2015年郑州市第二次质量检测数学试卷
河南省郑州市2014-2015下期期末考试高二文科数学参考答案
2014—2015学年下期期末学业水平测试高中二年级 文科数学 参考答案一、 选择题CADAD CCDBB AA二、填空题：13. 1； 14.综合法； 15.109； 16.（4-1）9;2 (4-4) AB ＝23;(4-5) 9.三、解答题： 17．解：设),(,R b a bi a z ∈+=，由⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪z ＋1z －1＝1⇒|z ＋1|＝|z －1|， ……………2分 由|(a ＋1)＋bi |＝|(a －1)＋bi |，∴(a ＋1)2＋b 2＝(a －1)2＋b 2，得a ＝0， ……………6分∴z ＝bi ，又由bi ＋2bi∈R 得， b －2b＝0⇒b ＝±2，∴z ＝±2i . ………………10分 18. （4-1）解：连接OC ，因为PC 为⊙O 的切线，所以OC ⊥PC . ……………2分又因为∠CPA ＝30°，OC ＝12AB ＝3 cm ， ……………6分 所以在Rt △POC 中，PC ＝OC tan ∠CPA ＝333＝33(cm )． …………12分 (4-4)解：将1,53x t y t=+⎧⎪⎨=-+⎪⎩代入230x y --=得23t =， ……………6分 得(123,1)P +，而(1,5)Q -，得22(23)643PQ =+= …………12分(4-5)证明：2222()(222)a b c a b c ab bc ac ++=++-++2222()2()a b c a b c ≥++-++22223()()1a b c a b c ∴++≥++=，2221.3∴++≥a b c ………………12分 19． 解：（1）2643⨯=人. ……………………3分 （2）6人中甲班4人分别记为1234,,,,A A A A 乙班中2人分别记为12,.B B 在6人中选2人所有的情况为1213141112(,)(,)(,)(,)(,)A A A A A A A B A B 2324212234(,)(,)(,)(,)(,)A A A A A B A B A A3132414212(,)(,)(,)(,)(,)A B A B A B A B B B 共15种选法，其中恰有1人有乙班的选法有8种，故所求概率为8.15………9分 （3）利用公式计算2258.333.8k =≈ 2(7.879)0.005.p k ∴≥= 故按95%可靠性要求认为“成绩与班级有关”. ……………………12分20．解：（1）散点图（略）. ………………2分（2）5.345432=+++=x ， 5.345.4435.2=+++=y ， ………4分 5.525.4544335.2241=⨯+⨯+⨯+⨯=∑=i i i y x ， 54251694412=+++=∑=i i x ∴7.05.34545.35.345.522=⨯-⨯⨯-=∧b . ………………7分 05.15.37.05.3=⨯-=∧a . ………………8分∴回归直线方程：05.17.0+=∧x y ……………9分 (3)当05.805.1107.010=+⨯==，y x 时，∴预测加工10个零件需要8.05小时.…12分21.解：结论为：()()()22222bd ac d c b a +≥++ ………4分 证明： 22222()()()a b c d ac bd ++-+=2222222222222()(2)a c a d b c b d a c b d abcd +++-++ …………6分 22222a d b c abcd =+- …………8分 2()0.ac bd =-≥ …………10分所以()()()22222bd ac d c b a +≥++ ………………12分 22选修4－1：几何选讲 （Ⅰ）证明： 23AE AB =，∴1.3BE AB = 在正ABC △中，13AD AC =，∴.AD BE = …………………4分 又AB BC =，BAD CBE ∠=∠， ∴BAD △≌CBE △， ∴ADB BEC ∠=∠，即πADF AEF ∠+∠=，所以A ，E ，F ，D 四点共圆． ………………………………6分 （Ⅱ）解：如图5，取AE 的中点G ，连结GD ，则1.2AG GE AE == 23AE AB =，∴1233AG GE AB ===. 1233AD AC ==，60DAE ∠=︒，∴AGD △为正三角形， 2,3GD AG AD ∴===即2,3GA GE GD === ....................8分 所以点G 是AED △外接圆的圆心，且圆G 的半径为23． 由于A ，E ，F ，D 四点共圆，即A ，E ，F ，D 四点共圆G ，其半径为23．.......12分 选修4－4：坐标系与参数方程解：（1）由4(cos sin )ρθθ=+得()22cos sin ρρθρθ=+，即2222.+=+x y x y 即()()2211 2.-+-=x y ......................................................................4分 l 的参数方程为3,211.2x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）. ................................................................6分（2）将3,2112x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入()()22112-+-=x y 得2310.--=t t .............................................................................................8分 由此得12123,1,⎧+=⎪⎨⋅=-⎪⎩t t t t 则12121 1.⋅=⋅=⋅=-=EA EB t t t t .................................12分 选修4－5：不等式选讲解：（Ⅰ）原不等式等价于313,,222(21)(23)6(21)(23)6x x x x x x ⎧⎧>-⎪⎪⎨⎨⎪⎪++-+--⎩⎩≤≤或≤≤或1,2(21)(23)6x x x ⎧<-⎪⎨⎪-+--⎩≤， 解之得3131212222x x x <--<-≤或≤≤或≤， 即不等式的解集为{|12}x x -≤≤． ………………………………………6分 （Ⅱ）()2123(21)(23)4f x x x x x =++-+--=≥，14a ∴->，解此不等式得35a a <->或． ………………………………12分。
2015郑州中考二模
河南省郑州市2015年中考数学二模试卷一、选择题（每小题3分，共24分）1．2015的倒数是（）A．﹣2015 B．C．D．20152．PM2.5是指大气中直径≤0.0000025米的颗粒物，将0.0000025用科学记数法表示为（）A．2.5×10﹣7 B．2.5×10﹣6 C．25×10﹣7 D．0.25×10﹣53．如图，从左面观察这个立体图形，能得到的平面图形是（）A．B．C．D．4．如图，直线l∥m，等边三角形ABC的顶点B在直线m上，∠1=25°，则∠2的度数为（）A．35° B．25° C．30° D．45°5．如图是交警在一个路口统计的某个时段来往车辆的车速（单位：千米/时）情况．则这些车的车速的众数、中位数分别是（）A．8，6 B．8，5 C．52，53 D．52，526．如图，已知菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6，8，AE⊥BC，垂足为点E，则AE的长是（）A．B．2C．D．7．如图，矩形ABCD中，AB=5，AD=12，将矩形ABCD按如图所示的方式在直线l上进行两次旋转，使点B旋转到B′点，则点B在两次旋转过程中经过的路径的长是（）A．25π B．π C．π D．π8．如图①，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=60°，动点P从A点出发，以1cm/s的速度沿着A→B→C→D的方向向点D移动，已知△PAD的面积S（单位：cm2）与点P移动的时间t（单位：s）的函数如图②所示，则点P从开始移动到停止共用时（）A．8秒B．（4+）秒C．（4+3）秒D．（4+）秒二、填空题（每小题3分，共21分）9．计算：=．10．如图，四边形ABCD内接于圆O，若∠B=77°，则∠D=°．11．若关于x的一元二次方程x2+2x+a=0有实数根，则a的取值范围是．12．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3cm，BC=6cm，以斜边AB上的一点O为圆心所作的半圆分别与AC、BC相切于点D，E，则圆O的半径为cm．13．在一个口袋中有4个完全相同的小球，它们的标号分别为1，2，3，4，一人从中随机摸出一球记下标号后放回，再从中随机摸出一个小球记下标号，则两次摸出的小球的标号之和大于4的概率是．14．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，E为AB上一点，分别以ED，EC为折痕将两个角（∠A，∠B）向内折起，点A，B恰好落在CD边的点F处．若AD=5，BC=9，则EF=．15．如图，在一张长为8cm，宽为6cm的矩形纸片上，现要剪下一个腰长为5cm的等腰三角形（要求：等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其余的两个顶点在矩形的边上）．则剪下的等腰三角形的面积为cm2．三、解答题（本题共8道小题，共75分）16．先化简，再从﹣2＜x＜3中选一个合适的整数代入求值．17．我市民营经济持续发展，2013年城镇民营企业就业人数突破20万．为了解城镇民营企业员工每月的收入状况，统计局对全市城镇民营企业员工2013年月平均收入随机抽样调查，将抽样的数据按“2000元以内”、“2000元～4000元”、“4000元～6000元”和“6000元以上”分为四组，进行整理，分别用A，B，C，D表示，得到下列两幅不完整的统计图．由图中所给出的信息解答下列问题：（1）本次抽样调查的员工有人，在扇形统计图中x的值为，表示“月平均收入在2000元以内”的部分所对应扇形的圆心角的度数是；将不完整的条形图补充完整，并估计我市2013年城镇民营企业20万员工中，每月的收入在“2000元～4000元”的约多少人？（3）统计局根据抽样数据计算得到，2013年我市城镇民营企业员工月平均收入为4872元，请你结合上述统计的数据，谈一谈用平均数反映月收入情况是否合理？18．如图，分别以Rt△ABC的直角边AC和斜边AB向外作等边△ACD、等边△ABE，已知∠BAC=30°，BC=1，EF⊥AB，垂足为F，连结DF．（1）线段EF是多少？答：，请写出求解过程；请判断四边形ADFE的形状，并说明理由．19．大河网报道“郑州东风渠再添4座新桥”，如图，某座桥的两端位于A，B两点，小华为了测量A、B之间的河宽，在垂直于桥AB的直线型道路l上测得如下数据：∠BDA=76.1°，∠BCA=68.2°，CD=24米．求AB的长（精确到1米）．（参考数据：sin76.1°≈0.97，cos76.1°≈0.24，tan76.1°≈4.0；sin68.2°≈0.93，cos68.2°≈0.37，tan68.2°≈2.5．）20．如图，一次函数y=kx+b的图象l与坐标轴分别交于点E、F，与双曲线y=﹣（x＜0）交于点P（﹣1，n），且F是PE的中点．（1）求直线l的解析式；若直线x=a与l交于点A，与双曲线交于点B（不同于A），问a为何值时，PA=PB？21．我市正大力倡导”垃圾分类“，第一季度某企业按A类垃圾处理费25元/吨、B类垃圾处理费16元/吨的收费标准，共支付垃圾处理费520元．从4月起，收费标准上调为：A类垃圾处理费100元/吨，B类垃圾处理费30元/吨．若该企业第二季度需要处理的A类，B类垃圾的数量与第一季度相同，就要多支付垃圾处理费880元．（1）该企业第一季度处理的两类垃圾各多少吨？该企业计划第二季度将上述两种垃圾处理总量减少到24吨，且B类垃圾处理量不超过A类垃圾处理量的3倍，该企业第二季度最少需要支付这两种垃圾处理费共多少元？22．在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点P在线段BC上（不含点B），∠BPE=∠ACB，PE交BO于点E，过点B作BF⊥PE，垂足为F，交AC于点G．（1）当点P与点C重合时（如图1）．求证：△BOG≌△POE；通过观察、测量、猜想：=，并结合图2证明你的猜想；（3）把正方形ABCD改为菱形，其他条件不变（如图3），若∠ACB=α，求的值．（用含α的式子表示）23．如图，矩形OABC的两边在坐标轴上，连接AC，抛物线y=x2﹣4x﹣2经过A，B两点．（1）求A点坐标及线段AB的长；若点P由点A出发以每秒1个单位的速度沿AB边向点B移动，1秒后点Q也由点A出发以每秒7个单位的速度沿A﹣O﹣C﹣B的方向向点B移动，当其中一个点到达终点时另一个点也停止移动，点P的移动时间为t秒．①当PQ⊥AC时，求t的值；②当PQ∥AC时，对于抛物线对称轴上一点H，当点H的纵坐标满足条件时，∠HOQ ＜∠POQ．（直接写出答案）河南省郑州市2015年中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共24分）1．2015的倒数是（）A．﹣2015 B．C．D．2015考点：倒数．分析：根据倒数的定义可得2015的倒数是．解答：解：2015的倒数是．故选：C．点评：主要考查倒数的概念及性质．倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．2．PM2.5是指大气中直径≤0.0000025米的颗粒物，将0.0000025用科学记数法表示为（）A．2.5×10﹣7 B．2.5×10﹣6 C．25×10﹣7 D．0.25×10﹣5考点：科学记数法—表示较小的数．专题：常规题型．分析：绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．解答：解：0.0000025=2.5×10﹣6，故选：B．点评：本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．3．如图，从左面观察这个立体图形，能得到的平面图形是（）A．B．C．D．考点：简单组合体的三视图．分析：根据从左面看得到的图形是左视图，可得答案．解答：解；从左面看下面一个正方形，上面一个正方形，故选：A．点评：本题考查了简单组合体的三视图，从左面看得到的图形是左视图．4．如图，直线l∥m，等边三角形ABC的顶点B在直线m上，∠1=25°，则∠2的度数为（）A．35° B．25° C．30° D．45°考点：平行线的性质．分析：过C作CM∥直线l，根据等边三角形性质求出∠ACB=60°，根据平行线的性质求出∠1=∠MCB，∠2=∠ACM，即可求出答案．解答：解：过C作CM∥直线l，∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，过C作CM∥直线l，∵直线l∥直线m，∴直线l∥直线m∥CM，∵∠ACB=60°，∠1=25°，∴∠1=∠MCB=25°，∴∠2=∠ACM=∠ACB﹣∠MCB=60°﹣25°=35°．故选A．点评：本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等．5．如图是交警在一个路口统计的某个时段来往车辆的车速（单位：千米/时）情况．则这些车的车速的众数、中位数分别是（）A．8，6 B．8，5 C．52，53 D．52，52考点：频数（率）分布直方图；中位数；众数．专题：计算题．分析：找出出现次数最多的速度即为众数，将车速按照从小到大顺序排列，求出中位数即可．解答：解：根据题意得：这些车的车速的众数52千米/时，车速分别为50，50，51，51，51，51，51，52，52，52，52，52，52，52，52，53，53，53，53，53，53，54，54，54，54，55，55，中间的为52，即中位数为52千米/时，则这些车的车速的众数、中位数分别是52，52．故选：D．点评：此题考查了频数（率）分布直方图，中位数，以及众数，弄清题意是解本题的关键．6．如图，已知菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6，8，AE⊥BC，垂足为点E，则AE的长是（）A．B．2C．D．考点：菱形的性质．分析：根据菱形的性质得出BO、CO的长，在RT△BOC中求出BC，利用菱形面积等于对角线乘积的一半，也等于BC×AE，可得出AE的长度．解答：解：∵四边形ABCD是菱形，∴CO=AC=3，BO=BD=4，AO⊥BO，∴BC==5cm，∴S菱形ABCD==×6×8=24，∵S菱形ABCD=BC×AE，∴BC×AE=24，∴AE==，故选D．点评：此题考查了菱形的性质，也涉及了勾股定理，要求我们掌握菱形的面积的两种表示方法，及菱形的对角线互相垂直且平分．7．如图，矩形ABCD中，AB=5，AD=12，将矩形ABCD按如图所示的方式在直线l上进行两次旋转，使点B旋转到B′点，则点B在两次旋转过程中经过的路径的长是（）A．25π B．π C．π D．π考点：弧长的计算；矩形的性质；旋转的性质．分析：连接BD，B′D，首先根据勾股定理计算出BD长，再根据弧长计算公式计算出，的长，然后再求和计算出点B在两次旋转过程中经过的路径的长即可．解答：解：连接BD，B′D，∵AB=5，AD=12，∴BD==13，∴的长：=，∵的长：=6π，∴点B在两次旋转过程中经过的路径的长是：+6π=，故选：C．点评：此题主要考查了弧长计算，以及勾股定理的应用，关键是掌握弧长计算公式l=．8．如图①，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=60°，动点P从A点出发，以1cm/s的速度沿着A→B→C→D的方向向点D移动，已知△PAD的面积S（单位：cm2）与点P移动的时间t（单位：s）的函数如图②所示，则点P从开始移动到停止共用时（）A．8秒B．（4+）秒C．（4+3）秒D．（4+）秒考点：动点问题的函数图象．分析：根据图②判断出AB、BC的长度，过点B作BE⊥AD于点E，然后求出梯形ABCD的高BE，再根据t=2时△PAD的面积求出AD的长度，过点C作CF⊥AD于点F，然后求出DF的长度，利用勾股定理列式求出CD的长度，然后求出AB、BC、CD的和，再根据时间=路程÷速度计算即可得解．解答：解：由图②可知，t在2到4秒时，△PAD的面积不发生变化，∴在AB上运动的时间是2秒，在BC上运动的时间是4﹣2=2秒，∵动点P的运动速度是1cm/s，∴AB=2cm，BC=2cm，过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD于点F，则四边形BCFE是矩形，∴BE=CF，BC=EF=2cm，∵∠A=60°，∴BE=ABsin60°=2×=，AE=ABcos60°=2×=1，∴×AD×BE=3，即×AD×=3，解得AD=6cm，∴DF=AD﹣AE﹣EF=6﹣1﹣2=3，在Rt△CDF中，CD===2，所以，动点P运动的总路程为AB+BC+CD=2+2+2=4+2，∵动点P的运动速度是1cm/s，∴点P从开始移动到停止移动一共用了（4+2）÷1=4+2（秒）．答：点P从开始移动到停止移动一共用了（4+2）秒．故选：B．点评：本题考查了动点问题的函数图象，根据图②的三角形的面积的变化情况判断出AB、BC的长度是解题的关键，根据梯形的问题中，经常作过梯形的上底边的两个顶点的高线作出辅助线也很关键．二、填空题（每小题3分，共21分）9．计算：=0．考点：实数的运算．专题：计算题．分析：原式第一项利用立方根定义计算，第二项利用绝对值的代数意义化简，即可得到结果．解答：解：原式=﹣2+2=0．故答案为：0．点评：此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．10．如图，四边形ABCD内接于圆O，若∠B=77°，则∠D=103°．考点：圆内接四边形的性质．分析：根据圆内接四边形对角互补，直接求出即可．解答：解：∵圆内接四边形ABCD中，∠B=77°，∴∠D=180°﹣77°=103°．故答案为：103°．点评：此题主要考查了圆内接四边形的性质，灵活应用圆内接四边形的性质是解决问题的关键．11．若关于x的一元二次方程x2+2x+a=0有实数根，则a的取值范围是a≤1．考点：根的判别式．分析：在与一元二次方程有关的求值问题中，必须满足下列条件：（1）二次项系数不为零；在有实数根下必须满足△=b2﹣4ac≥0．解答：解：因为关于x的一元二次方程有实根，所以△=b2﹣4ac=4﹣4a≥0，解之得a≤1．故答案为a≤1．点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．12．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3cm，BC=6cm，以斜边AB上的一点O为圆心所作的半圆分别与AC、BC相切于点D，E，则圆O的半径为2cm．考点：切线的性质；相似三角形的判定与性质．分析：连接OD、OE，根据已知条件证明四边形CDOE为正方形，得到OD=CD，证明OD∥BC，得到=，求出OD的长，得到答案．解答：解：连接OD、OE，∵∠ACB=90°，AC=3cm，BC=6cm，∴AB=3，∵AC、CB为⊙O的切线，∴OD⊥AC，OE⊥BC，又∠ACB=90°，∴四边形CDOE为矩形，CD=CE，∴四边形CDOE为正方形，∴OD=CD，∵OD⊥AC，∠ACB=90°，∴OD∥BC，∴=，=OD=2，故答案为：2．点评：本题考查的是切线的性质，掌握切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径是解题的关键，注意：平行线分线段成比例定理的正确运用．13．在一个口袋中有4个完全相同的小球，它们的标号分别为1，2，3，4，一人从中随机摸出一球记下标号后放回，再从中随机摸出一个小球记下标号，则两次摸出的小球的标号之和大于4的概率是．考点：列表法与树状图法．分析：首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的小球的标号之和大于4的情况，再利用概率公式即可求得答案．解答：解：画树状图得：∵共有16种等可能的结果，两次摸出的小球的标号之和大于4的有10种情况，∴两次摸出的小球的标号之和大于4的概率是：=．点评：此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．14．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，E为AB上一点，分别以ED，EC为折痕将两个角（∠A，∠B）向内折起，点A，B恰好落在CD边的点F处．若AD=5，BC=9，则EF=3．考点：翻折变换（折叠问题）；勾股定理．分析：如图，首先运用翻折变换的性质求出CF、DF的长度，证明∠DEC=90°；运用射影定理求出EF的长度，即可解决问题．解答：解：如图，由翻折变换的性质得：CF=CB=9，DF=DA=5，∠EFC=∠B=90°；∠AED=∠FED，∠BEC=∠FEC，∴∠DEC=180°=90°，即EF⊥CD，∴由射影定理得：EF2=CF•DF，∴EF=3，故答案为3．点评：该题主要考查了翻折变换的性质、射影定理等几何知识点及其应用问题；解题的关键是灵活运用翻折变换的性质、射影定理等几何知识点来分析、判断、推理或解答．15．如图，在一张长为8cm，宽为6cm的矩形纸片上，现要剪下一个腰长为5cm的等腰三角形（要求：等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其余的两个顶点在矩形的边上）．则剪下的等腰三角形的面积为或5或10cm2．考点：作图—应用与设计作图．专题：计算题；压轴题．分析：因为等腰三角形腰的位置不明确，所以分（1）腰长在矩形相邻的两边上，一腰在矩形的宽上，（3）一腰在矩形的长上，三种情况讨论．（1）△AEF为等腰直角三角形，直接利用面积公式求解即可；先利用勾股定理求出AE边上的高BF，再代入面积公式求解；（3）先求出AE边上的高DF，再代入面积公式求解．解答：解：分三种情况计算：（1）当AE=AF=5厘米时，∴S△AEF=AE•AF=×5×5=厘米2，当AE=EF=5厘米时，如图BF===2厘米，∴S△AEF=•AE•BF=×5×2=5厘米2，（3）当AE=EF=5厘米时，如图DF===4厘米，∴S△AEF=AE•DF=×5×4=10厘米2．故答案为：，5，10．点评：本题主要考查矩形的角是直角的性质和勾股定理的运用，要根据三角形的腰长的不确定分情况讨论．三、解答题（本题共8道小题，共75分）16．先化简，再从﹣2＜x＜3中选一个合适的整数代入求值．考点：分式的化简求值．分析：先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选出合适的x的值代入进行计算即可．解答：解：原式=•=，当x=2时，原式==．点评：本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．17．我市民营经济持续发展，2013年城镇民营企业就业人数突破20万．为了解城镇民营企业员工每月的收入状况，统计局对全市城镇民营企业员工2013年月平均收入随机抽样调查，将抽样的数据按“2000元以内”、“2000元～4000元”、“4000元～6000元”和“6000元以上”分为四组，进行整理，分别用A，B，C，D表示，得到下列两幅不完整的统计图．由图中所给出的信息解答下列问题：（1）本次抽样调查的员工有500人，在扇形统计图中x的值为14，表示“月平均收入在2000元以内”的部分所对应扇形的圆心角的度数是21.6°；将不完整的条形图补充完整，并估计我市2013年城镇民营企业20万员工中，每月的收入在“2000元～4000元”的约多少人？（3）统计局根据抽样数据计算得到，2013年我市城镇民营企业员工月平均收入为4872元，请你结合上述统计的数据，谈一谈用平均数反映月收入情况是否合理？考点：条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图；加权平均数．专题：图表型．分析：（1）用B的人数除以所占的百分比，计算即可求出被调查的员工总人数，求出B所占的百分比得到x的值，再求出A所占的百分比，然后乘以360°计算即可得解；求出C的人数，然后补全统计图即可，再用总人数乘以B所占的百分比计算即可得解；（3）根据众数为2000元～4000元判断不合理．解答：解：（1）本次抽样调查的员工人数是：=500（人），D所占的百分比是：×100%=14%，则在扇形统计图中x的值为14；“月平均收入在2000元以内”的部分所对应扇形的圆心角的度数是360°×=21.6°；故答案为：500，14，21.6°；C的人数为：500×20%=100，补全统计图如图所示，“2000元～4000元”的约为：20万×60%=12万；（3）用平均数反映月收入情况不合理．由数据可以看出500名被调查者中有330人的月收入不超过4000元，月收入的平均数受高收入者和低收入者收入变化的影响较大，月收入的中位数几乎不受高低两端收入变化的影响，因此，用月收入的中位数反映月收入水平更合理．点评：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．18．如图，分别以Rt△ABC的直角边AC和斜边AB向外作等边△ACD、等边△ABE，已知∠BAC=30°，BC=1，EF⊥AB，垂足为F，连结DF．（1）线段EF是多少？答：，请写出求解过程；请判断四边形ADFE的形状，并说明理由．考点：平行四边形的判定；等边三角形的性质；含30度角的直角三角形．分析：（1）利用直角三角形中30°所对边与斜边的关系结合勾股定理得出答案；利用等边三角形的性质结合平行四边形的判定方法得出答案．解答：解：（1）∵∠BAC=30°，BC=1，∴AB=AE=BE=2，AC=，∵△ABE是等边三角形，EF⊥AB，∴AF=BF=1，∴EF=；故答案为：．四边形ADFE是平行四边形，理由：∵△ABD和△ACE都是等边三角形，∴AD=BD=AB=2，AE=CE=AC=，∠ADB=∠BAD=∠DBA=∠CAE=∠AEC=∠ACE=60°，∴∠DAB=∠EFA=90°，EF=AD=，∴DA∥EF，∴四边形ADFE是平行四边形．点评：此题主要考查了等边三角形的性质以及平行四边形的判定等知识，得出AC，EF的长是解题关键．19．大河网报道“郑州东风渠再添4座新桥”，如图，某座桥的两端位于A，B两点，小华为了测量A、B之间的河宽，在垂直于桥AB的直线型道路l上测得如下数据：∠BDA=76.1°，∠BCA=68.2°，CD=24米．求AB的长（精确到1米）．（参考数据：sin76.1°≈0.97，cos76.1°≈0.24，tan76.1°≈4.0；sin68.2°≈0.93，cos68.2°≈0.37，tan68.2°≈2.5．）考点：解直角三角形的应用．分析：设AD=x米，则AC=（x+24）米．在Rt△ABC中，根据三角函数得到AB=2.5（x+24），在Rt△ABD中，根据三角函数得到AB=4x，依此得到关于x的方程，进一步即可求解．解答：解：设AD=x米，则AC=（x+24）米．在Rt△ABC中，tan∠BCA=，∴AB=AC•tan∠BCA=2.5（x+24）．在Rt△ABD中，tan∠BDA=，∴AB=AD•tan∠BDA=4x．∴2.5（x+24）=4x，解得x=40．∴AB=4x=4×40=160．答：AB的长约为160米．点评：此题考查了解直角三角形的应用，主要是三角函数的基本概念及运算，关键是用数学知识解决实际问题．20．如图，一次函数y=kx+b的图象l与坐标轴分别交于点E、F，与双曲线y=﹣（x＜0）交于点P（﹣1，n），且F是PE的中点．（1）求直线l的解析式；若直线x=a与l交于点A，与双曲线交于点B（不同于A），问a为何值时，PA=PB？考点：反比例函数与一次函数的交点问题．分析：（1）先由y=﹣（x＜0），求出点P的坐标，再根据F为PE中点，求出F的坐标，把P，F的坐标代入求出直线l的解析式；过P作PD⊥AB，垂足为点D，由A点的纵坐标为﹣a+1，B点的纵坐标为﹣，D点的纵坐标为2，列出方程求解即可．解答：解：（1）∵双曲线y=﹣（x＜0）经过点P（﹣1，n），∴n=﹣=2，∴P（﹣1，2），∵F是PE的中点，∴OF=×2=1，∴F（0，1），设直线l的解析式为y=kx+b，∴，解得，∴直线l的解析式为y=﹣x+1；如图，过P作PD⊥AB，垂足为点D，∵PA=PB，∴点D为AB的中点，又由题意知A点的纵坐标为﹣a+1，B点的纵坐标为﹣，D点的纵坐标为2，∴得方程﹣a+1﹣=2×2，解得a1=﹣2，a2=﹣1（舍去）．∴当a=﹣2时，PA=PB．点评：本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点，解题的重点是求出直线l的解析式．21．我市正大力倡导”垃圾分类“，第一季度某企业按A类垃圾处理费25元/吨、B类垃圾处理费16元/吨的收费标准，共支付垃圾处理费520元．从4月起，收费标准上调为：A类垃圾处理费100元/吨，B类垃圾处理费30元/吨．若该企业第二季度需要处理的A类，B类垃圾的数量与第一季度相同，就要多支付垃圾处理费880元．（1）该企业第一季度处理的两类垃圾各多少吨？该企业计划第二季度将上述两种垃圾处理总量减少到24吨，且B类垃圾处理量不超过A类垃圾处理量的3倍，该企业第二季度最少需要支付这两种垃圾处理费共多少元？考点：一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用．分析：（1）该企业第一季度处理的A类垃圾x吨，B类垃圾y吨，根据等量关系式：A垃圾处理费25元/吨×A垃圾吨数+B处理费16元/吨×B垃圾吨数=总费用，列方程．设该企业处理的A类垃圾a吨，根据B类垃圾处理量不超过A类垃圾处理量的3倍，列不等式求解．解答：解：（1）该企业第一季度处理的A类垃圾x吨，B类垃圾y吨，根由题意得，，解得：，答：该企业第一季度处理的A类垃圾8吨，B类垃圾20吨；设该企业处理的A类垃圾a吨，由题意得，24﹣a≤3a，解得：a≥6，则总费用为：100a+30=720+70a，当a为6时，有最小值：1140（元）．答：企业第二季度最少需要支付这两种垃圾处理费共1140元．点评：本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系和不等关系，列方程和不等式求解．22．在正方形AB CD中，对角线AC，BD交于点O，点P在线段BC上（不含点B），∠BPE=∠ACB，PE交BO于点E，过点B作BF⊥PE，垂足为F，交AC于点G．（1）当点P与点C重合时（如图1）．求证：△BOG≌△POE；通过观察、测量、猜想：=，并结合图2证明你的猜想；（3）把正方形ABCD改为菱形，其他条件不变（如图3），若∠ACB=α，求的值．（用含α的式子表示）考点：相似形综合题．专题：压轴题．分析：（1）由四边形ABCD是正方形，P与C重合，易证得OB=OP，∠BOC=∠BOG=90°，由同角的余角相等，证得∠GBO=∠EPO，则可利用ASA证得：△BOG≌△POE；首先过P作PM∥AC交BG于M，交BO于N，易证得△BMN≌△PEN（ASA），△BPF≌△MPF（ASA），即可得BM=PE，BF=BM．则可求得的值；（3）首先过P作PM∥AC交BG于点M，交BO于点N，由同理可得：BF=BM，∠MBN=∠EPN，继而可证得：△BMN∽△PEN，然后由相似三角形的对应边成比例，求得的值．解答：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，P与C重合，∴OB=OP，∠BOC=∠BOG=90°，∵PF⊥BG，∠PFB=90°，∴∠GBO=90°﹣∠BGO，∠EPO=90°﹣∠BGO，∴∠GBO=∠EPO，在△BOG和△POE中，∵，∴△BOG≌△POE（ASA）；解：猜想．证明：如图2，过P作PM∥AC交BG于M，交BO于N，∴∠PNE=∠BOC=90°，∠BPN=∠OCB．∵∠OBC=∠OCB=45°，∴∠NBP=∠NPB．∴NB=NP．∵∠MBN=90°﹣∠BMN，∠NPE=90°﹣∠BMN，∴∠MBN=∠NPE，在△BMN和△PEN中，∵，∴△BMN≌△PEN（ASA），∴BM=PE．∵∠BPE=∠ACB，∠BPN=∠ACB，∴∠BPF=∠MPF．∵PF⊥BM，∴∠BFP=∠MFP=90°．在△BPF和△MPF中，，∴△BPF≌△MPF（ASA）．∴BF=MF．即BF=BM．∴BF=PE．即；（3）解法一：如图3，过P作PM∥AC交BG于点M，交BO于点N，∴∠BPN=∠ACB=α，∠PNE=∠BOC=90°，由同理可得：BF=BM，∠MBN=∠EPN，∵∠BNM=∠PNE=90°，∴△BMN∽△PEN．∴．在Rt△BNP中，tanα=，∴=tanα．即=tanα．∴=tanα．解法二：如图3，过P作PM∥AC交BG于点M，交BO于点N，∴BO⊥PM，∠BPN=∠ACB=α，∵∠BPE=∠ACB=α，PF⊥BM，∴∠EPN=α．∠MBN=∠EPN=∠BPE=α．设BF=x，PE=y，EF=m，在Rt△PFB中，tan=，∵PF=PE+EF=y+m，∴x=（y+m）tan，在Rt△BFE中，tan==，∴m=x•tan，∴x=（y+xtan）•tan，∴x=y•tan+x•tan2，∴（1﹣tan2）x=y•tan，∴．即．解法三：如图3，过P作PM∥AC交BG于点M，交BO于点N，∴∠BNP=∠BOC=90°．∴∠EPN+∠NEP=90°．又∵BF⊥PE，∴∠FBE+∠BEF=90°．∵∠BEF=∠NEP，∴∠FBE=∠EPN，∵PN∥AC，∴∠BPN=∠BCA=α．又∵∠BPE=∠ACB=α，∴∠NPE=∠BPE=α．∴∠FBE=∠BPE=∠EPN=α．∵sin∠FPB=，∴BP=，）∵cos∠EPN=，∴PN=PE•cos，∵cos∠NPB=，∴PN=BP•cosα，∴EP•cos=BP•cosα，∴EP•cos=•cosα，∴．点评：此题考查了正方形的性质、菱形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及三角函数的定义等知识．此题综合性很强，难度较大，注意准确作出辅助线是解此题的关键，注意数形结合思想的应用．23．如图，矩形OABC的两边在坐标轴上，连接AC，抛物线y=x2﹣4x﹣2经过A，B两点．（1）求A点坐标及线段AB的长；若点P由点A出发以每秒1个单位的速度沿AB边向点B移动，1秒后点Q也由点A出发以每秒7个单位的速度沿A﹣O﹣C﹣B的方向向点B移动，当其中一个点到达终点时另一个点也停止移动，点P的移动时间为t秒．①当PQ⊥AC时，求t的值；②当PQ∥AC时，对于抛物线对称轴上一点H，当点H的纵坐标满足条件﹣2＜y H＜时，∠HOQ＜∠POQ．（直接写出答案）考点：二次函数综合题．分析：（1）已知抛物线的解析式，将x=0代入即可得A点坐标；由于四边形OABC是矩形，那么A、B纵坐标相同，代入该纵坐标可求出B点坐标，则AB长可求．①Q点的位置可分：在OA上、在OC上、在CB上三段来分析，若PQ⊥AC时，很显然前两种情况符合要求，首先确定这三段上t的取值范围，然后通过相似三角形（或构建相似三角形），利用比例线段来求出t的值，然后由t的取值范围将不合题意的值舍去；②当PQ∥AC时，△BPQ∽△BAC，通过比例线段求出t的值以及P、Q点的坐标，可判定P点在抛物线的对称轴上，若P、H1重合，此时有∠H1OQ=∠POQ，显然若做点H1关于OQ的对称点H2，那么亦可得到∠H2OQ=∠POQ，而题干要求的是∠HOQ＜∠POQ，那么H1点以上、H2点以下的H 点都是符合要求的．解答：解：（1）由抛物线y=x2﹣4x﹣2知：当x=0时，y=﹣2，∴A（0，﹣2）．由于四边形OABC是矩形，所以AB∥x轴，即A、B的纵坐标相同；当y=﹣2时，﹣2=x2﹣4x﹣2，解得x1=0，x2=4，∴B（4，﹣2），∴AB=4．①由题意知：A点移动路程为AP=t，Q点移动路程为7（t﹣1）=7t﹣7．当Q点在OA上时，即0≤7t﹣7＜2，1≤t＜时，如图1，。
2015年区二模数学答案
3 2 2
3 ..............................................................................................2 分
22.（本题满分 7 分） （1）画图正确...............................................................................................................................................3 分 △ABC 的面积为6..................................................................................................................................1 分 （2） 画图正确.................................................................................................................................................3 分 23.（本题满分 8 分） （1）解：m = 100，x = 40，y = 0.18........................................................................................................3 分 （2）补图正确..................................................................................................................................................2 分 （3）解： 估计该校学生劳动的总时间为 2640 小时..........................................................................................3 分 24.（本题满分 8 分） (1)在△ABC 中，∵AC=BC，∠ACB=90，CG 平分∠ACB， ∴∠CAB=∠CBA=
2015年郑州市高中毕业年级第二次质量预测数学理科
2015年高中毕业年级第二次质量预测理科数学 参考答案一、选择题BCDC BDDC ADCA 二、填空题 13.2； 14. )161,0(±；15. 1-； 16. (2) (3) (4). 三、解答题17.解：(Ⅰ)设等差数列公差为d ，由题意知0>d ，因为1143,25,a a a +成等比数列，所以11324)25(a a a =+，)101)(21()327(2d d d ++=+∴，即,04536442=+-d d所以),2215(23舍去-==d d ……… 4分 所以213-=n a n . ……… 6分（Ⅱ）)231131(34)23)(13(411+--=+-==+n n n n a a b n n n ， ……… 8分所以41111112().32558313232n nT n n n =-+-++-=-++. ……… 12分 18. （1）证明：取AC 中点O ，连接O A 1， 因为平面⊥ABC 平面C C AA 11，AC O A ⊥1， 所以⊥O A 1平面ABC 所以⊥O A 1BC . 又AC BC ⊥，所以⊥BC 平面C C AA 11，所以BC AC ⊥1 .……… 4分 在菱形C C AA 11中，C A AC 11⊥. 所以⊥AC 平面BC A 1，所以11AC B A ⊥.……… 6分（2）以点O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系-O xyz ，则)0,1,0(-A ，)0,1,2(B ，)0,1,0(C ，)3,2,0(1C ，)0,2,2(=，(11BB CC ==，设),,(z y x m =是面11A ABB 的一个法向量， 则0,01=⋅=⋅BB m AB m ， 即220,0,x y y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩取1-=z 可得(3,1).m =-- ……… 10分 又)0,0,1(E ,所以)3,2,1(1-=EC ，所以直线1EC 与平面11A ABB 所成的角的正弦值|||||cos |sin 11m EC m EC EC ⋅=><=θ=1442. ……… 12分19.解：（1）恰好一个是以300元价格购买的顾客，另一个以100元价格购买的顾客的概率是A,则1142268().15C C P A C ==……… 3分（2）设销售A 商品获得的利润为ξ（单位：元）, 依题意, 视频率为概率，为追求更多的利润，则商店每天购进的A 商品的件数取值可能为4件，5件，6件. 当购进A 商品4件时，1504600,E ξ=⨯=当购进A 商品5件时，(150450)0.315050.7690.E ξ=⨯-⨯+⨯⨯=当购进A 商品6件时，100706150100)505150(3.0)5024150(x x E -⨯⨯+⨯-⨯+⨯⨯-⨯=ξ =x 2780- ……… 9分 由题意6902780≤-x ，解得45x ≥，又知1003070x ≤-=，所以x 的取值范围为[]45,70，x ∈*N . ……… 12分20.解:（1）因为椭圆)0,0(1:2222>>=+b a by a x C ,由题意得B1A B CO A 1B 1C 1422121=⨯⨯=∆b c S F BF , 22==a c e ，222c b a +=， 所以解得所以2284a b ⎧=⎨=⎩椭圆C 的方程为22184x y += ……… 4分 （2）假设存在圆心在原点的圆222r y x =+，使得该圆的任意一条切线与椭圆C 恒有两个交点N M ,,因为-=+，所以有0=⋅ON OM ,设),(),,(2211y x N y x M ，当切线斜率存在时，设该圆的切线方程为y kx m =+，解方程组22184x y y kx m+==+⎧⎪⎨⎪⎩得222()8x kx m ++=,即222(12)4280k x kmx m +++-=,则△=222222164(12)(28)8(84)0k m k m k m -+-=-+>,即22840k m -+>)21(2)82)(21(4164222222,1k m k m k km x +-+-±-=;2182,2142221221k m x x k km x x +-=+-=+∴ ……… 6分22222222212121212222(28)48()()()121212k m k m m k y y kx m kx m k x x km x x m m k k k--=++=+++=-+=+++ 要使0=⋅ON OM ,需12120x x y y +=,即2222228801212m m k k k --+=++, 所以223880m k --=,所以223808m k -=≥又22840k m -+>,所以22238m m ⎧>⎨≥⎩, 所以283m ≥,即m ≥m ≤,因为直线y kx m =+为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为r =,222228381318m m r m k ===-++,r =所求的圆为2283x y +=, ……… 10分 此时圆的切线y kx m =+都满足m ≥m ≤,而当切线的斜率不存在时切线为x =22184x y +=的两个交点为或(满足0=⋅, 综上, 存在圆心在原点的圆2283x y +=满足条件. . ……… 12分 21.解：（1）由已知得函数()f x 的定义域为}1|{>x x11)('-+=x a x f =11-+-x a ax当0≥a 时，0)('>x f 在定义域内恒成立，)(x f 的单调增区间为),1(+∞，当0<a 时，由0)('=x f 得111>-=ax当)11,1(a x -∈时，0)('>x f ；当),11(+∞-∈ax 时，0)('<x f()f x 的单调增区间为)11,1(a -，减区间为),11(+∞-a .……… 5分（2）由（1）知当ea -=11时，()f x 的单调增区间为),1(e ，减区间为),(+∞e .所以0)1ln(1)()(max <-+-==e e ee f x f 所以)1ln(1)(|)(|---=-≥e e ee f x f 恒成立，当e x =时取等号. 令)(x g =x bxx 2ln 2+，则2ln 1)('xx x g -= ……… 7分 当e x <<1时，/()0g x >；当x e >时，/()0g x < 从而()g x 在),1(e 上单调递增，在(,)e +∞上单调递减所以，21)()(max be e g x g +== ……… 10分所以，存在x 使得不等式11|)(|--e x f ≤x bxx 2ln 2+成立只需)1ln(1---e e e 1--e e 21b e +≤ 即：22ln(1).b e e≥--- ……… 12分22．（10分）选修4－1：几何证明选讲解：（1）证明：连结BE ，由题意知ABE ∆为直角三角形. 因为90ABE ADC ∠=∠=0，AEB ACB ∠=∠，ABE ∆∽ADC ∆，所以AB AEAD AC=，即AB AC AD AE ⋅=⋅. 又AB BC =，所以AC BC AD AE ⋅=⋅. ……… 5分 （2）因为FC 是圆O 的切线，所以2FC FA FB =⋅， 又22,2==CF AF ，所以2,4=-==AF BF AB BF ，因为ACF FBC ∠=∠，又CFB AFC ∠=∠，所以AFC ∆∽CFB ∆. 所以AF AC FC BC =，得2=⋅=CFBCAF AC ,sin 414sin ,42cos AEB ACD ACD ∠==∠∴=∠ 7144sin =∠=∴AEB AB AE ……… 10分 23．（10分）选修4－4：坐标系与参数方程 解（1）由ααsin cos 3+=x得1cos sin 32cos 2)sin cos 3(222++=+=αααααx ，所以曲线M 可化为21y x =-，]2,2[-∈x ，由sin()42πρθ+=得sin cos 222ρθρθ+=， 所以sin cos t ρθρθ+=，所以曲线N 可化为x y t +=. ……… 5分（2）若曲线M ，N 有公共点，则当直线N 过点)3,2(时满足要求，此时5=t ，并且向左下方平行运动直到相切之前总有公共点，相切时仍然只有一个公共点，联立21x y t y x +=⎧⎨=-⎩，得210x x t +--=， 14(1)0t ∆=++=，解得54t =-，综上可求得t 的取值范围是545≤≤-t . ……… 10分24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲解：（I ）不等式14)(--<x x f ，即4123<-++x x ，当32-<x 时，即,4123<+---x x 解得,3245-<<-x 当132≤≤-x 时，即,4123<+-+x x 解得,2132<≤-x当1>x 时，即,4123<-++x x 无解，综上所述)21,45(-∈x .……… 5分（Ⅱ）411))(11(11≥+++=++=+nmm n n m n m n m ， 令⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>---≤≤-++--<++=+--=--=a x a x a x a x x a x x a x x f a x x g ,22,32,24,32,2223)()(32-=∴x 时，a x g +=32)(max ，要使不等式恒成立，只需432)(max ≤+=a x g 即3100≤<a . ……… 10分。
2015年河南省郑州市高考数学二模试卷(理科)
2015年河南省郑州市高考数学二模试卷（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.设i是虚数单位，复数z=，则|z|=（）A.1B.C.D.2【答案】B【解析】解：∵z===i（1-i）=i+1，则|z|=．故选：B．利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了计算能力，属于基础题．2.集合U={0，1，2，3，4}，A={1，2}，B={x∈Z|x2-5x+4＜0}，则∁U（A∪B）=（）A.{0，1，3，4}B.{1，2，3}C.{0，4}D.{0}【答案】C【解析】解：集合B中的不等式x2-5x+4＜0，变形得：（x-1）（x-4）＜0，解得：1＜x＜4，∴B={2，3}，∵A={1，2}，∴A∪B={1，2，3}，∵集合U={0，1，2，3，4}，∴∁∪（A∪B）={0，4}．故选：C．求出集合B中不等式的解集，找出解集中的整数解确定出B，求出A与B的并集，找出全集中不属于并集的元素，即可求出所求此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握交、并、补集的定义是解本题的关键．3.已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数也相同，则图中的m、n的比值=（）A.1B.C.D.【答案】D【解析】解：根据茎叶图，得；乙的中位数是33，∴甲的中位数也是33，即m=3；甲的平均数是甲=（27+39+33）=33，乙的平均数是乙=（20+n+32+34+38）=33，∴n=8；∴=．故选：D．根据茎叶图，利用中位数相等，求出m的值，再利用平均数相等，求出n的值即可．本题考查了中位数与平均数的计算问题，是基础题目．4.某校开设A类选修课2门，B类选修课3门，一位同学从中选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有（）A.3种B.6种C.9种D.18种【答案】C【解析】解：可分以下2种情况：①A类选修课选1门，B类选修课选2门，有C21C32种不同的选法；②A类选修课选2门，B类选修课选1门，有C22C31种不同的选法．∴根据分类计数原理知不同的选法共有C21C32+C22C31=6+3=9种．故要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有9种．故选：C两类课程中各至少选一门，包含两种情况：A类选修课选1门，B类选修课选2门；A 类选修课选2门，B类选修课选1门，写出组合数，根据分类计数原理得到结果本小题主要考查分类计数原理、组合知识，以及分类讨论的数学思想，属于基础题．5.如图，y=f（x）是可导函数，直线L：y=kx+2是曲线y=f（x）在x=3处的切线，令g（x）=xf（x），g′（x）是g（x）的导函数，则g′（3）=（）A.-1B.0C.2D.4【答案】B【解析】解：∵直线L：y=kx+2是曲线y=f（x）在x=3处的切线，∴f（3）=1，又点（3，1）在直线L上，∴3k+2=1，从而k=，∴f′（3）=k=，∵g（x）=xf（x），∴g′（x）=f（x）+xf′（x）则g′（3）=f（3）+3f′（3）=1+3×（）=0，先从图中求出切线过的点，再求出直线L的方程，利用导数在切点处的导数值为切线的斜率，最后结合导数的概念求出g′（3）的值．本题考查导数的几何意义，曲线在切点处的导数值为曲线的切线的斜率．6.有四个关于三角函数的命题：p1：sinx=siny⇒x+y=π或x=y；p2：∀x∈R，sin2+cos2=1；p3：x，y∈R，cos（x-y）=cosx-cosy；p4：∀x∈[0，]，=cosx．其中真命题是（）A.p1，p2B.p2，p3C.p1，p4D.p2，p4【答案】D【解析】解：p1：若sinx=siny⇒x+y=π+2kπ或x=y+2kπ，k∈Z，故错误；p2：根据同角三角函数基本关系的平方关系，可得：∀x∈R，sin2+cos2=1，故正确；p3：x，y∈R，cos（x-y）=cosxcosy+sinxsiny，与cosx-cosy不一定相等，故错误；p4：∀x∈[0，]，==|cosx|=cosx，故正确．故选：D．根据三角函数的定义及周期性，可判断p1；根据同角三角函数基本关系的平方关系，可判断p2；根据两角差的余弦公式，可判断p3；根据二倍解的余弦公式，及根式的运算性质，可判断p4．本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，全（特）称命题，三角函数，属于基础题．7.若实数x、y满足且z=2x+y的最小值为4，则实数b的值为（）A.1B.2C.D.3【答案】D【解析】解：作出不等式组对于的平面区域如图：∵z=2x+y的最小值为4，即2x+y=4，且y=-2x+z，则直线y=-2x+z的截距最小时，z也取得最小值，则不等式组对应的平面区域在直线y=-2x+z的上方，由；，解得，即A（1，2），此时A也在直线y=-x+b上，即2=-1+b，故选：D作出不等式组对于的平面区域，根据z=2x+y的最小值为4，利用数形结合即可得到结论．本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．8.如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的表面积为（）A.8πB.16πC.32πD.64π【答案】C【解析】解：由已知中的三视图可得，该几何体是一个以正视图为底面的四棱锥，其外接球，与以俯视图为底面，以4为高的直三棱柱的外接球相同，如图所示：由底面底边长为4，高为2，故底面为等腰直角三角形，可得底面外接圆的半径为：r=2，由棱柱高为4，可得球心距为2，故外接球半径为：R==2，故外接球的表面积S=4πR2=32π，故选：C由已知中的三视图可得，该几何体是一个以正视图为底面的四棱锥，其外接球，与以俯视图为底面，以4为高的直三棱柱的外接球相同，进而可得该几何体外接球的表面积．本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．9.已知函数f（x）=，＞，函数g（x）=f（x）-2x恰有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（）A.[-1，3）B.[-3，-1]C.[-3，3）D.[-1，1）【答案】A【解析】解：∵f（x）=，＞，，∴g（x）=f（x）-2x=，＞，，而方程-x+3=0的解为3，方程x2+4x+3=0的解为-1，-3；若函数g（x）=f（x）-2x恰有三个不同的零点，则＞，解得，-1≤a＜3实数a的取值范围是[-1，3）．故选：A．化简g（x）=f（x）-2x=，＞，，而方程-x+3=0的解为3，方程x2+4x+3=0的解为-1，-3；从而可得＞，从而解得．本题考查了分段函数的化简与函数零点的判断，属于基础题．10.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知sin（B+A）+sin（B-A）=2sin2A，且c=，C=，则△ABC的面积是（）A. B. C. D.或【答案】B【解析】解：∵在△ABC中，C=，∴B=-A，B-A=-2A，∵sin（B+A）+sin（B-A）=2sin2A∴sin C+sin（-2A）=2sin2A，即sin C+cos2A+sin2A=2sin2A，整理得：sin（2A-）=sin C=，∴sin（2A-）=，又A∈（0，），∴2A-=，解得A=，当A=时，B=，tan C===，解得a=，∴S△ABC=acsin B=××=；故选：B依题意，可求得B-A=-2A，利用两角差的正弦可求得sin（2A-）=，又A∈（0，），可求得A=，即可求得△ABC的面积本题主要考查正弦定理、两角和差的正弦、余弦公式，二倍角公式的应用，属于中档题11.如图，矩形ABCD中，AB=2AD，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE，若M为线段A1C的中点，则在△ADE翻折过程中，下面四个命题中不正确的是（）A.|BM|是定值B.点M在某个球面上运动C.存在某个位置，使DE⊥A1CD.存在某个位置，使MB∥平面A1DE【答案】C【解析】解：取CD中点F，连接MF，BF，则MF∥DA1，BF∥DE，∴平面MBF∥平面A1DE，∴MB∥平面A1DE，故D正确由∠A1DE=∠MFB，MF=A1D=定值，FB=DE=定值，由余弦定理可得MB2=MF2+FB2-2MF•FB•cos∠MFB，所以MB是定值，故A正确．∵B是定点，∴M是在以B为圆心，MB为半径的圆上，故B正确，∵A1C在平面ABCD中的射影为AC，AC与DE不垂直，∴存在某个位置，使DE⊥A1C不正确．故选：C．取CD中点F，连接MF，BF，则平面MBF∥平面A1DE，可得D正确；由余弦定理可得MB2=MF2+FB2-2MF•FB•cos∠MFB，所以MB是定值，M是在以B为圆心，MB为半径的圆上，可得A，B正确．A1C在平面ABCD中的射影为AC，AC与DE不垂直，可得C 不正确．掌握线面、面面平行与垂直的判定和性质定理及线面角、二面角的定义及求法是解题的关键．12.已知双曲线-=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，过F2的直线交双曲线的右支于P，Q两点，若|PF1|=|F1F2|，且3|PF2|=2|QF2|，则该双曲线的离心率为（）A. B. C.2 D.【答案】A【解析】设P到右准线的距离为d；过P作PP1⊥l，QQ1⊥l，分别交l于P1，Q1；∵，3|PF2|=2|QF2|；∴，；过P作PM⊥QQ1，垂直为M，交x轴于N，则：；∴解得d=；∵根据双曲线的定义，|PF1|-|PF2|=2a，∴|PF2|=2c-2a；∴根据双曲线的第二定义，；整理成：；∴解得，或（舍去）；即该双曲线的离心率为．故选A．先作出图形，并作出双曲线的右准线l，设P到l的距离为d，根据双曲线的第二定义即可求出Q到l的距离为．过Q作l的垂线QQ1，而过P作QQ1的垂线PM，交x轴于N，在△PMQ中有，这样即可求得d=，根据已知条件及双曲线的定义可以求出|PF2|=2c-2a，所以根据双曲线的第二定义即可得到，进一步可整理成，这样解关于的方程即可．考查双曲线的第二定义，双曲线的准线方程，双曲线的焦距、焦点的概念，以及对双曲线的定义的运用，双曲线的离心率的概念，相似三角形的比例关系．二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.已知点A（-1，1）、B（0，3）、C（3，4），则向量在方向上的投影为______ ．【答案】2【解析】解：由已知得到=（1，2），=（4，3），所以向量在方向上的投影为==2；故答案为：2．首先分别求出，的坐标，然后利用向量的数量积公式求投影．本题考查了有向线段的坐标表示以及利用向量的数量积求向量的投影；属于基础题．14.已知实数m是2和8的等比中项，则抛物线y=mx2的焦点坐标为______ ．【答案】（0，±）【解析】解：∵实数m是2和8的等比中项，∴m2=16，m=±4，由y=mx2，得，若m=4，则，即2p=，，焦点坐标为（0，）；若m=-4，则，即2p=，，焦点坐标为（0，-）．∴抛物线y=mx2的焦点坐标为：（0，±）．故答案为：（0，±）．由等比中项概念求得m的值，代入抛物线方程，分m=4和m=-4求得抛物线的焦点坐标．本题考查了等比中项的概念，考查了抛物线的简单几何性质，属中档题．15.执行如图所示的程序框图，输出的S值是______ ．【答案】-1-【解析】解：模拟程序框图的运行过程，如下；n=1，s=0，s=0+cos=；n=2，n≥2015？，否，s=+cos=；n=3，n≥2015？，否，s=+cos=0；n=4，n≥2015？，否，s=0+cosπ=-1；n=5，n≥2015？，否，s=-1+cos=-1-；n=6，n≥2015？，否，s=-1-+cos=-1-；n=7，n≥2015？，否，s=-1-+cos=-1；n=8，n≥2015？，否，s=-1+cos2π=0；n=9，n≥2015？，否，s=0+cos=；…；s的值是随n的变化而改变的，且周期为8，又2015=251×8+7，此时终止循环，∴输出的s值与n=6时相同，为s=-1-．故答案为：-1-．模拟程序框图的运行过程，得出该程序运行后输出的是s=cos+cos+cos+cos+cos+…+cos的值，由此求出结果即可．本题考查了程序框图的应用问题，也考查了余弦函数求值的应用问题，是基础题目．16.已知偶函数y=f（x）对于任意的x∈[0，）满足f′（x）cosx+f（x）sinx＞0（其中f′（x）是函数f（x）的导函数），则下列不等式中成立的有______ ．（1）f（-）＜f（）（2）f（-）＞f（-）（3）f（0）＜f（-）（4）f（）＜f（）【答案】（2）（3）（4）【解析】解：∵偶函数y=f（x）对于任意的x∈[0，）满足f′（x）cosx+f（x）sinx＞0∴g（x）=，g′（x）=′＞0，∴x∈[0，），g（x）=是单调递增，且是偶函数，∴g（-）=g（），g（-）=g（），∵g（）＜g（），∴，即f（＞f（），（1）化简得出f（-）=f（）＞f（），所以（1）不正确．（2）化简f（-）＞f（-），得出f（）＞f（），所以（2）正确．又根据g（x）单调性可知：g（）＞g（0），∴＞，∴f（0）＜f（），∵偶函数y=f（x）∴即f（0）＜f（-），所以（3）正确．∵根据g（x）单调性可知g（）＞g（），∴，f（）＞f（）．所以（4）正确．故答案为：（2）（3）（4）运用g′（x）=′＞0，构造函数g（x）=是单调递增，且是偶函数，根据奇偶性，单调性比较大小．运用得出f（＞f（），可以分析（1），（2），根据单调性得出g（）＞g（0），g（）＞g（），判断（3）（4）．本题考查了运用导数判断函数的单调性，结合三角函数，偶函数性质，判断函数值的大小比较，关键根据式子确定是哪个函数值，属于中档题．三、解答题(本大题共8小题，共94.0分)17.已知等差数列{a n}的各项均为正数，a1=1，且a3，a4+，a11成等比数列．（Ⅰ）求a n的通项公式；（Ⅱ）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n．【答案】解：（Ⅰ）设等差数列公差为d，由题意知d＞0，∵a3，，a11成等比数列，∴（）2=a3a11，∴，即44d2-36d-45=0，解得或（舍去），所以；（Ⅱ）因为b n===，所以数列{b n}的前n项和T n==．【解析】（Ⅰ）由题意知（）2=a3a11，从而可得公差，所以；（Ⅱ）将b n=列项为，求和即得T n的值．本题考查数列的通项公式及求前n项和，解题时要认真审题，仔细解答，采用裂项相消法是解题的关键，属中档题．18.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，四边形AA1C1C是边长为2的菱形，平面ABC⊥平面AA1C1C，∠A1AC=60°，∠BCA=90°．（Ⅰ）求证：A1B⊥AC1；（Ⅱ）已知点E是AB的中点，BC=AC，求直线EC1与平面ABB1A1所成的角的正弦值．【答案】（Ⅰ）证明：取AC的中点O，连接A1O，由于平面ABC⊥平面AA1C1C，A1O⊥AC，所以：A1O⊥平面ABC，所以：A1O⊥BC，又BC⊥AC，所以：BC⊥平面A1AC，又AC1⊥A1C，A1C为A1B的射影，所以：A1B⊥AC1．（Ⅱ）以O为坐标原点建立空间直角坐标系O-xyz，A（0，-1，0），B（2，1，0），C（0，1，0），C1（0，2，），则：，，，，，，设=（x，y，z）是平面ABB1A1的法向量，所以：，求得：，，，由E（1，0，0）求得：，，，直线EC1与平面ABB1A1所成的角的正弦值sinθ=cos＜，＞=．【解析】（Ⅰ）首先利用面面垂直转化成线面垂直，进一步得出线线垂直．（Ⅱ）根据两两垂直的关系，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，进一步利用向量的夹角余弦公式求出线面的夹角的正弦值．本题考查的知识要点：线面垂直与面面垂直与线线垂直之间的转化，空间直角坐标系，法向量的应用，线面的夹角的应用，主要考查学生的空间想象能力．19.某商场每天（开始营业时）以每件150元的价格购入A商品若干件（A商品在商场的保鲜时间为10小时，该商场的营业时间也恰好为10小时），并开始以每件300元的价格出售，若前6小时内所购进的商品没有售完，则商店对没卖出的A商品以每件100元的价格低价处理完毕（根据经验，4小时内完全能够把A商品低价处理完毕，且处理完后，当天不再购进A商品）．该商场统计了100天A商品在每天的前6小时内的销售量，制成如下表格（注：视频率为概率）．（其中x+y=70）不同的顾客购买，现从这6名顾客中随机选2人进行回访，则恰好一个是以300元价格购买的顾客，另一个以100元价格购买的顾客的概率是多少？（Ⅱ）若商场每天在购进5件A商品时所获得的平均利润最大，求x的取值范围．【答案】解：（1）恰好一个是以300元价格购买的顾客，另一个以100元价格购买的顾客的概率是A，则P（A）==；（2）设销售A商品获得利润为X，（单位，元），以题意，视频率为概率，为追求更多的利润，则商店每天购进的A商品的件数取值可能为4件，5件，6件，当购进A商品4件时，EX=150×4=600，当购进A商品5件时，EX=（150×4-50）×0.3+150×5×0.7=690，当购进A商品6件时，EX=（150×4-2×50）×0.3+（150×5-50）×+150×6×=780-2x，由题意780-2x≤690，解得x≥45，又知x≤100-30=70，所以x的取值范围为[45，70]．x∈N*．【解析】（1）根据排列组合，可以求出总的事件的个数和满足条件的基本事件的个数，根据概率公式计算即可；（2）设销售A商品获得利润为X，则商店每天购进的A商品的件数取值可能为4件，5件，6件，分别求出其利润，根据题意列出不等式解得即可．本题考查了古典概型概率问题，以及数学期望的问题，属于中档题．20.设椭圆C：+=1（a＞b＞0），F1、F2为左右焦点，B为短轴端点，且S=4，离心率为，O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆C恒有两个交点M、N，且满足|+|=|-|？若存在，求出该圆的方程，若不存在，说明理由．【答案】解：（Ⅰ）∵椭圆C：+=1（a＞b＞0），由题意可得，=•2c•b=4，e==，且a2=b2+c2；联立解得，；故椭圆C的方程为+=1；（Ⅱ）假设存在圆心在原点的圆x2+y2=r2，使得该圆的任意一条切线与椭圆C恒有两个交点M、N，∵|+|=|-|，∴•=0；设M（x1，y1），N（x2，y2），当切线斜率存在时，设该圆的切线的方程为y=kx+m，解方程组得，（1+2k2）x2+4kmx+2m2-8=0，则△=（4km）2-4（1+2k2）（2m2-8）=8（8k2-m2+4）＞0；即8k2-m2+4＞0；∴x1+x2=-，x1x2=；y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=；要使•=0，故x1x2+y1y2=0；即+=0；所以3m2-8k2-8=0，所以3m2-8≥0且8k2-m2+4＞0；解得m≥或m≤-；因为直线y=kx+m为圆心在原点的圆的一条切线，所以圆的半径为r=，r2===；故r=；即所求圆的方程为x2+y2=；此时圆的切线y=kx+m都满足m≥或m≤-；而当切线的斜率不存在时切线为x=±与椭圆+=1的两个交点为（，±），（-，±）；满足•=0，综上所述，存在圆心在原点的圆x2+y2=满足条件．【解析】（Ⅰ）由题意可得方程=•2c•b=4，e==，且a2=b2+c2；从而联立解出椭圆C的方程为+=1；（Ⅱ）假设存在圆心在原点的圆x2+y2=r2，使得该圆的任意一条切线与椭圆C恒有两个交点M、N，则可得•=0；再设M（x1，y1），N（x2，y2），当切线斜率存在时，设该圆的切线的方程为y=kx+m，联立方程组可得x1+x2=-，x1x2=；y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=；从而再由x1x2+y1y2=0可得3m2-8k2-8=0，从而可解得m≥或m≤-；从而解出所求圆的方程为x2+y2=；再验证当切线的斜率不存在时也成立即可．本题考查了圆锥曲线的应用，化简很复杂，应用到了根与系数的关系以简化运算，属于难题．21.已知函数f（x）=ax+ln（x-1），其中a为常数．（Ⅰ）试讨论f（x）的单调区间；（Ⅱ）若a=时，存在x使得不等式|f（x）|-≤成立，求b的取值范围．【答案】解：（Ⅰ）由已知易得函数f（x）的定义域为：{x|x＞1}，f′（x）=a+=，当a≥0时，f′（x）＞0在定义域内恒成立，f（x）的单调递增区间为（1，+∞），当a＜0时，由f′（x）=0得x=1-＞，当x∈（1，1-）时，f′（x）＞0，当x∈（1-，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）的单调递增区间为（1，1-），递减区间为（1-，+∞）；（Ⅱ）由（I）知当a=时，f（x）=x+ln（x-1），且f（x）的单调增区间为（1，e），单调减区间为（e，+∞），所以f（x）max=f（e）=+ln（e-1）＜0，所以|f（x）|≥-f（e）=恒成立，（当x=e时取等号）令，则′，当1＜x＜e时，g（x）＞0；当x＞e时，g（x）＜0，从而g（x）在区间（1，e）上单调递增，在区间（e，+∞）上单调递减，所以g（x）max=g（e）=，所以，存在x使得不等式|f（x）|-≤成立，只需-≤，即：b≥-2ln（e-1）．【解析】（Ⅰ）先求函数f（x）的定义域及f′（x）=，再分a≥0时、a＜0时两种情况考虑即可；（Ⅱ）由（I）可得f（x）max=+ln（e-1）＜0，令，求出g（x）的单调区间，从而可得g（x）max=g（e）=，所以原不等式成立只需-≤，解之即可．本题主要考查函数的单调性及与不等式的综合，比较复杂的函数的单调性，一般用导数来研究，将其转化为函数方程不等式综合问题解决，研究不等式时一定要先确定函数的单调性才能求解．22.如图，已知圆O是△ABC的外接圆，AB=BC，AD是BC边上的高，AE是圆O的直径．过点C作圆O的切线交BA的延长线于点F．（Ⅰ）求证：AC•BC=AD•AE；（Ⅱ）若AF=2，CF=2，求AE的长．【答案】证明：（I）如图所示，连接BE．∵AE是⊙O的直径，∴∠ABE=90°．又∠E与∠ACB都是所对的圆周角，∴∠E=∠ACB．∵AD⊥BC，∠ADC=90°．∴△ABE∽△ADC，∴AB：AD=AE：AC，∴AB•AC=AD•AE．又AB=BC，∴BC•AC=AD•AE．解：（II）∵CF是⊙O的切线，∴CF2=AF•BF，∵AF=2，CF=2，∴（2）2=2BF，解得BF=4．∴AB=BF-AF=2．∵∠ACF=∠FBC，∠CFB=∠AFC，∴△AFC∽△CFB，∴AF：FC=AC：BC，∴AC==．∴cos∠ACD=，∴sin∠ACD==sin∠AEB，=∴AE=∠【解析】（I）如图所示，连接BE．由于AE是⊙O的直径，可得∠ABE=90°．利用∠E与∠ACB 都是所对的圆周角，可得∠E=∠ACB．进而得到△ABE∽△ADC，即可得到．（II）利用切割线定理可得CF2=AF•BF，可得BF．再利用△AFC∽△CFB，可得AF：FC=AC：BC，进而根据sin∠ACD=sin∠AEB，AE=，即可得出答案．∠本题考查了圆的性质、三角形相似、切割线定理，属于中档题．23.在直角坐标系x O y中，曲线M的参数方程为（α为参数），若以直角坐标系中的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线N 的极坐标方程为ρsin（θ+）=t（t为参数）．（Ⅰ）求曲线M和N的直角坐标方程；（Ⅱ）若曲线N与曲线M有公共点，求t的取值范围．【答案】解：（1）由x=，得x2=2cos2α，所以曲线M可化为y=x2-1，x∈[-2，2]，由ρsin（）=t，得ρsinθρcosθ=t，所以ρsinθ+ρcosθ=t，所以N可化为x+y=t，（2）若曲线N与曲线M有公共点，则当直线N过点（2，3）时，满足要求，此时t=5，并且向左下方平行运动直到相切之前总有公共点，相切时仍只有一个公共点，联立得x2+x-1-t=0，△=1+4（1+t）=0，解得t=，综上可得t的取值范围≤t≤5．【解析】（1）平方得x2=2cos2α，代入第二个式子化简得出ρsinθ+ρcosθ=t，根据y=ρsinθ，x=ρcosθ，化简得出x+y=t．（2）t=5，并且向左下方平行运动直到相切之前总有公共点，相切时仍只有一个公共点，联立利用判别式问题求解．本题考查了参数方程的与普通方程的转化问题，曲线的公共点问题，利用方程有解问题，转化为判别式求解，思路简单，属于中档题．24.已知函数f（x）=|3x+2|．（Ⅰ）解不等式f（x）＜4-|x-1|；（Ⅱ）已知m+n=1（m，n＞0），若|x-a|-f（x）≤+（a＞0）恒成立，求实数a的取值范围．【答案】解：（Ⅰ）不等式f（x）＜4-|x-1|，即|3x+2|+|x-1|＜4，∴＜＜①，或＜＜②，或＜③．解①求得-＜x＜-，解②求得-≤x＜，解③求得x∈∅．综上可得，不等式的解集为（-，）．（Ⅱ）已知m+n=1（m，n＞0），∴+=（m+n）（+）=2++≥2+2=4，当且仅当m=n=时，取等号．再根据|x-a|-f（x）≤+（a＞0）恒成立，可得|x-a|-f（x）≤4，即|x-a|-|3x+2|≤4．设g（x）=|x-a|-|3x+2|=，＜，，＞，故函数g（x）的最大值为g（-）=+a，再由+a≤4，求得0＜a≤．【解析】（Ⅰ）把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（Ⅱ）由条件利用基本不等式求得+≥4，结合题意可得|x-a|-|3x+2|≤4恒成立．令g（x）=|x-a|-|3x+2|，利用单调性求得它的最大值，再由此最大值小于或等于4，求得a的范围．本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，基本不等式的应用，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．。
河南省2015年中考数学试题及答案(word版)
2015年河南初中学业水平暨高级中等学校招生考试试题数 学注意事项：1. 本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟。
2. 本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上。
答在试卷上的答案无效。
一、选择题（每小题3分，共24分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的。
1. 下列各数种最大的数是（ ） A . 5 B .3 C . π D . -82. 如图所示的几何体的俯视图是（ ）3. 据统计，2014年我国高新技术产品出口总额达40 570亿元，将数据40 570亿用科学记数法表示为（ ）A . 4.0570×109B . 0.40570×1010C . 40.570×1011D . 4.0570×1012 4. 如图，直线a ，b 被直线e ，d 所截，若∠1=∠2，∠3=125°，则∠4的度数为（ ） A . 55° B . 60° C .70° D . 75°5. 不等式组⎩⎨⎧>-≥+13,05x x 的解集在数轴上表示为（ ）6. 小王参加某企业招聘测试，他的笔试，面试、技能操作得分分别为85分，80分，90分，CDBA正面 第2题dc ba第4题-52-52-5 2 0 -5 20 C DBA若依次按照2:3:5的比例确定成绩，则小王的成绩是（ ） A . 255分 B . 84分 C . 84.5分 D .86分7. 如图，在□ABCD 中，用直尺和圆规作∠BAD 的平分线AG 交BC 于点E ，若BF =6，AB =5，则AE 的长为（ ）A . 4B . 6C . 8D . 108. 如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O 1，O 2，O 3，… 组成一条平滑的曲线，点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒2π个单位长度，则第2015秒时，点P 的坐标是（ ） A .（2014,0） B .（2015，-1） C . （2015,1） D . （2016,0）二、填空题（每小题3分，共21分）9. 计算：(-3)？÷3-1= .(注释：-3的指数看不清楚，无法录入)10. 如图，△ABC 中，点D 、E 分别在边AB ，BC 上，DE //AC ，若DB =4，DA =2，BE =3，则EC = .11. 如图，直线y =kx 与双曲线)0(2>=x xy 交于点A （1，a ）,则k = .12. 已知点A （4，y 1），B （2，y 2），C （-2，y 3）都在二次函数y =(x -2)2-1的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是 . 13. 现有四张分别标有数字1，2，3，4的卡片，它们除数字外完全相同，把卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张后放回，再 背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，则两次抽出的卡片所标数 字不同的概率是 .14. 如图，在扇形AOB 中，∠AOB =90°，点C 为OA 的中点，CE ⊥OA 交AB 于点E ，以点O 为圆心，OC 的长为半径 EFCDBG A第7图PO 第8题O 1xy O 2O 3E C DBA第10题 O A第11题xyEDB.15. 如图，正方形ABCD 的边长是16，点E 在边AB 上，AE =3，点F 是边BC 上不与点B 、C 重合的一个动点，把△EBF 沿 EF 折叠，点B 落在B ′处，若△CDB ′恰为等腰三角形，则 DB ′的长为 .三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）16.（8分）先化简，再求值：)11(22222a b b a b ab a -÷-+-，其中15+=a ，15-=b .17.（9分）如图，AB 是半圆O 的直径，点P 是半圆上不与点A 、B 重合的一个动点，延长BP到点C ，使PC =PB ，D 是AC 的中点，连接PD ，PO . （1）求证：△CDP ∽△POB ； （2）填空：① 若AB =4，则四边形AOPD 的最大面积为 ； ② 连接OD ，当∠PBA 的度数为 时，四边形BPDO 是菱形.POCDBA第17题EFCDB A 第15题B ′18.（9分）为了了解市民“获取新闻的最主要途径”，某市记者开展了一次抽样调查，根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图。
河南省郑州市2015年高中毕业年级第二次质量预测数学(文)试题(扫描版)
参加全市统一网评的各学校，本次考试的在线分析报告将于评卷工作结束之后一周左右上线，请届时登陆“郑州教育信息网”的“郑州市学业评价分析报告系统”查看。
2015年高中毕业年级第二次质量预测文科数学 参考答案一、选择题二、填空题13. 28； 14. 0 ； 15. 10 ； 16. ①②④. 三、解答题17. 解：(1)由22-=n n a S 可得21=a ， 因为22-=n n a S ，所以，当2≥n 时，1122---=-=n n n n n a a S S a ， 即：21=-n na a . 数列}{n a 是以21=a 为首项，公比为2的等比数列， 所以，n n a 2=（N n *∈）.……… 6分（2）2)1(321log log log 22212+=++++=++=n n n a a a b n n ΛΛ. 由nk b n n ≥-)8(对任意*N n ∈恒成立，即实数k n n ≥+-2)1)(8(对*N n ∈恒成立；设)1)(8(21+-=n n c n ，则当3=n 或4时，n c 取得最小值为10-， 所以10-≤k . ……… 12分18.解解： (Ⅰ) 由题意150,3.0500=∴=x x，所以60=+z y ，因为y z 2=，所以,40,20==z y 则应抽取教师人数,22050050=⨯应抽取学生人数.44050050=⨯ ……… 5分 （Ⅱ）所抽取的“不赞成改革”的2名教师记为b a ,，4名学生记为1,2,3,4，随机选出三人的不同选法有),4,1,(),3,1,(),2,1,(),4,,(),3,,(),2,,(),1,,(a a a b a b a b a b a )4,3,(),4,2,(),3,2,(a a a ，)4,3,(),4,2,(),3,2,(),4,1,(),3,1,)(2,1,(b b b b b b ，),4,3,2(),4,3,1(),4,2,1(),3,2,1(共20种，……… 9分至少有一名教师的选法有),4,1,(),3,1,(),2,1,(),4,,(),3,,(),2,,(),1,,(a a a b a b a b a b a )4,3,(),4,2,(),3,2,(a a a ， )4,3,(),4,2,(),3,2,(),4,1,(),3,1,)(2,1,(b b b b b b 共16种，至少有一名教师被选出的概率.542016==p ……… 12分 19.证明（I ）取B A ''得中点E ,连接NE ME ,, 因为N M ,分别为A B '和B C ''的中点， 所以A A ME C A NE '''//,//又因为C C A A C A ''⊂''平面,C C A A A A ''⊂'平面,所以C C A A ME ''平面//,C C A A NE ''平面//, ……… 5分 所以C C A A MNE ''平面平面//, 因为MN A MN '⊂平面,所以C C A A MN ''平面//； ……… 6分（2）假设存在圆心在原点的圆222r y x =+，使得该圆的任意一条切线与椭圆C 恒有两个交点N M ,，ON OM ON OM -=+，所以有0=⋅ON OM ,设),(),,(2211y x N y x M ，当切线斜率存在时，设该圆的切线方程为y kx m =+。
(完整word版)河南省2015年中考数学试题(答案+解析)
2015年河南初中学业水平暨高级中等学校招生考试试题数 学（解析版）注意事项：1。
本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟。
2. 本试卷上不要答题,请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上.答在试卷上的答案无效。
一、选择题（每小题3分，共24分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的。
1。
下列各数中最大的数是（ )A. 5 B 。
3 C 。
π D 。
—8A 【解析】本题考查实数的比较大小。
∵732.13≈，π≈3。
14,∴5〉π>3〉8-，∴最大的数为5.2。
如图所示的几何体的俯视图是（ ）B 【解析】本题考查实物体的俯视图的判断,俯视图是从上往下看得到的图形，从上面看可以看到轮廓是一个矩形和中间有一条竖着的实线，故B 选项符合题意.3。
据统计,2014年我国高新技术产品出口总额达40 570亿元，将数据40 570亿用科学记数法表示为（ ) A. 4。
0570×109B 。
0。
40570×1010C 。
40。
570×1011D 。
4.0570×1012D 【解析】本题考查带计数单位的大数科学计数法。
∵1亿=108 ，40570=4。
057×104，∴40570亿=4。
057×104×108=4.0570×1012.4. 如图，直线a ，b 被直线e ,d 所截，若∠1=∠2，∠3=125°，则∠4的度数为（ ） A 。
55° B. 60° C.70° D. 75°A 【解析】本题考查了平行线的判定和相交线与平行线性质求角度。
∵∠1＝∠2,∴a ∥b ．∴∠5＝∠3=125°，∴∠4＝180°－∠5=180°－125°=55°．C DB A 正面 第2题dc ba第4题5. 不等式组⎩⎨⎧>-≥+13,05x x 的解集在数轴上表示为（ ）C 【解析】本题考查解一元一次不等式组及在数轴上表示。
2015中招二模数学试卷及详解
二、填空题15、如图,在一张长为6㎝,宽为5㎝的矩形纸片上,现要剪下一个腰长为4㎝的等腰三角形（要求这个等腰三角形的一个顶点为矩形的顶点，另外两个顶点在矩形的边上），则剪下的等腰三角形的面积为—2015年郑州中考二模数学试题答案：14、试题分析：先根据折叠的性质得EA=EF，BE=EF，DF=AD=5，CF=CB=9，则AB=2EF，DC=14，再作DH⊥BC于H，由于AD∥BC，∠B=90°，则可判断四边形ABHD为矩形，所以DH=AB=2EF，HC=BC﹣BH=BC﹣AD=4，然后在Rt△DHC中，利用勾股定理计算出DH=6√5，所以EF=3√5，．15、如图,在一张长为6㎝,宽为5㎝的矩形纸片上,现要剪下一个腰长为4㎝的等腰三角形，要求这个等腰三角形的一个顶点为矩形的顶点，另外两个顶点在矩形的边上，则剪下的等腰三角形的面积为？22详解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，P与C重合，∴OB=OC ，∠BOC=∠BOG=90°。
∵C F⊥BG ，∠C FB=90°，∴∠GBO=90°—∠BGO，∠ECO=90°—∠BGO。
∴∠GBO=∠ECO 。
∴△BOG≌△C OE（AAS）。
（2）。
证明如下：如图，过P作PM//AC交BG于M，交BO于N，∴∠PNE=∠BOC=90 0，∠BPN=∠OCB。
∵∠OBC=∠OCB =45 0，∴∠NBP=∠NPB。
∴NB=NP。
∵∠MBN=90 0—∠BMN，∠NPE=90 0—∠BMN，∴∠MBN=∠NPE。
∴△BMN≌△PEN（ASA）。
∴BM=PE。
∵∠BPE=∠ACB，∠BPN=∠ACB，∴∠BPF=∠MPF。
∵PF⊥BM，∴∠BFP=∠MFP=90 0。
又∵PF=PF，∴△BPF≌△MPF（ASA）。
∴BF="MF" ，即BF=BM。
∴BF=PE，即。
（3）如图，过P作PM//AC交BG于点M，交BO于点N，∴∠BPN=∠ACB=α，∠PNE=∠BOC=90 0。
2015年河南省郑州市高考数学二模试卷(理科)(解析版)
2015年河南省郑州市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求．1．（5分）设i是虚数单位，复数z＝，则|z|＝（）A．1B．C．D．22．（5分）集合U＝{0，1，2，3，4}，A＝{1，2}，B＝{x∈Z|x2﹣5x+4＜0}，则∁U（A∪B）＝（）A．{0，1，3，4}B．{1，2，3}C．{0，4}D．{0}3．（5分）已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数也相同，则图中的m、n的比值＝（）A．1B．C．D．4．（5分）某校开设A类选修课2门，B类选修课3门，一位同学从中选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有（）A．3种B．6种C．9种D．18种5．（5分）如图，y＝f（x）是可导函数，直线L：y＝kx+2是曲线y＝f（x）在x＝3处的切线，令g（x）＝xf（x），g′（x）是g（x）的导函数，则g′（3）＝（）A．﹣1B．0C．2D．46．（5分）有四个关于三角函数的命题：p1：sin x＝sin y⇒x+y＝π或x＝y；p2：∀x∈R，sin2+cos2＝1；p3：x，y∈R，cos（x﹣y）＝cos x﹣cos y；p4：∀x∈[0，]，＝cos x．其中真命题是（）A．p1，p2B．p2，p3C．p1，p4D．p2，p47．（5分）若实数x、y满足且z＝2x+y的最小值为4，则实数b的值为（）A．1B．2C．D．38．（5分）如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的表面积为（）A．8πB．16πC．32πD．64π9．（5分）已知函数f（x）＝函数g（x）＝f（x）﹣2x恰有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（）A．[﹣1，3）B．[﹣3，﹣1]C．[﹣3，3）D．[﹣1，1）10．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知sin（B+A）+sin（B ﹣A）＝2sin2A，且c＝，C＝，则△ABC的面积是（）A．B．C．D．或11．（5分）如图，矩形ABCD中，AB＝2AD，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE，若M为线段A1C的中点，则在△ADE翻折过程中，下面四个命题中不正确的是（）A．|BM|是定值B．点M在某个球面上运动C．存在某个位置，使DE⊥A1CD．存在某个位置，使MB∥平面A1DE12．（5分）已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，过F2的直线交双曲线的右支于P，Q两点，若|PF1|＝|F1F2|，且3|PF2|＝2|QF2|，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知点A（﹣1，1）、B（0，3）、C（3，4），则向量在方向上的投影为．14．（5分）已知实数m是2和8的等比中项，则抛物线y＝mx2的焦点坐标为．15．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为．16．（5分）已知偶函数y＝f（x）对于任意的x∈[0，）满足f′（x）cos x+f（x）sin x＞0（其中f′（x）是函数f（x）的导函数），则下列不等式中成立的有．（1）f（﹣）＜f（）（2）f（﹣）＞f（﹣）（3）f（0）＜f（﹣）（4）f（）＜f（）三、解答题（共8小题，满分70分）17．（12分）已知等差数列{a n}的各项均为正数，a1＝1，且a3，a4+，a11成等比数列．（Ⅰ）求a n的通项公式；（Ⅱ）设b n＝，求数列{b n}的前n项和T n．18．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，四边形AA1C1C是边长为2的菱形，平面ABC⊥平面AA1C1C，∠A1AC＝60°，∠BCA＝90°．（Ⅰ）求证：A1B⊥AC1；（Ⅱ）已知点E是AB的中点，BC＝AC，求直线EC1与平面ABB1A1所成的角的正弦值．19．（12分）某商场每天（开始营业时）以每件150元的价格购入A商品若干件（A商品在商场的保鲜时间为10小时，该商场的营业时间也恰好为10小时），并开始以每件300元的价格出售，若前6小时内所购进的商品没有售完，则商店对没卖出的A商品以每件100元的价格低价处理完毕（根据经验，4小时内完全能够把A商品低价处理完毕，且处理完后，当天不再购进A商品）．该商场统计了100天A商品在每天的前6小时内的销售量，制成如下表格（注：视频率为概率）．（其中x+y＝70）（Ⅰ）若某该商场共购入6件该商品，在前6个小时中售出4件．若这些产品被6名不同的顾客购买，现从这6名顾客中随机选2人进行回访，则恰好一个是以300元价格购买的顾客，另一个以100元价格购买的顾客的概率是多少？（Ⅱ）若商场每天在购进5件A商品时所获得的平均利润最大，求x的取值范围．20．（12分）设椭圆C：+＝1（a＞b＞0），F 1、F2为左右焦点，B为短轴端点，且＝4，离心率为，O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆C恒有两个交点M、N，且满足|+|＝|﹣|？若存在，求出该圆的方程，若不存在，说明理由．21．（12分）已知函数f（x）＝ax+ln（x﹣1），其中a为常数．（Ⅰ）试讨论f（x）的单调区间；（Ⅱ）若a＝时，存在x使得不等式|f（x）|﹣≤成立，求b的取值范围．22．（10分）如图，已知圆O是△ABC的外接圆，AB＝BC，AD是BC边上的高，AE是圆O的直径．过点C作圆O的切线交BA的延长线于点F．（Ⅰ）求证：AC•BC＝AD•AE；（Ⅱ）若AF＝2，CF＝2，求AE的长．23．在直角坐标系xOy中，曲线M的参数方程为（α为参数），若以直角坐标系中的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线N的极坐标方程为ρsin（θ+）＝t（t为参数）．（Ⅰ）求曲线M和N的直角坐标方程；（Ⅱ）若曲线N与曲线M有公共点，求t的取值范围．24．已知函数f（x）＝|3x+2|．（Ⅰ）解不等式f（x）＜4﹣|x﹣1|；（Ⅱ）已知m+n＝1（m，n＞0），若|x﹣a|﹣f（x）≤+（a＞0）恒成立，求实数a的取值范围．2015年河南省郑州市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求．1．（5分）设i是虚数单位，复数z＝，则|z|＝（）A．1B．C．D．2【解答】解：∵z＝＝＝i（1﹣i）＝i+1，则|z|＝．故选：B．2．（5分）集合U＝{0，1，2，3，4}，A＝{1，2}，B＝{x∈Z|x2﹣5x+4＜0}，则∁U（A∪B）＝（）A．{0，1，3，4}B．{1，2，3}C．{0，4}D．{0}【解答】解：集合B中的不等式x2﹣5x+4＜0，变形得：（x﹣1）（x﹣4）＜0，解得：1＜x＜4，∴B＝{2，3}，∵A＝{1，2}，∴A∪B＝{1，2，3}，∵集合U＝{0，1，2，3，4}，∴∁∪（A∪B）＝{0，4}．故选：C．3．（5分）已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数也相同，则图中的m、n的比值＝（）A．1B．C．D．【解答】解：根据茎叶图，得；乙的中位数是33，∴甲的中位数也是33，即m＝3；甲的平均数是＝（27+39+33）＝33，乙的平均数是＝（20+n+32+34+38）＝33，∴n＝8；∴＝．故选：D．4．（5分）某校开设A类选修课2门，B类选修课3门，一位同学从中选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有（）A．3种B．6种C．9种D．18种【解答】解：可分以下2种情况：①A类选修课选1门，B类选修课选2门，有C21C32种不同的选法；②A类选修课选2门，B类选修课选1门，有C22C31种不同的选法．∴根据分类计数原理知不同的选法共有C21C32+C22C31＝6+3＝9种．故要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有9种．故选：C．5．（5分）如图，y＝f（x）是可导函数，直线L：y＝kx+2是曲线y＝f（x）在x＝3处的切线，令g（x）＝xf（x），g′（x）是g（x）的导函数，则g′（3）＝（）A．﹣1B．0C．2D．4【解答】解：∵直线L：y＝kx+2是曲线y＝f（x）在x＝3处的切线，∴f（3）＝1，又点（3，1）在直线L上，∴3k+2＝1，从而k＝，∴f′（3）＝k＝，∵g（x）＝xf（x），∴g′（x）＝f（x）+xf′（x）则g′（3）＝f（3）+3f′（3）＝1+3×（）＝0，故选：B．6．（5分）有四个关于三角函数的命题：p1：sin x＝sin y⇒x+y＝π或x＝y；p2：∀x∈R，sin2+cos2＝1；p3：x，y∈R，cos（x﹣y）＝cos x﹣cos y；p4：∀x∈[0，]，＝cos x．其中真命题是（）A．p1，p2B．p2，p3C．p1，p4D．p2，p4【解答】解：p1：若sin x＝sin y⇒x+y＝π+2kπ或x＝y+2kπ，k∈Z，故错误；p2：根据同角三角函数基本关系的平方关系，可得：∀x∈R，sin2+cos2＝1，故正确；p3：x，y∈R，cos（x﹣y）＝cos x cos y+sin x sin y，与cos x﹣cos y不一定相等，故错误；p4：∀x∈[0，]，＝＝|cos x|＝cos x，故正确．故选：D．7．（5分）若实数x、y满足且z＝2x+y的最小值为4，则实数b的值为（）A．1B．2C．D．3【解答】解：作出不等式组对于的平面区域如图：∵z＝2x+y的最小值为4，即2x+y＝4，且y＝﹣2x+z，则直线y＝﹣2x+z的截距最小时，z也取得最小值，则不等式组对应的平面区域在直线y＝﹣2x+z的上方，由；，解得，即A（1，2），此时A也在直线y＝﹣x+b上，即2＝﹣1+b，解得b＝3，故选：D．8．（5分）如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的表面积为（）A．8πB．16πC．32πD．64π【解答】解：由已知中的三视图可得，该几何体是一个以正视图为底面的四棱锥，其外接球，与以俯视图为底面，以4为高的直三棱柱的外接球相同，如图所示：由底面底边长为4，高为2，故底面为等腰直角三角形，可得底面外接圆的半径为：r＝2，由棱柱高为4，可得球心距为2，故外接球半径为：R＝＝2，故外接球的表面积S＝4πR2＝32π，故选：C．9．（5分）已知函数f（x）＝函数g（x）＝f（x）﹣2x恰有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（）A．[﹣1，3）B．[﹣3，﹣1]C．[﹣3，3）D．[﹣1，1）【解答】解：∵f（x）＝，∴g（x）＝f（x）﹣2x＝，而方程﹣x+3＝0的解为3，方程x2+4x+3＝0的解为﹣1，﹣3；若函数g（x）＝f（x）﹣2x恰有三个不同的零点，则，解得，﹣1≤a＜3实数a的取值范围是[﹣1，3）．故选：A．10．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知sin（B+A）+sin（B ﹣A）＝2sin2A，且c＝，C＝，则△ABC的面积是（）A．B．C．D．或【解答】解：∵在△ABC中，C＝，∴B＝﹣A，B﹣A＝﹣2A，∵sin（B+A）+sin（B﹣A）＝2sin2A∴sin C+sin（﹣2A）＝2sin2A，即sin C+cos2A+sin2A＝2sin2A，整理得：sin（2A﹣）＝sin C＝，∴sin（2A﹣）＝，又A∈（0，），∴2A﹣＝，解得A＝，当A＝时，B＝，tan C＝＝＝，解得a＝，∴S△ABC＝ac sin B＝××＝；故选：B．11．（5分）如图，矩形ABCD中，AB＝2AD，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE，若M为线段A1C的中点，则在△ADE翻折过程中，下面四个命题中不正确的是（）A．|BM|是定值B．点M在某个球面上运动C．存在某个位置，使DE⊥A1CD．存在某个位置，使MB∥平面A1DE【解答】解：取CD中点F，连接MF，BF，则MF∥DA1，BF∥DE，∴平面MBF∥平面A1DE，∴MB∥平面A1DE，故D正确由∠A1DE＝∠MFB，MF＝A1D＝定值，FB＝DE＝定值，由余弦定理可得MB2＝MF2+FB2﹣2MF•FB•cos∠MFB，所以MB是定值，故A正确．∵B是定点，∴M是在以B为圆心，MB为半径的圆上，故B正确，∵A1C在平面ABCD中的射影为AC，AC与DE不垂直，∴存在某个位置，使DE⊥A1C不正确．故选：C．12．（5分）已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，过F2的直线交双曲线的右支于P，Q两点，若|PF1|＝|F1F2|，且3|PF2|＝2|QF2|，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．【解答】解：如图，l为该双曲线的右准线，设P到右准线的距离为d；过P作PP1⊥l，QQ1⊥l，分别交l于P1，Q1；∵，3|PF2|＝2|QF2|；∴，；过P作PM⊥QQ1，垂直为M，交x轴于N，则：；∴解得d＝；∵根据双曲线的定义，|PF1|﹣|PF2|＝2a，∴|PF2|＝2c﹣2a；∴根据双曲线的第二定义，；整理成：；∴解得（舍去）；即该双曲线的离心率为．故选：A．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知点A（﹣1，1）、B（0，3）、C（3，4），则向量在方向上的投影为2．【解答】解：由已知得到＝（1，2），＝（4，3），所以向量在方向上的投影为＝＝2；故答案为：2．14．（5分）已知实数m是2和8的等比中项，则抛物线y＝mx2的焦点坐标为（0，±）．【解答】解：∵实数m是2和8的等比中项，∴m2＝16，m＝±4，由y＝mx2，得，若m＝4，则，即2p＝，，焦点坐标为（0，）；若m＝﹣4，则，即2p＝，，焦点坐标为（0，﹣）．∴抛物线y＝mx2的焦点坐标为：（0，±）．故答案为：（0，±）．15．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为10．【解答】解：由已知可得该程序的功能是计算并输出S＝﹣12+22﹣32+42的值∵S＝﹣12+22﹣32+42＝10故答案为：1016．（5分）已知偶函数y＝f（x）对于任意的x∈[0，）满足f′（x）cos x+f（x）sin x＞0（其中f′（x）是函数f（x）的导函数），则下列不等式中成立的有（2）（3）（4）．（1）f（﹣）＜f（）（2）f（﹣）＞f（﹣）（3）f（0）＜f（﹣）（4）f（）＜f（）【解答】解：∵偶函数y＝f（x）对于任意的x∈[0，）满足f′（x）cos x+f（x）sin x＞0∴g（x）＝，g′（x）＝＞0，∴x∈[0，），g（x）＝是单调递增，且是偶函数，∴g（﹣）＝g（），g（﹣）＝g（），∵g（）＜g（），∴，即f（＞f（），（1）化简得出f（﹣）＝f（）＞f（），所以（1）不正确．（2）化简f（﹣）＞f（﹣），得出f（）＞f（），所以（2）正确．又根据g（x）单调性可知：g（）＞g（0），∴＞，∴f（0）＜f（），∵偶函数y＝f（x）∴即f（0）＜f（﹣），所以（3）正确．∵根据g（x）单调性可知g（）＞g（），∴，f（）＞f（）．所以（4）正确．故答案为：（2）（3）（4）三、解答题（共8小题，满分70分）17．（12分）已知等差数列{a n}的各项均为正数，a1＝1，且a3，a4+，a11成等比数列．（Ⅰ）求a n的通项公式；（Ⅱ）设b n＝，求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列公差为d，由题意知d＞0，∵a3，，a11成等比数列，∴（）2＝a3a11，∴，即44d2﹣36d﹣45＝0，解得或（舍去），所以；（Ⅱ）因为b n＝＝＝，所以数列{b n}的前n项和T n＝＝．18．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，四边形AA1C1C是边长为2的菱形，平面ABC⊥平面AA1C1C，∠A1AC＝60°，∠BCA＝90°．（Ⅰ）求证：A1B⊥AC1；（Ⅱ）已知点E是AB的中点，BC＝AC，求直线EC1与平面ABB1A1所成的角的正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：取AC的中点O，连接A1O，由于平面ABC⊥平面AA1C1C，A1O⊥AC，所以：A1O⊥平面ABC，所以：A1O⊥BC，又BC⊥AC，所以：BC⊥平面A1AC，又AC1⊥A1C，A1C为A1B的射影，所以：A1B⊥AC1．（Ⅱ）以O为坐标原点建立空间直角坐标系O﹣xyz，A（0，﹣1，0），B（2，1，0），C（0，1，0），C1（0，2，），则：，，设＝（x，y，z）是平面ABB1A1的法向量，所以：，求得：，由E（1，0，0）求得：，直线EC1与平面ABB1A1所成的角的正弦值sinθ＝cos＝．19．（12分）某商场每天（开始营业时）以每件150元的价格购入A商品若干件（A商品在商场的保鲜时间为10小时，该商场的营业时间也恰好为10小时），并开始以每件300元的价格出售，若前6小时内所购进的商品没有售完，则商店对没卖出的A商品以每件100元的价格低价处理完毕（根据经验，4小时内完全能够把A商品低价处理完毕，且处理完后，当天不再购进A商品）．该商场统计了100天A商品在每天的前6小时内的销售量，制成如下表格（注：视频率为概率）．（其中x+y＝70）（Ⅰ）若某该商场共购入6件该商品，在前6个小时中售出4件．若这些产品被6名不同的顾客购买，现从这6名顾客中随机选2人进行回访，则恰好一个是以300元价格购买的顾客，另一个以100元价格购买的顾客的概率是多少？（Ⅱ）若商场每天在购进5件A商品时所获得的平均利润最大，求x的取值范围．【解答】解：（1）恰好一个是以300元价格购买的顾客，另一个以100元价格购买的顾客的概率是A，则P（A）＝＝；（2）设销售A商品获得利润为X，（单位，元），以题意，视频率为概率，为追求更多的利润，则商店每天购进的A商品的件数取值可能为4件，5件，6件，当购进A商品4件时，EX＝150×4＝600，当购进A商品5件时，EX＝（150×4﹣50）×0.3+150×5×0.7＝690，当购进A商品6件时，EX＝（150×4﹣2×50）×0.3+（150×5﹣50）×+150×6×＝780﹣2x，由题意780﹣2x≤690，解得x≥45，又知x≤100﹣30＝70，所以x的取值范围为[45，70]．x∈N*．20．（12分）设椭圆C：+＝1（a＞b＞0），F 1、F2为左右焦点，B为短轴端点，且＝4，离心率为，O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆C恒有两个交点M、N，且满足|+|＝|﹣|？若存在，求出该圆的方程，若不存在，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C：+＝1（a＞b＞0），由题意可得，＝•2c•b＝4，e＝＝，且a2＝b2+c2；联立解得，；故椭圆C的方程为+＝1；（Ⅱ）假设存在圆心在原点的圆x2+y2＝r2，使得该圆的任意一条切线与椭圆C恒有两个交点M、N，∵|+|＝|﹣|，∴•＝0；设M（x1，y1），N（x2，y2），当切线斜率存在时，设该圆的切线的方程为y＝kx+m，解方程组得，（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8＝0，则△＝（4km）2﹣4（1+2k2）（2m2﹣8）＝8（8k2﹣m2+4）＞0；即8k2﹣m2+4＞0；∴x1+x2＝﹣，x1x2＝；y1y2＝（kx1+m）（kx2+m）＝k2x1x2+km（x1+x2）+m2＝；要使•＝0，故x1x2+y1y2＝0；即+＝0；所以3m2﹣8k2﹣8＝0，所以3m2﹣8≥0且8k2﹣m2+4＞0；解得m≥或m≤﹣；因为直线y＝kx+m为圆心在原点的圆的一条切线，所以圆的半径为r＝，r2＝＝＝；故r＝；即所求圆的方程为x2+y2＝；此时圆的切线y＝kx+m都满足m≥或m≤﹣；而当切线的斜率不存在时切线为x＝±与椭圆+＝1的两个交点为（，±），（﹣，±）；满足•＝0，综上所述，存在圆心在原点的圆x2+y2＝满足条件．21．（12分）已知函数f（x）＝ax+ln（x﹣1），其中a为常数．（Ⅰ）试讨论f（x）的单调区间；（Ⅱ）若a＝时，存在x使得不等式|f（x）|﹣≤成立，求b的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由已知易得函数f（x）的定义域为：{x|x＞1}，f′（x）＝a+＝，当a≥0时，f′（x）＞0在定义域内恒成立，f（x）的单调递增区间为（1，+∞），当a＜0时，由f′（x）＝0得x＝1﹣，当x∈（1，1﹣）时，f′（x）＞0，当x∈（1﹣，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）的单调递增区间为（1，1﹣），递减区间为（1﹣，+∞）；（Ⅱ）由（I）知当a＝时，f（x）＝x+ln（x﹣1），且f（x）的单调增区间为（1，e），单调减区间为（e，+∞），所以f（x）max＝f（e）＝+ln（e﹣1）＜0，所以|f（x）|≥﹣f（e）＝恒成立，（当x＝e时取等号）令，则，当1＜x＜e时，g（x）＞0；当x＞e时，g（x）＜0，从而g（x）在区间（1，e）上单调递增，在区间（e，+∞）上单调递减，所以g（x）max＝g（e）＝，所以，存在x使得不等式|f（x）|﹣≤成立，只需﹣≤，即：b≥﹣2ln（e﹣1）．22．（10分）如图，已知圆O是△ABC的外接圆，AB＝BC，AD是BC边上的高，AE是圆O的直径．过点C作圆O的切线交BA的延长线于点F．（Ⅰ）求证：AC•BC＝AD•AE；（Ⅱ）若AF＝2，CF＝2，求AE的长．【解答】证明：（I）如图所示，连接BE．∵AE是⊙O的直径，∴∠ABE＝90°．又∠E与∠ACB都是所对的圆周角，∴∠E＝∠ACB．∵AD⊥BC，∠ADC＝90°．∴△ABE∽△ADC，∴AB：AD＝AE：AC，∴AB•AC＝AD•AE．又AB＝BC，∴BC•AC＝AD•AE．解：（II）∵CF是⊙O的切线，∴CF2＝AF•BF，∵AF＝2，CF＝2，∴（2）2＝2BF，解得BF＝4．∴AB＝BF﹣AF＝2．∵∠ACF＝∠FBC，∠CFB＝∠AFC，∴△AFC∽△CFB，∴AF：FC＝AC：BC，∴AC＝＝．∴cos∠ACD＝，∴sin∠ACD＝＝sin∠AEB，∴AE＝＝23．在直角坐标系xOy中，曲线M的参数方程为（α为参数），若以直角坐标系中的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线N的极坐标方程为ρsin（θ+）＝t（t为参数）．（Ⅰ）求曲线M和N的直角坐标方程；（Ⅱ）若曲线N与曲线M有公共点，求t的取值范围．【解答】解：（1）由x＝，得x2＝2cos2α，所以曲线M可化为y＝x2﹣1，x∈[﹣2，2]，由ρsin（）＝t，得ρsinθρcosθ＝t，所以ρsinθ+ρcosθ＝t，所以N可化为x+y＝t，（2）若曲线N与曲线M有公共点，则当直线N过点（2，3）时，满足要求，此时t＝5，并且向左下方平行运动直到相切之前总有公共点，相切时仍只有一个公共点，联立得x2+x﹣1﹣t＝0，△＝1+4（1+t）＝0，解得t＝，综上可得t的取值范围≤t≤5．24．已知函数f（x）＝|3x+2|．（Ⅰ）解不等式f（x）＜4﹣|x﹣1|；（Ⅱ）已知m+n＝1（m，n＞0），若|x﹣a|﹣f（x）≤+（a＞0）恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）不等式f（x）＜4﹣|x﹣1|，即|3x+2|+|x﹣1|＜4，∴①，或②，或③．解①求得﹣＜x＜﹣，解②求得﹣≤x＜，解③求得x∈∅．综上可得，不等式的解集为（﹣，）．（Ⅱ）已知m+n＝1（m，n＞0），∴+＝（m+n）（+）＝2++≥2+2＝4，当且仅当m＝n＝时，取等号．再根据|x﹣a|﹣f（x）≤+（a＞0）恒成立，可得|x﹣a|﹣f（x）≤4，即|x﹣a|﹣|3x+2|≤4．设g（x）＝|x﹣a|﹣|3x+2|＝，故函数g（x）的最大值为g（﹣）＝+a，再由+a≤4，求得0＜a≤．。
河南省郑州市2015-2016学年七年级(下)期末数学试卷(解析版)
2015-2016学年河南省郑州市七年级（下）期末数学试卷一、选择题（每题3分）1．下列标志中，可以看作是轴对称图形的是（）A．B． C．D．2．下列计算正确的是（）A．（x4）3=x12B．a2•a5=a10C．（3a）2=6a2D．a6÷a2=a33．下列事件中，是确定事件的是（）A．打开电视，它正在播郑州新闻B．抛掷一枚一元的硬币，正面朝上C．367人中有两人的生日相同D．打雷后会下雨4．如图，直线AB∥CD，直线EF与AB，CD分别交于点E，F，EC⊥EF，垂足为E，若∠1=60°，则∠2的度数为（）A．15°B．30°C．45°D．60°5．请仔细观察用直尺和圆规作一个角∠A′O′B′等于已知角∠AOB的示意图，请你根据所学的图形的全等这一章的知识，说明画出∠A′O′B′=∠AOB的依据是（）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS6．下列能用平方差公式计算得是（）A．（﹣x+y）（x﹣y）B．（y﹣1）（﹣1﹣y）C．（x﹣2）（y+2）D．（2x+y）（2y﹣x）7．用边长为1的正方形纸板制成一副七巧板（如图①），将它拼成“小天鹅”图案（如图②），则图②中∠ABC+∠GEB=（）A．360°B．270° C．225° D．180°8．如图1，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，以每秒2个单位长度，沿BC ﹣CD﹣DA运动至点A停止，设点P运动的时间为x秒，△ABP的面积为y．如果y关于x的变化情况如图2所示，则△ABC的面积是（）A．10 B．20 C．40 D．80二、填空题（每题3分）9．计算：（）﹣1=．10．如图所示，一艘船从A点出发，沿东北方向航行至B，再从B点出发沿南偏东15°方向航行至C点，则∠ABC等于度．11．生物具有遗传多样性，遗传信息大多储存在DNA分子上，一个DNA分子的直径约为0.0000002cm．这个数量用科学记数法可表示为cm．12．如图，从给出的四个条件：（1）∠3=∠4；（2）∠1=∠2；（3）∠A=∠DCE；（4）∠D+∠ABD=180°．恰能判断AB∥CD的概率是．13．小明在利用完全平方公式计算一个二项整式的平方时，不小心用墨水把最后一项染黑了，得到正确的结果变为4a2﹣12ab+●，你认为染黑这一项应该是．14．如图是叠放在一起的两张长方形卡片，图中有∠1、∠2、∠3，则其中一定相等的是．15．如图，△ABC中，AB＞AC，延长CA至点G，边BC的垂直平分线DF与∠BAG 的角平分线交于点D，与AB交于点H，F为垂足，DE⊥AB于E．下列说法正确的是．（填序号）①BH=FC；②∠GAD=（∠B+∠HCB）；③BE﹣AC=AE；④∠B=∠ADE．三、解答题16．先化简，再求值：（x﹣2）2﹣x（x﹣8），其中x=．17．将一副直角三角尺BAC和ADE如图放置，其中∠BCA=30°，∠AED=45°，若∠AFD=75°，试判断AE与BC的位置关系，并说明理由．18．如图，在正方形网格上有一个△DEF．（1）作△DEF关于直线HG的轴对称图形△ABC（不写作法）；（2）作EF边上的高（不写作法）；（3）若网格上的最小正方形边长为1，求△DEF的面积．19．端午节期间，某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘（转盘被平均分成16份），并规定：顾客每购买100元的商品，就能获得一次转转盘的机会，如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色或绿色区域，顾客就可以分别获得玩具熊、童话书、水彩笔．小明和妈妈购买了125元的商品，请你分析计算：（1）小明获得奖品的概率是多少？（2）小明获得玩具熊、童话书、水彩笔的概率分别是多少？20．任意一个三位数，百位数字乘个位数字的积作为下一个数字的百位．百位数字乘十位数的积作为下一个数的十位数字，十位数字乘个位数字的积作为下一个数的个位数字．在上面每次相乘的过程中，如果积大于9，则将积的个位数与十位数相加，若和仍大于9，则继续相加直到得出一位数．重复这个过程…例如，以832开始，运算以上规则依次可得到：832，766，669，999，999，…（1）你选择的三位数是什么？按上述规则进行运算你都得到了哪些数？你得到了什么结论？（2）换个数试试，你有什么进一步的猜想？21．2016年全国中小学生“安全教育日”主题：“强化安全意识，提升安全素养”，小刚骑单车上学，当他骑了一段，想起要买某本书，于是又折回到刚经过的新华书店，买到书后继续去学校．以下是他本次所用的时间与路程的关系示意图．根据图中提供的信息回答下列问题：（1）小刚家到学校的路程是米；小刚在书店停留了分钟；（2）本次上学途中，小刚一共行驶了米；一共用了分钟；（3）我们认为骑单车的速度超过300米/分就超过了安全限度．问：在整个上学的途中哪个时间段小刚骑车速度最快，速度在安全限度内吗？请给小刚提一条合理化建议．22．在四边形ABCD中，AC=AB，DC=DB，∠CAB=60°，∠CDB=120°，E是AC上一点，F是AB延长线上一点，且CE=BF．（1）请判断DE=DF吗？说出你的理由；（2）若点G在AB上，且∠EDG=60°，是猜想CE、EG、BG之间的数量关系，并说明理由．2015-2016学年河南省郑州市七年级（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题3分）1．下列标志中，可以看作是轴对称图形的是（）A．B． C．D．【考点】轴对称图形．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；D、是轴对称图形，符合题意．故选：D．2．下列计算正确的是（）A．（x4）3=x12B．a2•a5=a10C．（3a）2=6a2D．a6÷a2=a3【考点】同底数幂的除法；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．【分析】分别利用同底数幂的乘除运算法则以及积的乘方运算法则分别化简求出答案．【解答】解：A、（x4）3=x12，正确；B、a2•a5=a7，故此选项错误；C、（3a）2=9a2，故此选项错误；D、a6÷a2=a4，故此选项错误；故选：A．3．下列事件中，是确定事件的是（）A．打开电视，它正在播郑州新闻B．抛掷一枚一元的硬币，正面朝上C．367人中有两人的生日相同D．打雷后会下雨【考点】随机事件．【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．【解答】解：打开电视，它正在播郑州新闻是随机事件，A错误；抛掷一枚一元的硬币，正面朝上是随机事件，B错误；367人中有两人的生日相同是必然事件，C正确；打雷后会下雨是随机事件，D错误，故选：C．4．如图，直线AB∥CD，直线EF与AB，CD分别交于点E，F，EC⊥EF，垂足为E，若∠1=60°，则∠2的度数为（）A．15°B．30°C．45°D．60°【考点】平行线的性质．【分析】根据对顶角相等求出∠3，再根据两直线平行，同旁内角互补解答．【解答】解：如图，∠3=∠1=60°（对顶角相等），∵AB∥CD，EG⊥EF，∴∠3+90°+∠2=180°，即60°+90°+∠2=180°，解得∠2=30°．故选B．5．请仔细观察用直尺和圆规作一个角∠A′O′B′等于已知角∠AOB的示意图，请你根据所学的图形的全等这一章的知识，说明画出∠A′O′B′=∠AOB的依据是（）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS【考点】全等三角形的判定与性质．【分析】根据作图过程，O′C′=OC，O′B′=OB，C′D′=C D，所以运用的是三边对应相等，两三角形全等作为依据．【解答】解：根据作图过程可知O′C′=OC，O′B′=OB，C′D′=CD，∴△OCD≌△O′C′D′（SSS）．故选D．6．下列能用平方差公式计算得是（）A．（﹣x+y）（x﹣y）B．（y﹣1）（﹣1﹣y）C．（x﹣2）（y+2）D．（2x+y）（2y﹣x）【考点】平方差公式．【分析】根据平方差公式的结构特点，对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A、（﹣x+y）（x﹣y）=﹣（x﹣y）（x﹣y）=﹣（x﹣y）2，故本选项错误；B、（y﹣1）（﹣1﹣y）=﹣（y﹣1）（y+1）=﹣（y2﹣1），故正确；C、（x﹣2）（y+2）属于多项式乘以多项式，故本选项错误；D、（2x+y）（2y﹣x）属于多项式乘以多项式，故本选项错误；故选：B．7．用边长为1的正方形纸板制成一副七巧板（如图①），将它拼成“小天鹅”图案（如图②），则图②中∠ABC+∠GEB=（）A．360°B．270° C．225° D．180°【考点】七巧板．【分析】本题是对七巧板中的角的计算，七巧板中的角都是特殊的，出现的角是45°、90°、135°和180°．【解答】解：∵∠ABC=∠GEB=135°，∴∠ABC+∠GEB=270°．故选B．8．如图1，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，以每秒2个单位长度，沿BC ﹣CD﹣DA运动至点A停止，设点P运动的时间为x秒，△ABP的面积为y．如果y关于x的变化情况如图2所示，则△ABC的面积是（）A．10 B．20 C．40 D．80【考点】动点问题的函数图象．【分析】本题难点在于应找到面积不变的开始与结束，得到BC，CD的具体值．【解答】解：动点P从点B出发，沿BC、CD、DA运动至点A停止，而当点P运动到点C，D之间时，△ABP的面积不变．函数图象上横轴表示点P运动的路程，x=4时，y开始不变，说明BC=8，x=9时，接着变化，说明CD=2（9﹣4）=10．∴△ABC的面积为=×8×10=40．故选C．二、填空题（每题3分）9．计算：（）﹣1=．【考点】负整数指数幂．【分析】利用负整数指数幂的定义求解即可．【解答】解：（）﹣1==，故答案为：．10．如图所示，一艘船从A点出发，沿东北方向航行至B，再从B点出发沿南偏东15°方向航行至C点，则∠ABC等于60度．【考点】方向角．【分析】根据南北方向是平行的得出∠ABF=45°，再和∠CBF相加即可得出答案．【解答】解：∵AE∥BF，∴∠ABF=∁EAB=45°，∴∠ABC=∠ABF+∠CBF=45°+15°=60°，故答案为：60．11．生物具有遗传多样性，遗传信息大多储存在DNA分子上，一个DNA分子的直径约为0.0000002cm．这个数量用科学记数法可表示为2×10﹣7cm．【考点】科学记数法—表示较小的数．【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n．与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．在本题中a应为2，10的指数为﹣7．【解答】解：0.000 000 2cm=2×10﹣7cm．故答案为：2×10﹣7．12．如图，从给出的四个条件：（1）∠3=∠4；（2）∠1=∠2；（3）∠A=∠DCE；（4）∠D+∠ABD=180°．恰能判断AB∥CD的概率是．【考点】概率公式；平行线的判定．【分析】由恰能判断AB∥CD的有（2），（3），（4），直接利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：∵恰能判断AB∥CD的有（2），（3），（4），∴恰能判断AB∥CD的概率是：．故答案为：．13．小明在利用完全平方公式计算一个二项整式的平方时，不小心用墨水把最后一项染黑了，得到正确的结果变为4a2﹣12ab+●，你认为染黑这一项应该是9b2．【考点】完全平方式．【分析】先根据已知平方项和乘积二倍项确定出这两个数，再根据完全平方公式解答即可．【解答】解：∵4a2﹣12ab+△=（2a）2﹣2×2a•3b+△，∴△=（3b）2=9b2．故答案为：9b2．14．如图是叠放在一起的两张长方形卡片，图中有∠1、∠2、∠3，则其中一定相等的是∠2与∠3．【考点】三角形的外角性质．【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和分别表示出∠1、∠2、∠3，再根据对顶角相等作出判断即可．【解答】解：如图，由三角形的外角性质得，∠1=∠4+90°，∠2=∠6+90°，∠3=∠5+90°或∠7+90°，∵∠6=∠7（对顶角相等），∠4与∠5互余，不一定相等，∴一定相等的是∠2与∠3．故答案为：∠2与∠3．15．如图，△ABC中，AB＞AC，延长CA至点G，边BC的垂直平分线DF与∠BAG 的角平分线交于点D，与AB交于点H，F为垂足，DE⊥AB于E．下列说法正确的是③．（填序号）①BH=FC；②∠GAD=（∠B+∠HCB）；③BE﹣AC=AE；④∠B=∠ADE．【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质．【分析】根据线段垂直平分线的性质得到BH=CH，BF=CF，由于CH＞CF，于是得到BH＞CF，故①错误；根据角平分线的性质和三角形的外角的性质得到∠GAD=GAB=（∠ABC+∠ACB），由于∠ACB＞∠HCB，于是得到∠GAD（∠B+∠HCB），故②错误；过D作DN⊥AC，垂足为N，连接DB、DC，推出DN=DF，DB=DC，根据HL证Rt△DBF≌R△DCN，推出BF=CN，根据HL证Rt△DFA≌Rt△DNA，推出AN=AF，于是得到BE=AC+AN=AC+AE，即BE﹣AC=AE，故③正确；根据余角的性质得到∠ABC=∠HDE，故④错误．【解答】证明：∵DF垂直平分BC，∴BH=CH，BF=CF，∵CH＞CF，∴BH＞CF，故①错误；∵∠GAB=∠ABC+∠ACB，AD平分∠GAB，∴∠GAD=GAB=（∠ABC+∠ACB），∵∠ACB＞∠HCB，∴∠GAD（∠B+∠HCB），故②错误；过D作DN⊥AC，垂足为N，连接DB、DC，则DN=DE，DB=DC，又∵DF⊥AB，DN⊥AC，∴∠DEB=∠DNC=90°，在Rt△DBE和Rt△DCN中，，∴Rt△DBE≌Rt△DCN（HL），∴BE=CN，在Rt△DEA和Rt△DNA中，，∴Rt△DEA≌Rt△DNA（HL），∴AN=AE，∴BE=AC+AN=AC+AE，即BE﹣AC=AE，故③正确；∵DE⊥AB，∴∠HDE+∠DHE=∠HBF+∠BHF=90°，∵∠ABC=∠HDE，故④错误．故答案为：③．三、解答题16．先化简，再求值：（x﹣2）2﹣x（x﹣8），其中x=．【考点】整式的混合运算—化简求值．【分析】原式利用完全平方公式，以及单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．【解答】解：原式=x2﹣4x+4﹣x2+8x=4x+4，当x=时，原式=2+4=6．17．将一副直角三角尺BAC和ADE如图放置，其中∠BCA=30°，∠AED=45°，若∠AFD=75°，试判断AE与BC的位置关系，并说明理由．【考点】平行线的判定．【分析】先根据平角的定义求∠CFD=105°，再根据三角形的内角和定理求∠CDF=45°，由内错角相等，两直线平行可得：AE∥BC．【解答】解：AE∥BC，理由如下：因为∠AFD=75°，所以∠CFD=180°﹣75°=105°，又因为∠BCA=30°，所以∠CDF=180°﹣105°﹣30°=45°，因为∠AED=45°，所以∠CDF=∠AED，所以AE∥BC．18．如图，在正方形网格上有一个△DEF．（1）作△DEF关于直线HG的轴对称图形△ABC（不写作法）；（2）作EF边上的高（不写作法）；（3）若网格上的最小正方形边长为1，求△DEF的面积．【考点】作图﹣轴对称变换．【分析】（1）分别作出点D、E、F关于直线HG对称的点，然后顺次连接；（2）过点D作DM垂直于直线FE的延长线于点M，然后连接DM；（3）根据三角形的面积公式×底×高即可求解．【解答】解：（1）所作图形如图所示：△ABC即为所作图形；（2）所作图形如图所示：DM即为EF边上的高；=×3×2=3．（3）S△DEF19．端午节期间，某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘（转盘被平均分成16份），并规定：顾客每购买100元的商品，就能获得一次转转盘的机会，如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色或绿色区域，顾客就可以分别获得玩具熊、童话书、水彩笔．小明和妈妈购买了125元的商品，请你分析计算：（1）小明获得奖品的概率是多少？（2）小明获得玩具熊、童话书、水彩笔的概率分别是多少？【考点】概率公式．【分析】（1）直接利用有颜色部分占6份，除以总数得出答案；（2）分别利用红色、黄色、绿色部分分别占1份、2份、3份，进而利用概率公式求出答案．【解答】解：（1）∵转盘被平均分成16份，其中有颜色部分占6份，∴P（获得奖品）==．（2）∵转盘被平均分成16份，其中红色、黄色、绿色部分，分别占1份、2份、3份，∴P（获得玩具熊）=．P（获得童话书）==．P（获得水彩笔）=．20．任意一个三位数，百位数字乘个位数字的积作为下一个数字的百位．百位数字乘十位数的积作为下一个数的十位数字，十位数字乘个位数字的积作为下一个数的个位数字．在上面每次相乘的过程中，如果积大于9，则将积的个位数与十位数相加，若和仍大于9，则继续相加直到得出一位数．重复这个过程…例如，以832开始，运算以上规则依次可得到：832，766，669，999，999，…（1）你选择的三位数是什么？按上述规则进行运算你都得到了哪些数？你得到了什么结论？（2）换个数试试，你有什么进一步的猜想？【考点】规律型：数字的变化类．【分析】（1）选择一个数，依次按规律进行计算；（2）重复选择一个数，进行计算，发现这组重复的数有的是999，还有可能为一组新的6个数．【解答】解：（1）如选择的三位数是123，运用以上规则依次可得到：123，326，963，999，999，…这组数的后面都是999；（2）如选择的三位数是788，运用以上规则依次可得到：788，221，242，488，551，575，788，…如选择的三位数是255，运用以上规则依次可得到：255，117，717，477，114，414，744，117，…猜想：无论给出一个什么样的三位数，总能得到重复出现的一组数：都是999或6个数为一组重复出现．21．2016年全国中小学生“安全教育日”主题：“强化安全意识，提升安全素养”，小刚骑单车上学，当他骑了一段，想起要买某本书，于是又折回到刚经过的新华书店，买到书后继续去学校．以下是他本次所用的时间与路程的关系示意图．根据图中提供的信息回答下列问题：（1）小刚家到学校的路程是1500米；小刚在书店停留了4分钟；（2）本次上学途中，小刚一共行驶了2700米；一共用了14分钟；（3）我们认为骑单车的速度超过300米/分就超过了安全限度．问：在整个上学的途中哪个时间段小刚骑车速度最快，速度在安全限度内吗？请给小刚提一条合理化建议．【考点】函数的图象．【分析】（1）根据函数图象的纵坐标，可得答案，根据函数图象的横坐标，可得到达书店时间，离开书店时间，根据有理数的减法，克的答案；（2）根据函数图象的纵坐标，可得相应的路程，根据有理数的加法，可得答案；（3）根据函数图象的纵坐标，可得路程，根据函数图象的横坐标，可得时间，根据路程与时间的关系，可得速度．【解答】解：（1）根据图象，学校的纵坐标为1500，小明家的纵坐标为0，故小刚家到学校的路程是1500米；根据题意，小刚在书店停留的时间为从到，故小刚在书店停留了4分钟．故答案为：1500，4；（2）一共行驶的总路程=1200++=1200+600+900=2700米；共用了14分钟．故答案为：2700，14；（3）由图象可知：0～6分钟时，平均速度==200米/分，6～8分钟时，平均速度==300米/分，12～14分钟时，平均速度==450米/分，所以，12～14分钟时速度最快，不在安全限度内，“珍重生命，注意安全！”同学们在上下学途中一定要注意骑车安全．22．在四边形ABCD中，AC=AB，DC=DB，∠CAB=60°，∠CDB=120°，E是AC上一点，F是AB延长线上一点，且CE=BF．（1）请判断DE=DF吗？说出你的理由；（2）若点G在AB上，且∠EDG=60°，是猜想CE、EG、BG之间的数量关系，并说明理由．【考点】全等三角形的判定与性质．【分析】（1）通过角的计算得出∠C=∠DBF，结合CD=BD、CE=BF即可证出△CDE ≌△BDF（SAS），由此即可得出DE=DF；（2）连接AD，结合AC=AB、DC=DB即可证出△ABD≌△ACD（SSS），由此即可得出∠BDA=∠CDA=60°，再根据∠EDG=60°即可得出∠CDE=∠ADG，∠ADE=∠BDG，由（1）可知△CDE≌△BDF，进而得知∠CDE=∠BDF，根据角的计算即可得出∠EDG=∠FDG，结合DE=DF即可证出△DEG≌△DFG（SAS），即得出EG=FG，由相等的边与边之间的关系即可证出CE+BG=EG．【解答】解：（1）DE=DF．理由如下：∵∠CAB+∠C+∠CDB+∠ABD=360°，∠CAB=60°，∠CDB=120°，∴∠C+∠ABD=360°﹣60°﹣120°=180°．又∵∠DBF+∠ABD=180°，∴∠C=∠DBF．在△CDE和△BDF中，，∴△CDE≌△BDF（SAS）．∴DE=DF．（2）猜想CE、EG、BG之间的数量关系为：CE+BG=EG．理由如下：连接AD，如图所示．在△ABD和△ACD中，，∴△ABD≌△ACD（SSS），∴∠BDA=∠CDA=∠CDB=×120°=60°．又∵∠EDG=60°，∴∠CDE=∠ADG，∠ADE=∠BDG．由（1）可得：△CDE≌△BDF，∴∠CDE=∠BDF．∴∠BDG+∠BDF=60°，即∠FDG=60°．∴∠EDG=∠FDG．在△DEG和△DFG中，，∴△DEG≌△DFG（SAS），∴EG=FG．又∵CE=BF，FG=BF+BG，∴CE+BG=EG．2017年3月13日。
2015年河南省郑州中考数学试卷及答案
2015年河南初中学业水平暨高级中等学校招生考试试题数 学注意事项：1. 本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟。
2. 本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上。
答在试卷上的答案无效。
一、选择题（每小题3分，共24分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的。
1. 下列各数中最大的数是（ ） A . 5 B .3 C . π D . -82. 如图所示的几何体的俯视图是（ ）3. 据统计，2014年我国高新技术产品出口总额达40 570亿元，将数据40 570亿用科学记数法表示为（ ）A . 4.0570×109B . 0.40570×1010C . 40.570×1011D . 4.0570×1012 4. 如图，直线a ，b 被直线e ，d 所截，若∠1=∠2，∠3=125°，则∠4的度数为（ ） A . 55° B . 60° C .70° D . 75°5. 不等式组⎩⎨⎧>-≥+13,05x x 的解集在数轴上表示为（ ）CDBA正面 第2题dc ba第4题-52-52-52 0 -520 CDBA6. 小王参加某企业招聘测试，他的笔试，面试、技能操作得分分别为85分，80分，90分，若依次按照2:3:5的比例确定成绩，则小王的成绩是（ ） A . 255分 B . 84分 C . 84.5分 D .86分7. 如图，在□ABCD 中，用直尺和圆规作∠BAD 的平分线AG 交BC 于点E ，若BF =6，AB =5，则AE 的长为（ ） A . 4 B . 6 C . 8 D . 108. 如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O 1，O 2，O 3，… 组成一条平滑的曲线，点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒2π个单位长度，则第2015秒时，点P 的坐标是（ ） A .（2014,0） B .（2015，-1） C . （2015,1） D . （2016,0）二、填空题（每小题3分，共21分） 9. 计算：(-3)0+3-1= .10. 如图，△ABC 中，点D 、E 分别在边AB ，BC 上，DE //AC ，若DB =4，DA =2，BE =3，则EC = . 11. 如图，直线y =kx 与双曲线)0(2>=x xy 交于点 A （1，a ）,则k = .12. 已知点A （4，y 1），B （2，y 2），C （-2，y 3）都在二次函数y =(x -2)2-1的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是 . 13. 现有四张分别标有数字1，2，3，4的卡片，它们除数字外完全相同，把卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张后放回，再 背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，则两次抽出的卡片所标数 字不同的概率是 .14. 如图，在扇形AOB 中，∠AOB =90°，点C 为OA 的中点，EFCDBG A第7图PO 第8题O 1xy O 2O 3E C DBA第10题 OA第11题xyE DBPOCDBA 第17题CE ⊥OA 交AB 于点E ，以点O 为圆心，OC 的长为半径 作CD 交OB 于点D ，若OA =2，则阴影部分的面积为 .15. 如图，正方形ABCD 的边长是16，点E 在边AB 上，AE =3，点F 是边BC 上不与点B 、C 重合的一个动点，把△EBF 沿 EF 折叠，点B 落在B ′处，若△CDB ′恰为等腰三角形，则 DB ′的长为 .三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）16.（8分）先化简，再求值：)11(22222a b b a b ab a -÷-+-， 其中15+=a ，15-=b .17.（9分）如图，AB 是半圆O 的直径，点P 是半圆上 不与点A 、B 重合的一个动点，延长BP 到点C ，使 PC =PB ，D 是AC 的中点，连接PD ，PO . （1）求证：△CDP ∽△POB ； （2）填空：① 若AB =4，则四边形AOPD 的最大面积为 ；② 连接OD ，当∠PBA 的度数为 时，四边形BPDO 是菱形.EFC DB A 第15B18.（9分）为了了解市民“获取新闻的最主要途径”，某市记者开展了一次抽样调查，根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图。
数学_2015年河南省郑州市高考数学二模试卷(理科)(含答案)
2015年河南省郑州市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求． 1. 设i 是虚数单位，复数z =2i 1+i，则|z|=( )A 1B √2C √3D 2 2.集合U ={0, 1, 2, 3, 4}，A ={1, 2}，B ={x ∈Z|x 2−5x +4<0}，则∁U (A ∪B)=( ) A {0, 1, 3, 4} B {1, 2, 3} C {0, 4} D {0}3. 已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数也相同，则图中的m 、n 的比值mn =( )A 1B 13C 29D 384. 某校开设A 类选修课2门，B 类选修课3门，一位同学从中选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有（ ） A 3种 B 6种 C 9种 D 18种5. 如图，y ＝f(x)是可导函数，直线L:y ＝kx +2是曲线y ＝f(x)在x ＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝（ ）A −1B 0C 2D 4 6. 有四个关于三角函数的命题： p 1:sinx ＝siny ⇒x +y ＝π或x ＝y ； p 2:∀x ∈R ，sin 2x2+cos 2x2=1； p 3:x ，y ∈R ，cos(x −y)＝cosx −cosy ； p 4:∀x ∈[0, π2]，√1+cos2x2=cosx ．其中真命题是（ ）A p 1，p 2B p 2，p 3C p 1，p 4D p 2，p 47. 若实数x ，y 满足{2x −y ≥0，y ≥x ，y ≥−x +b ，且z =2x +y 的最小值为4，则实数b 的值为（ ）A 1B 2C 52 D 38. 如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的表面积为（ ）A 8πB 16πC 32πD 64π9. 已知函数f(x)={x +3,x >ax 2+6x +3,x ≤a 函数g(x)＝f(x)−2x 恰有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ ）A [−1, 3)B [−3, −1]C [−3, 3)D [−1, 1)10. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知sin(B +A)+sin(B −A)＝2sin2A ，且c =√7，C =π3，则△ABC 的面积是（ ）A3√34 B 7√36 C √213 D 3√34或7√36 11. 如图，矩形ABCD 中，AB =2AD ，E 为边AB 的中点，将△ADE 沿直线DE 翻折成△A 1DE ，若M 为线段A 1C 的中点，则在△ADE 翻折过程中，下面四个命题中不正确的是（ ）A |BM|是定值B 点M 在某个球面上运动C 存在某个位置，使DE ⊥A 1CD 存在某个位置，使MB // 平面A 1DE12. 已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，过F 2的直线交双曲线的右支于P ，Q 两点，若|PF 1|＝|F 1F 2|，且3|PF 2|＝2|QF 2|，则该双曲线的离心率为（ ）A 75B 43C 2D 103二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 已知点A(−1, 1)、B(0, 3)、C(3, 4)，则向量AB →在AC →方向上的投影为________． 14. 已知实数m 是2和8的等比中项，则抛物线y =mx 2的焦点坐标为________． 15. 执行如图所示的程序框图，输出的S 值为________．16. 已知偶函数y＝f(x)对于任意的x∈[0, π2)满足f′(x)cosx+f(x)sinx>0（其中f′(x)是函数f(x)的导函数），则下列不等式中成立的有（2）（3）（4）．（1）√2f(−π3)<f(π4)（2）√2f(−π3)>f(−π4)（3）f(0)<√2f(−π4)（4）f(π6)<√3f(π3)三、解答题（共8小题，满分70分）17. 已知等差数列{a n}的各项均为正数，a1＝1，且a3，a4+52，a11成等比数列．(Ⅰ)求a n的通项公式；(Ⅱ)设b n=1a n a n+1，求数列{b n}的前n项和T n．18. 如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，四边形AA1C1C是边长为2的菱形，平面ABC⊥平面AA1C1C，∠A1AC＝60∘，∠BCA＝90∘．(Ⅰ)求证：A1B⊥AC1；(Ⅱ)已知点E是AB的中点，BC＝AC，求直线EC1与平面ABB1A1所成的角的正弦值．19. 某商场每天（开始营业时）以每件150元的价格购入A商品若干件（A商品在商场的保鲜时间为10小时，该商场的营业时间也恰好为10小时），并开始以每件300元的价格出售，若前6小时内所购进的商品没有售完，则商店对没卖出的A 商品以每件100元的价格低价处理完毕（根据经验，4小时内完全能够把A 商品低价处理完毕，且处理完后，当天不再购进A 商品）．该商场统计了100天A 商品在每天的前6小时内的销售量，制成如下表格（注：视频率为概率）．（其中x +y ＝70）购买，现从这6名顾客中随机选2人进行回访，则恰好一个是以300元价格购买的顾客，另一个以100元价格购买的顾客的概率是多少？(Ⅱ)若商场每天在购进5件A 商品时所获得的平均利润最大，求x 的取值范围． 20. 设椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，F 1、F 2为椭圆C 左右焦点，B 为短轴端点，且S △BF 1F 2=4，离心率为√22，O 为坐标原点．(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆C 恒有两个交点M 、N ，且满足|OM →+ON →|＝|OM →−ON →|？若存在，求出该圆的方程，若不存在，说明理由 21. 已知函数f(x)＝ax +ln(x −1)，其中a 为常数． (Ⅰ)试讨论f(x)的单调区间；(Ⅱ)若a =11−e 时，存在x 使得不等式|f(x)|−ee−1≤21nx+bx2x成立，求b 的取值范围．22. 如图，已知圆O 是△ABC 的外接圆，AB ＝BC ，AD 是BC 边上的高，AE 是圆O 的直径．过点C 作圆O 的切线交BA 的延长线于点F ． (Ⅰ)求证：AC ⋅BC ＝AD ⋅AE ； (Ⅱ)若AF ＝2，CF ＝2√2，求AE 的长．23. 在直角坐标系xOy 中，曲线M 的参数方程为{x =√3cosα+sinαy =2√3sinαcosα−2sin 2α+2（α为参数），若以直角坐标系中的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线N 的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=√22t （t 为参数）． (Ⅰ)求曲线M 和N 的直角坐标方程；(Ⅱ)若曲线N 与曲线M 有公共点，求t 的取值范围． 24. 已知函数f(x)＝|3x +2|． (Ⅰ)解不等式f(x)<4−|x −1|；(Ⅱ)已知m >0，n >0，m +n ＝1，若对任意的x ∈R ，m >0，n >0不等式|x −a|−f(x)≤1m +1n (a >0)恒成立，求正数a 的取值范围．2015年河南省郑州市高考数学二模试卷（理科）答案1. B2. C3. D4. C5. B6. D7. D8.9. A10. B11. C12. A13. 214. (0, ±116)15. 1016. 化简得出√2f(−π3)=√2f(π3)>f(π4)，所以不正确．化简√2f(−π3)>f(−π4)，得出√2f(π3)>f(π4)，所以正确．又根据g(x)单调性可知：g(π4)>g(0)，∴ f(π4)√22>f(0)1，∴ f(0)<√2f(π4)，∵ 偶函数y＝f(x)∴ 即f(0)<√2f(−π4)，所以（1）正确．∵ 根据g(x)单调性可知g(π3)>g(π6)，∴ f(π3)12>f(π6)√32，√3f(π3)>f(π6)．所以（2）正确．故答案为：（3）（4）（5）17. （1）设等差数列公差为d，由题意知d>0，∵ a3，a4+52，a11成等比数列，∴ (a4+52)2＝a3a11，∴ (72+3d)2=(1+2d)(1+10d)，即44d 2−36d −45＝0，解得d =32或d =−1522（舍去）， 所以a n =3n−12；（2）因为b n =1an a n+1=4(3n−1)(3n+2)=43(13n−1−13n+2)，所以数列{b n }的前n 项和T n =43(12−15+15−18+⋯+13n−1−13n+2)=2n3n+2． 18. （1）证明：取AC 的中点O ，连接A 1O ， 由于平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ，A 1O ⊥AC ， 所以：A 1O ⊥平面ABC ， 所以：A 1O ⊥BC ， 又BC ⊥AC ，所以：BC ⊥平面A 1AC ，又AC 1⊥A 1C ，A 1C 为A 1B 的射影， 所以：A 1B ⊥AC 1．（2）以O 为坐标原点建立空间直角坐标系O −xyz ， A(0, −1, 0)，B(2, 1, 0)，C(0, 1, 0)，C 1(0, 2, √3)， 则：AB →=(2,2,0)，BB 1→=CC 1→=(0,1,√3)， 设m →=(x, y, z)是平面ABB 1A 1的法向量， 所以：{m →⋅AB →=0m →⋅BB 1→=0 ，{2x +2y =0y +√3z =0求得：m →=(−√3,√3,−1)， 由E(1, 0, 0)求得：EC 1→=(−1,2,√3)，直线EC 1与平面ABB 1A 1所成的角的正弦值 sinθ＝cos <EC →,m →>=|EC 1→⋅m→|EC 1→||m →||=√4214．19. （1）恰好一个是以300元价格购买的顾客，另一个以100元价格购买的顾客的概率是A ，则P(A)=C 41⋅C 21C 62=815；（2）设销售A 商品获得利润为X ，（单位，元），以题意，视频率为概率，为追求更多的利润，则商店每天购进的A 商品的件数取值可能为4件，5件，6件， 当购进A 商品4件时，EX ＝150×4＝600，当购进A 商品5件时，EX ＝(150×4−50)×0.3+150×5×0.7＝690， 当购进A 商品6件时，EX ＝(150×4−2×50)×0.3+(150×5−50)×x 100+150×6×70−x 100=780−2x ，由题意780−2x ≤690，解得x ≥45，又知x ≤100−30＝70， 所以x 的取值范围为[45, 70]．x ∈N ∗． 20. （1）∵ 椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)， 由题意可得，S △BF 1F 2=12⋅2c ⋅b ＝4，e =ca =√22，且a 2＝b 2+c 2；联立解得，{a 2=8b 2=4； 故椭圆C 的方程为x 28+y 24=1；（2）假设存在圆心在原点的圆x 2+y 2＝r 2，使得该圆的任意一条切线与椭圆C 恒有两个交点M 、N ， ∵ |OM →+ON →|＝|OM →−ON →|， ∴ OM →⋅ON →=0；设M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)，当切线斜率存在时，设该圆的切线的方程为y ＝kx +m ， 解方程组{y =kx +m x 28+y 24=1得，(1+2k 2)x 2+4kmx +2m 2−8＝0，则△＝(4km)2−4(1+2k 2)(2m 2−8)＝8(8k 2−m 2+4)>0； 即8k 2−m 2+4>0； ∴ x 1+x 2=−4km 1+2k 2，x 1x 2=2m 2−81+2k 2；y 1y 2＝(kx 1+m)(kx 2+m)＝k 2x 1x 2+km(x 1+x 2)+m 2=m 2−8k 21+2k 2；要使OM →⋅ON →=0， 故x 1x 2+y 1y 2＝0； 即2m 2−81+2k 2+m 2−8k 21+2k 2=0；所以3m 2−8k 2−8＝0，所以3m 2−8≥0且8k 2−m 2+4>0； 解得m ≥2√63或m ≤−2√63； 因为直线y ＝kx +m 为圆心在原点的圆的一条切线， 所以圆的半径为r =√1+k 2，r 2=m 21+k 2=83(1+k 2)1+k 2=83；故r =2√63； 即所求圆的方程为x 2+y 2=83； 此时圆的切线y ＝kx +m 都满足m ≥2√63或m ≤−2√63； 而当切线的斜率不存在时切线为x ＝±2√63与椭圆x 28+y 24=1的两个交点为(2√63, ±2√63)，(−2√63, ±2√63)； 满足OM →⋅ON →=0，综上所述，存在圆心在原点的圆x 2+y 2=83满足条件． 21. （1）由已知易得函数f(x)的定义域为：{x|x >1}， f′(x)＝a +1x−1=ax−a+1x−1，当a ≥0时，f′(x)>0在定义域内恒成立，f(x)的单调递增区间为(1, +∞)， 当a <0时，由f′(x)＝0得x ＝1−1a >1，当x ∈(1, 1−1a )时，f′(x)>0， 当x ∈(1−1a , +∞)时，f′(x)<0，f(x)的单调递增区间为(1, 1−1a )，递减区间为(1−1a , +∞)；（2）由(I)知当a=11−e 时，f(x)=11−ex+ln(x−1)，且f(x)的单调增区间为(1, e)，单调减区间为(e, +∞)，所以f(x)max＝f(e)=e1−e+ln(e−1)<0，所以|f(x)|≥−f(e)=ee−1−ln(e−1)恒成立，（当x＝e时取等号）令g(x)=21nx+bx2x ，则g′(x)=1−lnxx2，当1<x<e时，g(x)>0；当x>e时，g(x)<0，从而g(x)在区间(1, e)上单调递增，在区间(e, +∞)上单调递减，所以g(x)max＝g(e)=1e +b2，所以，存在x使得不等式|f(x)|−ee−1≤21nx+bx2x成立，只需ee−1−ln(e−1)−ee−1≤1e+b2，即：b≥−2e−2ln(e−1)．22. 证明：(I)如图所示，连接BE．∵ AE是⊙O的直径，∴ ∠ABE＝90∘．又∠E与∠ACB都是AB̂所对的圆周角，∴ ∠E＝∠ACB．∵ AD⊥BC，∠ADC＝90∘．∴ △ABE∽△ADC，∴ AB:AD＝AE:AC，∴ AB⋅AC＝AD⋅AE．又AB＝BC，∴ BC⋅AC＝AD⋅AE．(II)∵ CF是⊙O的切线，∴ CF2＝AF⋅BF，∵ AF＝2，CF＝2√2，∴ (2√2)2＝2BF，解得BF＝4．∴ AB＝BF−AF＝2．∵ ∠ACF＝∠FBC，∠CFB＝∠AFC，∴ △AFC∽△CFB，∴ AF:FC＝AC:BC，∴ AC=AF⋅BCCF=√2．∴ cos∠ACD=√24，∴ sin∠ACD=√144=sin∠AEB，∴ AE=ABsin∠AEB =4√14723. （1）由x =√3cosα+sinα，得x 2＝2cos 2α+2√3sinαcosα+1， 所以曲线M 可化为y ＝x 2−1，x ∈[−2, 2]，由ρsin(θ+π4)=√22t ， 得√22ρsinθ+√22ρcosθ=√22t ， 所以ρsinθ+ρcosθ＝t ，所以N 可化为x +y ＝t ，（2）若曲线N 与曲线M 有公共点，则当直线N 过点(2, 3)时，满足要求，此时t ＝5，并且向左下方平行运动直到相切之前总有公共点，相切时仍只有一个公共点，联立{x +y =t y =x 2−1 得x 2+x −1−t ＝0， △＝1+4(1+t)＝0，解得t =−54，综上可得t 的取值范围−54≤t ≤5． 24. （1）不等式f(x)<4−|x −1|，即|3x +2|+|x −1|<4，∴ {x <−23−3x −2−x +1<4 ①，或{−23≤x <13x +2+1−x <4 ②，或 {x ≥13x +2+x −1<4 ③．解①求得−54<x <−23，解②求得−23≤x <12，解③求得x ∈⌀．综上可得，不等式的解集为(−54, 12)．（2）已知m +n ＝1(m, n >0)，∴ 1m+1n=(m +n)(1m+1n)＝2+n m+m n≥2+2＝4，当且仅当m ＝n =12时，取等号． 再根据|x −a|−f(x)≤1m+1n(a >0)恒成立，可得|x −a|−f(x)≤4，即|x −a|−|3x +2|≤4．设g(x)＝|x −a|−|3x +2|={2x +2+a,x <−23−4x −2+a,−23≤x ≤a −2x −2−a,x >a，故函数g(x)的最大值为g(−23)=23+a ，再由23+a ≤4，求得 0<a ≤103．。
郑州九年级第二次质量测试数学试题及答案
2016年郑州九年级第二次质量测试数学试题卷注意事项：本试卷分试题卷和答题卡两部分．考试时间100分钟，满分120分．考生应第一阅读答题卡上的文字信息，而后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效．交卷时只交答题卡．一、（每小3分，共24分）在每小出的四此中，只有一切合目要求．1.出四个数0，3，1，-1，此中最小的是（）2A．-1B．3C．1D．022.有一种柱体茶叶筒如所示，它的左是（）A．B．C．D ．3.把不等式x的解集表示在数上，以下正确的选项是（）x2≤3-101-101A．B．-1 0 1 -1 0 1C．D．如，已知△ABC，AB<BC，用尺作的方法在BC上取一点P，使得PA+PC=BC，以下正确的选项是（）A．B．AD．C．老想知道学生每日上学路上要花多少，于是大家将每日来校的程写在上用于，下边是全班45名学生程所花（位：分）与人数（位：人）的表，对于45名学生程所花的数据的中位数是（C ）BPCB P程所花510152253354人数668145411A．15B．20C．25D．306.如，在一位度1的方格上，依如所示的律，定点1，A2，A3，A4，A5，A6，A7，⋯An，接点O，A1，A2成三角形，△1，接O，A2，A3成三角形，A△2，⋯，接O，An，An+1成三角形，△n（n正整数），你推测，当n 10，△n的面=（）平方向．A．45B．55C．66D．100第6题图第8题图A徐客运（称徐高），即州至徐州高速路，是《国家中期路网划》中“四四横”之一的徐客运的重要成部分．2016年7月将要开通运．高列从州到徐州的运转比原一般的运转要快个小．已知州到徐州的路361千米，原一般列的均匀速度Ex千米/，高列的均匀速度比原一般B D CF车组列车增添了145千米/时，依题意，下边所列方程正确的选项是（）A．361361B．361361 x145x x x1 45C．361361D．x1.4(x145)361x145如图，边长为6的等边三角形ABC中，E是对称轴AD上的一个动点，连结EC，将线段EC绕点C逆时针转60°获得FC，连结DF．则在点E运动过程中，DF的最小值是（）A．6 B．3 C．2 D．9.二、填空题（每题3分，共21分）10.计算4=___________．11.如图，已知直线AB∥CD，直线EG垂直于AB，垂足为G，直线EF交CD于点F，∠1=50°，则∠2=__________．EA1B2G CF D微信依据挪动ID所带来的数据，公布了“微信誉户春节迁移数据报告”．该报告显示，2016年1月24日春运首日至2月4日时期，人口流入最多的省份是河南，作为劳务输出大省，河南约有313万微信誉户在春节时期回乡，313万用科学记数法可表示为_________．12.一个不透明的盒子里有4个除颜色外其余完好同样的小球，此中每个小球上分别标有1，1，-2，-3四个不一样的数字，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，随意摸出一个球记下数字后再放回盒子，那么两次摸出的小球上两个数字乘积是负数的概率为________．13.反比率函数y k经过点A(-3，1)，设B(x1，y1)，C(x2，y2)是该函数图象上的两点，且xx1 x20，那么y1与y2的大小关系是_________（填“y1y2”，“y1y2”或“y1y2”）．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，斜边AB=4，O是AB的中点，以O为圆心，线段OC的长为半径画圆心角为90°的扇形OEF，弧EF经过点C，则图中暗影部分的面积为__________平方单位．第14题图第15题图已知一个矩形纸片OACB，OB=6，OA=11，点P为BC边上的动点（点P不与点B，C重合），经过点O折叠该纸片，得折痕O P和点B′，经过点P再次折叠纸片，使点C落在直线PB′上，得折痕PQ和点C′，当点C′恰巧落在边OA上时BP的长为___________．三、解答题（共75分）（8分）先化简a1a1，再求值．a为整数且-2≤a≤2，请你从中选用一个合16.(a2a24)a2适的数代入求值．17.（9分）今年3月12日，某校九年级部分学生参加植树节活动，以下是依据本次植树活动的相关数据制作的统计图的一部分．请依据统计图所供给的相关信息，达成以下问题：（1）参加植树的学生共有_______人，植树的众数是_______棵；（2）请将该条形统计图增补完好；（3）参加植树的学生均匀每人植树多少棵？（保存整数）18.（9分）如图，已知A的半径为4，EC是圆的直径，点B是A的切线CB上的一个动EFA点，连结AB交A于点D，弦EF平行于AB，连结DF，AF．（1）求证：△ABC≌△ABF；（2）当∠CAB=______时，四边形ADFE为菱形；（3）当AB=_______时，四边形ACBF为正方形．19.（9分）已知：对于x的一元二次方程x2 2x k 0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）当k取最大整数值时，用适合的方法求该方程的解．20.（9分）图1是小明在健身器械长进行仰卧起坐锻炼时的情形．图2是小明锻炼时上半身由EN地点运动到与地面垂直的EM地点时的表示图．已知米，米，α=18°（sin18 ，cos18 ，tan18 ）．（1）求AB的长（精准到米）；︵（2）若测得米，计算小明头顶由N点运动到M点的路径NM的长度（结果保存π）．图12图21.（10分）某企业销售一种产品，企业付给销售员的月酬劳有两种方案以下图：此中方案一所示图形是极点在原点的抛物线的一部分，方案二所示的图形是射线．设销售员销售产品的数目为x（件），付给销售员的月酬劳为 y（元）．（1）分别求两种方案中y对于x的函数关系式；（2）当销售量达到多少件时，两种方案的月酬劳差额将达到3800元？（3）若企业决定改良“方案二”：基本薪资1200元，每销售一件产品再增添酬劳m元，当销售员销售量达到40件时，方案二的月酬劳不低于方案一的月酬劳．求m起码增添多少元？22.（10分）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，D为AB的中点，∠EDF=90°，DE交AC于点G，DF经过点C．（1）求∠ADE的度数；（2）如图2，将图1中的∠EDF绕点D顺时针方向旋转角α（0°<α<60°），旋转过程中的随意两个地点分别记为∠E1DF1，∠E2DF2，DE1交直线AC于点P，DF1交直线BC于点Q，DE2交直线AC于点M，DF2交直线BC于点N，求PM的值；QN（3）若图1中的∠B=β（60°<β<90°），（2）中的其余条件不变，请直接写出PM的值（用含QNβ的式子表示）．23.（11分）如图2+bx+3（a≠0）与x轴、y轴分别交于点A(-1，0)，B(3，0)、1，抛物线y=ax点C三点．（1）求抛物线的表达式．（2）点D(2，m)在第一象限的抛物线上，连结BC，BD．在对称轴左边的抛物线上能否存在一点P，知足∠PBC=∠DBC？假如存在，恳求出点P的坐标；假如不存在，请说明原因．（3）如图2，在（2）的条件下，将△BOC沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度向右平移，记平移后的三角形为△B′O′．C′在平移过程中，△B′O′与C′△BCD重叠的面积记为S，设平移的时间为t秒，直接写出S与t之间的函数关系式．．．．．y y yC C C'D C2016年初中毕业年级适应性测试数学评分标准与细则一、（每题3分，共24分）号12345678答案A D B D B B C D二、填空（每题3分，共21分）；；11.106；12.3；13.y y；14.2；15.1113或1113 8123.三、解答（共75分）3 16.解：原式a1⋯⋯⋯⋯5分a2因a整数且2≤a≤2，通意可知a1,a2,a2，⋯⋯⋯⋯6分因此把a0代入得：原式=1.（答案不独一）⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分2解：（1）50；2；⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分（2）略；⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分11021641258643(棵).（3）x50因此参加植的学生均匀每人植3棵.⋯⋯⋯⋯9分18．(1)明：∵AB∥EF，∴∠AFE=∠FAB,∠CAB=∠AEF.⋯2分AE=AF，∴∠AEF=∠AFE.∴∠CAB=∠FAB.⋯⋯⋯⋯4分∵AB=AB,AC=AF，∴△ABC≌△ABF.⋯⋯⋯⋯5分(2)60°；⋯⋯⋯7分（3）42.⋯⋯⋯9分解：（1）∵对于x的一元二次方程x22xk0有两个不相等的数根，224k0．解得k1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分∵k1，∴切合条件的最大整数k0，⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分此方程x2 2x 0.∴x(x 2) 0. x1 0,x2 2.⋯⋯⋯⋯⋯9分20.解：（1）作AF⊥BC于点F．∴∠AFB=90°∴∠AFB=∠AFC=∠ADC=90°.∴四形ADCF是矩形.⋯⋯⋯1分∴FC=AD∴BF=BC CF= 米，⋯⋯⋯3分∴AB=BF÷sin18°÷≈米；⋯⋯5分（2）∵∠NEM=90°+18°=108°⋯⋯7分∴弧NM =（π）米．答:AB的米;弧NMπ）米．21.解：（1），把（30，2700）代入得：900a=2700，解得：a=3，∴⋯⋯⋯⋯2分y2=kx+b，把（0，1200），（30，2700）代入得：解得：∴y2=50x+1200．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分（2）由意得：3x2（50x+1200）=3800，解得：（舍去），⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分答：当售达到50件，两种方案月酬差将达到3800元．（3）当售售量达到40件，方案一的月酬：3×402=4800.方案二的月酬：（50+m）×40+1200=40m+3200.⋯⋯⋯8分由意得：4800≤40m+3200.解得：m40．因此起码增添40元.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分22．解：（1）∵∠ACB=90°，DAB的中点，∴CD=DB，∴∠DCB=∠B.⋯⋯⋯⋯1分∵∠B=60°，∴∠DCB=∠B=∠CDB=60°.⋯⋯⋯⋯⋯2分∴∠CDA=120°.∵∠EDC=90°，∴∠ADE=30°；⋯⋯⋯⋯⋯4分（2）∵∠C=90°，∠MDN=90°，∴∠DMC+∠CND=180°.∵∠DMC+∠PMD=180°，∴∠CND=∠PMD.同理∠CPD=∠DQN.∴△PMD∽△QND.⋯⋯⋯⋯6分点D分做DG⊥AC于G，DH⊥BC于H.可知DG，DH分△PMD和△QND的高.∴⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分∵DG⊥AC于G，DH⊥BC于H，∴DG∥BC.又∵D AB中点，∴GAC中点.∵∠C=90°，∴四形CGDH矩形，有CG=DH=AG，Rt△AGD中，.即.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分（3）=tan（90°β）（=.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分23．解：（1）将点A（1，0）、B（3，0）的坐分代入抛物y=ax2+bx+3（a≠0），得2解得：a= 1，b=2．故抛物分析式：y= x+2x+3．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分将点D（2，m）代入抛物分析式得：m=3，∴D（2，3）. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分令x=0，y=3，∴C（0，3）.∴OC=OB.∴∠OCB=∠CBO=45°.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分以下，BP交y于点G，∵CD∥x，∴∠DCB=∠BCO=45°在△CDB和△CGB中：∴△CDB≌△CGB（ASA）.∴CG=CD=2.∴OG=1.∴点G（0，1）.⋯⋯⋯⋯7分直BP：y=kx+1.代入点B（3，0），∴k=.∴直BP：y= x+1.立直BP和二次函数分析式：解得：或∴P（，）．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分当0≤t≤2，以下：直C′B：′y=（xt）+3.立直BD求得F（，），S=S△BCD S△CC′E S△C′DF=×2×3×t×t×（2 t）（3 ）2整理得：S= t+3t（0≤t≤2）．当，以下：H（t，3t+9），I（t，t+3）S=S△HIB=[（3t+9）（t+3）]×（3 t）整理得：S=t26t+9（2 t≤3）郑州九年级第二次质量测试数学试题及答案11 / 11115 t 2 （≤ t ≤） 4 3t02上所述：St 2 6t 9（2 t ≤3）⋯⋯⋯⋯⋯⋯11分（ ）0t 3。
河南省郑州市2015届高考数学二模试卷(文科)(Word版含解析)
河南省郑州市2015届高考数学二模试卷（文科）一.选择题1．（5分）已知复数z=（i为虚数单位），则z的虚部为（）A．﹣1 B．0C．1D．i2．（5分）集合U={1，2，3，4，5，6}，A={2，3}，B={x∈Z|x2﹣6x+5＜0}，则∁U（A∪B）=（）A．{1，5，6} B．{1，4，5，6} C．{2，3，4} D．{1，6}3．（5分）“a=1“是“直线ax+y+1=0与直线（a+2）x﹣3y﹣2=0垂直”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）已知甲，乙两组数据如茎叶图所示，若他们的中位数相同，平均数也相同，则图中的m，n的比值=（）A．1B．C．D．5．（5分）将函数f（x）=cosx﹣（x∈R）的图象向左平移a（a＞0）个单位长度后，所得的图象关于原点对称，则a的最小值是（）A．B．C．D．6．（5分）已知双曲线的一个焦点与抛物线x2=24y的焦点重合，其一条渐近线的倾斜角为30℃，则该双曲线的标准方程为（）A．B．C．D．7．（5分）已知a，b，c分别是△内角A，B，C的对边，且（b﹣c）（sinB+sinC）=（a﹣）•sinA，则角B的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．120°8．（5分）执行如图所示的程序图，输出的S值是（）A．B．﹣1 C．0D．﹣1﹣9．（5分）若正数a，b满足2+log2a=3+log3b=log6（a+b），则+的值为（）A．36 B．72 C．108 D．10．（5分）如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的表面积为（）A．8πB．16πC．32πD．64π11．（5分）已知函数f（x）=，函数g（x）=f（x）﹣2x恰有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（）A．C．15．（5分）已知实数x，y满足，设b=x﹣2y，若b的最小值为﹣2，则b的最大值为．16．（5分）如图，矩形ABCD中，AB=2BC=4，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE 翻转成△A1DE．若M为线段A1C的中点，则在△ADE翻转过程中，正确的命题是．①|BM|是定值；②点M在圆上运动；③一定存在某个位置，使DE⊥A1C；④一定存在某个位置，使MB∥平面A1DE．三.解答题17．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n﹣2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=log2a1+log2a2+…+log2a n，求（n﹣8）b n≥nk对任意n∈N*恒成立的实数k的取值范围．18．（12分）最近2015届高考改革方案已在上海和江苏开始实施，某教育机构为了了解我省广大师生对新2015届高考改革的看法，对某市部分学校500名师生进行调查，统计结果如下：赞成改革不赞成改革无所谓教师120 y 40学生x z 130在全体师生中随机抽取1名“赞成改革”的人是学生的概率为0.3，且z=2y．（1）现从全部500名师生中用分层抽样的方法抽取50名进行问卷调查，则应抽取“不赞成改革”的教师和学生人数各是多少？（2）在（1）中所抽取的“不赞成改革”的人中，随机选出三人进行座谈，求至少一名教师被选出的概率．19．（12分）如图，已知三棱柱ABC﹣ABC侧棱柱垂直于底面，AB=AC，∠BAC=90°点M，N分别为A′B和B′C′的中点．（1）证明：MN∥平面AA′C′C；（2）设AB=λAA′，当λ为何值时，CN⊥平面A′MN，试证明你的结论．20．（12分）设椭圆C：+=1（a＞b＞0），F1、F2为左右焦点，B为短轴端点，且S=4，离心率为，O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆C恒有两个交点M、N，且满足|+|=|﹣|？若存在，求出该圆的方程，若不存在，说明理由．21．（12分）已知函数f（x）=ax﹣1+lnx，其中a为常数．（1）当a∈（﹣∞，﹣）时，若f（x）在区间（0，e）上的最大值为﹣4，求a的值；（2）当a=﹣时，若函数g（x）=|f（x）|﹣﹣存在零点，求实数b的取值范围．四.选做题：选修4-1：集合证明选讲22．（10分）如图，已知圆O是△ABC的外接圆，AB=BC，AD是BC边上的高，AE是圆O的直径．过点C作圆O的切线交BA的延长线于点F．（Ⅰ）求证：AC•BC=AD•AE；（Ⅱ）若AF=2，CF=2，求AE的长．选做题：4-4：坐标系与参数方程23．在直角坐标系xOy中，曲线M的参数方程为（α为参数），若以直角坐标系中的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线N 的极坐标方程为ρsin（θ+）=t（t为参数）．（Ⅰ）求曲线M和N的直角坐标方程；（Ⅱ）若曲线N与曲线M有公共点，求t的取值范围．不等式选讲24．已知函数f（x）=|3x+2|．（Ⅰ）解不等式f（x）＜4﹣|x﹣1|；（Ⅱ）已知m+n=1（m，n＞0），若|x﹣a|﹣f（x）≤+（a＞0）恒成立，求实数a的取值范围．河南省郑州市2015届高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一.选择题1．（5分）已知复数z=（i为虚数单位），则z的虚部为（）A．﹣1 B．0C．1D．i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．解答：解：复数z====i，∴z的虚部为1．故选：C．点评：本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，属于基础题．2．（5分）集合U={1，2，3，4，5，6}，A={2，3}，B={x∈Z|x2﹣6x+5＜0}，则∁U（A∪B）=（）A．{1，5，6} B．{1，4，5，6} C．{2，3，4} D．{1，6}考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：求出集合B中不等式的解集，找出解集中的整数解确定出B，求出A与B的并集，找出全集中不属于并集的元素，即可得到答案．解答：解：集合B中的不等式x2﹣6x+5＜0，变形得：（x﹣1）（x﹣5）＜0，解得：1＜x＜5，∴B={2，3，4}，∵A={2，3}，∴A∪B={2，3，4}，∵集合U={1，2，3，4，5，6}，∴∁∪（A∪B）={1，5，6}．故选：A．点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握交、并、补集的定义是解本题的关键．3．（5分）“a=1“是“直线ax+y+1=0与直线（a+2）x﹣3y﹣2=0垂直”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：都存在斜率的两直线垂直的充要条件是斜率之积为﹣1，所以根据这个结论，便容易判断出a=1能得到“直线ax+y+1=0与直线（a+2）x﹣3y﹣2=0垂直”，而这两直线垂直得不到a=1，所以根据充分条件、必要条件的概念即可找出正确选项．解答：解：（1）a=1时，直线x+y+1=0的斜率为﹣1，3x﹣3y﹣2=0的斜率为1；∴这两直线垂直；（2）若直线ax+y+1=0与（a+2）x﹣3y﹣2=0垂直，则：；∴解得a=1，或﹣3；∴“直线ax+y+1=0与直线（a+2）x﹣3y﹣2=0垂直“不一定得到“a=1“；∴综上得“a=1“是“直线ax+y+1=0与直线（a+2）x﹣3y﹣2=0垂直”的充分不必要条件．故选B．点评：考查存在斜率的两直线垂直的充要条件，以及充分条件、必要条件、充分不必要条件的概念．4．（5分）已知甲，乙两组数据如茎叶图所示，若他们的中位数相同，平均数也相同，则图中的m，n的比值=（）A．1B．C．D．考点：茎叶图．专题：概率与统计．分析：根据茎叶图中的数据，求出乙的中位数，得出甲的中位数，求出m的值；再计算甲的平均数，得出乙的平均数，从而求出n的值．解答：解：根据茎叶图中的数据知，乙的中位数是=33，∴甲的中位数也是33，故m=3；又甲的平均数是=33，∴乙的平均数也是33，即=33，解得n=8；∴=．故选：C．点评：本题考查了利用茎叶图中的数据求中位数与平均数的应用问题，是基础题目．5．（5分）将函数f（x）=cosx﹣（x∈R）的图象向左平移a（a＞0）个单位长度后，所得的图象关于原点对称，则a的最小值是（）A．B．C．D．考点：三角函数中的恒等变换应用；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：首先通过三角函数的恒等变换，把函数的关系式变形成余弦型函数，进一步利用函数的平移变换和函数图象关于原点对称的条件求出结果．解答：解：函数f（x）=cosx﹣==2cos（x+），函数图象向左平移a个单位得到：g（x）=2cos（x+a+）得到的函数的图象关于原点对称，则：，解得：a=（k∈Z），当k=0时，，故选：B．点评：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，余弦型函数的图象变换，函数图象关于原点对称的条件．6．（5分）已知双曲线的一个焦点与抛物线x2=24y的焦点重合，其一条渐近线的倾斜角为30℃，则该双曲线的标准方程为（）A．B．C．D．考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出抛物线的焦点，即有c=6，求得渐近线方程即有=，结合a，b，c的关系，即可解得a，b，进而得到双曲线方程．解答：解：抛物线x2=24y的焦点为（0，6），即有双曲线的焦点为（0，±6），设双曲线的方程为﹣=1（a＞0，b＞0），则c=6，由渐近线方程为y=±x．则有=tan30°=，又a2+b2=c2，解得a=3，b=3，则双曲线的方程为﹣=1．故选B．点评：本题考查抛物线和双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的渐近线方程的运用，考查运算能力，属于中档题．7．（5分）已知a，b，c分别是△内角A，B，C的对边，且（b﹣c）（sinB+sinC）=（a﹣）•sinA，则角B的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．120°考点：余弦定理；正弦定理．专题：计算题；解三角形．分析：由正弦定理化简已知等式可得c2+a2﹣b2=ac，由余弦定理可求cosB，结合B的范围即可得解．解答：解：∵由正弦定理，可得，sinB=，sinC=，sinA=，∴由（b﹣c）（sinB+sinC）=（a﹣）•sinA可得，（b﹣c）（b+c）=a（a﹣c），即有c2+a2﹣b2=ac，则cosB==，由于0＜B＜180°，则B=30°．故选：A．点评：本题主要考查了正弦定理和余弦定理及运用，考查运算能力，属于中档题．8．（5分）执行如图所示的程序图，输出的S值是（）A．B．﹣1 C．0D．﹣1﹣考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟程序框图的运行过程，得出该程序运行后输出的是s=cos+cos+cos+cos+cos+…+cos的值，由此求出结果即可．解答：解：模拟程序框图的运行过程，如下；n=1，s=0，s=0+cos=；n=2，n≥2015？，否，s=+cos=；n=3，n≥2015？，否，s=+cos=0；n=4，n≥2015？，否，s=0+cosπ=﹣1；n=5，n≥2015？，否，s=﹣1+cos=﹣1﹣；n=6，n≥2015？，否，s=﹣1﹣+cos=﹣1﹣；n=7，n≥2015？，否，s=﹣1﹣+cos=﹣1；n=8，n≥2015？，否，s=﹣1+cos2π=0；n=9，n≥2015？，否，s=0+cos=；…；s的值是随n的变化而改变的，且周期为8，又2015=251×8+7，此时终止循环，∴输出的s值与n=6时相同，为s=﹣1﹣．故选：D．点评：本题考查了程序框图的应用问题，也考查了余弦函数求值的应用问题，属于基本知识的考查．9．（5分）若正数a，b满足2+log2a=3+log3b=log6（a+b），则+的值为（）A．36 B．72 C．108 D．考点：对数的运算性质．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：设2+log2a=3+log3b=log6（a+b）=x，则a=2x﹣2，b=3x﹣3，a+b=6x，由此能求出+的值．解答：解：∵正数a，b满足2+log2a=3+log3b=log6（a+b），∴设2+log2a=3+log3b=log6（a+b）=x，则a=2x﹣2，b=3x﹣3，a+b=6x，∴+===108．故选C．点评：本题考查代数和的值的求法，解题时要认真审题，注意对数性质的合理运用．10．（5分）如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的表面积为（）A．8πB．16πC．32πD．64π考点： 由三视图求面积、体积．专题： 空间位置关系与距离．分析： 由已知中的三视图可得，该几何体是一个以正视图为底面的四棱锥，其外接球，与以俯视图为底面，以4为高的直三棱柱的外接球相同，进而可得该几何体外接球的表面积． 解答： 解：由已知中的三视图可得，该几何体是一个以正视图为底面的四棱锥， 其外接球，与以俯视图为底面，以4为高的直三棱柱的外接球相同，如图所示：由底面底边长为4，高为2，故底面为等腰直角三角形，可得底面外接圆的半径为：r=2，由棱柱高为4，可得球心距为2，故外接球半径为：R==2， 故外接球的表面积S=4πR 2=32π，故选：C点评： 本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．11．（5分）已知函数f （x ）=，函数g （x ）=f （x ）﹣2x 恰有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是（）A ． C ． 则，解得﹣1≤a ＜2，即实数a 的取值范围是12．（5分）已知椭圆（a ＞b ＞0）的两焦点分别是F 1，F 2，过F 1的直线交椭圆于P ，Q 两点，若|PF 2|=|F 1F 2|，且2|PF 1|=3|QF 1|，则椭圆的离心率为（）A ．B ．C ．D ．考点： 椭圆的简单性质．专题： 计算题；作图题；圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：由题意作图，从而设设点Q（x0，y0），从而由2|PF1|=3|QF1|可写出点P（﹣c﹣x0，﹣y0）；再由椭圆的第二定义可得|PF1|=|MP|，|QF1|=|QA|，从而可得3（x0+）=2（﹣c﹣x0+），从而化简得到x0=﹣，再由|PF2|=|F1F2|及椭圆的第二定义可得3a2+5c2﹣8ac=0，从而解得．解答：解：由题意作图如右图，l1，l2是椭圆的准线，设点Q（x0，y0），∵2|PF1|=3|QF1|，∴点P（﹣c﹣x0，﹣y0）；又∵|PF1|=|MP|，|QF1|=|QA|，∴2|MP|=3|QA|，又∵|MP|=﹣c﹣x0+，|QA|=x0+，∴3（x0+）=2（﹣c﹣x0+），解得，x0=﹣，∵|PF2|=|F1F2|，∴（c+x0+）=2c；将x0=﹣代入化简可得，3a2+5c2﹣8ac=0，即5﹣8+3=0；解得，=1（舍去）或=；故选：A．点评：本题考查了椭圆的性质应用及数形结合的思想应用，属于中档题．二.填空题13．（5分）设等比数列{a n}的前n项和为S，若27a3﹣a4=0，则=．考点：等比数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：设出等比数列的首项和公比，由已知求出公比，代入等比数列的前n项和得答案．解答：解：设等比数列{a n}的首项为a1，公比为q，由27a3﹣a4=0，得27a3﹣a3q=0，即q=27，∴==．故答案为：．点评：本题考查了等比数列的通项公式，考查了等比数列的前n项和，是基础的计算题．14．（5分）如图，y=f（x）是可导函数，直线l：y=kx+2是曲线y=f（x）在x=3处的切线，令g（x）=xf（x），其中g′（x）是g（x）的导函数，则g′（3）=0．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：先从图中求出切点，再求出直线l的方程，利用导数在切点处的导数值为切线的斜率，最后结合导数的运算法则，求出g′（3）的值．解答：解：∵直线l：y=kx+2是曲线y=f（x）在x=3处的切线，∴f（3）=1，又点（3，1）在直线l上，∴3k+2=1，从而k=﹣，∴f′（3）=k=﹣，∵g（x）=xf（x），∴g′（x）=f（x）+xf′（x）则g′（3）=f（3）+3f′（3）=1+3×（﹣）=0故答案为：0．点评：本题考查导数的几何意义：函数在切点处的导数值为曲线的切线的斜率，正确求导是解题的关键．15．（5分）已知实数x，y满足，设b=x﹣2y，若b的最小值为﹣2，则b的最大值为10．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数求得a的值，再把使目标函数取得最大值的最优解的坐标代入目标函数求得b的最大值．解答：解：由约束条件作出可行域如图，由b=x﹣2y，得，由图可知，A（a，a），B（a，﹣2a），则当直线过A（a，a）时在y轴上的截距最大，b有最小值为a﹣2a=﹣a=﹣2，即a=2，∴当直线过B（a，﹣2a）时在y轴上的截距最小，b有最大值为a﹣2（﹣2a）=5a=10．故答案为：10．点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．16．（5分）如图，矩形ABCD中，AB=2BC=4，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE 翻转成△A1DE．若M为线段A1C的中点，则在△ADE翻转过程中，正确的命题是①②④．①|BM|是定值；②点M在圆上运动；③一定存在某个位置，使DE⊥A1C；④一定存在某个位置，使MB∥平面A1DE．考点：平面与平面之间的位置关系．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：取CD中点F，连接MF，BF，则平面MBF∥平面A1DE，可得④正确；由余弦定理可得MB2=MN2+NB2﹣2MN•NB•cos∠MNB，所以MB是定值，M是在以B为圆心，MB 为半径的圆上，可得①②正确．A1C在平面ABCD中的射影为AC，AC与DE不垂直，可得③不正确．解答：解：取CD中点F，连接MF，BF，则MF∥DA1，BF∥DE，∴平面MBF∥平面A1DE，∴MB∥平面A1DE，故④正确由∠A1DE=∠MNB，MN=12A1D=定值，NB=DE=定值，由余弦定理可得MB2=MN2+NB2﹣2MN•NB•cos∠MNB，所以MB是定值，故①正确．∵B是定点，∴M是在以B为圆心，MB为半径的圆上，故②正确，∵A1C在平面ABCD中的射影为AC，AC与DE不垂直，∴存在某个位置，使DE⊥A1C不正确，故③不正确．故答案为：①②④．点评：掌握线面、面面平行与垂直的判定和性质定理及线面角、二面角的定义及求法是解题的关键．三.解答题17．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n﹣2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=log2a1+log2a2+…+log2a n，求（n﹣8）b n≥nk对任意n∈N*恒成立的实数k的取值范围．考点：数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）首先利用递推关系式求出数列是等比数列，进一步求出数列的通项公式．（2）利用（1）的通项公式求出数列的和，进一步利用恒成立问题求出参数的取值范围．解答：解：（1）由S n=2a n﹣2，当n=1时，求得：a1=2，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2a n﹣2a n﹣1，所以：（常数），所以：数列{a n}是以a1=2为首项，2为公比的等比数列．所以：．…（6分）（2）已知：b n=log2a1+log2a2+…+log2a n，=1+2+3+…+n=，由于（n﹣8）b n≥nk对任意n∈N*恒成立，所以对任意的n∈N+恒成立．设，则当n=3或4时，c n取最小值为﹣10．所以：k≤﹣10．…（12分）点评：本题考查的知识要点：利用递推关系式求出数列是等比数列，等比数列通项公式的求法，数列的求和，及恒成立问题的应用．18．（12分）最近2015届高考改革方案已在上海和江苏开始实施，某教育机构为了了解我省广大师生对新2015届高考改革的看法，对某市部分学校500名师生进行调查，统计结果如下：赞成改革不赞成改革无所谓教师120 y 40学生x z 130在全体师生中随机抽取1名“赞成改革”的人是学生的概率为0.3，且z=2y．（1）现从全部500名师生中用分层抽样的方法抽取50名进行问卷调查，则应抽取“不赞成改革”的教师和学生人数各是多少？（2）在（1）中所抽取的“不赞成改革”的人中，随机选出三人进行座谈，求至少一名教师被选出的概率．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；互斥事件与对立事件．专题：概率与统计．分析：（1）根据题意，求出x、y和z的值，计算出应抽取的教师与学生人数；（2）利用列举法求出基本事件数，求出对应的概率即可．解答：解：（1）由题意=0.3，解得x=150，所以y+z=60；又因为z=2y，所以y=20，z=40；则应抽取的教师人数为×20=2，应抽取的学生人数为×40=4；…（5分）（2）所抽取的“不赞成改革”的2名教师记为a、b，4名学生记为1，2，3，4，随机选出三人的不同选法有（a、b、1），（a、b、2），（a、b、3），（a、b、4），（a、1、2），（a、1、3），（a、1、4），（a、2、3），（a、2、4），（a、3、4），（b、1、2），（b、1、3），（b、1、4），（b、2、3），（b、2、4），（b、3、4），（1、2、3），（1、2、4），（1、3、4），（2、3、4）共20种，…（9分）至少有一名教师的选法有（a、b、1），（a、b、2），（a、b、3），（a、b、4），（a、1、2），（a、1、3），（a、1、4），（a、2、3），（a、2、4），（a、3、4），（b、1、2），（b、1、3），（b、1、4），（b、2、3），（b、2、4），（b、3、4）共16种，所以至少有一名教师被选出的概率为P==．…（12分）点评：本题考查了分层抽样方法的应用问题，也考查了用列举法计算古典概型的概率问题，是基础题目．19．（12分）如图，已知三棱柱ABC﹣ABC侧棱柱垂直于底面，AB=AC，∠BAC=90°点M，N分别为A′B和B′C′的中点．（1）证明：MN∥平面AA′C′C；（2）设AB=λAA′，当λ为何值时，CN⊥平面A′MN，试证明你的结论．考点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）设A′B′的中点为E，连接EM，EN，利用三角形的中位线，得出线线平行，用面面平行判定定理即可得到面EMN∥面ACC′A′，即可得到线面平行（2）连接BN，设AA′=a，AB=λAA′=λa，即可得到BC，BN，CN，要得到CN⊥平面A′MN，只需利用线面垂直的判定定理，即可得到关于λ的方程，解之即得答案．解答：解：（1）证明：设A′B′的中点为E，连接EM，EN，∵点M，N分别为A′B和B′C′的中点，∴NE∥A′C′，ME∥AA′，又∵A′C′⊂平面ACC′A′，AA′⊂平面ACC′A′，∴NE∥平面ACC′A′，ME∥平面ACC′A′，∵NE∩ME=E，∴面EMN∥面ACC′A′，∵MN⊂面EMN，∴MN∥面ACC′A′；（2）连接BN，设AA′=a，AB=λAA′=λa，由题意知，BC=，BN=CN==，∵三棱柱ABC﹣A′B′C′侧棱垂直于底面，∴面A′B′C′⊥面BB′C′C，∵AB=AC，∠BAC=90°点N为B′C′的中点，∴A′N⊥平面BB′C′C，∴CN⊥A′N，要使CN⊥平面A′MN，只需CN⊥BN即可，∴CN2+BN2=BC2，即，∴，则时，CN⊥平面A′MN．点评：本题考查了平行和垂直两种重要的关系，用线面垂直的定理和定义实现线线垂直和线面垂直的转化；一般来说，有中点时再取其它边得中点作辅助线，利用中位线得线线平行，由线面平行的判定定理得线面平行．20．（12分）设椭圆C：+=1（a＞b＞0），F1、F2为左右焦点，B为短轴端点，且S=4，离心率为，O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆C恒有两个交点M、N，且满足|+|=|﹣|？若存在，求出该圆的方程，若不存在，说明理由．考点：椭圆的简单性质；椭圆的标准方程．专题：计算题；圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（Ⅰ）由题意可得方程=•2c•b=4，e==，且a2=b2+c2；从而联立解出椭圆C的方程为+=1；（Ⅱ）假设存在圆心在原点的圆x2+y2=r2，使得该圆的任意一条切线与椭圆C恒有两个交点M、N，则可得•=0；再设M（x1，y1），N（x2，y2），当切线斜率存在时，设该圆的切线的方程为y=kx+m，联立方程组可得x1+x2=﹣，x1x2=；y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=；从而再由x1x2+y1y2=0可得3m2﹣8k2﹣8=0，从而可解得m≥或m≤﹣；从而解出所求圆的方程为x2+y2=；再验证当切线的斜率不存在时也成立即可．解答：解：（Ⅰ）∵椭圆C：+=1（a＞b＞0），由题意可得，=•2c•b=4，e==，且a2=b2+c2；联立解得，；故椭圆C的方程为+=1；（Ⅱ）假设存在圆心在原点的圆x2+y2=r2，使得该圆的任意一条切线与椭圆C恒有两个交点M、N，∵|+|=|﹣|，∴•=0；设M（x1，y1），N（x2，y2），当切线斜率存在时，设该圆的切线的方程为y=kx+m，解方程组得，（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8=0，则△=（4km）2﹣4（1+2k2）（2m2﹣8）=8（8k2﹣m2+4）＞0；即8k2﹣m2+4＞0；∴x1+x2=﹣，x1x2=；y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=；要使•=0，故x1x2+y1y2=0；即+=0；所以3m2﹣8k2﹣8=0，所以3m2﹣8≥0且8k2﹣m2+4＞0；解得m≥或m≤﹣；因为直线y=kx+m为圆心在原点的圆的一条切线，所以圆的半径为r=，r2===；故r=；即所求圆的方程为x2+y2=；此时圆的切线y=kx+m都满足m≥或m≤﹣；而当切线的斜率不存在时切线为x=±与椭圆+=1的两个交点为（，±），（﹣，±）；满足•=0，综上所述，存在圆心在原点的圆x2+y2=满足条件．点评：本题考查了圆锥曲线的应用，化简很复杂，应用到了根与系数的关系以简化运算，属于难题．21．（12分）已知函数f（x）=ax﹣1+lnx，其中a为常数．（1）当a∈（﹣∞，﹣）时，若f（x）在区间（0，e）上的最大值为﹣4，求a的值；（2）当a=﹣时，若函数g（x）=|f（x）|﹣﹣存在零点，求实数b的取值范围．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（1）当a∈（﹣∞，﹣）时，函数在（0，﹣）上单调递增，在（﹣，+∞）上单调递减，利用f（x）在区间（0，e）上的最大值为﹣4，即可求a的值；（2）由题意，|f（x）|=+有实数根，求出|f（x）|≥1，令h（x）=+，求出h（x）max=h（e）=+，可得h（x）max=h（e）=+≥1，即可求实数b的取值范围．解答：解：（1）f′（x）=a+=0，∴x=﹣．∵a∈（﹣∞，﹣），∴函数在（0，﹣）上单调递增，在（﹣，+∞）上单调递减，∴x=﹣时，函数取得最大值，∴﹣1﹣1+ln（﹣）=﹣4，∴a=﹣e2．（2）由题意，|f（x）|=+有实数根．当a=﹣时，f（x）=﹣﹣1+lnx，f′（x）=﹣，0＜x＜e时，f′（x）＞0，x＞e时，f′（x）＜0，∴f（x）的单调增区间为（0，e），减区间为（e，+∞），∴f（x）max=f（e）=﹣1，∴|f（x）|≥1，令h（x）=+，则h′（x）=，0＜x＜e时，h′（x）＞0，x＞e时，h′（x）＜0，∴h（x）的单调增区间为（0，e），减区间为（e，+∞），∴h（x）max=h（e）=+，∵|f（x）|=+有实数根．∴h（x）max=h（e）=+≥1，∴b≥2﹣．点评：本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性与最值，考查学生分析解决问题的能力．正确求导是关键．四.选做题：选修4-1：集合证明选讲22．（10分）如图，已知圆O是△ABC的外接圆，AB=BC，AD是BC边上的高，AE是圆O的直径．过点C作圆O的切线交BA的延长线于点F．（Ⅰ）求证：AC•BC=AD•AE；（Ⅱ）若AF=2，CF=2，求AE的长．考点：与圆有关的比例线段．专题：推理和证明．分析：（I）如图所示，连接BE．由于AE是⊙O的直径，可得∠ABE=90°．利用∠E与∠ACB都是所对的圆周角，可得∠E=∠ACB．进而得到△ABE∽△ADC，即可得到．（II）利用切割线定理可得CF2=AF•BF，可得BF．再利用△AFC∽△CFB，可得AF：FC=AC：BC，进而根据sin∠ACD=sin∠AEB，AE=，即可得出答案．解答：证明：（I）如图所示，连接BE．∵AE是⊙O的直径，∴∠ABE=90°．又∠E与∠ACB都是所对的圆周角，∴∠E=∠ACB．∵AD⊥BC，∠ADC=90°．∴△ABE∽△ADC，∴AB：AD=AE：AC，∴AB•AC=AD•AE．又AB=BC，∴BC•AC=AD•AE．解：（II）∵CF是⊙O的切线，∴CF2=AF•BF，∵AF=2，CF=2，∴（2）2=2BF，解得BF=4．∴AB=BF﹣AF=2．∵∠ACF=∠FBC，∠CFB=∠AFC，∴△AFC∽△CFB，∴AF：FC=AC：BC，∴AC==．∴cos∠ACD=，∴sin∠ACD==sin∠AEB，∴AE==点评：本题考查了圆的性质、三角形相似、切割线定理，属于中档题．选做题：4-4：坐标系与参数方程23．在直角坐标系xOy中，曲线M的参数方程为（α为参数），若以直角坐标系中的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线N 的极坐标方程为ρsin（θ+）=t（t为参数）．（Ⅰ）求曲线M和N的直角坐标方程；（Ⅱ）若曲线N与曲线M有公共点，求t的取值范围．考点：参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（1）平方得x2=2cos2α，代入第二个式子化简得出ρsinθ+ρcosθ=t，根据y=ρsinθ，x=ρcosθ，化简得出x+y=t．（2）t=5，并且向左下方平行运动直到相切之前总有公共点，相切时仍只有一个公共点，联立利用判别式问题求解．解答：解：（1）由x=，得x2=2cos2α，所以曲线M可化为y=x2﹣1，x∈，由ρsin（）=t，得ρsinθρcosθ=t，所以ρsinθ+ρcosθ=t，所以N可化为x+y=t，（2）若曲线N与曲线M有公共点，则当直线N过点（2，3）时，满足要求，此时t=5，并且向左下方平行运动直到相切之前总有公共点，相切时仍只有一个公共点，联立得x2+x﹣1﹣t=0，△=1+4（1+t）=0，解得t=，综上可得t的取值范围≤t≤5．点评：本题考查了参数方程的与普通方程的转化问题，曲线的公共点问题，利用方程有解问题，转化为判别式求解，思路简单，属于中档题．不等式选讲24．已知函数f（x）=|3x+2|．（Ⅰ）解不等式f（x）＜4﹣|x﹣1|；（Ⅱ）已知m+n=1（m，n＞0），若|x﹣a|﹣f（x）≤+（a＞0）恒成立，求实数a的取值范围．考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（Ⅱ）由条件利用基本不等式求得+≥4，结合题意可得|x﹣a|﹣|3x+2|≤4恒成立．令g（x）=|x﹣a|﹣|3x+2|，利用单调性求得它的最大值，再由此最大值小于或等于4，求得a的范围．解答：解：（Ⅰ）不等式f（x）＜4﹣|x﹣1|，即|3x+2|+|x﹣1|＜4，∴①，或②，或③．解①求得﹣＜x＜﹣，解②求得﹣≤x＜，解③求得x∈∅．综上可得，不等式的解集为（﹣，）．（Ⅱ）已知m+n=1（m，n＞0），∴+=（m+n）（+）=2++≥2+2=4，当且仅当m=n=时，取等号．再根据|x﹣a|﹣f（x）≤+（a＞0）恒成立，可得|x﹣a|﹣f（x）≤4，即|x﹣a|﹣|3x+2|≤4．设g（x）=|x﹣a|﹣|3x+2|=，故函数g（x）的最大值为g（﹣）=+a，再由+a≤4，求得0＜a≤．点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，基本不等式的应用，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．。
郑州市中考数学二模考试试卷
郑州市中考数学二模考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分） (2015七上·宜昌期中) 如果向东走10米记作+10米，那么向西走20米记作（）A . 20米B . ﹣20米C . 10米D . ﹣10米2. （2分）(2017·蒸湘模拟) 如图，李师傅做了一个零件，请你告诉他这个零件的主视图是（）A .B .C .D .3. （2分）(2017·东丽模拟) 已知地球上海洋面积约为361 000 000km2 ， 361 000 000这个数用科学记数法可表示为（）A . 3.61×106B . 3.61×107C . 3.61×108D . 3.61×1094. （2分） (2019八下·鄂城期末) 式子有意义，则实数a的取值范围是（）A .B .C . 且D . a＞25. （2分）下面四张扑克牌中，图案属于中心对称的是（）A .B .C .D .6. （2分）(2018·秦皇岛模拟) 下列运算正确的是（）A . a0=1B . =±3C . （ab）2=ab2D . (-a2)3=﹣a67. （2分）当5个整数从小到大排列，其中位数是4，如果这组数据的唯一众数是6，则5个整数可能的最大的和是（）A . 21B . 22C . 23D . 248. （2分）(2020·鞍山模拟) 如图，在平面直角坐标系中，第一象限内的点在反比例函数的图象上，第二象限内的点在反比例函数的图象上，且 .若，则的值为（）A . 1B . -1C .D .9. （2分）分式方程的解为（）A . x=﹣3B . x=﹣1C . x=1D . x=310. （2分） (2018九上·北京期末) 若点（x1 ， y1），（x2 ， y2）都是反比例函数图象上的点，并且，则下列结论中正确的是（）A . x1＞x2B . x1＜x2C . y随x的增大而减小D . 两点有可能在同一象限二、填空题 (共4题；共4分)11. （1分）等腰三角形中有一个角的度数为40°，则底角为________.12. （1分）若a、b互为相反数,c、d互为倒数,∣m∣=2， +m2－3cd=________13. （1分）已知点A（-1，-2）与点B（m，2）关于原点对称,则m的值是________．14. （1分） (2020·鄂尔多斯) 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，∠BCD＝30°，CD＝2 ，则阴影部分面积S阴影＝________．三、计算题 (共2题；共15分)15. （10分）(2018·山西模拟) 计算（1）计算：－＋| －2|＋＋4cos30°；（2）化简：(a＋1)÷ ＋ .16. （5分）(2020·赤峰) 先化简，再求值：，其中m满足： .四、综合题 (共12题；共80分)17. （7分）(2011·深圳) 某校为了了解本校八年级学生课外阅读的喜好，随机抽取该校八年级部分学生进行问卷调査（每人只选一种书籍）．如图是整理数据后绘制的两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）这次活动一共调查了________名学生；（2）在扇形统计图中，“其他”所在扇形圆心角等于________度；（3）补全条形统计图；（4）若该年级有600名学生，请你估计该年级喜欢“科普常识”的学生人数约是________人．18. （2分）(2013·资阳) 钓鱼岛历来是中国领土，以它为圆心在周围12海里范围内均属于禁区，不允许它国船只进入，如图，今有一中国海监船在位于钓鱼岛A正南方距岛60海里的B处海域巡逻，值班人员发现在钓鱼岛的正西方向52海里的C处有一艘日本渔船，正以9节的速度沿正东方向驶向钓鱼岛，中方立即向日本渔船发出警告，并沿北偏西30°的方向以12节的速度前往拦截，期间多次发出警告，2小时候海监船到达D处，与此同时日本渔船到达E处，此时海监船再次发出严重警告．（1）当日本渔船受到严重警告信号后，必须沿北偏东转向多少度航行，才能恰好避免进入钓鱼岛12海里禁区？（2）当日本渔船不听严重警告信号，仍按原速度，原方向继续前进，那么海监船必须尽快到达距岛12海里，且位于线段AC上的F处强制拦截渔船，问海监船能否比日本渔船先到达F处？（注：①中国海监船的最大航速为18节，1节=1海里/小时；②参考数据：sin26.3°≈0.44，sin20.5°≈0.35，sin18.1°≈0.31，≈1.4，≈1.7）19. （10分）(2020·苏州模拟) 已知锐角△ABC，∠ABC＝45°，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，交AD于F.（1）求证：△BDF≌△ADC；（2）若BD＝4，DC＝3，求线段BE的长度.20. （15分）(2018·天河模拟) 如图，在平行四边形ABCD中，AB＜BC．（1）利用尺规作图，在BC边上确定点E，使点E到边AB，AD的距离相等（不写作法，保留作图痕迹）；（2）若BC=8，CD=5，则CE=________．21. （1分） (2018九上·临河期中) 已知在△ABC中，AB＝3，AC＝5，第三边BC的长为一元二次方程x2－6x＋8＝0的一个根，则该三角形为________三角形．22. （1分） (2020九下·哈尔滨月考) 布袋中装有2个白球和3个红球，它们除颜色外其他都相同，如果从布袋里随机同时摸出两个球，那么所摸到的球恰好都为红球的概率是________。
数学_2015年河南省郑州市高考数学二模试卷(文科)(含答案)
2015年河南省郑州市高考数学二模试卷（文科）一.选择题 1. 已知复数z =1+2i 2−i（i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ）A −1B 0C 1D i2. 集合U ＝{1, 2, 3, 4, 5, 6}，A ＝{2, 3}，B ＝{x ∈Z|x 2−6x +5<0}，则∁U (A ∪B)＝（ ）A {1, 5, 6}B {1, 4, 5, 6}C {2, 3, 4}D {1, 6}3. “a ＝1“是“直线ax +y +1＝0与直线(a +2)x −3y −2＝0垂直”的（ ）A 充要条件B 充分不必要条件C 必要不充分条件D 既不充分也不必要条件4. 已知甲，乙两组数据如茎叶图所示，若他们的中位数相同，平均数也相同，则图中的m ，n 的比值mn =( )A 1B 13 C 38 D 295. 将函数f(x)＝cosx −√3sinx(x ∈R)的图象向左平移a(a >0)个单位长度后，所得的图象关于原点对称，则a 的最小值是（ ） A π12B π6C π3D 5π66. 已知双曲线的一个焦点与抛物线x 2＝24y 的焦点重合，其一条渐近线的倾斜角为30∘C ，则该双曲线的标准方程为（ ）A x 29−y 227=1 B y 29−x 227=1 C y 212−x 224=1 D y 224−x 212=17. 已知a ，b ，c 分别是△内角A ，B ，C 的对边，且(b −c)(sinB +sinC)＝(a −√3c)⋅sinA ，则角B 的大小为（ ）A 30∘B 45∘C 60∘D 120∘8. 执行如图所示的程序图，输出的S 值是（ ）A √22 B −1 C 0 D −1−√229. 若正数a ，b 满足2+log 2a ＝3+log 3b ＝log 6(a +b)，则1a +1b 的值为（ ）A 36B 72C 108D 17210. 如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的表面积为（ ）A 8πB 16πC 32πD 64π11. 已知函数f(x)={x +2,x >ax 2+5x +2,x ≤a ，函数g(x)＝f(x)−2x 恰有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ ）A [−1, 1)B [0, 2]C [−2, 2)D [−1, 2) 12. 已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的两焦点分别是F 1，F 2，过F 1的直线交椭圆于P ，Q 两点，若|PF 2|＝|F 1F 2|，且2|PF 1|＝3|QF 1|，则椭圆的离心率为（ ） A 35 B 45 C 34 D 3√25二.填空题13. 设等比数列{a n }的前n 项和为S ，若27a 3−a 4=0，则S4S 5=________．14. 如图，y ＝f(x)是可导函数，直线l:y ＝kx +2是曲线y ＝f(x)在x ＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，其中g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝________．15. 已知实数x ，y 满足{2x +y ≥0x −y ≥00≤x ≤a ，设b ＝x −2y ，若b 的最小值为−2，则b 的最大值为________．16. 如图，矩形ABCD 中，AB ＝2BC ＝4，E 为边AB 的中点，将△ADE 沿直线DE 翻转成△A 1DE ．若M 为线段A 1C 的中点，则在△ADE 翻转过程中，正确的命题是________． ①|BM|是定值； ②点M 在圆上运动；③一定存在某个位置，使DE ⊥A 1C ；④一定存在某个位置，使MB // 平面A 1DE ．三.解答题17. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =2a n −2． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n =log 2a 1+log 2a 2+...+log 2a n ，求使(n −8)b n ≥nk 对任意n ∈N ∗恒成立的实数k 的取值范围． 18.最近高考改革方案已在上海和江苏开始实施，某教育机构为了解我省广大师生对新高考改革的看法，对某市部分学校500名师生进行调查，统计结果如下：在全体师生中随机抽取1名“赞成改革”的人是学生的概率为0.3，且z =2y ．(1)现从全部500名师生中用分层抽样的方法抽取50名进行问卷调查，则应抽取“不赞成改革”的教师和学生人数各是多少？(2)在(1)中所抽取的“不赞成改革”的人中，随机选出三人进行座谈，求至少有一名教师被选出的概率．19. 如图，已知三棱柱ABC −ABC 侧棱柱垂直于底面，AB ＝AC ，∠BAC ＝90∘，点M ，N 分别为A′B 和B′C′的中点．（1）证明：MN // 平面AA′C′C ；（2）设AB ＝λAA′，当λ为何值时，CN ⊥平面A′MN ，试证明你的结论． 20. 设椭圆C:x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)，F 1、F 2为椭圆C 左右焦点，B 为短轴端点，且S △BF 1F 2=4，离心率为√22，O 为坐标原点．(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆C 恒有两个交点M 、N ，且满足|OM →+ON →|＝|OM →−ON →|？若存在，求出该圆的方程，若不存在，说明理由 21. 已知函数f(x)=ax −1+lnx ，其中a 为常数．(1)当a ∈(−∞, −1e )时，若f(x)在区间(0, e)上的最大值为−4，求a 的值；(2)当a =−1e 时，若函数g(x)=|f(x)|−lnx x−b2存在零点，求实数b 的取值范围．四.选做题：选修4-1：集合证明选讲22. 如图，已知圆O 是△ABC 的外接圆，AB ＝BC ，AD 是BC 边上的高，AE 是圆O 的直径．过点C 作圆O 的切线交BA 的延长线于点F ． (Ⅰ)求证：AC ⋅BC ＝AD ⋅AE ； (Ⅱ)若AF ＝2，CF ＝2√2，求AE 的长．选做题：4-4：坐标系与参数方程23. 在直角坐标系xOy 中，曲线M 的参数方程为{x =√3cosα+sinαy =2√3sinαcosα−2sin 2α+2（α为参数），若以直角坐标系中的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线N 的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=√22t （t 为参数）． (Ⅰ)求曲线M 和N 的直角坐标方程；(Ⅱ)若曲线N 与曲线M 有公共点，求t 的取值范围．不等式选讲24. 已知函数f(x)＝|3x +2|． (Ⅰ)解不等式f(x)<4−|x −1|；(Ⅱ)已知m >0，n >0，m +n ＝1，若对任意的x ∈R ，m >0，n >0不等式|x −a|−f(x)≤1m+1n(a >0)恒成立，求正数a 的取值范围．2015年河南省郑州市高考数学二模试卷（文科）答案1. C2. A3. B4. C5. B6. B7. A8. D9. C10.11. D12. A13. 2657271945314. 015. 1016. ①②④17. 解：(1)由S n=2a n−2，当n=1时，求得：a1=2，当n≥2时，a n=S n−S n−1=2a n−2a n−1，所以：a na n−1=2（常数），所以：数列{a n}是以a1=2为首项，2为公比的等比数列．所以：a n=2⋅2n−1=2n．(2)已知：b n=log2a1+log2a2+...+log2a n，=1+2+3+...+n=n(n+1)2，由于(n−8)b n≥nk对任意n∈N∗恒成立，所以(n−8)(n+1)2≥k对任意的n∈N∗恒成立．设c n=(n−8)(n+1)2=(n−72)2−8142，又n∈N∗，故当n=3或4时，c n取最小值为−10．所以：k≤−10．18. 解：(1)由题意x500=0.3，解得x=150，所以y+z=60；又因为z=2y，所以y=20，z=40，则应抽取的教师人数为50500×20=2，应抽取的学生人数为50500×40=4；(2)所抽取的“不赞成改革”的2名教师记为a、b，4名学生记为1，2，3，4，随机选出三人的不同选法有(a、b、1)，(a、b、2)，(a、b、3)，(a、b、4)，(a、1、2)，(a、1、3)，(a、1、4)，(a、2、3)，(a、2、4)，(a、3、4)，(b、1、2)，(b、1、3)，(b、1、4)，(b、2、3)，(b、2、4)，(b、3、4)，(1、2、3)，(1、2、4)，(1、3、4)，(2、3、4)共20种，至少有一名教师的选法有(a、b、1)，(a、b、2)，(a、b、3)，(a、b、4)，(a、1、2)，(a、1、3)，(a、1、4)，(a、2、3)，(a、2、4)，(a、3、4)，(b 、1、2)，(b 、1、3)，(b 、1、4)，(b 、2、3)，(b 、2、4)，(b 、3、4)共16种， 所以至少有一名教师被选出的概率为P =1620=45．19. 证明：设A′B′的中点为E ，连接EM ，EN ， ∵ 点M ，N 分别为A′B 和B′C′的中点， ∴ NE // A′C′，ME // AA′，又∵ A′C′⊂平面ACC′A′，AA′⊂平面ACC′A′， ∴ NE // 平面ACC′A′，ME // 平面ACC′A′， ∵ NE ∩ME ＝E ，∴ 面EMN // 面ACC′A′， ∵ MN ⊂面EMN ， ∴ MN // 面ACC′A′；连接BN ，设AA′＝a ，AB ＝λAA′＝λa ，由题意知，BC =√2λa ，BN ＝CN =√C ′C 2+C ′N 2=√a 2+12λ2a 2，∵ 三棱柱ABC −A′B′C′侧棱垂直于底面， ∴ 面A′B′C′⊥面BB′C′C ，∵ AB ＝AC ，∠BAC ＝90∘点N 为B′C′的中点， ∴ A′N ⊥平面BB′C′C ，∴ CN ⊥A′N ，要使CN ⊥平面A′MN ，只需CN ⊥BN 即可，∴ CN 2+BN 2＝BC 2，即2(a 2+12λ2a 2)=2λ2a 2，∴ λ=√2， 则λ=√2时，CN ⊥平面A′MN ．20. （1）∵ 椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)， 由题意可得，S △BF 1F 2=12⋅2c ⋅b ＝4，e =ca =√22，且a 2＝b 2+c 2；联立解得，{a 2=8b 2=4；故椭圆C 的方程为x 28+y 24=1；（2）假设存在圆心在原点的圆x 2+y 2＝r 2，使得该圆的任意一条切线与椭圆C 恒有两个交点M 、N ， ∵ |OM →+ON →|＝|OM →−ON →|， ∴ OM →⋅ON →=0；设M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)，当切线斜率存在时，设该圆的切线的方程为y ＝kx +m ， 解方程组{y =kx +m x 28+y 24=1得，(1+2k 2)x 2+4kmx +2m 2−8＝0，则△＝(4km)2−4(1+2k 2)(2m 2−8)＝8(8k 2−m 2+4)>0； 即8k 2−m 2+4>0； ∴ x 1+x 2=−4km 1+2k 2，x 1x 2=2m 2−81+2k 2；y 1y 2＝(kx 1+m)(kx 2+m)＝k 2x 1x 2+km(x 1+x 2)+m 2=m 2−8k 21+2k 2；要使OM →⋅ON →=0， 故x 1x 2+y 1y 2＝0； 即2m 2−81+2k 2+m 2−8k 21+2k 2=0；所以3m 2−8k 2−8＝0，所以3m 2−8≥0且8k 2−m 2+4>0； 解得m ≥2√63或m ≤−2√63； 因为直线y ＝kx +m 为圆心在原点的圆的一条切线， 所以圆的半径为r =√1+k 2，r 2=m 21+k 2=83(1+k 2)1+k 2=83；故r =2√63； 即所求圆的方程为x 2+y 2=83； 此时圆的切线y ＝kx +m 都满足m ≥2√63或m ≤−2√63； 而当切线的斜率不存在时切线为x ＝±2√63与椭圆x 28+y 24=1的两个交点为(2√63, ±2√63)，(−2√63, ±2√63)； 满足OM →⋅ON →=0，综上所述，存在圆心在原点的圆x 2+y 2=83满足条件．21. 解：(1)由题意令f′(x)=a +1x=0，解得x =−1a．∵ a ∈(−∞, −1e )，∴ 0<−1a <e ， 令f ′(x)>0，解得0<x <−1a ；令f ′(x)<0，解得−1a <x <e ，∴ 函数在(0, −1a )上单调递增，在(−1a , e)上单调递减， ∴ x =−1a 时，函数取得最大值，∴ −1−1+ln(−1a)=−4，∴ a =−e 2． (2)由题意，|f(x)|=lnx x+b2有实数根．当a =−1e时，f(x)=−x e−1+lnx ，f′(x)=−x−e ex，0<x <e 时，f′(x)>0，x >e 时，f′(x)<0， ∴ f(x)的单调增区间为(0, e)，减区间为(e, +∞)， ∴ f(x)max =f(e)=−1， ∴ |f(x)|≥1， 令ℎ(x)=lnx x+b 2，则ℎ′(x)=1−lnx x 2，0<x <e 时，ℎ′(x)>0，x >e 时，ℎ′(x)<0， ∴ ℎ(x)的单调增区间为(0, e)，减区间为(e, +∞)， ∴ ℎ(x)max =ℎ(e)=1e +b2， ∵ |f(x)|=lnx x+b2有实数根．∴ ℎ(x)max =ℎ(e)=1e+b 2≥1， ∴ b ≥2−2e ．22. 证明：(I)如图所示，连接BE ． ∵ AE 是⊙O 的直径，∴ ∠ABE ＝90∘．又∠E 与∠ACB 都是AB̂所对的圆周角， ∴ ∠E ＝∠ACB ．∵ AD ⊥BC ，∠ADC ＝90∘． ∴ △ABE ∽△ADC ， ∴ AB:AD ＝AE:AC ，∴ AB ⋅AC ＝AD ⋅AE ． 又AB ＝BC ，∴ BC ⋅AC ＝AD ⋅AE ． (II)∵ CF 是⊙O 的切线， ∴ CF 2＝AF ⋅BF ，∵ AF ＝2，CF ＝2√2，∴ (2√2)2＝2BF ，解得BF ＝4． ∴ AB ＝BF −AF ＝2．∵ ∠ACF ＝∠FBC ，∠CFB ＝∠AFC ， ∴ △AFC ∽△CFB ， ∴ AF:FC ＝AC:BC ， ∴ AC =AF⋅BC CF=√2．∴ cos∠ACD =√24， ∴ sin∠ACD =√144=sin∠AEB ，∴ AE =ABsin∠AEB=4√14723. （1）由x =√3cosα+sinα，得x 2＝2cos 2α+2√3sinαcosα+1， 所以曲线M 可化为y ＝x 2−1，x ∈[−2, 2]，由ρsin(θ+π4)=√22t ， 得√22ρsinθ+√22ρcosθ=√22t ， 所以ρsinθ+ρcosθ＝t ， 所以N 可化为x +y ＝t ，（2）若曲线N 与曲线M 有公共点，则当直线N 过点(2, 3)时，满足要求，此时t ＝5，并且向左下方平行运动直到相切之前总有公共点，相切时仍只有一个公共点，联立{x +y =t y =x 2−1 得x 2+x −1−t ＝0， △＝1+4(1+t)＝0，解得t =−54，综上可得t 的取值范围−54≤t ≤5．24. （1）不等式f(x)<4−|x −1|，即|3x +2|+|x −1|<4，∴ {x <−23−3x −2−x +1<4 ①，或{−23≤x <13x +2+1−x <4 ②，或 {x ≥13x +2+x −1<4 ③．解①求得−54<x <−23，解②求得−23≤x <12，解③求得x ∈⌀． 综上可得，不等式的解集为(−54, 12)．（2）已知m+n＝1(m, n>0)，∴ 1m +1n=(m+n)(1m+1n)＝2+nm+mn≥2+2＝4，当且仅当m＝n=12时，取等号．再根据|x−a|−f(x)≤1m +1n(a>0)恒成立，可得|x−a|−f(x)≤4，即|x−a|−|3x+2|≤4．设g(x)＝|x−a|−|3x+2|={2x+2+a,x<−23−4x−2+a,−23≤x≤a−2x−2−a,x>a ，故函数g(x)的最大值为g(−23)=23+a，再由23+a≤4，求得0<a≤103．。