最新人教版高中数学选修2-1第二章椭圆的简单几何性质(理)

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高中数学椭圆的简单几何性质教案(2) 新人教A版选修2-1

§2.2.2 椭圆的简单几何性质(2)●教学目标１．熟悉椭圆的几何性质；２．利用椭圆几何性质求椭圆标准方程；３．了解椭圆在科学研究中的应用． ●教学重点：椭圆的几何性质应用 ●教学过程：Ⅰ、复习回顾：利用椭圆的标准方程研究了椭圆的几何性质． Ⅱ、讲授新课：例6．点 ),(y x M 与定点 )0,4(F 的距离和它到定直线 425:=x l 的距离的比是常数54，求点的轨迹．解：设是点直线的距离，根据题意，如图所求轨迹就是集合⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧==54d MF M P 由此得54425)4(22=-+-x y x ．将上式两边平方，并化简得 22525922=+y x即192522=+y x所以，点M 的轨迹是长轴、短轴分别是10、6的椭圆说明：椭圆的一个重要性质：椭圆上任意一点与焦点的距离和它到定直线的距离的比是常数（e 为椭圆的离心率）。

其中定直线叫做椭圆的准线。

对于椭圆，相应于焦点的准线方程是．根据椭圆的对称性，相应于焦点的准线方程是，所以椭圆有两条准线．可见椭圆的离心率就是椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线距离的比，这就是离心率的几何意义．【典例剖析】［例1］已知椭圆2222by a x +＝1(a ＞b ＞0)的焦点坐标是F 1(－c ，0)和F 2(c ，0)，P (x 0，y 0)是椭圆上的任一点，求证：｜PF 1｜＝a ＋ex 0，｜PF 2｜＝a －ex 0，其中e 是椭圆的离心率．［例2］已知点A (1，2)在椭圆121622y x +＝1内，F 的坐标为(2，0)，在椭圆上求一点P 使|PA |＋2|PF |最小．［例3］在椭圆92522y x +＝1上求一点P ，使它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍． Ⅲ、课堂练习：课本Ｐ52，练习５再练习：已知椭圆上一点到其左、右焦点距离的比为1：3，求点到两条准线的距离．（答案：到左准线的距离为，到右准线的距离为．）思考：已知椭圆内有一点，是椭圆的右焦点，在椭圆上有一点，使的值最小，求的坐标．（如图）分析：若设，求出，再计算最小值是很繁的．由于是椭圆上一点到焦点的距离，由此联想到椭圆的第二定义，它与到相应准线的距离有关．故有如下解法．解：设在右准线上的射影为．由椭圆方程可知，，．根据椭圆的第二定义，有即．∴．显然，当、、三点共线时，有最小值．过作准线的垂线．由方程组解得．即的坐标为．【随堂训练】1．椭圆2222ay b x +＝1(a ＞b ＞0)的准线方程是( )A ．y ＝±222b a a + Ｂ．y ＝±222b a a -Ｃ．y ＝±222ba b - Ｄ．x ＝±222ba a -2．椭圆4922y x +＝1的焦点到准线的距离是( )A ．554和559 B ．559和5514 C ．554和5514 D ．5514 3．已知椭圆2222by a x +＝1(a >b >0)的两准线间的距离为3316，离心率为23，则椭圆方程为( ) A ．3422y x +＝1 B ．31622y x +＝1 C ．121622y x +＝1 D ．41622y x +＝14．两对称轴都与坐标轴重合，离心率e ＝0．8，焦点与相应准线的距离等于49的椭圆的方程是( )A ．92522y x +＝1或92522x y +＝1B ．92522y x +＝1或162522y x +＝1C ．162x ＋92y ＝1 D ．162522x y +＝15．已知椭圆2222by a x +＝1(a >b >0)的左焦点到右准线的距离为337，中心到准线的距离为334，则椭圆的方程为( ) A ．42x ＋y 2＝1 B ．22x ＋y 2＝1C ．42x ＋22y ＝1D ．82x ＋42y ＝16．椭圆22)2()2(-+-y x ＝25843++y x 的离心率为( )A ．251 B ．51 C ．101 D ．无法确定【强化训练】1．椭圆2222by a x +＝1和2222by a x +＝k (k ＞0)具有( )A ．相同的离心率B ．相同的焦点C ．相同的顶点D ．相同的长、短轴2．椭圆92522y x +＝1上点P 到右焦点的最值为( )A ．最大值为5，最小值为4B ．最大值为10，最小值为8C ．最大值为10，最小值为6D ．最大值为9，最小值为13．椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形，则此椭圆的离心率是( )A ．51 B ．43 C ．33 D ．214．若椭圆两准线间的距离等于焦距的4倍，则这个椭圆的离心率为( )A ．41 B ．22 C ．42 D ．215．椭圆m y m x 21322++＝1的准线平行于x 轴，则m 的取值范围是( )A ．m ＞0B ．0＜m ＜1C ．m ＞1D ．m ＞0且m ≠16．椭圆92522y x +＝1上的点P 到左准线的距离是2．5，则P 到右焦点的距离是________．7．椭圆103334)1()1(22--=-++y x y x 的长轴长是______．8．AB是过椭圆4522y x +＝1的一个焦点F 的弦，若AB 的倾斜角为3π，求弦AB 的长．9．已知椭圆的一个焦点是F (1，1)，与它相对应的准线是x ＋y －4＝0，离心率为22，求椭圆的方程．10．已知点P在椭圆2222bx a y +＝1上(a ＞b ＞0)，F 1、F 2为椭圆的两个焦点，求|PF 1|·|PF 2|的取值范围．【学后反思】椭圆的离心率是焦距与长轴的比，椭圆上任意一点到焦点的距离与这点到相应．．准线的距离的比也是离心率，这也是离心率的一个几何性质．椭圆的离心率反映了椭圆的扁平程度，它也沟通了椭圆上的点的焦半径｜PF｜与到相应准线距离d之间的关系．左焦半径公式是|PF1|＝a＋ex0，右焦半径公式是|PF2|＝a－ex0．焦半径公式除计算有关距离问题外还证明了椭圆上离焦点距离最远(近)点实a2，但必须注意这是椭圆的为长轴端点．椭圆的准线方程为x＝±c中心在原点，焦点在x轴上时的结论．。

人教版高中数学选修2-1：2.1椭圆概念及其几何性质教案

授课主题椭圆及其性质教学目的 1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用； 2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质. 重、难点重点：椭圆定义及性质难点：椭圆的几何性质授课时间星期日 17:00-19:00教学内容上节课复习与回顾课程导入引例1：1997年初，中国科学院紫金山天文台发布了一条消息，从1997年2月中旬起,海尔·波普彗星将逐渐接近地球，过4月以后,又将渐渐离去,并预测3000年后,它还将光临地球上空 1997年2月至3月间,许多人目睹了这一天文现象天文学家是如何计算出彗星出现的准确时间呢？原来，海尔·波普彗星运行的轨道是一个椭圆，通过观察它运行中的一些有关数据，可以推算出它的运行轨道的方程，从而算出它运行周期及轨道的的周长引例2：取一根定长的细线，把它的两端都固定在图板的同一处．．．，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖（动点）画出的轨迹是圆，如图，如果将细线的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两点处．．．．．．．．．．．，这时笔尖（动点）画出的轨迹又是什么曲线？在这一过程中，移动的笔尖(动点)满足的几何条件是什么？结论：平面内到两定点1F ，2F 的距离之和等于常数2a 的点的轨迹为：（1）若122a F F >，则轨迹为椭圆；（2）若122a F F =，则轨迹为线段12F F ；（3）若122a F F >，则轨迹为不存在．本节知识点讲解1．椭圆的定义在平面内与两定点F 1，F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．集合P ＝{M ||MF 1|＋|MF 2|＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a ＞0，c ＞0，且a ，c 为常数：例题解析【例1】设Ρ是椭圆x 225＋y216上的点．若F 1、F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|＋|PF 2|＝________．【例2】一直点B,C 是两个定点，顶点A 为动点，|BC|=6,且△ABC 的周长为16，求顶点A 的轨迹方程。

人教A版高中数学选修2-12.2.2椭圆的简单几何性质课件

A1 F1 O F2 A2 x B1
A2 y
F2 B2
B1 O
x
F1
A1
方程
范围对称性焦点顶点离心率
|x| a |y| b
|x| b |y| a
关于x轴、y轴、原点对称
(c,0)、(c,0)
(0,c)、(0,c)
(a,0)、(0,b)
(b,0)、(0,a)
c e= ( 0 < e < 1 )
a，b，c； (3)写出标准方程．
问题1：直线与圆的位置关系有哪几种？
问题2：怎么判断它们之间的位置关系？
几何法： d>r
d=r
d<r
代数法： ∆<0
∆=0
∆>0
直线与椭圆有什么样的位置关系，该如何判断呢？
探究3 直线与椭圆的位置关系
相离(没有交点) 种类: 相切(一个交点)
相交(两个交点)
能用几何法判断椭圆与直线的位置关系吗？
长轴：线段A1A2；
长轴长 |A1A2|=2a.
短轴：线段B1B2；
短轴长 |B1B2|=2b.
焦距 |F1F2|=2c.
a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长；
你能在 OB2F2 找出a、b、c吗？
A1 (-a, 0) F1
y
B2(0,b)
b
a
A2 (a, 0)
o c F2
x
B1(0,-b)
3.顶点与长短轴：椭圆与它的对称轴的四个交点——椭圆的顶点. 椭圆顶点坐标为：
A1(－a，0)，A2(a，0)，
B1(0，－b)，B2(0，b).
x2 a2
y2 b2
=1（a＞b＞0）

人教版数学选修21第二章椭圆椭圆的几何性质讲义

案例（二）——精析精练课堂合作探究重点难点突知识点椭圆的几何性质由椭圆方程()012222>>=+b a by a x 研究椭圆的性质。

(利用方程研究，说明结论与由图形观察一致）（1）范围从标准方程得出1,12222≤≤by a x ，即有b y b a x a ≤≤-≤≤-,，可知椭圆落在b y a x ±=±=,组成的矩形中。

（2）对称性把方程中的x 换成x -方程不变，图象关于y 轴对称。

y 换成y -方程不变，图象关于x 轴对称。

把y x ,同时换成y x ,-方程也不变，图象关于原点对称。

如果曲线具有关于x 轴对称，关于y 轴对称和关于原点对称中的任意两种，则它一定具有第三种对称。

原点叫椭圆的对称中心，简称中心。

x 轴、y 轴叫椭圆的对称轴。

从椭圆的方程中直接可以看出它的范围，对称的截距。

（3）顶点椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点。

在椭圆12222=+by a x 的方程里，令0=y 得a x ±=，因此椭圆和x 轴有两个交点()()0,,0,21a A a A -，它们是椭圆12222=+by a x 的顶点。

令0=x ,得b y ±=，因此椭圆和y 轴有两个交点()()b B b B ,0,,021-，它们也是椭圆12222=+by a x 的顶点。

因此椭圆共有四个顶点：()()0,,0,21a A a A -，()()b B b B ,0,,021-。

加两焦点()()0,,0,21c F c F -共有六个特殊点。

21A A 叫椭圆的长轴，21B B 叫椭圆的短轴，长分别为b a 2,2。

b a ,分别为椭圆的长半轴长和短半轴长。

椭圆的顶点即为椭圆与对称轴的交点。

至此我们从椭圆的方程中直接可以看出它的 ,对称性、顶点。

因而只需少量描点就可以较正确地作图了。

（4）离心率长轴相等，短轴不同，扁圆程度不同，这种扁平性质是由椭圆焦距与长轴长之比来决定的。

数学：2.2.2《椭圆的几何性质》课件(新人教版选修2-1)

问题：问题：
椭圆的轨迹定义、标准方程、椭圆的轨迹定义、标准方程、几何性质
一、椭圆的范围
x 由 a
即
2 2
y + = 1 ⇒ x 2 b a
2
2 2
y ≤ 1和 ≤ 1 2 b
y
2
x ≤ a和 y ≤ b
−a ≤ x ≤ a 和−b≤ y≤ b
o
即
x
说明：说明：椭圆位于矩形之中。
二、椭圆的对称性 2 2
1
2
2
y B1(0,b) o B2(0,-b)
A2 x
回顾
例1
的长轴和短轴的长、求椭圆 16 x2 + 25y2 =400的长轴和短轴的长、离的长轴和短轴的长心率、焦点和顶点坐标，并作出简图。心率、焦点和顶点坐标，并作出简图。
2 2
x y + = 1 解：把已知方程化成标准方程 2 2 5 4 这里，这里， a = 5 , b = 4 , c = 25 − 16 = 3
A1
A2 x
c 离心率：椭圆的焦距与长轴长的比：离心率：椭圆的焦距与长轴长的比：e = a 叫做椭圆的离心率。叫做椭圆的离心率。
[1]离心率的取值范围：离心率的取值范围：离心率的取值范围因为 a > c > 0，所以＜e ＜1 ，所以0＜ [2]离心率对椭圆形状的影响：离心率对椭圆形状的影响：离心率对椭圆形状的影响 y o x
因此，椭圆的长轴长和短轴长分别是 2 a = 10 , 2 b = 8 因此，焦点坐标分别是
c 3 离心率 e = = = 0 .6 a 5
F 1 ( − 3 , 0 ), F 2 ( 3 , 0 )

(人教版)选修2-1数学：2-2《椭圆2-椭圆的简单几何性质》ppt课件

∴c2=a2-b2=m-5.
又∵e=
10 -5
,∴
5
=
25
3
故 m=3 或 m= .
10
5
2
25
,∴m= 3 .
10
,求
5
m 的值.
问题导学
课前预习导学
课堂合作探究
KEQIAN YUXI DAOXUE
KETANG HEZUO TANJIU
当堂检测
2
1.(2013 四川高考)从椭圆 2

+
2
3
,0
2
1
1
,四个顶点分别为 A1(-1,0),A2(1,0),B1 0,- 2 ,B2 0, 2 .
3
,0
2
和
问题导学
课前预习导学
课堂合作探究
KEQIAN YUXI DAOXUE
KETANG HEZUO TANJIU
当堂检测
1.根据椭圆的方程计算椭圆的基本量时,关键是将所给方程正确化
成椭圆的标准形式,然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上,
2
2
(1)与椭圆 4x +9y =36
5
有相同的焦距,且离心率为 ;
5
(2)已知椭圆的对称轴是坐标轴,O 为坐标原点,F 是一个焦点,A 是
2
3
一个顶点,椭圆的长轴长是 6,且 cos∠OFA= .
思路分析:根据椭圆的几何性质,正确运用 a,b,c,e 四个参数之间的
相互关系,确定椭圆的标准方程.
2
标准方程);
(3)根据已知条件构造关于参数的关系式,利用方程(组)求参数.列

方程(组)时常用的关系式为 b2=a2-c2,e= 等.

高中数学人教课标版选修2-1《椭圆的简单几何性质(第2课时)》课件

知识回顾
例3. 已知椭圆
问题探究 ,
课堂小结
随堂检测
（2）过A(2,1)的直线l与椭圆相交，求l被截得的弦的中点
轨迹方程.
（2）设l与椭圆的交点为
则两式相减，整理得
，弦的中点为
，
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
由题意知
化简得所求轨迹方程为
，代入①得
.
.
（夹在椭圆内的部分）.
【思路点拨】例 3 （ 2 ）解题方法叫做“点差法”，点差法充分体现了“设而不求”的数学思想.
知识回顾知识梳理
问题探究
课堂小结
随堂检测
（1）直线与椭圆的位置关系 Δ＞0，方程有两个不等的实数根 Δ=0 ，方程有两个相等的实数根 Δ＜0 ，方程没有实数根有两个公共点有一个公共点相离. 相交；相切；
没有公共点
（2）弦长公式：
其中k为直AB的斜率，
，
.
知识回顾重难点突破
问题探究
课堂小结
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
探究二：计算椭圆的弦长 ●活动① 互动交流，形成结论
例2. 已知斜率为2的直线经过椭圆
与椭圆交于A、B两点，求|AB|的长. 【解题过程】由条件知设联立方程组 . ，消去y可得：
的右焦点F2，
，故直线AB方程为：
.
法一：由
得：
，从而
.
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测 .
《椭圆的简单几何性质（第2课时）》自助餐
法二：由
得：
【思路点拨】初学者常想到求直线和椭圆的交点，然后利用两点间距离公式求弦长，此种方法仅当直线方程和椭圆方程简单时，易得交点坐标，一般情况不采用此法.

人教A版高二数学选修2-1第二章第二节椭圆的简单几何性质

令 y=0，得 x=？, 说明椭圆与 x轴的交点（±a, 0 ）。
*顶点：椭圆与它的对称轴
的四个交点，叫做椭圆的顶点。
y B1(0,b)
*长轴、短轴：线段A1A2、 B1B2分别叫做椭圆的长轴和
A1
短轴。长轴长2a,短轴长2b.
o
A2(a,0) x
a、b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
- B2(0, b)
性质4.椭圆的离心率
椭圆的焦距与长轴长的比 c 叫做椭圆的离心率,用e
表示，即 e c .
a
y
a
因为a>c>0，所以0 < e <1.
当e c 1, c a, a
b a2 c2 0, 椭圆扁
b
x
●c
a
O
当e c 0, c 0, a
b a2 c2 a,椭圆圆
当且仅当a=b时，c=0，这时两个焦点重
(2)已知椭圆x2 + (m+3)y2 =m(m>0)的离心率为 3
2
求m的值及椭圆长轴和短轴的长、焦点和顶点坐标.
题型二：利用椭圆的性质求标准方程
例2．过合适下列条件的椭圆的标准方程：
（1）经过点P(3,、0) Q(0；, 2)
3
（2）长轴长等于 20,离心率等于．5
解:（1）由题意， a 3 ,b又∵2长轴在
A2 123 4 5 x
-2
-3 B1
-4
题型一：椭圆方程的基本计算问题
例１求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标．
解：把已知方程化成标准方程
x2 52
y2 42
1，

人教版-高中数学选修2-1 222_椭圆的简单几何性质2)

l：4x - 5y 40 0
椭圆上是否存在一点，它到直线l的距离最小，
最小距离是多少？
y
解：
设直线m平行于l，则l可写成：4x 5y k 0
o
x
4x 5y k 0
由方程组

x2 25

y2 9
1
消去y，得25x2 8kx k 2 - 225 0
练习：已知直线y=x- 1 与椭圆x2+4y2=2 ，判断它们的位
置关系. 解：联立方程组 y x1
2
2
消去y
由韦达定理

x1 x1
x2 x2
4
5 1
5
5x2 4x 1 0 ----- (1)
x2+4y2=2
因为 ∆>0 所以，方程（１）有两个根，则原方程组有两组解….
通法
9
直线与椭圆的位置关系
种类:
相离(没有交点) 相切(一个交点)
相交(二个交点)
10
直线与椭圆的位置关系的判定
代数方法
Ax+By+C=0
由方程组：
x2 y2 a2 + b2 = 1
mx2+nx+p=0（m≠ 0）
= n2-4mp
>0
பைடு நூலகம்
方程组有两解
两个交点
相交
=0
方程组有一解
一个交点
相切
<0
方程组无解
长半轴长为a,短半轴长为b. a>b
e c a
a2=b2+c2
x2 y2 b2 a2 1(a b 0)

《椭圆的简单几何性质》人教版高中数学选修2-1PPT课件(第1课时)

(C ) 2 11
(D) 7 11
C 2、椭圆的两焦点把两准线间的距离三等分，则这个椭圆的离心率是( )
A 3
B 3
2
C 3
3
D 3
4
B 3.已知点M到定点F的距离与M到定直线l的距离的比为0.8,则动点M的轨迹是(
)
A.圆 B.椭圆 C.直线 D.无法确定
新知探究
回忆：直线与圆的位置关系
1.位置关系：相交、相切、相离 2.判别方法(代数法)
解:(3)一焦点将长轴分成２：１的两部分
c2 4或c2 145
(a c) : (a c) 2 :1 a 3c
b2 8c2
36
椭圆方程为：x2 y2 1或 y2 x2
1
椭圆方程可设为：x2 9c2
y2 8c2
1或
x2 8c2
y2 9c2
1
36 32
145 290 49
椭圆过P
3
人教版高中数学选修2-1
第2章圆锥曲线与方程
2.2.2椭圆的简单几何性质第一课时
PEOPLE'S EDUCATION PRESS HIGH SCHOOL MATHEMATICS ELECTIVE 2-1
讲解人：时间：2020.6.1
课前导入
1.椭圆的定义:
到两定点F1、F2的距离之和为常数（大于|F1F2 |）的动点的轨迹叫做椭圆。
新知探究
题型二：利用椭圆的几何性质求标准方程
例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程
⑴经过点P(－3,0)、Q(0,－2)；
⑵长轴长等于20，离心率3/5。
⑶一焦点将长轴分成２:１的两部分,且经过点 P 3 2, 4
解(2)：2a 20, e c 3 a5

高二数学选修2-1课件：2.2.2 椭圆的简单几何性质

典型例题
例3 已知椭圆中心在原点，焦点在x 轴上，点P为直线x＝3与椭圆的一个交点，若点P到椭圆两焦点的距离分别是6.5和 3.5，求椭圆的方程.
y
x 2 4y2 1 25 75
P
F1 O
F2
x
第二十二页，编辑于星期一：一点二十一分。
典型例题
例4 已知点M与点F(4，0)的距离和它
到直线l：x 25的距离之比等于 4，
新知探究
若点F是定直线l外一定点，动点M到点F 的距离与它到直线l的距离之比等于常数
e(0＜e＜1)，则点M的轨迹是椭圆.
l
M
H
F
动画
第八页，编辑于星期一：一点二十一分。
新知探究
直线 x a2 叫做椭圆相应于焦点F2(c，0)的c 准线，相应于焦点
F1(－c，0)的准线方程是 x a2
y
c
x
典型例题
例1 若椭圆 x2 y2 1上一点P到
100 36
椭圆左准线的距离为10，求点P到椭
圆右焦点的距离.
12
第二十页，编辑于星期一：一点二十一分。
典型例题
例2 已知椭圆的两条准线方程为
y＝±9，离心率为 1 ，求此椭圆的标准
方程.
3
x2 y2 1
89
第二十一页，编辑于星期一：一点二十一分。
新知探究
椭圆上的点到椭圆一个焦点的距离叫做椭圆的焦半径，上述结果就是椭圆
的焦半径公式.
|MF1|＝a＋ex0 |MF2|＝a－ex0
第十八页，编辑于星期一：一点二十一分。
新知探究
椭圆
y2 a2
x2 b2
1a
b
0的焦半径公式是

最新人教版高中数学选修2-1第二章《椭圆的简单几何性质》示范教案(第1课时)

2.2.2椭圆的简单几何性质整体设计教材分析利用已知条件求曲线的方程，利用方程研究曲线的性质和画图是解析几何的两大任务，利用方程研究椭圆的几何性质可以说是第一次，传统的教学过程往往是利用多媒体课件展示椭圆曲线，让学生观察、猜想椭圆的几何性质，然后再利用椭圆的标准方程进行证明，体现从感性到理性符合学生的认知规律等，也可以说是用方程研究椭圆曲线性质的一种思路，但未能很好地体现“利用方程研究曲线性质”的本质．因此，本节在教学一开始的问题设置就体现了利用方程研究曲线的意识，在三个性质的研究中一直是用方程的结构特征来得到性质，真正培养学生如何利用方程研究曲线性质的能力．同时，根据椭圆的简单几何性质的课时安排，第1课时不研究椭圆的离心率，保证了学生的研究时间；与直线方程和圆方程的类比能够使得学生掌握椭圆标准方程的特点，学生在自主探究过程中能够联想得到三角换元，说明该种教学方法还是符合学生的认知规律的，同时体现了教材的本质．课时安排：本节内容共需约3个课时．第一课时主要讲性质1～3；第二节讲性质4及应用；第三课时讲直线与椭圆的有关问题．第1课时教学设计(一)教学目标知识与技能掌握椭圆的范围、对称性、顶点，掌握a，b，c的几何意义以及a，b，c的相互关系，初步学习利用方程研究曲线性质的方法．过程与方法利用曲线的方程来研究曲线性质的方法是学习解析几何以来的第一次，通过初步尝试，使学生经历知识产生与形成的过程，不仅注意对研究结果的掌握和应用，更重视对研究方法的思想渗透及分析问题和解决问题能力的培养；以自主探究为主，通过体验数学发现和创造的历程，培养学生观察、分析、逻辑推理、理性思维的能力．情感、态度与价值观通过自主探究、交流合作使学生亲身体验探究的艰辛，从中体味合作与成功的快乐，由此激发其更加积极主动的学习精神和探索勇气；通过多媒体展示，让学生体会椭圆方程结构的和谐美和椭圆曲线的对称美，培养学生的审美习惯和良好的思维品质．重点难点教学重点：从知识上来讲，要掌握如何利用椭圆标准方程的结构特征研究椭圆的几何性质；从学生的体验来说，需要关注学生在探究椭圆性质的过程中思维的过程展现，如思维角度和思维方法．教学难点：椭圆几何性质的形成过程，即如何从椭圆标准方程的结构特征中抽象出椭圆的几何性质．通过本节课的教学力求使一个平淡的性质陈述过程成为一个生动而有价值的教学过程．学生主动交流合作、大胆探究的过程应是教学的难点．教学过程引入新课提出问题：方程16x 2＋25y 2＝400表示什么样的曲线，你能利用以前学过的知识画出它的图形吗？活动设计：情形1：列表、描点、连线进行作图，在取点的过程中想到了椭圆的范围问题；情形2：求出椭圆曲线与坐标轴的四个交点，联想椭圆曲线的形状得到图形；情形3：方程变形，求出a ，b ，c ，联想椭圆画法，利用绳子作图；情形4：只作第一象限内的图形，联想椭圆形状，对称得到其他象限内的图形．辨析与研讨：实物投影展示学生的画图过程，挖掘学生的原有认知，体现同学的思维差异，培养学生的思维习惯．设计意图：(1)问题设置来源于课本例题，选题目的有利于学生从多个角度进行思考和探索，培养学生的发散思维，第一问的解决体现了对二元二次方程的研究，为利用方程研究性质打下基础；(2)课堂教学体现学生自主探究知识的过程，问题的设置体现了研究问题角度的转变——用方程研究曲线性质的问题，同时使学生意识到椭圆的几何特征：范围、对称性、关键点；(3)实物投影展示学生的研究过程和研究成果，重在发现学生的思维差异和思维认识层次；(4)辨析过程中重视学生的思维起点，通过彼此交流，发现问题，共同探讨，得到统一的认识．点评：(1)能够抓住椭圆的几何特征、范围、对称性、关键点作图； (2)研究问题的方向发生了变化，利用方程研究曲线的几何性质；(3)本节课我们利用椭圆的标准方程来研究椭圆的几何性质，体现特殊到一般的思想方法．教师板书：椭圆的简单几何性质．探求新知问题：学生思考：与直线方程和圆的方程相对比，椭圆标准方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)有什么特点？(1)椭圆方程是关于x ，y 的二元二次方程；(2)方程的左边是平方和的形式，右边是常数1； (3)方程中x 2和y 2的系数不相等．设计意图：类比直线方程和圆的方程能够使学生容易得到椭圆标准方程的特点，体现了新旧知识的联系与区别，符合学生的认知规律，同时为利用方程研究椭圆曲线的几何性质做好了准备．【问题1】自主探究：结合椭圆标准方程的特点，利用方程研究椭圆曲线的范围．实物投影展示学生的解题过程，激励学生开拓思维．学生活动过程：情形1：x 2a 2＋y 2b 2＝1变形为y 2b 2＝1－x 2a 2≥0，x 2≤a 2≤－a ≤x ≤a.这就得到了椭圆在标准方程下x 的范围－a ≤x ≤a.同理，我们也可以得到y 的范围－b ≤y ≤b.情形2：可以把x 2a 2＋y 2b 2＝1看成sin 2α＋cos 2α＝1，利用三角函数的有界性来考虑x a ，yb 的范围．点评：你可能没有意识到，如果将a ，b 乘过去，就得到了⎩⎪⎨⎪⎧x ＝acosα，y ＝bsinα，这是我们以后要学习的椭圆方程的另外一种表达方式，椭圆的参数方程，有兴趣的同学下课后可以阅读有关内容．所以我们在研究问题的过程中，结果并不重要，重要的是放宽研究问题的思路，拓宽我们的思维角度．谁还有其他的方法？情形3：椭圆的标准方程表示两个非负数的和为1，那么这两个数都不大于1，所以x 2a 2≤1，同理可以得到y 的范围．情景4：利用学习过函数的定义域、值域，这对研究椭圆的范围有何启示呢？由x 2a 2＋y 2b 2＝1，则y ＝±ba a 2－x 2，可通过求这个函数的定义域、值域得范围. 但y ＝±ba a 2－x 2是函数吗？学生(思考后)说不是.教师提问：怎么处理呢？学生活动：把 y ＝b a a 2－x 2和y ＝－baa 2－x 2分别看作是一个函数. 先求函数y ＝b aa 2－x 2的定义域、值域．利用前面学习过的代数函数求定义域、值域的方法，可得－a ≤x ≤a , 0≤y ≤b ，同样得 y ＝－b aa 2－x 2中－a ≤x ≤a , －b ≤y ≤0 ，于是得到范围．教师总结：只需求 y ＝b aa 2－x 2(0≤x ≤a) 的定义域、值域即可，然后利用对称性可得范围. 通过前面的探讨，我们知道椭圆是有范围的，即它围在一个矩形框内．有了前面这几个性质，我们就可以很快地作出焦点在 x 轴上的椭圆的草图了．教师在黑板上示范作图(先找到标准方程所表示的椭圆与坐标轴的四个交点，画出矩形框，再用光滑曲线连接，并注意对称性)．设计意图：(1)传统的研究椭圆的几何性质往往是利用图形直观得到性质，然后利用方程进行证明，没有真正体现出利用方程研究曲线几何性质的路子，因此在这里通过多媒体课件始终展示椭圆标准方程的特点，使学生在把握椭圆方程结构特征的基础上来研究椭圆曲线的几何性质；(2)通过开头问题的铺垫，学生的思维在这里体现得异常活跃，除了教材中得到范围的方法外，另外两种方法很多同学都能想到，使学生真正感受成功的喜悦；(3)多媒体课件展示椭圆的范围，体现数形结合思想．结论：由椭圆方程中x ，y 的范围得到椭圆位于直线x ＝±a 和y ＝±b 所围成的矩形里．【问题2】自主探究：继续观察椭圆标准方程的特点，利用方程研究椭圆曲线的对称性．实物投影展示学生的解题过程，体现学生的思维认识：－x 代替x 后方程不变，说明椭圆关于y 轴对称；－y代替y后方程不变，说明椭圆曲线关于x轴对称；－x、－y代替x，y后方程不变，说明椭圆曲线关于原点对称．问题设置：从对称性的本质上入手，如何探究曲线的对称性？辨析与研讨：－x代替x后方程不变，就是用(－x，y)来代换方程中的(x，y)，方程不变，(－x，y)和(x，y)关于y轴对称，两点坐标都满足方程，而(x，y)是曲线上任意一点，因此椭圆曲线关于y轴对称；其他同理．相关概念：在标准方程下，坐标轴是对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心．设计意图：(1)抓住椭圆标准方程的特点不放松，引导学生探究如何利用方程研究椭圆的对称性；(2)在学生的表述过程中重视学生的思维方式，培养学生正确处理问题的思路，能够引导学生从对称性的本质上得到研究对称性的方法；(3)多媒体课件展示椭圆的对称性，使学生体会椭圆的对称美．【问题3】自主探究：再次观察椭圆标准方程的特点，利用方程求出椭圆曲线与对称轴的交点坐标．实物投影展示学生的解题过程，体现学生的思维认识：在椭圆的标准方程中，令x＝0，得y＝±b，令y＝0，得x＝±a.顶点概念：椭圆与对称轴的交点叫做椭圆的顶点．顶点坐标：A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，b)，B2(0，－b)．相关概念：线段A1A2，B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a,2b，a 和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长．在椭圆的定义中，2c表示焦距，这样，椭圆方程中的a，b，c就有了明显的几何意义．设置问题：在椭圆标准方程的推导过程中令a2－c2＝b2能使方程简单整齐，其几何意义是什么？学生探究：c表示半焦距，b表示短半轴长，因此，连结顶点B2和焦点F2，可以构造一个直角三角形，在直角三角形内，|OF2|2＝|B2F2|2－|OB2|2，即a2－c2＝b2.多媒体展示特征三角形．设计意图：(1)利用方程研究椭圆的顶点坐标学生比较容易接受，相关概念也容易理解，关键是a2－c2＝b2的几何意义，多媒体课件的展示体现了a，b，c的几何意义，从而得到a2－c2＝b2的本质．运用新知活动设计：阅读课本例4，你有什么认识？活动成果：(1)利用方程研究椭圆的几何性质时，若椭圆的方程不是标准方程，首先应将方程化为标准方程，然后找出相应的a，b，c.(2)利用椭圆的几何性质，可以简化画图过程，保证图形的准确性．掌握画椭圆草图的基本步骤和注意事项：①以椭圆的长轴长、短轴长为邻边长，以原点为中心画矩形；②由矩形四边的中点确定椭圆的四个顶点；③用曲线将四个顶点连成一个椭圆；④画图时要注意它们的对称性及顶点附近的平滑性．设计意图：(1)学生阅读交流提高认识而不是教师讲解，能够使学生感悟知识的应用；(2)与开头相呼应，使学生认识到运用椭圆的简单几何性质能够简化作图过程．反思与评价：回顾知识的形成过程，同学交流，谈谈对本节课的认识：(1)知识与技能：椭圆的范围、对称性、顶点，初步学习了利用椭圆标准方程研究椭圆曲线性质的方法；(2)过程与方法：重视对研究方法的思想渗透及分析问题和解决问题能力的培养；以自主探究为主，通过体验数学发现和创造的历程，培养了我们观察、分析、逻辑推理、理性思维的能力；(3)情感、态度与价值观：善于观察，敢于创新，学会与人合作，感受到探究的乐趣，体会椭圆方程结构的和谐美和椭圆曲线的对称美，培养学生的审美习惯和良好的思维品质．设计意图：不会反思，就不会学习，通过反思，深化知识的形成过程，完善认知结构，掌握研究的方法和思路，拓宽思维角度，提高思维层次．课堂小结(1)椭圆的范围、长轴长、短轴长．(2)椭圆的对称性，对称轴、对称中心．布置作业(1)反思知识的形成过程，掌握研究问题的方法；(2)研究y 2a 2＋x 2b2＝1(a>b>0)的范围、对称性、顶点；(3)课后延伸：同学们再来观察椭圆的结构特征“方程中x 2和y 2的系数不相等”，因此当x 2和y 2的系数发生变化时，椭圆的形状是如何随之变化的？设计意图：课后作业的设置体现了本节课研究方法的延伸，作业(1)强调研究方法的重要性，作业(2)是对学生学习效果的一种检验，作业(3)引导学生利用椭圆方程的结构特征自主研究椭圆的另一条性质——离心率；设计说明 1．课堂设计理念授人以鱼不如授人以渔．通过创设符合学生认知规律的问题情景，挖掘学生内在的研究问题的巨大潜能，使学生在做中学，学中思，亲身体会创造过程，充分展示思维差异，培养学生的自主探究能力，逻辑推理能力，提高学生的思维层次，掌握获取知识的方法和途径，真正体现学生学习知识过程中的主体地位．2.对教材的研究认识利用已知条件求曲线的方程，利用方程研究曲线的性质和画图是解析几何的两大任务，利用方程研究椭圆的几何性质可以说是第一次，传统的教学过程往往是利用多媒体课件展示椭圆曲线，让学生观察、猜想椭圆的几何性质，然后再利用椭圆的标准方程进行证明，体现从感性到理性符合学生的认知规律等，也可以说是用方程研究椭圆曲线性质的一种思路，但未能很好地体现“利用方程研究曲线性质”的本质．因此，在教学一开始的问题设置就体现了利用方程研究曲线的意识，在三个性质的研究中一直是用方程的结构特征来得到性质，真正培养学生如何利用方程研究曲线性质的能力．同时，根据椭圆的简单几何性质的课时安排，本节课不研究椭圆的离心率，保证了学生的研究时间；与直线方程和圆方程的类比能够使得学生掌握椭圆标准方程的特点，学生在自主探究过程中能够联想得到三角换元，说明该种教学方法还是符合学生的认知规律的，同时体现了教材的本质．3．课堂教学模式的设置自主探究是传统教学模式的一种补充，自主探究能够使学生成为研究问题的主人，能够培养学生的思维能力．数学是思维的科学，思维能力是数学的核心，教学过程的设计要能够体现教学本质；能够突出所学数学内容的本质；组织教学的过程要能触及学生的灵魂深处．因此，课堂教学中提倡问题教学，抓住学生的认识现实，恰当地创设问题情境，使学习者能够在课堂上进行积极有效的学习．4．课堂练习题的说明如何利用椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质是本节课的主题，是进一步学习双曲线和抛物线的基础．为了不冲淡主题，课堂教学过程重在培养学生的研究方法，提高学生的思维能力．因此，在椭圆几何性质的其他课时中将适当增加相应的练习，强化学生对知识的掌握和应用．备课资料1．在下列方程所表示的曲线中，关于x轴、y轴都对称的是()A．x2＝4y B．x2＋2xy＋y＝0C．x2－4y2＝5x D．9x2＋y2＝4答案：D2．设a，b，c分别表示同一椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距，则a，b，c的大小关系是…()A．a>b>c>0 B．a>c>b>0C．a>c>0，a>b>0 D．c>a>0，c>b>0答案：C(设计者：靳祥利)教学设计(二)整体设计教材分析教材分析：椭圆的简单几何性质是本章的第二节第二课时，它是解析几何基本思想方法的具体体现；是用代数方法研究直线与圆的某些性质的平行发展，为即将研究双曲线、抛物线的几何性质奠定基础．学情分析：学生已经积累了函数方程、三角、不等式等相关知识，前面也学习了直线与圆这一章，初步掌握了解析几何的基本方法．本节课是在学完椭圆的定义和标准方程的基础上，利用标准方程的结构特征来探究椭圆的简单几何性质．教学目标知识与技能掌握椭圆的范围、对称性、顶点和轴等性质，掌握方程中a、b、c 的几何意义以及相互关系，初步尝试利用椭圆标准方程的结构特征研究椭圆的几何性质．过程与方法学生通过自主探究，经历知识产生发展的过程，体验数学发现和创造的历程，进一步培养学生观察、分析、联想、类比等逻辑推理能力以及数形结合的思想方法，提高学生的数学素养．情感、态度与价值观通过学生自主探究、合作交流，使学生亲自体验研究知识的过程，从中体味成功的喜悦，由此激发学生积极主动的学习精神和探索勇气，培养学生的团队意识；通过计算、画图以及多媒体展示，使学生体会椭圆标准方程结构的和谐美和曲线的对称美，培养学生严谨的科学态度．重点难点教学重点：掌握椭圆的范围、对称性、顶点和轴的概念及其应用．教学难点：椭圆几何性质的形成过程，特别要关注学生在探究椭圆性质的过程中思维层次的展现和思维能力的提高．教法学法教学活动采用“问题探究式”的教学模式，把学生需要掌握的知识转化成问题，引导学生分组讨论．将学生分成8个学习小组，展开竞争，最后评选出2个优秀小组．利用自制教具以及幻灯片、几何画板等多媒体手段，激发学习兴趣，提高课堂效率．学生则采用自主探究、合作交流的“研讨式”学习方式去体验知识的形成过程，参与问题的发现、解决过程，从而达到掌握知识、提高能力的目的．本节课坚持“以人为本，主动发展”的教学理念，采用“问题——探究——交流——反思”的课堂活动模式，通过直观感悟、画图操作、代数推理、上台板演等形式，从几何问题出发，用代数方法研究曲线的性质，最终又回到几何问题中去，充分体现了数与形的结合，初步掌握利用方程结构特征研究曲线几何性质的方法，渗透了数学思想方法，突出了教学重点，突破了难点，教学目标基本完成．整节课力主把更多的时间、机会留给学生，把探索的机会让给学生；把体会成功后的快乐送给学生，让学生在操作中探索，在探索中领悟，在领悟中理解，以体会数学之美，探究之趣．(设计者：牛传勇，本教学设计获山东省优秀课评选二等奖．)。

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2.2.2 椭圆的简单几何性质
-1-
目标引航 1.1 DNA重组技术的基本工具
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S 随堂练习
UITANG LIANXI
1.能利用椭圆的标准方程研究椭圆的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率等). 2.能根据椭圆的几何性质写出椭圆方程. 3.会利用椭圆的标准方程和几何性质处理一些简单的实际问题. 4.掌握求曲线方程的一些基本方法. 5.掌握利用曲线的方程研究曲线几何性质的基本方法.
S 随堂练习
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椭圆的离心率剖析:椭圆的焦距与长轴长的比,称为椭圆的离心率,记作 e= a>c>0,知 0<e<1. e 越接近 1,则 c 越接近 a,从而 b= a2 -c 2 越小,因此椭圆越扁;反之 e 越接近于 0,c 就越接近于 0,从而 b 越接近于 a,这时椭圆就越接近于圆;当且仅当 a=b 时,c=0,这时两个焦点重合,图形变成圆,方程为 x2+y2=a2.
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【做一做 1-3】已知椭圆的方程为 2x2+3y2=m(m>0),则此椭圆的离心率为( ) A.
1 3
B.
3 3
C.
x2
2
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题型一
题型二
题型三
题型四
已知椭圆的方程讨论其几何性质时,应先把椭圆的方程化成标准形式,找准 a 与 b,才能正确地写出其相关性质.在求顶点坐标和焦点坐标时,应注意焦点所在的坐标轴.
-b≤x≤b,-a≤y≤a
顶点轴长焦点焦距对称性离心率
A1(-a,0),A2(a,0) B1(0,-b),B2(0,b)
A1(0,-a),A2(0,a) B1(-b,0),B2(b,0)
长轴长=|A1A2|,短轴长=|B1B2| F1(-c,0),F2(c,0) 2c 对称轴:坐标轴,对称中心:原点(0,0) e= (0<e<1)
解析:化为标准方程为 m + ∵ a2= ,b2= ,∴ c2= .
c2 ∴2 a m 2 m 3 m 6
y2
m 3
2 2
D.
1 2
=1(m>0),
= ,∴ e= . 答案:B
1 3
3 3
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��
�� 2
�� 2 �� 2
+ 2 =1(a>b>0)
��
�� 2
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范围
-a≤x≤a,-b≤y≤b
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椭圆的简单几何性质
焦点的位置焦点在 x 轴上焦点在 y 轴上
图形
标准方程
�� 2 �� 2
+ 2 =1(a>b>0)
2c 2a
= .由
c a
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题型一
题型二
题型三
题型四
题型一
由方程求椭圆的几何性质
【例 1】求椭圆 25x2+y2=25 的长轴和短轴的长及其焦点和顶点坐标. 分析:本题可先把椭圆方程化成标准方程,再确定 a,b,c 的值,从而求得椭圆的几何性质.
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【做一做 1-2】椭圆 x2+4y2=1 的离心率为( A.
3 2
) D.
2 3
B.
3 4
2
C.
y2
4
2 2
解析:化为标准形式 x + 1 =1, 则 a2=1,b2= ,c2= ,∴ = 答案:A
1 4 3 4 c a 3 . 2
y2 2 解:把已知方程化成标准方程为 +x =1, 25
则 a=5,b=1,所以 c= 25-1=2 6. 因此,椭圆的长轴和短轴的长分别是 2a=10 和 2b=2,两个焦点分别是 F1(0,-2 6),F2(0,2 6),椭圆的四个顶点分别是 A1(0,-5),A2(0,5),B1(-1,0)和 B2(1,0).
��
F1(0,-c),F2(0,c)
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【做一做 1-1】椭圆 x2+my2=1 的焦点在 y 轴上,长轴长是短轴长的 2 倍,则 m 的值为( ) A.
1 2
2
B.2
2
C.
1 4
2
D.4
y2
m
解析:椭圆 x +my =1 的标准形式为 x + 1 =1, ∵ 焦点在 y 轴上,且长轴长是短轴长的 2 倍, ∴ =4,∴ m= . 答案:C
1 m 1 4
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【做一做 1-4】椭圆 16x2+9y2=144 的焦点坐标是是 . 答案:(0,± 7) (3,0),(-3,0),(0,4),(0,-4)
பைடு நூலகம்
,顶点坐标
-8-
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最新人教版高中数学选修2-1第二章椭圆的简单几何性质(理)

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人教版高中数学选修2-1：2.1椭圆概念及其几何性质教案

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(人教版)选修2-1数学：2-2《椭圆2-椭圆的简单几何性质》ppt课件

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高中数学人教课标版选修2-1《椭圆的简单几何性质(第2课时)》课件

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人教版-高中数学选修2-1 222_椭圆的简单几何性质2)

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人教A版高二数学选修2-1第二章第二节椭圆的简单几何性质

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最新人教版高中数学选修2-1第二章《椭圆的简单几何性质》示范教案(第1课时)

高中数学椭圆的简单几何性质教案(2) 新人教A版选修2-1

人教版高中数学选修2-1：2.1椭圆概念及其几何性质教案