2.1.2 椭圆的简单几何性质

象地理解为, 称 为 椭 圆 的 离 心 率, 用e表 示,即e c .
在椭圆的长
a
轴长不变的 因为a c 0,所以0 e 1.e 越接近于1,
前提下,两个 则c越接近于a, 从面b a2 c2 越小,因
焦点离开中
心的程度. 此椭圆越扁; 反之, e越接近于0, c越接近 这样规定会 于0, 从而b 越接近于a,这时椭圆就越接
弦长 | AB | 1 k 2 | x1 x2 | 1 k2 (x1 x2 )2 4x1x2
作业P41 2 (1).(2) 3 (3).(4).(6)
图2.2 10
c = 1.20 a = 1.81 c a = 0.66
c = 1.50 a = 1.81 c a = 0.83
操 作 打 开 的 几 何 画 板, 观 察 椭 圆 的 扁 平 程 度
与c 的关系. a
椭圆的离 我 们 把 椭 圆 的 焦 距 与 长轴 长 的 比c
心率可以形
a
这说明A1 a,0, A2 a,0是椭
圆与x轴的两个交点.
长轴线长段为A21aA,2长称半为轴长长轴为a 短轴线长段为B21Bb，2称短为半短轴长轴为b
因 为x轴 、y轴是椭圆的对称轴, 所以椭圆与它的对 称轴有四个交点, 这四个交点叫做椭圆的顶 点
4 离心率
思考 观察不同的椭圆图2.1 9,我们发现,
给今后研究 近于圆.
圆锥曲线的 统一性等性
当且仅当a b时, c 0,这时两个焦点重
质带来方便. 合,图形变为圆,它的方程为x2 y2 a2 .
椭圆简单的几何性质见下表
焦点位置 图形
焦点在x轴上
y P
F1 O F2
x
焦点在y轴上
y
F2 P
O
x
F1
方程 焦点 范围 顶点 对称性 离心率
x2 + y2 = 1a > b > 0
y2 b2
1,即
b y b. 这说明椭圆位于直线x a和 y b所
围成的矩形框里图2.1 7.
2 对称性
观察椭圆的形状, 可以发现椭圆既是轴对称图形, 又是
中心对称图形.
在
椭
圆x a
2 2
y2 b2
1a
b
0中以
y代y, 方 程 并 不 改
变,这说明当点Px, y在椭圆上时,它关于x轴的对称
4
的交点的个数。 y x m ①
解：由方程组 x2 4
y2
1
②
将①代入②得 x2 (x m)2 1 4
整理得 5x 2 8mx 4m2 4 0 ③
方程③中 （8m) 2 4 5(4m2 4) 16(5 m2 )
5 m 5时， 0,此时直线与椭圆有两个交点，它们相交。
点P1 x, y也在椭圆上,所以椭圆关于x轴对称; 同理,
以 x 代 x,方程也不改变,所以椭圆关于y 轴对称;
以 x代x,以 y代 y,方程也不变,所以椭圆关于原点
中心对称.
综 上, 椭 圆 关 于x 轴 、y 轴 对 称,这 时,坐 标 轴 是 椭 圆 的 对
称 轴 ,原点 是 椭 圆 的对 称 中 心 , 椭 圆 的 对 称中 心 叫 做
关于x轴、y轴对称，关于（0，0）对称
e c (0 e 1),e 1, 越扁；e 0, 越圆 a
例1 详见书本P38
例2 求椭圆16x2 25y2 400的长轴和短
轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标.
解
把已知方程化成标准方程
x2 52
y2 42
1,
于是a 5,b 4, c 52 42 3.
椭圆的中心.
3 顶点
研究曲线上某些特殊点的位置, 可以确定曲线的
位置.要确定曲线在坐标系中的位置, 常常需要求出
y
曲线与 x 轴、y 轴的交点坐标.
B2
在椭圆的标准方程里,令x
0, 得y b, 这说明 B10,b, A1
Hale Waihona Puke Baidu
O
x
A2
B2 0,b是椭圆与y轴的两个
B1
交点.同理,令y 0,得x a,
2.1.2 椭圆的简单几何性质
我们用椭圆的标准方程
y
x2 a2
y2 b2
1a
b
0
1
O
x
来研究椭圆的几何性质.
观察椭圆 x2 y2 1a b 0的形状,你能从图上
a2 b2 看出它的范围吗?它具有怎样的对称性? 椭圆 上 哪 些
点比较特殊 ?
1 范围
y
B2
观察图2.1 7,容易看出椭圆上
ba
点的横坐标的范围是 a x A1 F1 a,纵坐标的范围是 b y b.下
O
c
x
F2 A2
面, 我们利用方程代数方法 研
究它的范围.
B1
图2.1 7
由方程1可知,
y2 b2
1
x2 a2
0, 所 以, 椭 圆 上 点 的 横 坐 标
都适合不等式ax22 1,即 a x a.
同
理
有
a2 b2
F1 -c , 0，F2 c , 0
x2 + y2 = 1a > b > 0
b2 a2
F1 0,- c，F2 0,c
x [a, a], y [b,b] x [b,b], y [a, a]
A1(a,0), A2 (a,0) A1(b,0), A2 (b,0)
B1(0,b), B2 (0, b) B1(0,a), B2 (0, a)
因此,椭圆的长轴和短轴的长分别是2a 10
和2b
8,离心率 e
c a
3 5
,两个焦点坐标分
别是 F1 3,0和F2 3,0 ,四个顶点坐标分别
是A1 5,0, A2 5,0, B1 0,4 和 B2 0,4.
5.直线与椭圆的位置关系 例3 对不同的实数值m，讨论直线y x m与椭圆 x2 y2 1
m 5或 - 5时， 0，此时直线与椭圆有一个交点，它们相切。
m - 5或m 5时， 0，此时直线与椭圆没有交点，它们相离。
判断直线与椭圆位置关系的方法 联立方程，消元，化为一元二次方程，判断“△”的值。 △>0，则直线与椭圆有两个交点，直线与椭圆相交 △=0，直线与椭圆有一个交点，直线与椭圆相切 △<0，直线与椭圆没有交点，直线与椭圆相离 弦长公式 当直线与椭圆相交时，有一条弦，此时
椭 圆 的 扁 平 程 度 不 一, 那 么, 用 什 么 量 可 以 刻 画椭圆的扁平程度呢?
图2.1 9
打开几何画板进行分析
y
如
图2.1
10,
椭
圆x a
2 2
y2 b2
1
a b 0的长半轴的长为a,
O
x
半焦距为c.保持长半轴长a不 变, 改 变 椭 圆 的 半 焦 距c, 可 以 发现, c 越接近a,椭圆越扁平. 这样,利用c 和 a 这两个量,可 以刻画椭圆的扁平程度.