2.1.2椭圆的简单几何性质

x2 y 2 例3：(1)椭圆 a 2 b2 1(a b 0) 的左焦点
F1 (c,0),
A(a, 0), B(0, b) 是两个顶点，如果F1到直线AB的 b 1 距 离为 ，则椭圆的离心率e= . 7 2 解 : 直线AB方程为: bx ay ab 0 bc ab b b2 a 2 c 2 d F1 AB . 2 2 7 b a 2 2 2 5a 2 14ac 8c2 0 7(a c) 2a c a 2c或5a 4c. e c 1 . 24 a 2
F1 -c , 0 ，F2 c , 0
F1 0,- c ，F2 0,c
平面内到两个定点F1，F2的距离的和等 于常数（大于F1F2）的点的轨迹
a 2 = b2 + c 2
a、b、c 的关系
焦点位置的判断
分母哪个大，焦点就在哪个轴上
2
二、椭圆
x 1、范围： 2 1, a
MF1 MF2 F1 F2 由正弦定理： sin15 sin 75 sin 90 MF1 MF2 F1F2 2a 2c sin 75 sin15 sin 90 sin 75 sin15 sin 90
c sin 90 3 e a sin 75 sin15 3
22
2
2
练习：已知椭圆中心在原点，它在x轴的一个焦点与短轴的 两个端点的连线互相垂直，且这个焦点与较近的长轴的端 点距离为 10 5，求这个椭圆方程。
a c 10 5
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱbc
a 2c
c 5
a 10, b 5
2 2
x y 椭圆方程为： 1 10 5
23
题型三：椭圆的离心率问题
2
简单的几何性质
y2 1得 ： 2 b
-a≤x≤a,
-b≤y≤b 知
椭圆落在x=±a,y= ± b组成的矩形中 y
B2
A1
b F1
a F2
A2
o c
B1
3
椭圆的对称性
x2 y2 2 1(a b 0) 2 a b
P1（-x，y）
Y
P（x，y）
O
P2（-x，-y）
X
4
2、对称性：
y
4 3 B 2 2 1
A1
A2 x
A1
A2 x
-5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4
123 4 5
B1
-5 -4 -3 -2 -1 -1 1 2 3 4 5 -2 -3 B1 -4
7
4、椭圆的离心率e(刻画椭圆扁平程度的量)
c 离心率：椭圆的焦距与长轴长的比：e a 叫做椭圆的离心率。 [1]离心率的取值范围：0<e<1


c 3 解(2)：a 20, e 2 a 5
a 10, c 6
b 8.
x2 y 2 y 2 x2 椭圆方程为： 1或 1 100 64 100 64
注：待定系数法求椭圆标准方程的步骤： ⑴定位； ⑵定量
18
题型二：利用椭圆的几何性质求标准方程 例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程 ⑴经过点P(－3,0)、Q(0,－2)； ⑵长轴长等于20，离心率3/5。 ⑶一焦点将长轴分成２:１的两部分,且经过点 P 3 2, 4
c 0 e 1 a
(b,0)、(-b,0)、 (0,a)、(0,-a) (0 , c)、(0, -c) 长半轴长为a,短 半轴长为b. a>b
c 0 e 1 a
a、b、c的关系
a2=b2+c2
a2=b2+c2
11
题型一：利用椭圆方程，研究其几何性质
例1已知椭圆方程为9x2+25y2=225,
b F1
a F2
A2
o c
B1
5
3、椭圆的顶点（截距） 2 2 x y 2 1(a b 0) 2 a b
令 x=0，得 y=？，说明椭圆与 y轴的交点？ 令 y=0，得 x=？说明椭圆与 x轴的交点？ *顶点：椭圆与它的对称轴 的四个交点，叫做椭圆的 顶点。
y
B2 (0,b)
A1
b
2 2 2 2 2
8
问：对于椭圆C1 : 9 x y 36与椭圆C ：
2 2
C2 更接近于圆的是。
x2 2 16
y2 12
2,
9
标准方程
范围 对称性 顶点坐标 焦点坐标 半轴长 离心率 a、b、c的 关系
x2 y 2 2 1(a b 0) 2 a b
它的长轴长是： 10 。短轴长是：
焦距是：
8
。
焦点坐标是： (0, 4) 外切矩形的面积等于：
( 。顶点坐标是：5, 0), (0, 3)。
4 离心率等于： 5
6
。
。
60 。 x2 y2 1 解题的关键： 25 9 1、将椭圆方程转化为标准方程明确a、b 2、确定焦点的位置和长轴的位置
12


解：(1)方法二：利用椭圆的几何性质 以坐标轴为对称轴的椭圆与坐标轴的 交点就是椭圆的顶点， 于是焦点在x轴上，且点P、Q分别是 椭圆长轴与短轴的一个端点， x2 y 2 1 故a＝3，b＝2，所以椭圆的标准方程为 9 4 注：待定系数法求椭圆标准方程的步骤： ⑴定位； ⑵定量 17
题型二：利用椭圆的几何性质求标准方程 例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程 ⑴经过点P(－3,0)、Q(0,－2)； ⑵长轴长等于20，离心率3/5。 ⑶一焦点将长轴分成２:１的两部分,且经过点 P 3 2, 4
2 2
13
练习
求下列椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标 和离心率。
（1）x2+9y2=81
(2) 25x2+9y2=225 (4) 4x2+5y2=1
x2 y 2 (2) 1 9 25
x2 y 2 (4) 1 1 1 4 5
14
(3) 16x2+y2=25
x2 y 2 (1) 1 81 9
题型三：椭圆的离心率问题
x2 y 2 例3：(2)设M为椭圆 a 2 b2 1(a b 0) 上一点，F1、F2
为椭圆的焦点，
如果 MF1F2 75 , MF2 F1 15，求椭圆的离心率。
解： MF1F2 75 , MF2 F1 15， F1MF2 900
从图形上看，椭圆关于x轴、y轴、原点对称。 从方程上看： （1）把x换成-x方程不变，图象关于y轴对称； （2）把y换成-y方程不变，图象关于x轴对称； （3）把x换成-x，同时把y换成-y方程不变，图象关于原点成中 y 心对称。
B2
坐标轴是椭圆的对称轴， 原点是椭圆的对称中心， 叫椭圆的中心。
A1
|x|≤ a,|y|≤ b
关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成 中心对称 (a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b) (c,0)、(-c,0) 长半轴长为a,短半轴长为b. a>b
c e a
a2=b2+c2
10
标准方程 范 围
x2 y 2 2 1(a b 0) 2 a b
2.1.2椭圆的简 单几何性质（1）
高二数学 选修1-1
第二章
圆锥曲线与方程
1
♦再认识！
标准方程
x2 y2 + 2 = 1 a > b > 0 2 a b
y P
x2 y2 + 2 = 1 a > b > 0 2 b a y
F2 P
不 同 点
图
形
F1
O
F2
x
O
x
F1
焦点坐标 相 同 点 定 义
a F2
A2 (a，0)
*长轴、短轴：线段A1A2、 (-a，0) F1 B1B2分别叫做椭圆的长轴 和短轴。 a、b分别叫做椭圆的长半 轴长和短半轴长。
o c
B1 (0,-b)
6
根据前面所学有关知识画出下列图形
x y 1 （1） 25 16
y
4 B2 3 2 1
2 2
x2 y2 1 （2） 25 4
2
2
y x ② + =1 9 4
2
2
x2 y 2 ③ + =1 34 25
x2 y 2 ⑤ + =1 100 64
21
2. 已知椭圆的一个焦点为F（6，0）点B，C是短 轴的两端点，△FBC是等边三角形，求这个椭圆的 标准方程。
c6
a 2b
3 a6 2
a 4 3, b 2 3
x y 椭圆方程为： 1 48 12
① 长轴长和短轴长分别为8和6，焦点在x轴上 ② 长轴和短轴分别在y轴，x轴上，经过P(-2,0)， Q(0,-3)两点. ③一焦点坐标为（－3，0）一顶点坐标为（0，5） ④两顶点坐标为（0，±6），且经过点（5，4） ⑤焦距是12，离心率是0.6，焦点在x轴上。
x y ① + =1 16 9
x2 y 2 ④ + =1 45 36
2 2
m 1
长轴长 2a 2
3 , 0) 短轴长 2b 1 焦点坐标( 2 1 顶点坐标( 1, 0), (0, ) 2
15
题型二：利用椭圆的几何性质求标准方程
例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程 ⑴经过点P(－3,0)、Q(0,－2)； ⑵长轴长等于20，离心率3/5。 ⑶一焦点将长轴分成２:１的两部分,且经过点 P 3 2, 4


解:(3)一焦点将长轴分成２：１的两部分 (a c) : (a c) 2 :1 a 3c b2 8c 2
x2 y2 x2 y2 椭圆方程可设为： 2 2 1或 2 2 1 9c 8c 8c 9c
(3 2)2 42 (3 2) 2 42 椭圆过P 3 2, 4 ， 2 1或 2 1 2 2 9c 8c 8c 9c 145 c 2 4或c 2 x2 y2 y2 x2 1或 1 36 椭圆方程为： 145 290 36 32 19 4 9
x2 y 2 2 1(a b 0) 2 b a
|x|≤ a,|y|≤ b
关于x轴、y轴成轴对称； 关于原点成中心对称
|x|≤ b,|y|≤ a
关于x轴、y轴成轴对称； 关于原点成中心对称
对
称
性
顶 点 坐 标 焦 点 坐 标 半 离 轴 心 长 率
(a,0)、(-a,0)、 (0,b)、(0,-b) (c,0)、(-c,0) 长半轴长为a,短 半轴长为b. a>b
x2 y 2 (3) 1 25 25 16
练习：已知椭圆 x2 (m 3) y 2 m(m 0) 的离心率
3 e , 求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐 2
标、顶点坐标。
x2 y2 椭圆： 1 m m m3
m2 3 e m3 4
2
m m(m 2) 2 a m, b ,c m3 m3


练习：已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标 轴上，长轴是短轴的三倍，且椭圆经过点P （3，0），求椭圆的方程。
2a 3 2b a 3b
a 3, b 1
或b 3，a 9
x2 x2 y 2 2 y 1或 1 9 9 81
分类讨论的数学思想
20
练习：
1. 根据下列条件，求椭圆的标准方程。


解： ⑴方法一： 设方程为mx2＋ny2＝1（m＞0，n＞0，m≠n）， 将点的坐标方程，求出m＝1/9,n＝1/4。
x2 y 2 所求椭圆方程为： 1 9 4
注：待定系数法求椭圆标准方程的步骤：
⑴定位； ⑵定量
16
题型二：利用椭圆的几何性质求标准方程
例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程 ⑴经过点P(－3,0)、Q(0,－2)； ⑵长轴长等于20，离心率3/5。 ⑶一焦点将长轴分成２:１的两部分,且经过点 P 3 2, 4
[2]离心率对椭圆形状的影响： 1）e 越接近 1，c 就越接近 a，从而 b就越小，椭 圆就越扁 2）e 越接近 0，c 就越接近 0，从而 b就越大，椭 圆就越圆
思考：当e＝0时，曲线是什么？当e＝1时曲 线又是 什么？ c a b b [3]e与a,b的关系: e 1 a a a
练习1.
已知椭圆方程为6x2+y2=6
。短轴长是：
.离心率等于：
它的长轴长是： 2 6
焦距是：
2
30 6
。
。
。
2 5
焦点坐标是： (0, 5 )
外切矩形的面积等于：
。顶点坐标是： 6) (1, 0) 。 (0,
4 6
x2 y2 其标准方程是 1 1 6
a 6 b 1 则c a b 5