重庆 高三数学 下 期第七次月考 理

高三（下）第七次月考数学试题（理科）
第I 卷（选择题 共50分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．{}n a 为等差数列，156a a +=，则3a 等于（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 2．212lim 1
x x x x →+-- （ ） Ａ．等于0 Ｂ．等于1 Ｃ．等于3 Ｄ．不存在
3．已知向量(1,0)a = ， (0,1)b =
，若ma b + 与2a b - 平行，则m 等于（ ）
Ａ．2- Ｂ．2 Ｃ．12- Ｄ．12
4．“1a >”是“11a
<”成立的（ ）
A ．充分必要条件
B ．充分不必要条件
C ．必要不充分条件
D ．既非充分也非必要条件
5．已知函数{
2log (0),
()3 (x 0),
x x x f x >=≤则1[()]8f f 的值是( )
A ． 27
B ． 127
C ． 27-
D ． 127
-
6．函数sin()(0,,)
2
y A x x R πωϕωϕ=+><∈的部分图象如图所
示，则函数表达式为（ ）
A ．4sin()84y x ππ=-+
B ．4sin()84
y x ππ=-
C ．4sin()84y x ππ=--
D ．4sin()84
y x ππ=+
7．在一个45o 的二面角的一个面内有一条直线与二面角的棱成45o ，则此直线与二面角的另一个面所成的角为（ ）
A ．30o
B ．45o
C ．60o
D ．90o
8．某仪器显示屏上的每个指示灯均以红光或蓝光来表示不同的信号，已知一排有8个指示灯．若每次显示其中的4个，并且恰有3个相邻，则可显示的不同信号共有（ ） A ．80种 B ．160种 C ．320种 D ．640种
91by +=与圆22
1x y +=相交于A 、B 两点(其中,a b 是实数)，且AOB ∆是直角三角形(O 是坐标原点)，则点(,)P a b 与点(0,1)之间距离的最小值为（ ）
A ． 0
B
C ． 1
D ． 1
10．定义在R 上的函数)y x (1)f x -成中心对称，若,s t 满足不等式22(2)(2)f s s f t t -≤--．则当14s ≤≤时，t s
的取值范围是( )
A ．1[,1)4-
B ．1[,1]4-
C ．1[,1)2
- D ．1[,1]2-
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．）
11．集合{}
2|90A x x =-<，集合{}
1|02
x B x x +=<-，则A B =________．
12．设复数1a i z i
+=+，若z 为纯虚数，则实数a ＝ ．
13． 某工厂对一批产品进行了抽样检测．右图是根据
抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分
布直方图，其中产品净重的范围是[]96,106，样本数据 分组为[)96,98,[)98,100,[)100,102,[)102,104,[)104,106,
已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于102克的产品的个数是
14．如图，已知椭圆2
21(0)y
x a b a b
+=>>的左、右准线分别为12,l l ，且分别交x 轴于,C D 两点，
从1l 上一点A 发出一条光线经过椭圆的左焦点F 被x 轴反射后与交于点B ，若AF BF ⊥，且75ABD ∠=︒，则椭圆的离心率等于 ．
15．()f x 是定义在R 上的函数，且(3)()3,(2)()2,(1)2f x f x f x f x f +≤++≥+=，若
*(),()n a f n n N =∈，则2011a = ．
三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（本小题满分13分）
若03πθ<≤，
求函数22()()2cos 4
f πθθθ=++θ
值．
17．（本小题满分13分）
（Ⅱ）求ξ的数学期望．
18．（本小题满分13分） 在三棱锥P ABC -中，AC a =，2BC a =，AB ，侧棱PA 、PB 、PC 与底面ABC 所成的角相等，点P 到平面ABC 的距离为32
a ．
（Ⅰ）求二面角P AC B --的大小； （Ⅱ）求点B 到平面PAC 的距离．
19．（本小题满分12分）
已知直线2y =-上有一个动点Q ，过点Q 作直线1l 垂直于x 轴，动点P 在1l 上，且满足OP OQ ⊥(O 为坐标原点)，记点P
的轨迹为C ． （Ⅰ）求曲线C 的方程；
（Ⅱ）若直线2l 是曲线C 的一条切线，当点()0,2到直线2l 的距离最短时，求直线2l 的方程．
20
a 的取值范围；
A
（Ⅱ）若函数()f x 在0x =处取得极小值，求a 的取值范围．
21．（本小题满分12分） 已知函数321()()x F x x -=≠
（I ）求3201012()()()()2011201120112011
F F F F ++++ 的值．
（II ）已知数列{}n a 满足12a =，1()n n a F a +=，求数列{}n a 的通项公式; (Ⅲ) 求证
:123n a a a a
重庆八中高2011级高三（下）第七次月考理科参考答案
一．选择题 （每小题５分，共50分）
题号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C Ｃ Ｂ
B
A
A
C
C
D
二．填空题 （每小题5分，共25分） 11．{|12}x x -<<；12．1-；13．60；14
15．2012 三．解答题
16
．解：()[1cos(2)]1cos22cos21f πθθθθθ-+++++
2sin(2)16
πθ=++
……6分
因0＜θ3π≤，所以6π＜5266ππθ+≤， 1sin(2)126
πθ≤+≤
当262ππθ+=，即6
πθ=时，max ()2113f θ=⨯+=
……13分 17．解：（Ⅰ）由题设可得
()()()21011515P m n ξ==--=，化简得()56
mn m n -+=- ① ……2分 ()3113553
P m n mn ξ==⨯⨯=⇒= ②
……4分 联立①②可得23m =，12
n =
……7分
（Ⅱ）由题设得：
()3311221211153253253210
a P ξ∴===⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=
()
3131111510530
b ∴=-++=
……10分 31353110123151030530
E ξ∴=⨯+⨯+⨯+⨯=
……13分
18．解法一：（Ⅰ） AC a =，2BC a =
，AB =，
∴222AC AB BC +=， ∴ABC ∆是90BAC ∠=︒的直角三角形， 侧棱PA 、PB 、PC 与底面ABC 所成的角相等， ∴点P 在平面ABC 内的射影是Rt ABC ∆的外心， 即斜边BC 的中点O ……2分 取AC 的中点D ，连PD ，DO ，PO ， 则32PO a =，DO AB
且AB DO =．
∴AC DO ⊥．又 DO 是PD 在平面ABC 内的射影， ∴AC PD ⊥．∴PDO ∠为二面角P AC B --的平面角． ……4分
在Rt POD ∆
中，tan PO PDO ∠=PDO π∴∠=，
故二面角P AC B --的大小为3
π．
……7分
（Ⅱ） AC a =
，PD ，
∴212APC S AC PD ∆=⋅．
设点B 到平面PAC 的距离为h ，则由P ABC B APC V V --=得：
1133ABC APC S PO S h ∆∆⋅=
⋅(
)
231113223a a h ⇒⨯⋅⨯=⨯ ……10分 解方程得3h a =，∴点B 到平面PAC 的距离等于3a ． ……13分
解法二： AC a =，2BC a =
，AB =， ∴222AC AB BC +=， ∴ABC ∆是90BAC ∠=︒的直角三角形，
侧棱PA 、PB 、PC 与底面ABC 所成的角相等，
∴点P 在平面ABC 内的射影是Rt ABC ∆的外心，即斜边
BC 的中点O ． ……2分
以O 为原点，OC 、OP
分别为x 轴、z 轴正向，以BC 的垂直平分线为y 轴建立空间直角坐标系（如图）， ∴(),0,0B a -，(),0,0C a
，1,,02A a ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，()
30,0,2P a ．
∴1,02AC a ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，()
3,0,2PC a a =-
……4分
设平面PAC 的一个法向量为()1,,n x y z = ，则1100
n AC n PC ⎧=⎨=⎩
，
∴102302
ax ax az ⎧+=⎪⎨
-=⎪⎩，令2z =
得x y z =⎧⎪=⎨=⎪⎩
∴()
13,2n = ……7分 （Ⅰ） 面ABC 为xoy 面，法向量为()20,0,1n =
，二面角P AC B --为锐角，记为θ
∴12cos cos ,n n θ=<>=
12
12
12n n n n ==⋅
，即3πθ=
故二面角P AC B --的大小为3
π．
……10分
（Ⅱ） ()2,0,0BC a =
，平面PAC
的一个法向量()
13,2n =
∴点B 到平面PAC
的距离11
3
2PB n d a n ==
= ．
即点B 到平面PAC 的距离等于32
a ．
……13分
19．解：（Ⅰ）设点P 的坐标为(),x y ,则点Q 的坐标为(),2x -．
∵OP OQ ⊥, ∴1OP OQ k k =- ．当0x ≠时,得21y
x x
-=- ,化简得22x y =．…… 2分
当0x =时, P 、O 、Q 三点共线，不符合题意，故0x ≠．
∴曲线C 的方程为22x y =()0x ≠． …… 4分 （Ⅱ）解法1:∵ 直线2l 与曲线C 相切,∴直线2l 的斜率存在．
设直线2l 的方程为y kx b =+,
…… 5分
由
{
2
,
2,
y kx b x y =+= 得2220x kx b --=． ∵ 直线2l 与曲线C 相切,∴2480k b ∆=+=,即2
k b =-．
…… 6分
点()0,2到直线2l
的距离d
21=
12⎫=
12≥⨯
……10分
，即k =1b =-．
∴直线2l
10y --=
10y ++=． ……12分
解法2：由22x y =，得'y x =,
∵直线2l 与曲线C 相切, 设切点M 的坐标为()11,x y ，其中21112
y x =，
则直线2l 的方程为：()1112y y x x x -=-，化简得211102
x x y x --=． ……6分
点()0,2到直线2l
的距离d =
212=
12⎫=
12≥⨯
……10分
1x =
∴直线2l
10y --=
10y ++=．
……12分
解法3：由22x y =，得'y x =，
∵直线2l 与曲线C 相切, 设切点M 的坐标为()11,x y ，其中211102
y x =>，
则直线2l 的方程为：()1112y y x x x -=-，化简得110x x y y --=． ……6分 点()0,2到直线2l
的距离d
12⎫
=
12
≥⨯
=
……10分
，即11y =时，等号成立,
此时1x = ∴直线2l
10y --=
10y ++=． ……12分 20．解：()()()
)
()()
222
2
1211'1111a a x x ax ax a f x x
ax x ax --+-=-
=++++
……2分
（Ⅰ）∵()f x 在()0,+∞内为单调增函数 ∴()'0f x ≥在()0,+∞上恒成立．
又0a >，∴120a x x a ⎛⎫--≥ ⎪⎝
⎭在),0(+∞上恒成立，∴2120a a -≤，∴12a ≥ ……5分
（Ⅱ）由()()
()()
2212'011a a x x a f x x ax --==++得10x =，2212a x a -=()0a > ⑴当102a <<时，由()'0f x >得()2121,0,a x a ⎛⎫-∈-+∞ ⎪⎝⎭ ， 由()'0f x <得2120,a x a ⎛⎫-∈ ⎪⎝
⎭，
∴()f x 在212a x a
-=处取得极小值．（不合题意） ……7分
⑵当12a =时，()()()22
'011a x f x x ax =≥++对()1,x ∈-+∞恒成立． ∴()f x 在定义域内无极小值．
……9分
⑶当12a >时，由()'0f x >得()2121,0,a x a ⎛⎫-∈-+∞ ⎪⎝⎭ 由()'0f x <得212,0a x a ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭
， 此时()f x 在0x =处取得极小值． ……11分 综上，函数()f x 在0x =处取极小值时，()
1,2
a ∈+∞． ……12分
21．解:(Ⅰ)因为3213()(1)32112a a F a F a a a
--+-=+=-- ……1分
所以设3201012()()()()2011201120112011
S F F F F =++++ ①
2010200920081()()()()2011201120112011
S F F F F =++++ ②
①+②得:2010122010()()20103603020112011S F F ⎡⎤=⨯+=⨯=⎢⎥⎣⎦
603030152S ∴== ……2分
（Ⅱ）由()1n n a F a +=两边同减去1,得1321112121
n n
n n n a a a a a +---=-=--
所以121112111
n n n n a a a a +-==+---， ……6分
即11n a ⎧⎫
⎨⎬-⎩⎭
是以2为公差，1111a =-为首项的等差数列,所以
()1212211n n n a =+-⨯=--221n
n
a n ⇒=-
……8分
（Ⅲ）因为()()()()22
2212121n n n n >-=-+
所以
221212n n n n +>-2345221
,,...1234212n n n n +⇒>>>-
……10分 所以123...n a a a
a
>
……12分。