，有效集曲线具有如下特点：✍有效集是一条向右上方倾斜的曲线，它反映了“高收益、高风险“的原则；✍有效集是一条向上凸的曲线，这一特性可从图8-2推导得来；✍有效集曲线上不可能有凹陷的地方，这一特性也可以图8-2推导出来。

三、最优投资组合的选择
确定了有效集的形状之后，投资者就可根据自己的无差异曲线群选择能使自己投资效用最大化的最优投资组合了。

这个组合位于无差异曲线与有效集的相切点O，所图8-2所示。

R
P
I3 I2
I1 B
O H
O'
N
A
σ
P
图8-2 最优投资组合
从图8-2可以看出，虽然投资者更偏好I3上的组合，然而可行集中找不到这样的组合，因而是不可实现的。

至于I1上的组合，虽然可以找得到，但由于I1的位置位于I2的东南方，即I1所代表的效用低于I2，因此I1上的组合都不是最优组合。

而I2代表了可以实现的最高投资效用，因此O点所代表的组合就是最优投资组合。

有效集向上凸的特性和无差异曲线向下凸的特性决定了有效集和无差异曲线的相切点只有一个，也就是说最优投资组合是唯一的。

对于投资者而言，有效集是客观存在的，它是由证券市场决定的。

而无差异曲线则是主观的，它是由自己的风险——收益偏好决定的。

从上一章的分析可知，厌恶风险程度越高的投资者，其无差异曲线的斜率越陡，因此其最优投资组合越接近N点。

厌恶风险程度越低的投资者，其无差异曲线的斜率越小，因此其最优投资组合越接近B点。

第二节无风险借贷对有效集的影响
在前一节中，我们假定所有证券及证券组合都是有风险的，而没有考虑到无风险资产的情况。

我们也没有考虑到投资者按无风险利率借入资金投资于风险资产的情况。

而在现实生活中，这两种情况都是存在的。

为此，我们要分析在允许投资者进行无风险借贷的情况下，有效集将有何变化。

一、无风险贷款对有效集的影响
（一）无风险贷款或无风险资产的定义
无风险贷款相当于投资于无风险资产，其收益率是确定的。

在单一投资期的情况下，这意味着如果投资者在期初购买了一种无风险资产，那他将准确地知道这笔资产在期末的准确价值。

由于无风险资产的期末价值没有任何不确定性，因此，其标准差应为零。

同样，无风险资产收益率与风险资产收益率之间的协方差也等于零。

在现实生活中，什么样的资产称为无风险资产呢首先，无风险资产应没有任何违约可能。

由于所有的公司证券从原则上讲都存在着违约的可能性，因此公司证券均不是无风险资产。

其次，无风险资产应没有市场风险。

虽然政府债券基本上没有违约风险，但对于特定的投资者而言，并不是任何政府债券都是无风险资产。

例如，对于一个投资期限为1年的投资者来说，期限还有10年的国债就存在着风险。

因为他不能确切地知道这种证券在一年后将值多少钱。

事实上，任何一种到期日超过投资期限的证券都不是无风险资产。

同样，任何一种到期日早于投资期限的证券也不是无风险资产，因为在这种证券到期时，投资者面临着再投资的问题，而投资者现在并不知道将来再投资时能获得多少再投资收益率。

综合以上两点可以看出，严格地说，只有到期日与投资期相等的国债才是无风险资产。

但在现实中，为方便起见，人们常将1年期的国库券或者货币市场基金当作无风险资产。

（二）允许无风险贷款下的投资组合
1．投资于一种无风险资产和一种风险资产的情形
为了考察无风险贷款对有效集的影响，我们首先要分析由一种无风险资产和一种风险资产组成的投资组合的预期收益率和风险。

假设风险资产和无风险资产在投资组合中的比例分别为X 1和X 2，它们的预期收益率分别为1-
R 和r f ，它们的标准差分别等于1σ和2σ，它们之间的协方差为
12σ。

根据X 1和X 2的定义，我们有X 1+X 2=1，且X 1、X 2>0。

根据无风险资产的定义，我们有2σ和12σ都等于0。

这样，根据式（），我们可以算出该组合的预期收益率)(p R -
为：
∑=-
-
-
+==n
i f i i p r X R X R X R 1
211
（）
根据式（），我们可以算出该组合的标准差（p σ）为：
1111
σσσX X X
n i n
j ij j i
p ==
∑∑==
（）
由上式可得：
1
1σσp X =
，
1
21σσP
X -
= （）
将（）代入（）得：
p f
f p r R r R σσ⋅-+
=-
-
1
1
（）
由于1-
R 、r f 和1σ已知，式（）是线性函数，其中1
1σf r R --
为单位风险报酬
（Reward-to-Variability ）,又称夏普比率（Sharpe ’s Ratio ）。

由于X 1、X 2>0，因此式（）所表示的只是一个线段，如图8-3所示。

在图8-3中，A 点表示无风险资产，B 点表示风险资产，由这两种资产构成的投资组合的预期收益率和风险一定落在A 、B 这个线段上，因此AB 连线可以称为资产配置线。

由于A 、B 线段上的组合均是可行的，因此允许风险贷款将大大扩大大可行集的范围。

P R
B
A
σ
P
图8-3 无风险资产和风险资产的组合
2．投资于一种无风险资产和一个证券组合的情形
如果投资者投资于由一种无风险资产和一个风险资产组合组成的投资组合，情况又如何呢假设风险资产组合B是由风险证券C和D组成的。

根据第8章的分析可得，B一定位于经过C、D两点的向上凸出的弧线上，如图8-4所示。

如果我们仍用1-R和1σ代表风险资产组合的预期收益率和标准差，用X1代表该组合在整个投资组合中所占的比重，则式（）到（）的结论同样适用于由无风险资产和风险资产组合构成的投资组合的情形。

在图8-4中，这种投资组合的预期收益率和标准差一定落在A、B线段上。

R
P
D
B
A C
σ
图8-4 无风险资产和风险资产组合的组合
（三）无风险贷款对有效集的影响
引入无风险贷款后，有效集将发生重大变化。

在图8-5中，弧线CD代表马科维茨有效集，A点表示无风险资产。

我们可以在马科维茨有效集中找到一点T，使AT直线与弧线CD相切于T点。

T点所代表的组合称为切点处投资组合。

R
P
T D
C
A
P
图8-5 允许无风险贷款时的有效集
T点代表马科维茨有效集中众多的有效组合中的一个，但它却是一个很特殊的组合。

因为没有任何一种风险资产或风险资产组合与无风险资产构成的投资组合可以位于AT线段的左上方。

换句话说，AT线段的斜率最大，因此T点代表的组合被称为最优风险组合（Optimal Risky Portfolio）。

从图8-5可以明显看出，引入AT线段后，CT弧线将不再是有效集。

因为对于T点左边的有效集而言，在预期收益率相等的情况下，AT线段上风险均小于马科维茨有效集上组合的风险，而在风险相同的情况下，AT线段上的预期收益率均大于马科维茨有效集上组合的预期收益率。

按照有效集的定义，T点左边的有效集将不再是有效集。

由于AT 线段上的组合是可行的，因此引入无风险贷款后，新的有效集由AT线段和TD弧线构成。

我们举个例子来说明如何确定最优风险组合和有效边界。

假设市场上有A 、B 两种证券，其预期收益率分别为8%和13%，标准差分别为12%和20%。

A 、B 两种证券的相关系数为。

市场无风险利率为5%。

某投资者决定用这两只证券组成最优风险组合。

从图8-5可以看出，最优风险组合实际上是使无风险资产（A 点）与风险资产组合的连线斜率（即1
1σf r R --
）最大的风险资产组合，其中11σ和R 分别代表风
险资产组合的预期收益率和标准差，r f 表示无风险利率。

我们的目标是求
1
1σf ，X
X r
R Max B
A -。

其中：
R 1=X A R A +X B R B
B A B A B B A A X X X X σρσσσσ22
22221++=
约束条件是：X A +X B =1。

这是标准的求极值问题。

通过将目标函数对X A 求偏导并另偏导等于0，我们就可以求出最优风险组合的权重解如下：
()()()()()B
A f B
f
A
A
f
B
B
f
A
B
A
f
B
B
f
A
A
r R
r R r R r R r R r R X σρσσσσρσσ-+---+----=
222 （）
X B =1-X A 将数据代进去，就可得到最优风险组合的权重为：
()()()()()2
.012.03.005.013.005.008.012.005.013.02.005.008.02
.012.03.005.013.02.005.008.0222⨯⨯⨯-+--⨯-+⨯-⨯⨯⨯--⨯-=
A
X = X B ==
该最优组合的预期收益率和标准差分别为：
()%
2.142.012.0
3.06.0
4.022.06.012.04.0%
1113.06.008.04.02
2
2
2
11=⨯⨯⨯⨯⨯+⨯+⨯==⨯+⨯=σR
该最优风险组合的单位风险报酬=（11%-5%）/%= 有效边界的表达式为：
p p R σ42.0%5+=-
本书所附的光盘中的Excel模板（标题为第8章两证券模型）则用另一种办法根据两个风险资产的预期收益率、标准差和相关系数以及无风险利率的数据找出有效边界。

（四）无风险贷款对投资组合选择的影响
对于不同的投资者而言，无风险贷款的引入对他们的投资组合选择有不同的影响。

对于厌恶风险程度较轻，从而其选择的投资组合位于DT弧线上的投资者而言，其投资组合的选择将不受影响。

因为只有DT弧线上的组合才能获得最大的满足程度。

如图8-6（a）所示。

对于该投资者而言，他仍将把所有资金投资于风险资产，而不会把部分资金投资于无风险资产。

R
P
I3 I2 I1
D
O
T
C
A
σ
P
（a）
R
P
I3
I2 I1
D
T
O'
O
C
P σ
（b ）
图8-6 无风险贷款下的投资组合选择
对于较厌恶风险的投资者而言，由于代表其原来最大满足程度的无差异曲线I 1与AT 线段相交，因此不再符合效用最大化的条件。

因此该投资者将选择其无差异曲线与AT 线段相切O '所代表的投资组合，如图8-6（b ）所示。

对于该投资者而言，他将把部分资金投资于风险资产，而把另一部分资金投资于无风险资产。

我们再举个例子说明投资者如何根据自己的投资效用函数来进行最优的资产配置。

继续前面的例子。

投资者面临的最优风险组合的预期收益率（1R ）和标准差（1σ）分别为11%和%。

市场无风险利率（r f ）为5%。

某投资者的投资效用函数（U ）为：
22
1P P A R U σ-= 其中A 表示风险厌恶系数，2P P R σ和分别表示整个投资组合（包括无风险资产
和最优风险组合）的预期收益率和标准差，它们分别等于：
()2122
1
1σσy R y r y R P f P =+-=
其中y 表示投资者分配给最优风险组合的投资比例。

投资者的目标是通过选择
最优的资产配置比例y 来使他的投资效用最大化。

将2P P R σ和代入投资效用函数
中，我们可以把这个问题写成如下的数学表达式：
()21215.01σAy R y r y U Max f y
-+-= 将上式对y 求偏导并令其等于0，我们就可以得到最优的资产配置比例y *： 211*σA r R y f
-= （）
如果该投资者的风险厌恶系数A=4，则其y *=(11%-5%)/(4×%2)=。

也就是说，该投资者应将%的资金投入最优风险组合，%投入无风险资产。

这样他的整个投资组合的预期收益率为%（=×5%+×11%），标准差为%（=×%）。

显然，这种资产配置的效果是不错的。

二、无风险借款对有效集的影响
（一） 允许无风险借款下的投资组合
在推导马科维茨有效集的过程中，我们假定投资者可以购买风险资产的金额仅限于他期初的财富。

然而，在现实生活中，投资者可以借入资金并用于购买风险资产。

由于借款必须支付利息，而利率是已知的。

在该借款本息偿还上不存在不确定性。

因此我们把这种借款称为无风险借款。

为了分析方便起见，我们假定投资者可按相同的利率进行无风险借贷。

1．无风险借款并投资于一种风险资产的情形
为了考察无风险借款对有效集的影响，我们首先分析投资者进行无风险借款并投资于一种风险资产的情形。

为此，我们只要对上一节的推导过程进行适当的扩展即可。

我们可以把无风险借款看成负的投资，则投资组合中风险资产和无风险借款的比例也可用X 1和X 2表示，且X 1+X 2=1，X 1>1，X 2<0。

这样，式（）到（）也完全适用于无风险借款的情形。

由于X 1>1，X 2<0，因此式（）在图上表
现为AB线段向右边的延长线上，如图8-7所示。

这个延长线再次大大扩展了可行集的范围。

R
P
B
A
图8-7无风险借款和风险资产的组合
2．无风险借款并投资于风险资产组合的情形
同样，由无风险借款和风险资产组合构成的投资组合，其预期收益率和风险的关系与由无风险借款和一种风险资产构成的投资组合相似。

我们仍假设风险资产组合B是由风险证券和C和D组成的，则由风险资产组合B和无风险借款A构成的投资组合的预期收益率和标准差一定落在AB线段向右边的延长线上，如图8-8所示。

R
P
B
A C
图8-8 无风险借款和风险组合的组合
（二）无风险借款对有效集的影响
引入无风险借款后，有效集也将发生重大变化。

在图8-9中，弧线CD仍代表马科维茨有效集，T点仍表示CD弧线与过A点直线的相切点。

在允许无风险借款的情形下，投资者可以通过无风险借款并投资于最优风险资产组合T使有效集由TD弧线变成AT线段向右边的延长线。

R
P
T
A
C
图8-9 允许无风险借款时的有效集
这样，在允许无风险借贷的情况下，马科维茨有效集由CTD弧线变成过A、T 点的直线在A点右边的部分。

（三）无风险借款对投资组合选择的影响
对于不同的投资者而言允许无风险借款对他们的投资组合选择的影响也不同。

对于厌恶风险程度较轻，从而其选择的投资组合位于DT弧线上的投资者而言，由于代表其原来最大满足程度的无差异曲线I1与AT直线相交，因此不再符合效用最大化的条件。

因此该投资者将选择其无差异曲线与AT直线切点所代表的投资组合。

如图8-10（a）所示。

对于该投资者而言，他将进行无风险借款并投资于风险资产。

继续前面的例子。

如果投资者的风险厌恶系数A 等于2，则他的最优资产配置比例y *=(11%-5%)/(2×%2)=。

也就是说，该投资者应借入%的无风险资金，加上自有资金全部投资于最优风险组合。

这样他的整个投资组合的预期收益率为%（=×5%+×11%），标准差为%（=×%）。

R R I 2 I 1
T
P σ P σ
(a)
(b)
图8-10 无风险借款下的投资组合选择
对于较厌恶风险从而其选择的投资组合位于CT 弧线上的投资者而言，其投资组合的选择将不受影响。

因为只有CT 弧线上的组合才能获得最大的满足程度，如图8-10（b ）所示。

对于该投资者而言，他只会用自有资产投资于风险资产，而不会进行无风险借款。

综上所述，在允许无风险借贷的情况下，有效集变成一条直线，该直线经过无风险资产A 点并与马科维茨有效集相切。

第三节 资本资产定价模型
在第8章和本章第一、二节中，我们给出确定最优投资组合的方法，投资
者首先必须估计所有证券的预期收益率和方差、所有这些证券之间的协方差以
及无风险利率水平，然后，找出切点处投资组合（最优风险组合），并根据自
己无差异曲线与无风险利率和切点处投资组合构成的直线的切点来决定自己的
最优投资组合。

这种方法属于规范经济学的范畴。

在本节中，我们将在假定所
有投资者均按上述方法投资的情况下，研究风险资产的定价问题，它属于实证
经济学范畴。

在这里，我们要着重介绍资本定价模型（Capital Asset Pricing Model ，CAPM）。

该模型是由夏普（William Sharpe）林特纳（John Lintner）、特里诺（Jack Treynor）和莫森（Jan Mossin）等人在现代证券组合
理论的基础上提出的1，在投资学中占有很重要的地位，并在投资决策和公司理财中得到广泛的运用。

一、基本的假定
为了推导资本资产定价模型，假定：
1．所有投资者的投资期限均相同。

2．投资者根据投资组合在单一投资期内的预期收益率和标准差来评价这些投资组合。

3．投资者永不满足，当面临其他条件相同的两种选择时，他们将选择具有较高预期收益率的那一种。

4．投资者是厌恶风险的，当面临其他条件相同的两种选择时，他们将选择具有较小标准差的那一种。

1 Sharpe, W.,1964, “Capital Asset Prices,”Journal of Finance,September,425-42. Lintner, J., 1965, “The Valuation of Risk Assets and the Selection of Risky Investments in Stock Portfolio and Capital Budgets,”Review of Economics and Statistics, February, 13-37. Mossin, J. 1966,“Equilibrium in a Capital Market,”Econometrica, October, 768-83.
5．每种资产都是无限可分的。

6．投资者可按相同的无风险利率借入或贷出资金。

7．税收和交易费用均忽略不计。

8．对于所有投资者来说，信息都是免费的并且是立即可得的。

9．投资者对于各种资产的收益率、标准差、协方差等具有相同的预期。

这些假定虽然与现实世界存在很大差距，但通过这个假想的世界，我们可以导出证券市场均衡关系的基本性质，并以此为基础，探讨现实世界中风险和收益之间的关系。

二、资本市场线
（一）分离定理
在上述假定的基础上，我们可以得出如下结论：
1．根据相同预期的假定，我们可以推导出每个投资者的切点处投资组合（最优风险组合）都是相同的（如图8-10的T点），从而每个投资者的线性有效集都是一样的。

2．由于投资者风险——收益偏好不同，其无差异曲线的斜率不同，因此他们的最优投资组合也不同。

由此我们可以导出着名的分离定理：
投资者对风险和收益的偏好状况与该投资者风险资产组合的最优构成是无关的。

分离定理可从图8-11中看出，在图8-11，I1代表厌恶风险程度较轻的投资者的无差异曲线，该投资者的最优投资组合位于O1点，表明他将借入资金投资于风险资产组合上，I2代表较厌恶风险的投资者的无差异曲线，该投资者的
最优投资组合位于O2点，表明他将部分资金投资于无风险资产，将另一部分资金投资于风险资产组合。

虽然O1和O2位置不同，但它们都是由无风险资产（A ）和相同的最优风险组合（T）组成，因此他们的风险资产组合中各种风险资产的构成比例自然是相同的。

R I2 I1
P
O1
D
O2 T
A C
P
图8-11 分离定理
（二）市场组合
根据分离定理，我们还可以得到另一个重要结论：在均衡状态下，每种证券在均点处投资组合中都有一个非零的比例。

这是因为，根据分离定理，每个投资者都持有相同的最优风险组合（T）。

如果某种证券在T组合中的比例为零，那么就没有人购买该证券，该证券的价格就会下降，从而使该证券预期收益率上升，一直到在最终的最优风险组合T 中，该证券的比例非零为止。

同样，如果投资者对某种证券的需要量超过其供给量，则该证券的价格将上升，导致其预期收益率下降，从而降低其吸引力，它在最优风险组合中的比例也将下降直至对其需求量等于其供给量为止。

因此，在均衡状态下，每一个投资者对每一种证券都愿意持有一定的数量，市场上各种证券的价格都处于使该证券的供求相等的水平上，无风险利率的水平也正好使得借入资金的总量等于贷出资金的总量。

这样，在均衡时，最优风险组合中各证券的构成比例等于市场组合（Market Portfolio）中各证券的构成比例。

所谓市场组合是指由所有证券构成的组合，在这个组合中，每一种证券的构成比例等于该证券的相对市值。

一种证券的相对市值等于该证券总市值除以所有证券的市值的总和。

习惯上，人们将切点处组合叫做市场组合，并用M代替T来表示。

从理论上说，M不仅由普通股构成，还包括优先股、债券、房地产等其它资产。

但在现实中，人们常将M局限于普通股。

（三）共同基金定理
如果投资者的投资范围仅限于资本市场，而且市场是有效的，那么市场组合就大致等于最优风险组合。

于是单个投资者就不必费那么多劲进行复杂的分析和计算，只要持有指数基金和无风险资产就可以了。

（当然，如果所有投资者都怎么做，那么这个结论就不成立。

因为指数基金本身并不进行证券分析，它只是简单地根据各种股票的市值在市场总市值中的比重来分配其投资。

因此，如果每个投资者都不进行证券分析，证券市场就会失去建立风险收益均衡关系的基础。

）如果我们把货币市场基金看做无风险资产，那么投资者所要做
的事情只是根据自己的风险厌恶系数A ，将资金合理地分配于货币市场基金和指数基金，这就是共同基金定理2。

共同基金定理将证券选择问题分解成两个不同的问题：一个是技术问题，即由专业的基金经理人创立指数基金；而是个人问题，即根据投资者个人的风险厌恶系数将资金在指数基金与货币市场基金之间进行合理配置。

（四）有效集
按资本资产定价模型的假设，我们就可以很容易地找出有效组合风险和收益之间的关系。

如果我们用M 代表市场组合，用R f 代表无风险利率，从R f 出发画一条经过M 的直线，这条线就是在允许无风险借贷情况下的线性有效集，在此我们称为资本市场线（Capital Market Line ），如图8-12所示。

任何不利用市场组合以及不进行无风险借贷的其它所有组合都将位于资本市场线的下方。

p R -
M f R
M σ P σ
图8-12 资本市场线
2 推而广之，如果现实世界中的风险源有n 个，且有专门针对这些风险源的n 个共同基金，那么投资者只要根据自己对各种风险的厌恶系数A i （i=1，2，……，n ）将资金合理地分配于共同基金和货币市场基金（n+1个基金），就可以实现最优风险配置。